Esercizio 3.27 - risonanza parallelo e wattmetro

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1. Rete simbolica

$\bar E = 20\, e^{j\pi/4} = 10\sqrt2(1 + j)$, $\ \bar J = 4\, e^{j\pi/4} = 2\sqrt2(1 + j)$; $\dot Z_{C1} = \dot Z_{C2} = -j10$, $\dot Z_L = j10$, $R = 5$.

2. La risonanza parallelo

$\dot Y_L + \dot Y_{C2} = \frac{1}{j10} + \frac{1}{-j10} = -j0{,}1 + j0{,}1 = 0$: il parallelo $L \parallel C_2$ è in risonanza e si comporta come un circuito aperto. Nel nodo N quindi il GIC non può scaricare la sua corrente su $L$ e $C_2$ (nel loro insieme): tutta $\bar J$ prosegue attraverso il GIT e il wattmetro verso la parte sinistra.

$$\bar I_W = \bar J = 2\sqrt2(1 + j)$$

3. Tensione del wattmetro

La parte sinistra $R \parallel C_1$ ha $\dot Z_1 = 2(2 - j)$ (come nell'esercizio 3.26):

$$\bar V_W = \dot Z_1\, \bar I_W = 2(2 - j) \cdot 2\sqrt2(1 + j) = 4\sqrt2(2 + 2j - j + 1) = 4\sqrt2(3 + j)$$

4. Lettura del wattmetro

$$\dot S_W = \bar V_W\, \bar I_W^* = 4\sqrt2(3 + j) \cdot 2\sqrt2(1 - j) = 16(3 - 3j + j + 1) = 16(4 - 2j) = 64 - j32$$

$$\boxed{P_W = 64\ \mathrm W}$$

Controllo: in $R$: la tensione è $\bar V_W$, $\ \frac{V_W^2}{R} = \frac{32 \cdot 10}{5} = 64\ \mathrm W$ ✓.

5. Potenza reattiva di $C_2$

La tensione di $C_2$ è quella del nodo N. Il GIT ha il $+$ verso Q (lato wattmetro): $\bar U_Q - \bar U_N = \bar E$, quindi

$$\bar V_{C2} = \bar U_N = \bar V_W - \bar E = 4\sqrt2(3 + j) - 10\sqrt2(1 + j) = \sqrt2(2 - 6j) = 2\sqrt2(1 - 3j)$$

$$V_{C2}^2 = 8 \cdot 10 = 80\ \mathrm{V^2}, \qquad \boxed{Q_{C2} = \frac{V_{C2}^2}{X_{C2}} = \frac{80}{-10} = -8\ \mathrm{VAR}}$$

(formula $Q = -B\, V^2$ con $B_{C2} = 0{,}1$, oppure $Q = V^2/X$ per un bipolo puramente reattivo).

Osservazione. $Q_L = +8\ \mathrm{VAR}$: anche qui le reattive si compensano. Nel parallelo in risonanza circola tra $L$ e $C_2$ una corrente $\frac{V_{C2}}{10} = 0{,}89\ \mathrm A$ che non esce dal parallelo.