Teorema di sostituzione

Dispensa, paragrafo 10.7. Si usa per semplificare una rete quando di un bipolo si conosce già la tensione o la corrente. È anche un passaggio della dimostrazione dei Teoremi di Thévenin e di NortonUna rete resistiva lineare vista da due morsetti equivale (Thévenin) a un GIT in serie a un resistore: la f.e.m. è la tensione a vuoto v_0 e il resistore è la resistenza interna R_eq, cioè la resistenza vista dai morsetti con tutti i generatori indipendenti spenti. Equivale anche (Norton) a un GIC in parallelo a un resistore: la corrente è quella di cortocircuito i_cc e la conduttanza è G_eq = 1/R_eq. Vale R_eq = v_0 / i_cc.Teoremi di Thévenin e di Norton →.

Enunciato

Teorema di sostituzione. Si considera una rete (resistori, GIT, GIC, ma vale anche con bipoli adinamici non lineari) che ha soluzione unica, e un suo bipolo $b_h$ con tensione $v_h$ e corrente $i_h$ nella soluzione. Allora $b_h$ si può sostituire:

• con un GIC di corrente impressa $j_h = i_h$ (con lo stesso riferimento di $i_h$), oppure
• con un GIT di tensione impressa $e_h = v_h$ (con lo stesso riferimento di $v_h$),

e tutte le altre tensioni e correnti della rete restano le stesse, a condizione che anche la rete modificata abbia soluzione unica.

Esempio. Un GIT da $12\ \mathrm V$ su un resistore da $4\ \Omega$ dà $i = 3\ \mathrm A$ e $v = 12\ \mathrm V$: sostituendo il resistore con un GIC da $j = 3\ \mathrm A$ la tensione ai suoi capi resta $12\ \mathrm V$.

Perché vale

La soluzione soddisfa le LKC, le LKT e le equazioni di tutti i bipoli. Sostituire $b_h$ con un GIC $j_h = i_h$ vuol dire cambiare una sola equazione: al posto di quella di $b_h$ si mette $i = i_h$. La vecchia soluzione soddisfa anche la nuova equazione (la corrente di quel lato valeva proprio $i_h$), quindi è ancora una soluzione. Se la nuova rete ha soluzione unica, è quella. Lo stesso per il GIT.

La condizione di unicità non è un dettaglio

Esempio della dispensa: un GIT $e$ collegato a un resistore $R$ (un'unica maglia). La soluzione è $i = e/R$, $v_R = e$.

• Sostituire $R$ con un GIC $j = e/R$: la rete GIT + GIC ha soluzione unica ($i = j$, $v = e$) e coincide con quella di partenza. ✓
• Sostituire $R$ con un GIT di tensione $e$: si ottengono due GIT uguali in parallelo. Le tensioni vanno bene, ma la corrente può essere qualunque: la soluzione non è più unica, e il teorema non si può applicare. ✗

In generale: non si può sostituire con un GIT un bipolo che sta in parallelo a un altro GIT, né con un GIC un bipolo che sta in serie a un altro GIC.

Usi tipici

Differenza con le equivalenze di serie e parallelo. Un bipolo equivalente ha la stessa caratteristica per ogni punto di lavoro. La sostituzione invece vale solo per la soluzione di quella rete: il GIC che sostituisce un resistore riproduce la sua corrente in quel circuito, ma se si cambia qualcosa nel resto della rete non è più valido.

Esercizi: Esercizio 1.42 - sostituzione e amperometro, Esercizio 1.43 - sostituzione e voltmetro.

Errori comuni

• Sostituire senza conoscere davvero la grandezza: la corrente (o tensione) deve essere nota, o almeno nota in funzione di dati del problema.
• Dimenticare il riferimento: il GIC va orientato come la corrente nota, il GIT con il $+$ dove la tensione nota ha il $+$.
• Ignorare l'unicità: GIT su GIT in parallelo, o GIC su GIC in serie.
• Usare la rete sostituita per calcolare grandezze del bipolo tolto (per esempio la sua potenza): vanno calcolate sulla rete originale.