Amplificatori reali, punto di lavoro e piccoli segnali

La transcaratteristica di un amplificatore reale

La transcaratteristica è il grafico della tensione d'uscita in funzione di quella d'ingresso. Per un amplificatore reale ha tre caratteristiche: non è una retta; l'uscita non può superare le tensioni di alimentazione (saturazione); vicino all'origine la pendenza è alta, ed è quella pendenza a dare il guadagno. Per questo servono due alimentazioni ($V_{CC}$ e $V_{EE}$) se l'uscita deve poter essere sia positiva sia negativa.

Anche nel tratto "lineare" la curva non è perfettamente una retta: lo scostamento dalla proporzionalità è la distorsione. Con segnali sinusoidali la proporzionalità si intende tra le ampiezze, non tra i valori istantanei (ingresso e uscita possono essere sfasati).

Simbologia dei segnali

I circuiti elettronici sono non lineari, quindi si separano sempre la parte continua (polarizzazione) e la parte variabile (segnale). La notazione distingue le due componenti:

Linearizzazione: il modello a piccolo segnale

Definizione (modello a piccolo segnale: linearizzazione in un punto di lavoro). Sia $i=f(v)$ la caratteristica di un componente non lineare (un diodo, un MOSFET). Si sceglie un punto di lavorodetto anche punto di riposo o quiescente: i valori continui di tensione e di corrente del dispositivo quando il segnale è spento $Q=(V_Q,I_Q)$ e si scrive $v=V_Q+v_{ac}$. Con lo sviluppo in serie di Taylor di punto iniziale $V_Q$: $$i=f(V_Q)+f'(V_Q)\,v_{ac}+\tfrac12f''(V_Q)\,v_{ac}^2+\cdots=I_Q+\underbrace{f'(V_Q)}_{g}\,v_{ac}+\cdots$$ Se $v_{ac}$ è abbastanza piccolo si trascurano i termini dal secondo ordine in poi: la variazione di corrente è proporzionale a quella di tensione con costante $g=f'(V_Q)$, la pendenza della tangente in $Q$. Quella costante è il parametro differenziale ($g_m$, $1/r_d$, ...) e si calcola nel punto di lavoro: cambia se cambia la polarizzazione.

Esempio. Per $I_D = k(V_{GS} - V_t)^2$ con $k = 1\ \mathrm{mA/V^2}$ e $V_t = 1\ \mathrm V$ in $V_{GS} = 2\ \mathrm V$: $I_Q = 1\ \mathrm{mA}$ e $g_m = f'(V_Q) = 2k(V_{GS} - V_t) = 2\ \mathrm{mS}$.

Esempio numerico (MOSFET). Caratteristica $I_D=k(V_{GS}-V_t)^2$ con $k=1\ \mathrm{mA/V^2}$, $V_t=1\ \mathrm V$, polarizzato in $V_{GS}=2\ \mathrm V$ con $V_{DD}=10\ \mathrm V$ e $R_D=5\ \mathrm{k\Omega}$.

• Punto di lavoro: $I_D=1\cdot(2-1)^2=1\ \mathrm{mA}$, $V_{DS}=10-5\cdot1=5\ \mathrm V>V_{GS}-V_t=1\ \mathrm V$ (zona di saturazione).
• Parametro: $g_m=\dfrac{dI_D}{dV_{GS}}=2k(V_{GS}-V_t)=2\ \mathrm{mS}$.
• Guadagno di piccolo segnale: $v_{out}=-R_Di_d=-g_mR_Dv_{gs}$, cioè $A_v=-2\cdot5=-10$.
• Con un segnale di ampiezza $50\ \mathrm{mV}$: corrente alternata $g_m\cdot0{,}05=0{,}1\ \mathrm{mA}$ e uscita di ampiezza $0{,}5\ \mathrm V$.

Quanto è piccolo "piccolo"? Il termine trascurato è $k\,v_{ac}^2$ (seconda armonica). La corrente è $i=k(V_{GS}-V_t+v_{ac})^2=I_Q+g_mv_{ac}+kv_{ac}^2$ e il rapporto tra la seconda armonica e la fondamentale per $v_{ac}=a\sin\omega t$ è $\dfrac{ka^2/2}{g_ma}=\dfrac{a}{4(V_{GS}-V_t)}$. Con $a=50\ \mathrm{mV}$ e $V_{GS}-V_t=1\ \mathrm V$ la distorsione armonica è $1{,}25\%$ (verificato con la trasformata di Fourier discreta della corrente: $1{,}25\cdot10^{-6}\ \mathrm A$ di seconda armonica contro $0{,}1\ \mathrm{mA}$ di fondamentale). Più è grande la tensione di overdrive $V_{GS}-V_t$, più grande può essere il segnale a parità di distorsione: è il motivo per cui i MOSFET sopportano segnali più ampi dei BJT.

Procedura in due fasi

Fase 1: polarizzazione (analisi in continua). Si spengono i generatori di segnale. I condensatori sono circuiti aperti, le induttanze cortocircuiti (a regime nulla varia nel tempo). Si ipotizza la zona di funzionamento di ogni transistor (zona attiva diretta per il BJT, saturazione per il MOSFET), si usano le sue equazioni "per grandi segnali" e si verifica l'ipotesi. Il risultato è il punto di lavoro: $I_C,V_{CE}$ (BJT), $I_D,V_{DS}$ (MOSFET).

Fase 2: segnale (analisi alle variazioni).

1. Dai valori di polarizzazione si calcolano i parametri differenziali: $g_m,r_\pi,r_o$ (Modello a piccolo segnale del BJTPer piccole variazioni attorno al punto di lavoro il BJT in zona attiva diretta si comporta come una rete lineare: tra base ed emettitore la resistenza r_π = β0/g_m, tra collettore ed emettitore il generatore pilotato g_m v_π in parallelo alla resistenza r_o. I parametri dipendono solo dalla polarizzazione: g_m = |I_CQ|/V_T (≈ 40 mS per mA), r_π = β0/g_m, r_o = (V_A + V_CE)/I_C. Il modello è unidirezionale (nessun effetto del collettore sulla base). Un transistor con base e collettore in corto (collegamento a diodo) si comporta come resistenza 1/(g_m + 1/r_π) ≈ 1/g_m.Modello a piccolo segnale del BJT →, Amplificatori a MOSFET - source comune, drain comune e gate comuneGli stadi a MOSFET si ricavano da quelli a BJT con r_π → ∞ (nessuna corrente di gate): sono tutti unidirezionali (g12 = 0). Source comune: g21 = −g_m R_D/(1 + g_m R_S1), g11 = 1/R_G, g22 = R_D. Drain comune (inseguitore di source): A_v = g_m R_S'/(1 + g_m R_S'), R_out = R_S ∥ 1/g_m. Gate comune: g21 = g_m R_D, R_in = R_S ∥ 1/g_m. Il guadagno complessivo con sorgente e carico è A_v = [R_G/(R_g+R_G)]·g21·[R_L/(R_out+R_L)]. Con λ ≠ 0 compare r_o in parallelo a R_D; con resistenza di source non bypassata la resistenza di uscita del transistor sale a r_o(1+g_m R_S1)+R_S1.Amplificatori a MOSFET - source comune, drain comune e gate comune →).
2. Nel circuito si spengono i generatori continui (generatore di tensione $\to$ cortocircuito verso massa; generatore di corrente $\to$ circuito aperto), perché sono costanti e non fanno variazioni.
3. I condensatori di accoppiamento e di bypass si considerano cortocircuiti ("in banda": alle frequenze del segnale la loro impedenza è trascurabile).
4. Ogni transistor si sostituisce con il suo circuito equivalente di piccolo segnale e si risolve la rete lineare che ne risulta: guadagno, resistenza di ingresso, resistenza di uscita.

Si può usare la sovrapposizione degli effetti solo in questo senso: continuo e segnale separatamente. Nel circuito intero i due contributi non si sommano linearmente perché i dispositivi sono non lineari.

Perché i condensatori

• Accoppiamento (in serie al generatore di segnale e al carico): bloccano la continua. Senza il condensatore all'ingresso, con $R_s$ piccola il generatore (che ha tensione continua nulla) porterebbe la base o il gate a massa e il transistor non sarebbe polarizzato; lo stesso vale per il carico, che sposterebbe il punto di lavoro. Con i condensatori la polarizzazione non dipende da $R_s$ e $R_L$.
• Bypass (in parallelo a una resistenza, per esempio $R_E$ o $R_S$): la resistenza serve per stabilizzare il punto di lavoro, ma ridurrebbe il guadagno. Il condensatore la "cortocircuita" per il segnale lasciando intatta la polarizzazione.

Perché siano cortocircuiti in banda serve $\omega C\gg$ alla conduttanza che mettono in parallelo (per un bypass del BJT: $\omega C_E\gg g_m$). Alle basse frequenze l'impedenza del condensatore cresce e il guadagno scende: è la prima causa della banda limitata, studiata con i diagrammi di Bode (Funzione di trasferimento e diagrammi di BodeLa risposta in frequenza di un amplificatore è A(jω) = A(s) con s = jω. Scritta in forma fattorizzata (costante, zeri e poli come fattori (1+s/ω_i)), modulo in dB e fase si ottengono sommando i contributi di ogni fattore. Diagramma asintotico del modulo: polo = −20 dB/decade dopo ω_p, zero = +20 dB/decade, polo o zero nell'origine = pendenza costante ±20 dB/dec; fase: ogni polo (zero) reale aggiunge −90° (+90°) con un tratto lineare che parte da ω/10 e finisce in 10ω (±45°/decade). Per un ingresso sinusoidale A sin(ω0 t + φ) l'uscita è |A(jω0)| A sin(ω0 t + φ + ∠A(jω0)).Funzione di trasferimento e diagrammi di Bode →).

I decibel

Definizione (decibel). Per rapporti di ampiezza (tensioni, correnti) $G_{dB}=20\log_{10}|G|$; per rapporti di potenza $10\log_{10}$. Valori da ricordare:

guadagno in ampiezza	1	2	10	20	100	1000	$1/\sqrt2$
dB	0	6	20	26	40	60	$-3$

Esempio. Un guadagno di tensione $100$ vale $20\log_{10}100 = 40\ \mathrm{dB}$; un guadagno di potenza $100$ vale $10\log_{10}100 = 20\ \mathrm{dB}$; due stadi da $20\ \mathrm{dB}$ e $26\ \mathrm{dB}$ danno $46\ \mathrm{dB}$.

Quindi $20\ \mathrm{dB}\to10$, $26\ \mathrm{dB}\to19{,}95\approx20$, $40\ \mathrm{dB}\to100$. Una cascata moltiplica i guadagni e somma i decibel.

Errori comuni

• Usare i valori continui nel circuito di piccolo segnale (i generatori costanti vanno spenti).
• Lasciare i condensatori aperti nell'analisi di segnale (in banda sono corti) o corti nell'analisi di polarizzazione (in continua sono aperti).
• Calcolare $g_m$ in un punto di lavoro diverso da quello effettivo.
• Scrivere $\log$ al posto di $20\log$ per un guadagno di tensione.