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Note per Studenti Esercizio 3.12 - wattmetro a valore medio

Esercizio 3.12 - wattmetro a valore medio

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Testo (Eserciziario, es. 3.12). Rete a regime sinusoidale con R=10 ΩR = 10\ \Omega, L=20 mHL = 20\ \mathrm{mH}, C=100 μFC = 100\ \mu\mathrm F e il GIC j(t)=10cos⁡(1000t+π4)j(t) = 10\cos\left(1000t + \frac{\pi}{4}\right). Calcolare il valore PWP_W letto dal wattmetro ideale a valore medio.

Figura (descritta). A sinistra il GIC (freccia in giù). A destra, tra il filo superiore e quello inferiore, due rami in parallelo: RR in serie a CC, e LL. Il wattmetro ha i morsetti amperometrici sul filo superiore (la corrente misurata va dal lato del GIC verso i due rami, entrando nel morsetto contrassegnato) e quelli voltmetrici tra il filo superiore (++) e quello inferiore.

Risultato: PW=1000 WP_W = 1000\ \mathrm W.

Teoria: Potenza in regime sinusoidaleCon v e i sinusoidali la potenza istantanea p(t) = VI cos φ + VI cos(2ωt + φv + φi) oscilla a pulsazione 2ω. La sua media è la potenza attiva P = VI cos φ (watt). La potenza complessa Ṡ = V̄ Ī* = P + jQ ha per parte immaginaria la potenza reattiva Q = VI sin φ (VAR) e per modulo la potenza apparente S = VI (VA). cos φ = P/S è il fattore di potenza. Con un'impedenza: P = R I², Q = X I²; Q_L = ωL I² > 0, Q_C = -ωC V² < 0. In una rete si conservano la potenza complessa, attiva e reattiva (teorema di Boucherot).Potenza in regime sinusoidale →.

1. Cosa misura il wattmetro

Con la corrente misurata che entra nei rami di destra e la tensione presa con il ++ in alto, il wattmetro legge la potenza attiva entrante nel gruppo dei due rami RR–CC e LL. Poiché LL e CC non assorbono potenza attiva, è la potenza dissipata in RR.

2. Rete simbolica

Fasore del generatore. Ampiezza 1010, quindi valore efficace 10/2=5210/\sqrt2 = 5\sqrt2:

Jˉ=52 ejπ/4=5+j5\bar J = 5\sqrt2\, e^{j\pi/4} = 5 + j5

Impedenze a ω=1000 rad/s\omega = 1000\ \mathrm{rad/s}: Z˙L=j20\dot Z_L = j20,  Z˙C=−j1000⋅10−4=−j10\ \dot Z_C = -\frac{j}{1000 \cdot 10^{-4}} = -j10,  Z˙R=10\ \dot Z_R = 10.

Ammettenze dei due rami:

Y˙RC=110−j10=10+j10200=0,05+j0,05,Y˙L=1j20=−j0,05\dot Y_{RC} = \frac{1}{10 - j10} = \frac{10 + j10}{200} = 0{,}05 + j0{,}05, \qquad \dot Y_L = \frac{1}{j20} = -j0{,}05

Y˙=0,05+j0,05−j0,05=0,05 S\dot Y = 0{,}05 + j0{,}05 - j0{,}05 = 0{,}05\ \mathrm S

Le suscettanze si annullano: visto dal generatore il gruppo è un resistore da 20 Ω20\ \Omega.

3. Tensione e potenza

Il GIC fissa la corrente totale nel gruppo (in modulo J=52J = 5\sqrt2); la tensione ha modulo

V=J∣Y˙∣=520,05=1002 VV = \frac{J}{|\dot Y|} = \frac{5\sqrt2}{0{,}05} = 100\sqrt2\ \mathrm V

(il verso del GIC cambia solo il segno del fasore, non il modulo). La potenza attiva entrante nel gruppo è GV2G V^2:

PW=Re(Y˙) V2=0,05⋅20 000=1000 W\boxed{P_W = \mathrm{Re}(\dot Y)\, V^2 = 0{,}05 \cdot 20\,000 = 1000\ \mathrm W}

4. Verifica sul resistore

Nel ramo RR–CC: IRC=V ∣Y˙RC∣=1002⋅0,052=10 AI_{RC} = V\, |\dot Y_{RC}| = 100\sqrt2 \cdot 0{,}05\sqrt2 = 10\ \mathrm A, quindi PR=R IRC2=10⋅100=1000 WP_R = R\, I_{RC}^2 = 10 \cdot 100 = 1000\ \mathrm W ✓.

Potenza reattiva dei due rami: QL=V2ωL=20 00020=1000 VARQ_L = \frac{V^2}{\omega L} = \frac{20\,000}{20} = 1000\ \mathrm{VAR},  QC=−IRC2ωC=−10⋅100=−1000 VAR\ Q_C = -\frac{I_{RC}^2}{\omega C} = -10 \cdot 100 = -1000\ \mathrm{VAR}. Si compensano esattamente: è un piccolo esempio di rifasamentoRifasare un carico ohmico-induttivo (P, cos φ) vuol dire mettergli in parallelo un condensatore che fornisca parte della sua potenza reattiva: P resta uguale, Q e la corrente di linea diminuiscono. Per portare il fattore di potenza da cos φ a cos φ': C = P (tan φ - tan φ') / (ω V²); rifasamento completo con tan φ' = 0. Massimo trasferimento di potenza attiva: un carico Ż collegato a un equivalente di Thévenin (Ē_eq, Ż_eq) riceve la massima potenza attiva quando Ż = Ż_eq* (impedenza coniugata), e allora P_max = E_eq² / (4 R_eq).Rifasamento e massimo trasferimento di potenza attiva → completo.

Versione ripasso

Testo (Eserciziario, es. 3.12). Rete a regime sinusoidale con R=10 ΩR = 10\ \Omega, L=20 mHL = 20\ \mathrm{mH}, C=100 μFC = 100\ \mu\mathrm F e il GIC j(t)=10cos⁡(1000t+π4)j(t) = 10\cos\left(1000t + \frac{\pi}{4}\right). Calcolare il valore PWP_W letto dal wattmetro ideale a valore medio.

Figura (descritta). A sinistra il GIC (freccia in giù). A destra, tra il filo superiore e quello inferiore, due rami in parallelo: RR in serie a CC, e LL. Il wattmetro ha i morsetti amperometrici sul filo superiore (la corrente misurata va dal lato del GIC verso i due rami, entrando nel morsetto contrassegnato) e quelli voltmetrici tra il filo superiore (++) e quello inferiore.

Risultato: PW=1000 WP_W = 1000\ \mathrm W.

Teoria: Potenza in regime sinusoidaleCon v e i sinusoidali la potenza istantanea p(t) = VI cos φ + VI cos(2ωt + φv + φi) oscilla a pulsazione 2ω. La sua media è la potenza attiva P = VI cos φ (watt). La potenza complessa Ṡ = V̄ Ī* = P + jQ ha per parte immaginaria la potenza reattiva Q = VI sin φ (VAR) e per modulo la potenza apparente S = VI (VA). cos φ = P/S è il fattore di potenza. Con un'impedenza: P = R I², Q = X I²; Q_L = ωL I² > 0, Q_C = -ωC V² < 0. In una rete si conservano la potenza complessa, attiva e reattiva (teorema di Boucherot).Potenza in regime sinusoidale →.

Metodo: Potenza in regime sinusoidaleCon v e i sinusoidali la potenza istantanea p(t) = VI cos φ + VI cos(2ωt + φv + φi) oscilla a pulsazione 2ω. La sua media è la potenza attiva P = VI cos φ (watt). La potenza complessa Ṡ = V̄ Ī* = P + jQ ha per parte immaginaria la potenza reattiva Q = VI sin φ (VAR) e per modulo la potenza apparente S = VI (VA). cos φ = P/S è il fattore di potenza. Con un'impedenza: P = R I², Q = X I²; Q_L = ωL I² > 0, Q_C = -ωC V² < 0. In una rete si conservano la potenza complessa, attiva e reattiva (teorema di Boucherot).Potenza in regime sinusoidale → tramite analisi fasoriale, ammettenza equivalente del carico e formula della potenza attiva.

Il wattmetro legge la potenza attiva entrante nel gruppo dei due rami; LL e CC non assorbono potenza attiva, quindi è quella dissipata in RR.

  1. Fasore del generatore (ampiezza 1010, efficace 525\sqrt2): Jˉ=52 ejπ/4=5+j5\bar J = 5\sqrt2\, e^{j\pi/4} = 5 + j5.
  2. Impedenze a ω=1000 rad/s\omega = 1000\ \mathrm{rad/s}: Z˙L=j20\dot Z_L = j20,  Z˙C=−j10\ \dot Z_C = -j10,  Z˙R=10\ \dot Z_R = 10.
  3. Ammettenze: Y˙RC=0,05+j0,05\dot Y_{RC} = 0{,}05 + j0{,}05,  Y˙L=−j0,05\ \dot Y_L = -j0{,}05,  Y˙=0,05 S\ \dot Y = 0{,}05\ \mathrm S.
  4. Tensione e potenza: V=J∣Y˙∣=520,05=1002 VV = \frac{J}{|\dot Y|} = \frac{5\sqrt2}{0{,}05} = 100\sqrt2\ \mathrm V, da cui PW=Re(Y˙) V2=0,05⋅20 000=1000 W\boxed{P_W = \mathrm{Re}(\dot Y)\, V^2 = 0{,}05 \cdot 20\,000 = 1000\ \mathrm W}.

Verifica sul resistore: IRC=V ∣Y˙RC∣=10 AI_{RC} = V\,|\dot Y_{RC}| = 10\ \mathrm A, PR=10⋅100=1000 WP_R = 10 \cdot 100 = 1000\ \mathrm W ✓. Le potenze reattive QL=1000 VARQ_L = 1000\ \mathrm{VAR} e QC=−1000 VARQ_C = -1000\ \mathrm{VAR} si compensano (le suscettanze si annullano: il gruppo vale un resistore da 20 Ω20\ \Omega).

Errori tipici: usare il valore di picco invece di quello efficace per il fasore; dimenticare che le suscettanze reattive opposte si annullano nel parallelo.

Teoria collegata