Esercizio 3.26 - risonanza serie e wattmetro

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Testo (Eserciziario, es. 3.26). Rete a regime sinusoidale con $R = 5\ \Omega$, $L = 10\ \mathrm{mH}$, $C_1 = C_2 = 100\ \mu\mathrm F$, $e(t) = 40\cos\left(1000t + \frac{\pi}{4}\right)$, $j(t) = 4\sqrt2\sin\left(1000t + \frac{\pi}{2}\right)$. Determinare il valore $P_W$ letto dal wattmetro ideale a valore medio e la potenza reattiva $Q_{C2}$ entrante in $C_2$.

Figura (descritta). Filo in basso = riferimento. A sinistra $R$ e $C_1$ in parallelo tra il nodo P e il riferimento. Sul filo in alto: da P i morsetti amperometrici del wattmetro (la corrente misurata va da destra verso P) fino al nodo Q; poi il GIT $e$ ($+$ verso Q) fino al nodo N. I morsetti voltmetrici misurano la tensione del filo in alto rispetto al riferimento. Da N scendono: il ramo $C_2$ in serie a $L$; e, all'estrema destra, il GIC $j$ (freccia in su, verso N).

Risultati: $P_W = 160\ \mathrm W$, $Q_{C2} = -400\ \mathrm{VAR}$.

Teoria: Risonanza serie e paralleloIn un RLC serie l'impedenza Ż = R + j(ωL - 1/ωC) ha modulo minimo, pari a R, alla pulsazione di risonanza ω0 = 1/√(LC), dove le reattanze di L e C si annullano: la serie LC equivale a un cortocircuito e su L e C compaiono tensioni Q volte quella applicata (Q = ω0 L / R). Nel parallelo RLC l'ammettenza è minima (G) a ω0: il parallelo LC equivale a un circuito aperto e le correnti in L e C sono Q volte quella totale (Q = ω0 R C). Usati come filtri passa banda: banda B = ω2 - ω1 = ω0 / Q.Risonanza serie e parallelo →, Potenza in regime sinusoidaleCon v e i sinusoidali la potenza istantanea p(t) = VI cos φ + VI cos(2ωt + φv + φi) oscilla a pulsazione 2ω. La sua media è la potenza attiva P = VI cos φ (watt). La potenza complessa Ṡ = V̄ Ī* = P + jQ ha per parte immaginaria la potenza reattiva Q = VI sin φ (VAR) e per modulo la potenza apparente S = VI (VA). cos φ = P/S è il fattore di potenza. Con un'impedenza: P = R I², Q = X I²; Q_L = ωL I² > 0, Q_C = -ωC V² < 0. In una rete si conservano la potenza complessa, attiva e reattiva (teorema di Boucherot).Potenza in regime sinusoidale →.

1. Rete simbolica e risonanza

• $\bar E$: ampiezza $40$, efficace $20\sqrt2$, $\bar E = 20\sqrt2\, e^{j\pi/4} = 20(1 + j)$; $j(t)$ è un seno: $4\sqrt2\sin(1000t + \frac{\pi}{2}) = 4\sqrt2\cos(1000t)$, quindi $\bar J = 4$.
• $\dot Z_{C1} = \dot Z_{C2} = -j10$, $\ \dot Z_L = j10$, $\ R = 5$.
• Risonanza serie: Nel ramo $C_2$–$L$ si ha $\dot Z_{C2} + \dot Z_L = 0$ a $\omega = 1000$. Il ramo si comporta come un cortocircuito: $\bar U_N = 0$.

2. Wattmetro e potenza attiva

• Tensione misurata: $\bar V_W = \bar E = 20(1 + j)$.
• Impedenza equivalente sinistra ($R \parallel C_1$): $$\dot Z_1 = \frac{5(-j10)}{5 - j10} = 4 - j2$$
• Corrente misurata: $$\bar I_W = \frac{\bar E}{\dot Z_1} = \frac{20(1 + j)}{2(2 - j)} = 2(1 + 3j)$$
• Potenza complessa e lettura: $$\dot S_W = \bar V_W\, \bar I_W^* = 20(1 + j) \cdot 2(1 - 3j) = 160 - j80$$ $$\boxed{P_W = \mathrm{Re}(\dot S_W) = 160\ \mathrm W}$$ Controllo: è la potenza dissipata in $R$, che ha ai capi $\bar E$: $E^2/R = 800/5 = 160\ \mathrm W$ ✓.

3. Potenza reattiva di $C_2$

• LKC al nodo N (entra $\bar J$, esce $\bar I_W$ verso il GIT e il resto va nel ramo $C_2$–$L$, $\bar I_{C2} = \bar J - \bar I_W$): $$\bar I_{C2} = 4 - 2(1 + 3j) = 2 - j6, \qquad I_{C2}^2 = 4 + 36 = 40$$ $$\boxed{Q_{C2} = X_{C2}\, I_{C2}^2 = -10 \cdot 40 = -400\ \mathrm{VAR}}$$ $Q_L = +400\ \mathrm{VAR}$: nel ramo in risonanza le reattive si compensano e la tensione totale del ramo è zero, pur con $I_{C2} \approx 6{,}3\ \mathrm A$.