Grafo di una rete ed equazioni indipendenti

Dalla dispensa, capitolo 7 "Reti di bipoli" (parte II). Prima: Leggi di Kirchhoff (LKC e LKT)LKC: in ogni istante la somma algebrica delle correnti che attraversano una superficie chiusa (per esempio attorno a un nodo) è zero. LKT: in ogni istante la somma algebrica delle tensioni lungo un percorso chiuso che tocca solo nodi (per esempio una maglia) è zero. Dipendono solo da come sono collegati i componenti.Leggi di Kirchhoff (LKC e LKT) →. Seguito: Teorema di TellegenCon la stessa convenzione su tutti i bipoli, la somma dei prodotti v_h·i_h su tutti i bipoli di una rete è zero, se le tensioni rispettano le LKT e le correnti le LKC. Dipende solo dalla topologia; preso tutto allo stesso istante dà la conservazione della potenza: la potenza erogata dai generatori è uguale a quella assorbita dagli altri bipoli.Teorema di Tellegen →. Esercizi in cui si contano e si scrivono le equazioni: Esercizio 1.6 - legge di Kirchhoff delle tensioni, Esercizio 1.7 - legge di Kirchhoff delle correnti, Esercizio 1.8 - rete con tre generatori e quattro resistori.

Perché un grafo

Le leggi di Kirchhoff dipendono solo da come i bipoli sono collegati, non da che bipoli sono. Per studiare questa parte (la topologia della rete) si butta via tutto il resto e si tiene un disegno essenziale, il grafo:

• un punto (nodo del grafo) per ogni nodo della rete;
• un segmento o un arco (lato del grafo) per ogni bipolo, tra i due nodi a cui è collegato.

Nel grafo i bipoli non si distinguono più per tipo. Non contano nemmeno la forma e la lunghezza dei lati o la posizione dei nodi: conta solo quale coppia di nodi collega ciascun lato. Due disegni diversi con gli stessi collegamenti sono lo stesso grafo.

L'esempio guida

Si usa per tutta la nota una rete di $\ell = 5$ bipoli e $n = 4$ nodi (quella della dispensa): i nodi 1, 2, 3, 4 formano un quadrato e c'è una diagonale tra 1 e 3.

   1 ●───── a1 ─────● 2
     │ ╲            │
     │   ╲          │
    a4    a5       a2
     │       ╲      │
     │         ╲    │
   4 ●───── a3 ─────● 3

Terminologia

Grafo connesso. Da ogni nodo si può arrivare a ogni altro camminando lungo i lati. Se una rete ha un grafo non connesso, in realtà sono due (o più) circuiti separati, che non si influenzano e si studiano ognuno per conto suo. (Con componenti a più porte, come i doppi bipoli, un singolo circuito può avere grafo non connesso, ma è un caso che qui non serve.)

Grafo piano. Si può disegnare nel piano senza incroci tra lati. Attenzione: conta se esiste un disegno senza incroci, non se quello che si ha davanti ne è privo; a volte basta spostare un lato. Una rete con grafo piano si dice rete piana. Esistono grafi non piani: comunque li si disegni, almeno due lati si incrociano.

Maglia. Un insieme di lati che forma un percorso chiuso connesso in cui a ogni nodo arrivano esattamente due lati del percorso. Nell'esempio sono maglie $\{a_1, a_2, a_5\}$, $\{a_3, a_4, a_5\}$ e $\{a_1, a_2, a_3, a_4\}$ (il bordo del quadrato). Un percorso chiuso che passa due volte per lo stesso nodo (a quel nodo arriverebbero quattro lati del percorso) non è una maglia.

Formula (numero di anelli di un grafo piano). Anello. In un grafo piano, una maglia che contorna una "finestra" del disegno, cioè una zona del piano che non contiene altri lati o nodi. Per un grafo piano connesso il numero di anelli è

$$m = \ell - n + 1$$

Nell'esempio $m = 5 - 4 + 1 = 2$: gli anelli sono i due triangoli $\{a_1, a_2, a_5\}$ e $\{a_3, a_4, a_5\}$. Il bordo del quadrato è una maglia ma non un anello (contiene la diagonale). Se si ridisegna il grafo in un altro modo gli anelli possono cambiare, ma il loro numero resta $\ell - n + 1$.

Esempio. Un grafo piano connesso con $\ell = 9$ lati e $n = 6$ nodi ha $m = 9 - 6 + 1 = 4$ anelli.

Insieme di taglio. L'insieme dei lati attraversati da una superficie chiusa che racchiude uno o più nodi (la superficie taglia solo lati, mai nodi). È il luogo naturale dove scrivere una LKC. Esempio: una superficie che racchiude i nodi 1 e 2 taglia $\{a_2, a_4, a_5\}$.

Nodo (come insieme di taglio). Il caso più semplice: la superficie racchiude un solo nodo e taglia i lati che vi concorrono. Nodo 1: $\{a_1, a_4, a_5\}$; nodo 2: $\{a_1, a_2\}$; nodo 3: $\{a_2, a_3, a_5\}$; nodo 4: $\{a_3, a_4\}$.

Definizione (albero di un grafo). Albero. Un insieme di lati che tocca tutti i nodi, è connesso e non contiene maglie. Ha sempre

$$\ell_a = n - 1 \text{ lati}$$

Esempio. Con $n = 4$ nodi un albero ha $n - 1 = 3$ lati, per esempio $\{a_1, a_4, a_5\}$.

Perché: si parte da due nodi; per collegarli serve un lato, e un secondo lato tra gli stessi due nodi formerebbe una maglia: 2 nodi, 1 lato. Ogni nodo aggiunto richiede esattamente un lato nuovo per collegarlo (uno è necessario per la connessione, due chiuderebbero una maglia). Quindi i lati sono uno in meno dei nodi. Nell'esempio ($n = 4$, quindi 3 lati): $\{a_1, a_4, a_5\}$ è un albero, e anche $\{a_1, a_2, a_3\}$. Invece $\{a_1, a_2, a_5\}$ no (è una maglia e non tocca il nodo 4).

Definizione (coalbero). Coalbero. I lati che non stanno nell'albero scelto. Ne ha

$$\ell_c = \ell - \ell_a = \ell - n + 1$$

Esempio. Con $\ell = 5$ lati e $n = 4$ nodi il coalbero ha $\ell - n + 1 = 2$ lati: per l'albero $\{a_1, a_4, a_5\}$ è $\{a_2, a_3\}$.

Per l'albero $\{a_1, a_4, a_5\}$ il coalbero è $\{a_2, a_3\}$.

Le incognite di una rete

Per conoscere completamente una rete di $\ell$ bipoli bastano le $\ell$ tensioni e le $\ell$ correnti dei bipoli: $2\ell$ incognite.

• Le correnti dei bipoli sono tutte le correnti della rete.
• Due nodi possono non essere collegati direttamente da un bipolo, quindi la loro tensione non è tra le incognite. Ma la si ricava lo stesso: si fissa a zero il potenziale di un nodo (il potenziale è definito a meno di una costante) e, muovendosi lungo un albero, si calcola il potenziale di ogni nodo sommando le tensioni dei lati d'albero attraversati. Noti tutti i potenziali, ogni tensione tra due nodi è una differenza.

Quante LKT indipendenti: le maglie fondamentali

Teorema (numero di LKT indipendenti). Si sceglie un albero. Ogni lato di coalbero collega due nodi $R$ e $S$; siccome l'albero è connesso e tocca tutti i nodi, esiste un percorso fatto solo di lati d'albero tra $R$ e $S$. Il lato di coalbero più quel percorso formano una maglia (detta maglia fondamentale). Si scrive la LKT su ciascuna.

Sono indipendenti perché ciascuna contiene una tensione che nelle altre non compare: quella del "suo" lato di coalbero (le altre maglie fondamentali sono fatte con lati d'albero e con lati di coalbero diversi). Il loro numero è il numero di lati di coalbero:

$$\boxed{\ \text{LKT indipendenti: } \ell - n + 1\ }$$

Esempio. Con l'albero $\{a_1, a_4, a_5\}$:

• lato di coalbero $a_2$ (nodi 2 e 3): percorso d'albero $2 \to 1 \to 3$ ($a_1$, poi $a_5$), maglia $\{a_1, a_2, a_5\}$;
• lato di coalbero $a_3$ (nodi 3 e 4): percorso d'albero $3 \to 1 \to 4$ ($a_5$, poi $a_4$), maglia $\{a_3, a_4, a_5\}$.

Per una rete piana c'è una scorciatoia: le LKT scritte sugli anelli sono indipendenti e sono proprio $\ell - n + 1$. È il metodo più comodo a mano (è quello usato in Esercizio 1.6 - legge di Kirchhoff delle tensioni).

Quante LKC indipendenti: i tagli fondamentali

Teorema (numero di LKC indipendenti). Con lo stesso albero, si prende un lato d'albero: togliendolo, l'albero si spezza in due parti. Si prende una superficie chiusa che racchiude una delle due parti e lascia fuori l'altra: taglia quel lato d'albero, nessun altro lato d'albero, e alcuni lati di coalbero. È un taglio fondamentale; si scrive la LKC su di esso.

Ciascuna di queste LKC contiene la corrente del "suo" lato d'albero, che nelle altre non compare: sono indipendenti, e sono tante quanti i lati d'albero:

$$\boxed{\ \text{LKC indipendenti: } n - 1\ }$$

Esempio. Con l'albero $\{a_1, a_4, a_5\}$:

• lato $a_1$: togliendolo, il nodo 2 resta isolato; la superficie attorno al nodo 2 taglia $\{a_1, a_2\}$;
• lato $a_4$: resta isolato il nodo 4; taglio $\{a_3, a_4\}$;
• lato $a_5$: resta isolato il nodo 3; taglio $\{a_2, a_3, a_5\}$.

Anche qui c'è una scorciatoia, valida per qualunque grafo connesso (anche non piano): le LKC scritte su tutti i nodi tranne uno sono indipendenti. Quella sul nodo escluso è la somma delle altre (ogni lato esce da un nodo ed entra in un altro, quindi sommando le LKC di tutti i nodi ogni corrente compare una volta con il $+$ e una con il $-$: la somma è $0 = 0$).

Il sistema completo: 2ℓ equazioni

Proprietà (il sistema di equazioni di una rete: 2ℓ equazioni in 2ℓ incognite).

Equazioni	Da dove	Quante	Che tipo
LKC	topologia	$n - 1$	lineari, omogenee
LKT	topologia	$\ell - n + 1$	lineari, omogenee
equazioni dei bipoli	tipologia	$\ell$	possono essere non lineari
totale		$2\ell$

Esempio. Con $\ell = 5$ bipoli e $n = 4$ nodi: $3$ LKC, $2$ LKT e $5$ equazioni dei bipoli, in tutto $10 = 2\ell$ equazioni per $10$ incognite.

Le equazioni topologiche sono in tutto $(n - 1) + (\ell - n + 1) = \ell$. Non se ne possono trovare di più indipendenti: le $\ell$ equazioni dei bipoli sono già $\ell$ vincoli indipendenti sulle $2\ell$ incognite, e se la soluzione è unica i vincoli topologici indipendenti possono essere al più altri $\ell$. Quindi $\ell - n + 1$ e $n - 1$ sono anche i numeri massimi di LKT e LKC indipendenti.

Esistenza e unicità non sono garantite. I due blocchi di equazioni sono costruiti separatamente (topologia e tipologia) e messi insieme possono essere incompatibili. Esempio di connessione impossibile: due GIT in parallelo con $E_1 = 50\ \mathrm V$ ed $E_2 = 20\ \mathrm V$. La LKT impone $V_1 = V_2$, le equazioni dei bipoli $V_1 = 50$ e $V_2 = 20$: nessuna soluzione. (Allo stesso modo sono impossibili due generatori ideali di corrente diversi in serie.) Nel seguito si assume sempre che la soluzione esista e sia unica, salvo avviso.

Forma matriciale

Si orienta ogni lato (il verso di riferimento della corrente; con la convenzione dell'utilizzatore la tensione ha il $+$ dove la corrente entra). Nell'esempio: $a_1: 1 \to 2$, $a_2: 2 \to 3$, $a_3: 3 \to 4$, $a_4: 4 \to 1$, $a_5: 1 \to 3$.

Matrice di incidenza ridotta $\mathbf A$ ($(n-1) \times \ell$): una riga per ogni nodo tranne quello di riferimento (qui il 4), una colonna per lato; l'elemento vale $+1$ se il lato esce dal nodo, $-1$ se entra, $0$ se non lo tocca.

$$\mathbf A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} \quad \begin{matrix} \leftarrow \text{nodo 1} \\ \leftarrow \text{nodo 2} \\ \leftarrow \text{nodo 3} \end{matrix}$$

• Le $n - 1$ LKC indipendenti si scrivono $\mathbf A\,\mathbf i = \mathbf 0$ (ogni riga è "somma delle correnti uscenti dal nodo $= 0$").
• Le tensioni dei lati in funzione dei potenziali di nodo ($u_4 = 0$) sono $\mathbf v = \mathbf A^{T}\mathbf u$. Per esempio la colonna di $a_1$ è $(1, -1, 0)$, quindi $v_1 = u_1 - u_2$, come deve essere.

Matrice di maglia $\mathbf B$ ($(\ell - n + 1) \times \ell$): una riga per maglia indipendente; l'elemento vale $+1$ se il lato è percorso nel suo verso, $-1$ se contro, $0$ se non appartiene alla maglia. Con le maglie $1 \to 2 \to 3 \to 1$ e $1 \to 3 \to 4 \to 1$:

$$\mathbf B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$

Le LKT indipendenti sono $\mathbf B\,\mathbf v = \mathbf 0$. Vale $\mathbf A\,\mathbf B^T = \mathbf 0$ (verificabile a mano: ogni maglia entra ed esce da ogni suo nodo lo stesso numero di volte), che è il cuore della dimostrazione matriciale del Teorema di TellegenCon la stessa convenzione su tutti i bipoli, la somma dei prodotti v_h·i_h su tutti i bipoli di una rete è zero, se le tensioni rispettano le LKT e le correnti le LKC. Dipende solo dalla topologia; preso tutto allo stesso istante dà la conservazione della potenza: la potenza erogata dai generatori è uguale a quella assorbita dagli altri bipoli.Teorema di Tellegen →.

Errori comuni

• Contare come nodi i punti di un filo: due punti collegati da un filo ideale sono lo stesso nodo.
• Credere che un percorso chiuso qualsiasi sia una maglia: a ogni nodo devono arrivare esattamente due lati del percorso.
• Scrivere le LKT sugli anelli di un grafo non piano: lì gli anelli non sono definiti; si usano le maglie fondamentali.
• Dimenticare che $\ell - n + 1$ vale per un grafo connesso.