Equazione di continuità e portatori minoritari in eccesso

È l'argomento di una delle domande orali ricorrenti (Domande orali ricorrenti - elenco e tracce di rispostaDopo lo scritto il corso prevede una prova orale. Le domande ricorrenti sono una ventina e si riconducono a quattro gruppi: operazionale (integratore, non idealità, CMRR, strumentazione), giunzione pn e diodo (carica, campo, potenziale, larghezza, capacità, equazione di Shockley, raddrizzatori), transistor (BJT in zona attiva, modello del trasporto, effetto Early, piccolo segnale, MOSFET dalla struttura, stadi elementari) e circuiti integrati (differenziale, specchi di corrente). Per ogni domanda questa nota dà la traccia di risposta, le formule da saper scrivere e il rimando alla nota che contiene lo svolgimento.Domande orali ricorrenti - elenco e tracce di risposta →) e sta dietro all'equazione del diodo (Giunzione pn - potenziale di contatto e zona di svuotamentoMettendo a contatto un semiconduttore p e uno n le lacune diffondono verso n e gli elettroni verso p lasciando una zona di svuotamento di ioni fissi, con un campo che frena la diffusione. In equilibrio tra le regioni quasi neutre c'è il potenziale di contatto Φ0 = V_T ln(N_A N_D / n_i^2), la zona ha larghezza W = sqrt[(2ε/q)(1/N_A + 1/N_D) Φ0] e campo massimo E_max = 2Φ0/W. Con tensione diretta V la barriera scende a Φ0 − V e W(V) = W0 sqrt(1 − V/Φ0); il comportamento è quello di una capacità C_j = C_j0/sqrt(1 − V/Φ0). La corrente è I = I_S (e^{V/V_T} − 1). Ai morsetti di un diodo isolato la tensione è nulla: Φ0 non si misura con un voltmetro.Giunzione pn - potenziale di contatto e zona di svuotamento →) e al funzionamento del BJT.

Generazione e ricombinazione

In un semiconduttore drogato di tipo n in equilibrio le lacune (minoritarie) hanno la concentrazione $p_{n0}\simeq n_i^2/N_D$ (Semiconduttori - bande, drogaggio e legge di azione di massaNel silicio puro (intrinseco) ogni coppia elettrone-lacuna è creata dall'agitazione termica: n = p = n_i ≈ 1,5·10^10 cm^-3 a 300 K, con n_i^2 proporzionale a T^3 e^{-E_G/kT}. Il drogaggio con donatori (gruppo V) crea elettroni liberi (tipo n, n ≈ N_D), con accettori (gruppo III) crea lacune (tipo p, p ≈ N_A). Vale sempre la legge di azione di massa n·p = n_i^2 e la neutralità della carica p + N_D = n + N_A; con drogaggi compensati conta la differenza N_D − N_A.Semiconduttori - bande, drogaggio e legge di azione di massa →). Questa è un equilibrio dinamico: ogni secondo si formano coppie elettrone-lacuna per agitazione termica (velocità di generazione $G_0$) e altrettante si ricombinano ($R_0$), $G_0=R_0=n\,p_{n0}\,f_R(T)\simeq N_Dp_{n0}f_R(T)$.

Definizione (ricombinazione e tempo di vita medio dei minoritari). Se si porta il materiale fuori equilibrio (per esempio illuminandolo, o iniettando portatori con una giunzione polarizzata) compaiono lacune in eccesso $\Delta p=p-p_{n0}$. Ogni lacuna in più modifica pochissimo la concentrazione degli elettroni ($n\simeq N_D$, enorme) ma può cambiare molto quella delle lacune (che è piccolissima): per questo ci si occupa delle cariche di minoranza. La velocità di ricombinazione cresce con $p$ e si scrive $$R=\frac{p-p_{n0}}{\tau_p},$$ cioè ogni lacuna in eccesso vive in media $\tau_p$ (tempo di vita medio, $\tau_p=1/(N_Df_R(T))$).

Esempio. Con $\tau_p = 1\ \mu\mathrm s$ e un eccesso $\Delta p = 10^{14}\ \mathrm{cm^{-3}}$ la velocità di ricombinazione è $R = \Delta p/\tau_p = 10^{20}\ \mathrm{cm^{-3}s^{-1}}$.

L'equazione di continuità

Legge di continuità (lacune in un semiconduttore). Per un volumetto di lunghezza $dx$ la variazione nel tempo del numero di lacune è data dal flusso netto di corrente (entra meno esce) più la generazione meno la ricombinazione: $$\frac{\partial p(x,t)}{\partial t}=-\frac1q\frac{\partial J_p(x,t)}{\partial x}+G-R.$$ Con la corrente di lacune $J_p=qp\mu_pE-qD_p\partial p/\partial x$ (Corrente di deriva e di diffusione - resistenza di una barrettaNei semiconduttori la corrente ha due cause: il campo elettrico (deriva, J = qpμ_pE + qnμ_nE = σE, con velocità v = μE) e le differenze di concentrazione (diffusione, J_n = qD_n dn/dx, J_p = −qD_p dp/dx). Le due costanti sono legate dalla relazione di Einstein D/μ = V_T = kT/q ≈ 25 mV. Una barretta uniforme di lunghezza L e sezione S ha resistenza R = L/(σS). In un materiale isolato a concentrazione non uniforme la corrente totale è nulla e compare un campo (e una tensione V(X2) − V(X1) = V_T ln[n(X2)/n(X1)]).Corrente di deriva e di diffusione - resistenza di una barretta →) e $G=G_0=p_{n0}/\tau_p$ si ottiene la forma completa $$\frac{\partial p}{\partial t}=-\mu_pp\,\frac{\partial E}{\partial x}-\mu_pE\frac{\partial p}{\partial x}+D_p\frac{\partial^2p}{\partial x^2}-\frac{p-p_{n0}}{\tau_p}.$$ Se il campo elettrico è trascurabile (come nelle regioni quasi neutre) e il drogaggio è uniforme: $$\boxed{\frac{\partial p}{\partial t}=D_p\frac{\partial^2p}{\partial x^2}-\frac{p-p_{n0}}{\tau_p}}$$

Esempio. Senza campo e con un eccesso uniforme $\Delta p = 10^{14}\ \mathrm{cm^{-3}}$ e $\tau_p = 1\ \mu\mathrm s$: $\partial p/\partial t = -\Delta p/\tau_p = -10^{20}\ \mathrm{cm^{-3}s^{-1}}$.

Soluzione 1: decadimento nel tempo (eccesso uniforme)

Formula (decadimento nel tempo dell'eccesso di minoritari). Se l'eccesso è uniforme nello spazio ($\partial^2p/\partial x^2=0$), per esempio subito dopo aver spento una luce che aveva portato $p$ a $p_{n0}+\Delta p_0$: $$\frac{dp}{dt}=-\frac{p-p_{n0}}{\tau_p}\ \Rightarrow\ p(t)=p_{n0}+\Delta p_0\,e^{-t/\tau_p}.$$

Esempio. Con $\tau_p = 1\ \mu\mathrm s$, dopo $t = 3\ \mu\mathrm s$ l'eccesso è $e^{-3} \approx 5\%$ di quello iniziale.

L'eccesso decade esponenziale con costante di tempo $\tau_p$ (dopo $3\tau_p$ resta il $5\%$: $e^{-3}=0{,}0498$). Esempio: $\tau_p=1\ \mu\mathrm s$: dopo $3\ \mu\mathrm s$ l'eccesso è sceso al $5\%$.

Soluzione 2: regime stazionario nello spazio

Formula (profilo stazionario dei minoritari e lunghezza di diffusione). Se $\partial p/\partial t=0$ e c'è un eccesso mantenuto in $x=0$ (iniezione costante), l'equazione diventa $D_p\,p''=(p-p_{n0})/\tau_p$, cioè per $\Delta p=p-p_{n0}$: $$\Delta p''=\frac{\Delta p}{L_p^2},\qquad L_p=\sqrt{D_p\tau_p}\quad\text{(lunghezza di diffusione)},$$ con soluzione generale $p(x)=p_{n0}+Ae^{x/L_p}+Be^{-x/L_p}$. Per una regione semi-infinita ($x\ge0$, $\Delta p\to0$ per $x\to\infty$) $A=0$ e $$p(x)=p_{n0}+\Delta p(0)\,e^{-x/L_p}.$$

Esempio. Con $D_p = 13\ \mathrm{cm^2/s}$ e $\tau_p = 1\ \mu\mathrm s$: $L_p = \sqrt{D_p\tau_p} = \sqrt{13 \cdot 10^{-6}} \approx 36\ \mu\mathrm m$; a $x = L_p$ l'eccesso è $e^{-1} \approx 37\%$ di quello in $x = 0$.

La lunghezza di diffusione $L_p$ è la distanza media percorsa da una lacuna prima di ricombinarsi: l'eccesso si spegne di un fattore $e$ ogni $L_p$. Con $D_p=13\ \mathrm{cm^2/s}$ e $\tau_p=1\ \mu\mathrm s$: $L_p=\sqrt{13\cdot10^{-6}}=36\ \mu\mathrm m$. Se la regione è corta (lunghezza $W\ll L_p$, diodo corto) la ricombinazione è trascurabile e $\Delta p''\simeq0$: il profilo è lineare e $J=qD_p\Delta p(0)/W$.

La corrente di lacune a $x=0$ è la corrente di diffusione $J_p(0)=-qD_p\,dp/dx\big|_0=qD_p\dfrac{\Delta p(0)}{L_p}$: è il trasporto delle lacune iniettate.

Dalla legge della giunzione all'equazione del diodo

Formula (equazione del diodo dalla diffusione dei minoritari). In una giunzione pn polarizzata con $V$ la legge della giunzione dà $\Delta p(0)=p_{n0}\big(e^{V/V_T}-1\big)$ al bordo della regione n. La corrente di lacune (e analogamente quella degli elettroni nella regione p) è dunque $$J_p=\frac{qD_p\,p_{n0}}{L_p}\big(e^{V/V_T}-1\big)=\frac{qD_pn_i^2}{L_pN_D}\big(e^{V/V_T}-1\big),$$ e sommando il contributo degli elettroni si ottiene $I=I_S(e^{V/V_T}-1)$ con $I_S=qSn_i^2\Big[\dfrac{D_p}{L_pN_D}+\dfrac{D_n}{L_nN_A}\Big]$.

Esempio numerico. $N_D=10^{16}\ \mathrm{cm^{-3}}$ ($p_{n0}=2{,}25\cdot10^4$), $V=0{,}6\ \mathrm V$, $\tau_p=1\ \mu\mathrm s$: $\Delta p(0)=2{,}25\cdot10^4\,(e^{24}-1)=6\cdot10^{14}\ \mathrm{cm^{-3}}$ (il $6\%$ di $N_D$: iniezione "a basso livello", dove valgono le formule). La densità di corrente di lacune è $J_p=\dfrac{1{,}6\cdot10^{-19}\cdot13\cdot6\cdot10^{14}}{3{,}6\cdot10^{-3}}=0{,}34\ \mathrm{A/cm^2}$, cioè $34\ \mu\mathrm A$ su una sezione di $10^{-4}\ \mathrm{cm^2}$ (solo componente di lacune; l'equazione del diodo aggiunge quella di elettroni). Il profilo esponenziale è stato verificato anche risolvendo numericamente l'equazione differenziale con le condizioni al contorno (valori $1$; $0{,}368$; $0{,}135$ del massimo in $x=0,L_p,2L_p$).

Errori comuni

• Usare la lunghezza della regione al posto di $L_p$ nel profilo esponenziale (vale per regioni molto più lunghe di $L_p$).
• Dimenticare che la ricombinazione dipende da $p-p_{n0}$ e non da $p$.
• Applicare la forma semplificata dell'equazione di continuità dove c'è campo elettrico (zona di svuotamento).
• Confondere tempo di vita $\tau_p$ (tempo) con lunghezza di diffusione $L_p=\sqrt{D_p\tau_p}$ (lunghezza).