Specchi di corrente

Un generatore di correntebipolo che impone la corrente indipendentemente dalla tensione ai suoi capi ideale eroga una corrente fissata qualunque sia la tensione ai capi (resistenza di uscita infinita). Nei circuiti integrati serve per polarizzare gli stadi (per esempio la corrente di coda $I_{EE}$ dell'amplificatore differenziale: Amplificatore differenziale a BJTLa coppia differenziale (due BJT con gli emettitori collegati a un generatore di corrente di coda I_EE o a una resistenza R_EE) amplifica la differenza v_D = v_1 − v_2 e rigetta il modo comune. In polarizzazione I_C1 = I_C2 = I_EE/2. Per il modo differenziale l'emettitore è un punto a massa: guadagno differenziale tra i due collettori −g_m R_C (da un collettore a massa g_m R_C/2) e resistenza di ingresso differenziale 2r_π. Per il modo comune si ha un transistor con resistenza 2R_EE in emettitore: A_CM ≃ −R_C/(2R_EE) da un collettore a massa; CMRR ≃ g_m R_EE. Un generatore di corrente ideale come coda ha R_EE = ∞ e CMRR = ∞.Amplificatore differenziale a BJT →) e come carico attivo, perché si realizza con transistor, che sono facili da integrare, mentre resistori precisi e grandi no. Non è un vero generatore: è un circuito passivo (assorbe potenza) che mantiene praticamente costante la corrente che lo attraversa.

Generatori di corrente elementari

• Un solo transistor a emettitore (source) comune con $V_{BE}$ fissata: la corrente $I_C$ dipende dalla temperatura e non è costante al variare di $V_{CE}$ per l'effetto Early. La resistenza di uscita è $r_o$ (la pendenza della caratteristica, $1/r_o=\partial I_C/\partial V_{CE}$).
• Con resistenza di emettitore $R_E$: la retroazione di $R_E$ migliora la costanza (come nella polarizzazione a quattro resistenze, Polarizzazione del BJTPolarizzare un BJT significa fissare il punto di lavoro (I_C, V_CE). Con il circuito a quattro resistenze si sostituisce il partitore di base con il suo equivalente di Thévenin (V_B, R_B): I_B = (V_B − V_BE)/(R_B + (1+β_F)R_E), I_C = β_F I_B, V_CE = V_CC − R_C I_C − R_E(I_C + I_B). Poi si verifica l'ipotesi di zona attiva (I_B ≥ 0 e V_CE ≥ V_CE,sat); se è falsa si riscrive il sistema in saturazione con V_CE = V_CE,sat. La stabilità rispetto a β_F e a V_BE è migliore se R_B ≪ β_F R_E. Con accoppiamento diretto tra stadi la corrente di base del secondo transistor entra nell'equazione del nodo di collegamento.Polarizzazione del BJT →) e aumenta la resistenza di uscita $$r_g=r_o\big[1+g_m\,(r_\pi\|R_E)\big]+(r_\pi\|R_E)\simeq r_o\big[1+g_m\,(r_\pi\|R_E)\big]\gg r_o$$ (stessa formula dello stadio a emettitore comune con degenerazione: Amplificatori a BJT - emettitore comune, collettore comune e base comuneGli stadi elementari a BJT si distinguono dal terminale comune a ingresso e uscita. Emettitore comune: guadagno di tensione alto e invertente, A_v = −β0 R_C/(r_π + R_E1(1+β0)) (−g_m R_C con l'emettitore in bypass), R_out = R_C. Collettore comune (inseguitore di emettitore): A_v ≈ 1, R_in alta, R_out bassa (≈ 1/g_m). Base comune: A_v = g_m(R_C∥R_L) non invertente, R_in ≈ 1/g_m bassa, R_out = R_C. Per ogni stadio si disegna il circuito di piccolo segnale, si trova il doppio bipolo (g11, g21, g22) e il guadagno complessivo si ottiene con i due partitori di ingresso e di uscita.Amplificatori a BJT - emettitore comune, collettore comune e base comune →). Esempio: $I_C=1\ \mathrm{mA}$, $r_\pi=2{,}5\ \mathrm{k\Omega}$, $R_E=1\ \mathrm{k\Omega}$, $r_o=100\ \mathrm{k\Omega}$: $r_\pi\|R_E=0{,}714\ \mathrm{k\Omega}$, $g_m(r_\pi\|R_E)=28{,}6$ e $r_g\approx2{,}96\ \mathrm{M\Omega}$ ($\approx30\,r_o$; controllato). Il difetto: servono una resistenza e una tensione di riferimento precise, difficili da realizzare in un circuito integrato.

Specchio di corrente elementare (BJT)

Formula (specchio di corrente elementare a BJT). $Q_1$ ha base e collettore collegati (transistor a diodo, $V_{CB}=0$, in zona attiva diretta) ed è attraversato dalla corrente di riferimento $I_R$, imposta da un resistore: $I_R=\dfrac{V_{CC}+V_{EE}-V_{BE}}{R_B}$ (quindi $I_R$ è praticamente proporzionale all'alimentazione). $Q_2$ ha la stessa $V_{BE}$ di $Q_1$ (basi e emettitori collegati): se i due transistor sono identici e alla stessa temperatura hanno la stessa corrente di collettore $I_C$: $$I_R=I_C+I_{B1}+I_{B2}=I_C\Big(1+\frac{2}{\beta_F}\Big)\ \Longrightarrow\ \boxed{I_{C2}=I_R\,\frac{\beta_F}{\beta_F+2}\simeq I_R}$$

Il transistor $Q_2$ riproduce ("specchia") la corrente di riferimento, indipendentemente dal carico, purché $Q_2$ rimanga in zona attiva diretta ($V_{CE2}>V_{CE,sat}$, circa $0{,}2\ \mathrm V$; in realtà le correnti sono uguali esattamente solo per $V_{CE2}=V_{BE}$). L'errore dovuto alle correnti di base è $2/(\beta_F+2)$: $2\%$ per $\beta_F=100$.

Esempio: alimentazione totale $10\ \mathrm V$, $R_B=9{,}3\ \mathrm{k\Omega}$, $V_{BE}=0{,}7\ \mathrm V$: $I_R=1\ \mathrm{mA}$; con $\beta_F=100$ la corrente copiata è $I_{C2}=0{,}980\ \mathrm{mA}$. Per l'effetto Early con $V_A=100\ \mathrm V$, se $V_{CE2}=5\ \mathrm V$ (contro $V_{CE1}=V_{BE}=0{,}7\ \mathrm V$) la corrente è maggiore di un altro $(1+5/100)/(1+0{,}7/100)=1{,}043$ ($+4{,}3\%$): la resistenza di uscita è $r_g=r_o$ ($100\ \mathrm{k\Omega}$ per $I_C=1\ \mathrm{mA}$).

Specchio con rapporto diverso da 1. Nei circuiti integrati si possono fare transistor con area della base diversa: con la stessa $V_{BE}$ un'area doppia equivale a due transistor in parallelo e la corrente raddoppia; si ottengono rapporti di specchio qualsiasi, anche frazionari.

Correzioni dell'errore e miglioramenti

• Specchio con buffer di corrente di base (aggiunta di un terzo transistor $Q_3$, con emettitore sulle basi di $Q_1,Q_2$ e base sul collettore di $Q_1$): le correnti di base sono fornite da $Q_3$ e dividono l'errore per un fattore $\beta_F$: $I_C=I_R\dfrac{\beta_F(1+\beta_F)}{\beta_F(1+\beta_F)+2}$; con $\beta_F=100$ l'errore scende da $2\%$ a $0{,}02\%$.
• Specchio con resistenze di emettitore (uguali $R_E$ su $Q_1$ e $Q_2$): più simmetrico e resistenza di uscita $\simeq r_o[1+g_m(r_\pi\|R_E)]$, al prezzo di una tensione minima sul collettore più alta ($V_{C2,min}\simeq-V_{EE}+V_{CE,sat}+R_EI_C$).
• Specchio di Widlar ($R_E$ solo su $Q_2$): le due $V_{BE}$ non sono uguali: $V_{BE1}=V_{BE2}+R_EI_C$, da cui $I_C=I_Re^{-R_EI_C/V_T}$ e quindi $I_C<I_R$. Serve per correnti molto piccole senza resistenze enormi: si dimensiona $R_E=\dfrac{V_T}{I_C}\ln\dfrac{I_R}{I_C}$. Esempio: $I_R=1\ \mathrm{mA}$ e $I_C=10\ \mu\mathrm A$: $R_E=\dfrac{25\ \mathrm{mV}}{10\ \mu\mathrm A}\ln100=11{,}5\ \mathrm{k\Omega}$ (verificato risolvendo l'equazione trascendente: $I_C=10{,}0\ \mu\mathrm A$). Con lo specchio elementare servirebbe invece, per una corrente di riferimento di $10\ \mu\mathrm A$, un $R_B$ di $930\ \mathrm{k\Omega}$ (un resistore enorme da integrare), oppure, se si vuole mantenere $I_R=1\ \mathrm{mA}$, non si può ottenere $10\ \mu\mathrm A$ in uscita.
• Specchio cascode (quattro transistor, $Q_3$ in serie a $Q_1$ e $Q_4$ in serie a $Q_2$): la tensione $V_{CE2}$ è uguale a $V_{CE1}$ ($V_{CE3}=V_{CE4}$), quindi l'effetto Early di $Q_2$ non altera la corrente; la resistenza di uscita sale a $r_g\simeq r_o(1+\beta_0)$ (nell'esempio $100\ \mathrm{k\Omega}\cdot101\simeq10\ \mathrm{M\Omega}$): $Q_4$ si comporta come resistenza di emettitore (circa $r_o$) per $Q_2$. Corrente: $I_C\simeq I_R\dfrac{\beta_F}{\beta_F+3}$.
• Specchio di Wilson (tre transistor): rapporto più preciso, $I_C\simeq I_R\,[1-2/\beta_F^2]$, e resistenza di uscita molto alta, $r_g\simeq\dfrac{\beta_0\,r_o}2$ (nell'esempio $\dfrac{100\cdot100\ \mathrm{k\Omega}}2=5\ \mathrm{M\Omega}$), circa la metà di quella del cascode (con $\beta_F$ finito il risultato esatto dipende dai dettagli dello schema).

Specchi a MOSFET

Formula (specchio di corrente a MOSFET). Il MOSFET a diodo ($V_{DS}=V_{GS}$, gate-drain collegati) ha $I_D=k_1(V_{GS}-V_t)^2$; un secondo MOSFET con la stessa $V_{GS}$ ha $I_{D2}=k_2(V_{GS}-V_t)^2$, quindi $$I_{D2}=I_R\frac{k_2}{k_1}=I_R\frac{(W/L)_2}{(W/L)_1}\quad(\lambda=0).$$

Esempio. Con $I_R = 0{,}1\ \mathrm{mA}$ e $(W/L)_2/(W/L)_1 = 4$: $I_{D2} = 0{,}4\ \mathrm{mA}$.

Non c'è corrente di gate, quindi nessun errore da $\beta_F$; la resistenza di uscita è $r_o=1/(\lambda I_D)$, in genere maggiore che nei BJT: bastano strutture semplici. Rapporti variabili con continuità cambiando $W/L$. Esempio: $I_R=0{,}1\ \mathrm{mA}$ e rapporto $4$: $I_{D2}=0{,}4\ \mathrm{mA}$. Un MOSFET depletion con $V_{GS}=0$ ($I=I_{DSS}(1+\lambda V_{DS})\simeq I_{DSS}$) è un riferimento di corrente praticamente indipendente dall'alimentazione, con il quale si impone $I_R$ al posto del resistore.

Per i pnp e i p-MOS valgono le stesse relazioni con i segni invertiti.

Impieghi

• Polarizzazione dello stadio differenziale, dello stadio intermedio e dello stadio di uscita di un operazionale (un solo $I_R$ viene copiato in tutti i rami);
• carico attivo dello stadio differenziale: uno specchio come carico converte l'uscita differenziale in single-ended e dà resistenza di carico molto alta (guadagno elevato, dell'ordine di $g_mr_o$);
• generatori di corrente di coda e di precisione.

Tutte le relazioni valgono per dispositivi uguali e alla stessa temperatura.

Errori comuni

• Dimenticare di sommare le due correnti di base in $I_R=I_C+I_{B1}+I_{B2}$ (l'errore $2/(\beta_F+2)$).
• Usare lo specchio con $Q_2$ in saturazione (la corrente non è più copiata).
• Usare $R_E$ del Widlar con il rapporto sbagliato ($\ln(I_R/I_C)$, non $\ln(I_C/I_R)$).
• Confondere la resistenza di uscita ($r_o$, cascode, Wilson) con la resistenza del ramo di riferimento ($\simeq1/g_m$).