Esercizio 1.53 - Thévenin e amperometro

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Testo (Eserciziario, es. 1.53). Rete a regime stazionario con $J = 6\ \mathrm A$ , $E = 270\ \mathrm V$ , $R_1 = 20\ \Omega$ , $R_2 = 30\ \Omega$ , $R_3 = 10\ \Omega$ , $R_4 = 60\ \Omega$ , $R_5 = 30\ \Omega$ .

Della rete a sinistra della porta AB determinare $R_{eq}$ e la tensione a vuoto $V_{AB0}$ (con il $+$ su A).
Per la rete completa, determinare il valore $I_A$ misurato dall'amperometro ideale.

Figura (descritta). Filo in basso = B; nodo T = filo in alto a sinistra.

Bipolo	Tra i nodi	Note
$R_1$ + $E$	T – B	ramo verticale: $R_1$ in alto, $E$ in basso con il $-$ in alto e il $+$ verso B
$R_2$ + $J$	T – B	ramo verticale: $R_2$ in alto, $J$ in basso con la freccia in su
$R_3$	T – A	in alto
$R_4$	A – B	verticale
$R_5$ + amperometro	A – B	fuori dal riquadro: $R_5$ in alto, amperometro sotto con il $-$ in alto e il $+$ in basso

Risultati: $R_{eq} = 20\ \Omega$ , $V_{AB0} = -100\ \mathrm V$ , $I_A = 2\ \mathrm A$ .

Teoria: Teoremi di Thévenin e di Norton.

1. Resistenza equivalente

Generatori spenti: $E$ cortocircuito, $J$ aperto. Il ramo $R_2$ – $J$ diventa un'interruzione e sparisce ( $R_2$ è in serie a un circuito aperto). Il ramo $R_1$ – $E$ diventa solo $R_1$ , tra T e B. Da A: $R_4$ verso B, in parallelo a $R_3 + R_1$ :

$R_{eq} = R_4 \parallel (R_3 + R_1) = \frac{60 \cdot 30}{90} = 20\ \Omega$

2. Tensione a vuoto (sovrapposizione)

Solo $E$ ( $J$ aperto). Maglia $E$ , $R_1$ , $R_3$ , $R_4$ . Il $+$ di $E$ è verso B: la corrente esce in B, sale in $R_4$ da B ad A, passa in $R_3$ e $R_1$ e rientra nel $-$ :

$V'_{AB0} = -E\, \frac{R_4}{R_1 + R_3 + R_4} = -270 \cdot \frac{60}{90} = -180\ \mathrm V$

Solo $J$ ( $E$ in cortocircuito). $J$ porta $6\ \mathrm A$ in T (attraverso $R_2$ , che è in serie e non cambia la corrente). Da T la corrente torna a B per due vie: $R_1$ ( $20\ \Omega$ ) oppure $R_3 + R_4$ ( $70\ \Omega$ ). Nel ramo $R_3$ – $R_4$ :

$I'' = J\, \frac{R_1}{R_1 + R_3 + R_4} = 6 \cdot \frac{20}{90} = \frac43\ \mathrm A, \qquad V''_{AB0} = R_4 I'' = 80\ \mathrm V$

$V_{AB0} = -180 + 80 = -100\ \mathrm V$

3. L'amperometro

L'amperometro è un cortocircuito: fuori dalla porta resta solo $R_5$ tra A e B. Con l'equivalente di Thévenin ( $-100\ \mathrm V$ con il $+$ su A, cioè $100\ \mathrm V$ con il $+$ su B, in serie a $20\ \Omega$ ):

la corrente nel ramo esterno, da A verso B attraverso $R_5$ , vale $\dfrac{V_{AB0}}{R_{eq} + R_5} = \dfrac{-100}{50} = -2\ \mathrm A$ ;
cioè $2\ \mathrm A$ scorrono da B verso A nel ramo esterno, quindi nell'amperometro dal basso verso l'alto.

L'amperometro misura dal suo $+$ (in basso) al suo $-$ (in alto): stesso verso.

$\boxed{I_A = 2\ \mathrm A}$

R2 non conta in nessuno dei passaggi: serve solo a confondere.

Versione ripasso

Della rete a sinistra della porta AB determinare $R_{eq}$ e la tensione a vuoto $V_{AB0}$ (con il $+$ su A).
Per la rete completa, determinare il valore $I_A$ misurato dall'amperometro ideale.

Figura (descritta). Filo in basso = B; nodo T = filo in alto a sinistra.

Bipolo	Tra i nodi	Note
$R_1$ + $E$	T – B	ramo verticale: $R_1$ in alto, $E$ in basso con il $-$ in alto e il $+$ verso B
$R_2$ + $J$	T – B	ramo verticale: $R_2$ in alto, $J$ in basso con la freccia in su
$R_3$	T – A	in alto
$R_4$	A – B	verticale
$R_5$ + amperometro	A – B	fuori dal riquadro: $R_5$ in alto, amperometro sotto con il $-$ in alto e il $+$ in basso

Risultati: $R_{eq} = 20\ \Omega$ , $V_{AB0} = -100\ \mathrm V$ , $I_A = 2\ \mathrm A$ .

Teoria: Teoremi di Thévenin e di Norton.

1. Resistenza equivalente

Generatori spenti ( $E$ corto, $J$ aperto). $R_2$ è in serie a un circuito aperto e sparisce; $R_1$ resta tra T e B. Da A:

$R_{eq} = R_4 \parallel (R_3 + R_1) = \frac{60 \cdot 30}{90} = 20\ \Omega$

2. Tensione a vuoto (sovrapposizione)

Solo $E$ (il $+$ di $E$ è verso B: la corrente sale in $R_4$ da B ad A, segno $-$ ): $V'_{AB0} = -E\, \frac{R_4}{R_1 + R_3 + R_4} = -270 \cdot \frac{60}{90} = -180\ \mathrm V$
Solo $J$ ( $R_2$ in serie al GIC non cambia la corrente; da T la corrente torna per $R_1$ oppure per $R_3 + R_4$ ): $I'' = J\, \frac{R_1}{R_1 + R_3 + R_4} = 6 \cdot \frac{20}{90} = \frac43\ \mathrm A$ , $V''_{AB0} = R_4 I'' = 80\ \mathrm V$

$V_{AB0} = -180 + 80 = -100\ \mathrm V$

3. L'amperometro

Amperometro = cortocircuito: fuori resta $R_5$ tra A e B. Con Thévenin ( $-100\ \mathrm V$ con il $+$ su A):

$I_A = \frac{V_{AB0}}{R_{eq} + R_5} = \frac{-100}{50} = -2\ \mathrm A \implies \boxed{I_A = 2\ \mathrm A}$

Il valore negativo significa che i $2\ \mathrm A$ scorrono da B verso A, cioè nell'amperometro dal suo $+$ (in basso) al suo $-$ (in alto): stesso verso di misura, quindi $I_A = +2\ \mathrm A$ .

Errori tipici: confondere i segni della tensione a vuoto; tenere conto di $R_2$ , che è in serie al GIC e non conta.

Teoria collegata

Teoremi di Thévenin e di Norton