Il diodo a giunzione - equazione, modelli e piccolo segnale

Caratteristica

Formula (caratteristica del diodo a giunzione). Il diodo è una giunzione pn (Giunzione pn - potenziale di contatto e zona di svuotamentoMettendo a contatto un semiconduttore p e uno n le lacune diffondono verso n e gli elettroni verso p lasciando una zona di svuotamento di ioni fissi, con un campo che frena la diffusione. In equilibrio tra le regioni quasi neutre c'è il potenziale di contatto Φ0 = V_T ln(N_A N_D / n_i^2), la zona ha larghezza W = sqrt[(2ε/q)(1/N_A + 1/N_D) Φ0] e campo massimo E_max = 2Φ0/W. Con tensione diretta V la barriera scende a Φ0 − V e W(V) = W0 sqrt(1 − V/Φ0); il comportamento è quello di una capacità C_j = C_j0/sqrt(1 − V/Φ0). La corrente è I = I_S (e^{V/V_T} − 1). Ai morsetti di un diodo isolato la tensione è nulla: Φ0 non si misura con un voltmetro.Giunzione pn - potenziale di contatto e zona di svuotamento →) con due morsetti: anodo (lato p) e catodo (lato n). Con la tensione $V_D$ (anodo meno catodo) e la corrente $I_D$ (entrante nell'anodo):

$$I_D=I_S\left(e^{V_D/V_T}-1\right).$$

• $V_D>0$ di pochi $V_T$: $I_D\simeq I_Se^{V_D/V_T}$, esponenziale: la corrente cresce di un fattore 10 ogni $V_T\ln10\simeq58\ \mathrm{mV}$ (a $V_T=25\ \mathrm{mV}$). Per questo, su un grande intervallo di corrente, la tensione resta vicina a $0{,}6$–$0{,}7\ \mathrm V$.
• $V_D<0$: $I_D\simeq-I_S$ (pochi femtoampere nel silicio): il diodo è interdetto.
• La tensione a corrente fissata cala di circa $2\ \mathrm{mV/^\circ C}$ con la temperatura.

Esempio. Con $I_S = 10^{-14}\ \mathrm A$ e $V_D = 0{,}65\ \mathrm V$: $I_D \simeq I_S\,e^{0{,}65/0{,}025} \approx 2{,}0\ \mathrm{mA}$; ogni $58\ \mathrm{mV}$ in più moltiplicano la corrente per $10$.

Soluzione esatta di una rete con un diodo

Principio (retta di carico: soluzione di una rete con un diodo). Un diodo in serie a $R$ con generatore $E$: l'equazione $\dfrac{E-V_D}{R}=I_S(e^{V_D/V_T}-1)$ non ha soluzione elementare. Si risolve per iterazione o graficamente con la retta di carico ($I=(E-V)/R$) tracciata sulla caratteristica: il punto di lavoro è l'intersezione.

Esempio: $E=5\ \mathrm V$, $R=1\ \mathrm{k\Omega}$, $I_S=10^{-14}\ \mathrm A$. Partendo da $I=4{,}3\ \mathrm{mA}$: $V_D=V_T\ln\frac{I}{I_S}=0{,}025\ln(4{,}3\cdot10^{11})=0{,}6696\ \mathrm V$; $I=(5-0{,}6696)/1\ \mathrm{k\Omega}=4{,}330\ \mathrm{mA}$; ripetendo converge a $V_D=0{,}6699\ \mathrm V$, $I_D=4{,}33\ \mathrm{mA}$ (verificato con un risolutore numerico). Con il modello a tensione costante $V_\gamma=0{,}7\ \mathrm V$ si avrebbe $I=4{,}3\ \mathrm{mA}$: l'errore sulla corrente è dello $0{,}7\%$. Convergenza velocissima perché la tensione dipende dal logaritmo della corrente.

Modelli semplificati

Definizione (modelli semplificati del diodo).

Modello	Diodo ON	Diodo OFF
ideale	corto circuito ($V_D=0$), vale se $I_D>0$	circuito aperto ($I_D=0$), vale se $V_D<0$
con soglia $V_\gamma$	generatore di tensione $V_\gamma$ (anodo $+$): $V_D=V_\gamma$, vale se $I_D>0$	circuito aperto, vale se $V_D<V_\gamma$
lineare a tratti	$V_D=V_\gamma+r_DI_D$, vale se $I_D>0$	circuito aperto, vale se $V_D<V_\gamma$

Esempio. Con il modello a soglia $V_\gamma = 0{,}7\ \mathrm V$, $E = 5\ \mathrm V$ e $R = 1\ \mathrm{k\Omega}$: $I = (5 - 0{,}7)/1\ \mathrm{k\Omega} = 4{,}3\ \mathrm{mA}$, positiva, quindi il diodo è davvero ON.

In ogni tratto il diodo è un componente lineare: la rete a diodi diventa lineare a tratti. Con il modello ideale il diodo è un interruttore comandato dalle sue stesse grandezze (Bipoli adinamici, GIC e diodo idealeUn bipolo adinamico lega solo i valori istantanei di tensione e corrente, f(v,i) = 0, e si rappresenta con una curva nel piano v-i (caratteristica esterna). Oltre a resistore, cortocircuito, circuito aperto e GIT ci sono il GIC (i = j per ogni v), l'interruttore (aperto o chiuso a seconda dell'istante) e il diodo ideale (circuito aperto per v < 0, cortocircuito per i > 0). Un bipolo è controllato in corrente se v si può scrivere come funzione di i, controllato in tensione se i si può scrivere come funzione di v.Bipoli adinamici, GIC e diodo ideale →).

Soluzione di una rete a diodi

Con $N$ diodi ci sono $2^N$ combinazioni di stato (ON/OFF). Procedura:

Proprietà (soluzione di una rete a diodi per ipotesi e verifica).

1. Ipotesi sullo stato di ogni diodo (di solito: si parte da quello più plausibile) e sostituzione di ciascun diodo con il circuito corrispondente (corto/aperto, o generatore $V_\gamma$);
2. soluzione della rete lineare risultante;
3. verifica delle condizioni: per un diodo ipotizzato ON, $I_D>0$; per uno ipotizzato OFF, $V_D<V_\gamma$ (o $<0$ nell'ideale);
4. se una verifica fallisce si cambia l'ipotesi e si ripete; si arriva a una combinazione coerente (tipicamente unica, per la tensione d'ingresso data).

Esempio. Diodo ideale in serie a $R = 1\ \mathrm{k\Omega}$: con $E = 5\ \mathrm V$ l'ipotesi ON dà $I = 5\ \mathrm{mA} > 0$ (vera); con $E = -5\ \mathrm V$ darebbe $I = -5\ \mathrm{mA} < 0$ (falsa), quindi il diodo è OFF con $I = 0$ e $V_D = -5\ \mathrm V < 0$.

Se la tensione d'ingresso varia in un intervallo si cerca, per ogni combinazione coerente, per quali valori dell'ingresso è valida: sono gli intervalli della transcaratteristica (Reti a diodi e transcaratteristicheLa transcaratteristica V_out = f(V_in) di una rete con diodi (ideali o con soglia V_γ) e resistori è una spezzata: per ogni combinazione di stati dei diodi la rete è lineare e V_out è una retta; i punti di spezzamento sono i valori di V_in in cui un diodo cambia stato (corrente nulla per un diodo ON, tensione nulla/V_γ per uno OFF). Si costruisce con la tabella stati-intervalli-pendenze. Con un opamp la presenza dei diodi nel ramo non ne interrompe la retroazione finché c'è un altro percorso di retroazione negativa.Reti a diodi e transcaratteristiche →).

Diodo Zener

Definizione (diodo Zener). Un diodo costruito per lavorare in breakdown inverso: oltre una tensione inversa $V_Z$ la corrente inversa cresce rapidamente, con tensione quasi costante (effetto Zener o a valanga). Modello ideale in tre stati:

• $V_D\ge0$ e $I_D>0$: ON diretto, $V_D=0$ (o $V_\gamma$);
• $-V_Z<V_D<0$: OFF, $I_D=0$;
• $V_D=-V_Z$ con $I_D<0$ (corrente nel verso catodo-anodo): breakdown, il diodo è un generatore di tensione $V_Z$.

Con resistenza dinamica $r_z$ (pendenza nel breakdown) $V=V_Z+r_zI_Z$.

Esempio. Zener con $V_Z = 5{,}6\ \mathrm V$: con $-3\ \mathrm V$ ai capi è OFF ($I_D = 0$); con una tensione inversa che tenderebbe a superare $5{,}6\ \mathrm V$ va in breakdown e $V_D = -5{,}6\ \mathrm V$.

Stabilizzatore a Zener. Zener in parallelo al carico $R_L$, alimentato da $V_{in}$ tramite $R$. Esempio: $V_{in}=12\ \mathrm V$, $R=220\ \Omega$, $V_Z=5{,}6\ \mathrm V$, $R_L=1\ \mathrm{k\Omega}$: con lo Zener nel breakdown $V_{out}=5{,}6\ \mathrm V$; $I_R=(12-5{,}6)/220=29{,}1\ \mathrm{mA}$, $I_L=5{,}6\ \mathrm{mA}$, $I_Z=I_R-I_L=23{,}5\ \mathrm{mA}>0$: l'ipotesi (breakdown) è verificata. Se $V_{in}$ varia di $\pm2\ \mathrm V$ con $r_z=10\ \Omega$ l'uscita varia di $\Delta V_{out}=\Delta V_{in}\dfrac{r_z\|R_L}{R+r_z\|R_L}=2\cdot\dfrac{9{,}9}{229{,}9}=0{,}086\ \mathrm V$: l'ingresso varia di $2\ \mathrm V$ e l'uscita di meno di $0{,}1\ \mathrm V$.

Modello a piccolo segnale

Formula (resistenza differenziale del diodo). Con una polarizzazione $(V_D,I_D)$ e un piccolo segnale sovrapposto, la tangente (Amplificatori reali, punto di lavoro e piccoli segnaliUn amplificatore reale è non lineare: la tensione di uscita satura vicino alle alimentazioni e solo in un piccolo intorno di un punto di lavoro Q segue una retta, la tangente alla transcaratteristica. Per questo ogni stadio si studia in due fasi separate: polarizzazione (solo generatori costanti, condensatori aperti) e segnale (generatori costanti spenti, condensatori di accoppiamento e di bypass in corto, transistor sostituito dal modello a piccolo segnale). La sovrapposizione vale solo per le due componenti separate, non per il circuito intero.Amplificatori reali, punto di lavoro e piccoli segnali →) dà una conduttanza $$\frac1{r_d}=\frac{dI_D}{dV_D}=\frac{I_S}{V_T}e^{V_D/V_T}\simeq\frac{I_D}{V_T}\quad\Longrightarrow\quad r_d=\frac{V_T}{I_D}=\frac{25\ \mathrm{mV}}{I_D}.$$

Esempio. Con $I_D = 4{,}33\ \mathrm{mA}$ si ha $r_d = V_T/I_D = 25\ \mathrm{mV}/4{,}33\ \mathrm{mA} \approx 5{,}8\ \Omega$.

Il diodo, per le variazioni, è una resistenza che dipende dalla corrente di riposo. Esempio: nel circuito precedente $I_D=4{,}33\ \mathrm{mA}$, quindi $r_d=25/4{,}33=5{,}8\ \Omega$; se in serie al generatore da $5\ \mathrm V$ si aggiunge un piccolo segnale di $10\ \mathrm{mV}$ la variazione di tensione sul diodo è $10\cdot\dfrac{5{,}8}{1000+5{,}8}=0{,}057\ \mathrm{mV}$ (partitore tra $R$ e $r_d$; la tensione sul diodo praticamente non cambia: la corrente varia di $10\ \mathrm{mV}/1005{,}8\ \Omega=9{,}9\ \mu\mathrm A$). Il diodo come attenuatore controllato in corrente (la resistenza $r_d$ cambia con $I_D$) si usa nei circuiti a controllo automatico del guadagno.

Errori comuni

• Dimenticare di verificare le ipotesi sugli stati dei diodi.
• Applicare il modello con $V_\gamma$ e dimenticare di usare $V_\gamma$ anche nelle condizioni di verifica.
• Usare $r_d=V_T/I_D$ con la corrente di piccolo segnale invece che con quella di riposo.
• Orientare lo Zener come un diodo normale: il breakdown avviene con la tensione inversa.