Esercizio 3.8 - partitore di tensione con impedenze

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1. Rete simbolica

Fasore del generatore. L'ampiezza è $400$ (senza $\sqrt2$), quindi il valore efficace è $400/\sqrt2 = 200\sqrt2$:

$$\bar E = 200\sqrt2\, e^{j\pi/4} = 200\sqrt2\left(\tfrac{\sqrt2}{2} + j\tfrac{\sqrt2}{2}\right) = 200(1 + j)$$

Impedenze: $\dot Z_L = j\omega L = j10$, $\ \dot Z_R = 10$, $\ \dot Z_C = -\frac{j}{\omega C} = -\frac{j}{1000 \cdot 50 \cdot 10^{-6}} = -j20$ (ohm).

Serie: $\dot Z = 10 + j10 - j20 = 10 - j10 = 10(1 - j)$.

2. Corrente

$$\bar I_e = \frac{\bar E}{\dot Z} = \frac{200(1 + j)}{10(1 - j)} = 20\, \frac{(1 + j)^2}{(1 - j)(1 + j)} = 20\, \frac{2j}{2} = j20 = 20\, e^{j\pi/2}$$

$$\boxed{i_e(t) = 20\sqrt2\cos\left(1000t + \tfrac{\pi}{2}\right)}$$

La corrente è in anticipo di $\pi/4$ sulla tensione del generatore: il carico è ohmico-capacitivo ($\varphi = -\pi/4$).

3. Tensioni sui bipoli (partitore)

Ogni tensione è $\dot Z_k \bar I_e$; il valore efficace è $|\dot Z_k|\, I_e$ con $I_e = 20\ \mathrm A$:

$$V_L = 10 \cdot 20 = 200\ \mathrm V, \qquad V_R = 10 \cdot 20 = 200\ \mathrm V, \qquad \boxed{V_C = 20 \cdot 20 = 400\ \mathrm V}$$

4. Osservazione: la tensione sul condensatore supera quella del generatore

$V_C = 400\ \mathrm V$, mentre $E = 283\ \mathrm V$. In una rete resistiva un partitore non può dare più della tensione totale; qui sì, perché $\bar V_L = j10 \cdot j20 = -200$ e $\bar V_C = -j20 \cdot j20 = 400$ hanno versi opposti e si compensano in parte, mentre $\bar V_R = 10 \cdot j20 = j200$. Controllo LKT: $\bar V_L + \bar V_R + \bar V_C = -200 + j200 + 400 = 200 + j200 = \bar E$ ✓.

Con i valori efficaci invece $200 + 200 + 400 = 800 \ne 283$: le tensioni si sommano solo come fasori.