Leggi di Kirchhoff

Primo argomento dopo le lezioni 1–3, nell'ordine della dispensa del docente (capitolo 4, "Leggi di Kirchhoff e n-poli"). Si appoggia su Componenti elettrici e modello a parametri concentratiUn componente è una regione di spazio chiusa da una superficie limite da cui escono terminali; in regime stazionario o quasi stazionario la corrente totale uscente da un componente è nulla e ogni tensione tra morsetti è una differenza di potenziale, e il circuito si descrive senza più dipendenza dallo spazio (parametri concentrati).Componenti elettrici e modello a parametri concentrati → e Bipoli, n-poli e porte elettricheUn n-polo ha n terminali: le sue correnti uscenti sommano a zero e le sue tensioni sono differenze di potenziale, quindi bastano n−1 correnti e n−1 tensioni per descriverlo. Una porta è una coppia di morsetti in cui la corrente che entra da uno esce dall'altro; un m-bipolo ha m porte e ogni n-polo si può vedere come (n−1)-bipolo.Bipoli, n-poli e porte elettriche →. Seguito: Grafo di una rete ed equazioni indipendentiIl grafo di una rete tiene solo i collegamenti (nodi e lati). Scelto un albero (n−1 lati, connesso, senza maglie), ogni lato di coalbero dà una LKT indipendente e ogni lato d'albero una LKC indipendente: in totale ℓ − n + 1 LKT e n − 1 LKC, che con le ℓ equazioni dei bipoli fanno 2ℓ equazioni per 2ℓ incognite.Grafo di una rete ed equazioni indipendenti →. Esercizi: Esercizio 1.6 - legge di Kirchhoff delle tensioni, Esercizio 1.7 - legge di Kirchhoff delle correnti, Esercizio 1.8 - rete con tre generatori e quattro resistori.

Da dove vengono

Nel modello a parametri concentrati si suppone che, fuori dalle superfici limite dei componenti, il campo di corrente sia solenoidale e il campo elettrico sia conservativo. Le due leggi di Kirchhoff traducono queste due ipotesi in relazioni tra le correnti e le tensioni della rete:

Sono postulati della teoria dei circuiti (si chiamano anche primo e secondo principio di Kirchhoff) e non dipendono dal tipo di componenti: valgono allo stesso modo con resistori, generatori, condensatori, transistor. Dipendono solo da come i componenti sono collegati. Entrambe danno relazioni lineari.

Un po' di nomi: un nodo è un punto in cui si collegano due o più morsetti; un lato è un bipolo (con i suoi due terminali) che collega due nodi; una maglia è un percorso chiuso fatto di lati che passa al più una volta da ogni nodo.

Legge di Kirchhoff delle correnti (LKC)

Si prende una superficie chiusa $S_c$, tutta al finito, che taglia la rete solo in corrispondenza di terminali (non attraversa le superfici limite dei componenti e non passa per i nodi).

Legge di Kirchhoff delle correnti (LKC). In ogni istante è nulla la somma algebrica delle correnti dei terminali tagliati da $S_c$: $$\sum_k \pm\, i_k(t) = 0$$

Esempio. Se dalla superficie escono $i_1 = 2\ \mathrm A$, $i_2 = 1\ \mathrm A$ e $i_4 = 3\ \mathrm A$ ed entra $i_3$, da $i_1 + i_2 - i_3 + i_4 = 0$ si ricava $i_3 = 6\ \mathrm A$.

Come si scelgono i segni. Si orienta $S_c$ (verso l'esterno o verso l'interno, a piacere). Una corrente la cui freccia è concorde con l'orientazione si scrive con il $+$, una discorde con il $-$.

Esempio: $S_c$ orientata verso l'esterno taglia quattro terminali; $i_1$, $i_2$, $i_4$ hanno la freccia uscente, $i_3$ entrante:

$$i_1 + i_2 - i_3 + i_4 = 0$$

Con la regola opposta (segno $+$ alle discordi) si ottiene la stessa equazione moltiplicata per $-1$: $-i_1 - i_2 + i_3 - i_4 = 0$. Non cambia nulla.

Formula (LKC a un nodo). Forma pratica: LKC a un nodo. Il caso più usato è la superficie che racchiude un solo nodo:

$$\sum (\text{correnti uscenti dal nodo}) = \sum (\text{correnti entranti nel nodo})$$

Esempio. In un nodo entrano $3\ \mathrm A$ e $2\ \mathrm A$ ed escono $i_x$ e $4\ \mathrm A$. Allora $3 + 2 = i_x + 4$, quindi $i_x = 1\ \mathrm A$.

Caso particolare: un n-polo. Prendendo una superficie che avvolge un solo componente (appena fuori dalla sua superficie limite) si ritrova la proprietà delle correnti di un n-polo: con tutte le correnti uscenti, $\sum_k i_{usc,k} = 0$.

Perché vale. È la legge di continuitàIn regime stazionario la corrente totale uscente da una superficie chiusa è nulla, perché la carica interna non varia.Carica e corrente elettrica → applicata a $S_c$: siccome $S_c$ sta fuori dai componenti, al suo interno non si accumula carica (gli eventuali accumuli, come sulle armature di un condensatore, sono dentro le superfici limite e $S_c$ li racchiude per intero).

Legge di Kirchhoff delle tensioni (LKT)

Si prende una linea chiusa $\ell_c$, tutta al finito, che tocca la rete solo nei nodi (non attraversa le superfici limite e non ha punti in comune con i terminali, a parte le estremità).

Legge di Kirchhoff delle tensioni (LKT). In ogni istante è nulla la somma algebrica delle tensioni tra nodi successivi, percorrendo la linea chiusa in un verso scelto a piacere: $$\sum_k \pm\, v_k(t) = 0$$

Esempio. Con $v_1 = 10\ \mathrm V$, $v_2 = 4\ \mathrm V$ e $v_3 = 3\ \mathrm V$, da $v_1 - v_2 - v_3 - v_4 = 0$ si ricava $v_4 = 10 - 4 - 3 = 3\ \mathrm V$.

Come si scelgono i segni. Si sceglie un verso di percorrenza e si parte da un nodo qualsiasi. Se, procedendo, si attraversa una tensione dal suo $+$ al suo $-$, la si scrive con il $+$; se la si attraversa dal $-$ al $+$, con il $-$.

Esempio: si percorre la linea $1 \to 2 \to 3 \to 4 \to 1$. Tra 1 e 2 c'è $v_1$ con il $+$ su 1 (la si attraversa da $+$ a $-$); tra 2 e 3 c'è $v_2$ con il $+$ su 3; tra 3 e 4 c'è $v_3$ con il $+$ su 4; tra 4 e 1 c'è $v_4$ con il $+$ su 1. Allora

$$v_1 - v_2 - v_3 - v_4 = 0$$

Anche qui la regola opposta dà la stessa equazione cambiata di segno, e invertire il verso di percorrenza cambia segno a tutti i termini: il vincolo è sempre lo stesso.

Forma pratica: LKT su una maglia. Si gira lungo una maglia del circuito, sommando le tensioni dei bipoli incontrati con il segno dato dalla regola.

Caso particolare: un n-polo. Una linea che tocca in sequenza i morsetti $1, 2, \dots, n$ di un componente e torna al morsetto 1 dà $v_{12} + v_{23} + \dots + v_{n1} = 0$.

Perché vale. Fuori dai componenti il campo è conservativo, quindi ogni tensione tra nodi è una differenza di potenziale. Lungo un giro chiuso ogni potenziale compare una volta con il $+$ e una con il $-$ e la somma è zero (è il ragionamento dell'approfondimento sul tripolo in Tensione elettrica e potenzialeLa tensione è l'integrale del campo elettrico lungo una linea orientata (in volt) ed è il lavoro elettrico per unità di carica; quando il campo è solo coulombiano, come in regime stazionario, non dipende dal percorso ed è una differenza di potenziale, e lungo un percorso chiuso vale zero.Tensione elettrica e potenziale →).

Conseguenza: i potenziali di nodo

Formula (potenziali di nodo). La LKT equivale a dire che si può assegnare a ogni nodo $k$ un potenziale $u_k$ (definito a meno di una costante) tale che la tensione tra due nodi sia

$$v_{hk} = u_h - u_k$$

Esempio. Con $u_1 = 5\ \mathrm V$ e $u_2 = 2\ \mathrm V$ la tensione tra i nodi è $v_{12} = 5 - 2 = 3\ \mathrm V$ e $v_{21} = -3\ \mathrm V$.

In pratica si sceglie un nodo di riferimento con $u = 0$ e si esprimono tutte le tensioni come differenze di potenziali. È l'idea dell'analisi nodale, che si vedrà più avanti.

Quante equazioni indipendenti

Proprietà (equazioni di Kirchhoff indipendenti). In una rete con $n$ nodi e $\ell$ lati (bipoli) non tutte le LKC e LKT che si possono scrivere sono indipendenti:

• le LKC indipendenti sono $n - 1$: per esempio quelle scritte su $n - 1$ nodi qualsiasi (la LKC sull'ultimo nodo è la somma delle altre cambiata di segno);
• le LKT indipendenti sono $\ell - n + 1$: per una rete disegnata nel piano senza incroci basta scriverle sugli anelli, cioè le "finestre" del disegno.

In totale $(n - 1) + (\ell - n + 1) = \ell$ equazioni topologiche, a cui si aggiungono le $\ell$ equazioni dei bipoli: $2\ell$ equazioni per $2\ell$ incognite (una tensione e una corrente per lato). La giustificazione con i grafi è in Grafo di una rete ed equazioni indipendentiIl grafo di una rete tiene solo i collegamenti (nodi e lati). Scelto un albero (n−1 lati, connesso, senza maglie), ogni lato di coalbero dà una LKT indipendente e ogni lato d'albero una LKC indipendente: in totale ℓ − n + 1 LKT e n − 1 LKC, che con le ℓ equazioni dei bipoli fanno 2ℓ equazioni per 2ℓ incognite.Grafo di una rete ed equazioni indipendenti →.

Esempio. Una rete con $n = 5$ nodi e $\ell = 8$ lati ha $4$ LKC indipendenti e $8 - 5 + 1 = 4$ LKT indipendenti (vedi Esercizio 1.6 - legge di Kirchhoff delle tensioni e Esercizio 1.7 - legge di Kirchhoff delle correnti).

Procedura per scrivere le equazioni di una rete

1. Dare un nome a ogni nodo e a ogni bipolo.
2. Fissare i riferimenti di tensione e corrente su ogni bipolo (a piacere, ma poi non cambiarli). Di solito: convenzione del generatore sui generatori, dell'utilizzatore sui resistori.
3. LKC su $n - 1$ nodi.
4. LKT su $\ell - n + 1$ maglie indipendenti (gli anelli).
5. Equazioni dei bipoli ($\ell$ equazioni).
6. Risolvere il sistema, di solito sostituendo le equazioni dei bipoli nelle LKT.

Il metodo completo è svolto in Esercizio 1.8 - rete con tre generatori e quattro resistori.

Errori comuni

• Sbagliare il segno di una tensione nella LKT: guardare sempre da quale segno ($+$ o $-$) si entra nel bipolo, nel verso di percorrenza scelto.
• Scrivere una LKC su tutti gli $n$ nodi e credere di avere $n$ equazioni indipendenti: l'ultima è combinazione delle altre.
• Cambiare un riferimento a metà esercizio. I riferimenti sono arbitrari ma vanno tenuti fissi dall'inizio alla fine.
• Pensare che le leggi di Kirchhoff valgano solo in regime stazionario. Nel modello a parametri concentrati valgono istante per istante anche in regime variabile.