Segnali di modo differenziale e di modo comune - CMRR

La scomposizione

Definizione (modo comune e modo differenziale). Dati due segnali $v_1$ e $v_2$ si definiscono

$$v_{CM}=\frac{v_1+v_2}{2}\quad\text{(modo comune)},\qquad v_D=v_1-v_2\quad\text{(modo differenziale)}.$$

Esempio. Con $v_1 = 0{,}6\ \mathrm V$ e $v_2 = -0{,}2\ \mathrm V$: $v_{CM} = 0{,}2\ \mathrm V$ e $v_D = 0{,}8\ \mathrm V$; infatti $v_1 = 0{,}2 + 0{,}4$ e $v_2 = 0{,}2 - 0{,}4$.

Invertendo: $v_1=v_{CM}+\dfrac{v_D}{2}$ e $v_2=v_{CM}-\dfrac{v_D}{2}$. In pratica $v_{CM}$ è la parte che i due segnali hanno in comune (la loro media) e $v_D$ è la parte che li differenzia; due ingressi $v_1=v_2$ hanno $v_D=0$ e un unico segnale in comune.

La scomposizione ha senso quando i due segnali devono essere trattati in modo simmetrico (amplificatore differenziale, amplificatore per strumentazione, stadio differenziale a transistor: Amplificatore differenziale a BJTLa coppia differenziale (due BJT con gli emettitori collegati a un generatore di corrente di coda I_EE o a una resistenza R_EE) amplifica la differenza v_D = v_1 − v_2 e rigetta il modo comune. In polarizzazione I_C1 = I_C2 = I_EE/2. Per il modo differenziale l'emettitore è un punto a massa: guadagno differenziale tra i due collettori −g_m R_C (da un collettore a massa g_m R_C/2) e resistenza di ingresso differenziale 2r_π. Per il modo comune si ha un transistor con resistenza 2R_EE in emettitore: A_CM ≃ −R_C/(2R_EE) da un collettore a massa; CMRR ≃ g_m R_EE. Un generatore di corrente ideale come coda ha R_EE = ∞ e CMRR = ∞.Amplificatore differenziale a BJT →). Non ha senso per un sommatore, dove i due ingressi sono indipendenti.

Il motivo pratico: se l'informazione viaggia come differenza tra due fili, i disturbi che si accoppiano allo stesso modo su entrambi (rumore di rete, interferenze) sono di modo comune e un buon amplificatore differenziale li elimina.

Guadagni di un amplificatore differenziale

Formula (guadagni di modo differenziale e di modo comune). Un amplificatore con due ingressi e una sola uscita ha in generale guadagni $A_1$ (dall'ingresso non invertente) e $A_2$ (dall'invertente, in modulo): $$v_O=A_1v_1-A_2v_2=A_1\Big(v_{CM}+\frac{v_D}2\Big)-A_2\Big(v_{CM}-\frac{v_D}2\Big)=\underbrace{(A_1-A_2)}_{A_{CM}}v_{CM}+\underbrace{\frac{A_1+A_2}{2}}_{A_D}v_D.$$ Quindi $$A_D=\left.\frac{v_O}{v_D}\right|_{v_{CM}=0}=\frac{A_1+A_2}2,\qquad A_{CM}=\left.\frac{v_O}{v_{CM}}\right|_{v_D=0}=A_1-A_2.$$

Esempio. Con $A_1 = 10{,}05$ e $A_2 = 9{,}95$: $A_D = \frac{A_1 + A_2}{2} = 10$ e $A_{CM} = A_1 - A_2 = 0{,}1$.

Definizione (rapporto di reiezione del modo comune, CMRR).

• Un amplificatore differenziale ideale ha $A_1=A_2$, quindi $A_{CM}=0$ e $v_O=A_Dv_D$.
• La qualità si misura con il rapporto di reiezione del modo comunein inglese Common Mode Rejection Ratio, CMRR: quante volte il guadagno differenziale supera quello di modo comune $$\boxed{\mathrm{CMRR}=\frac{|A_D|}{|A_{CM}|}\qquad\mathrm{CMRR}_{dB}=20\log_{10}\frac{|A_D|}{|A_{CM}|}}$$ infinito nel caso ideale.

Esempio. Con $A_D = 10$ e $A_{CM} = 0{,}1$: $\mathrm{CMRR} = 100$, cioè $20\log_{10}100 = 40\ \mathrm{dB}$.

Un amplificatore reale ha guadagni $A_1,A_2$ non esattamente uguali (la differenza è dovuta a piccole asimmetrie dei componenti). Come nell'esercizio sull'opamp con guadagni $A(1\pm\varepsilon)$ si ha $A_D\approx A$ e $A_{CM}=2\varepsilon A$.

Calcolo dell'uscita

Si calcola $v_D=v_1-v_2$ e $v_{CM}=(v_1+v_2)/2$ e poi $v_O=A_Dv_D+A_{CM}v_{CM}$. Le uscite con segnali sinusoidali si ottengono separando la parte costante e la parte $\sin\omega t$.

Esempio 1. $A_D=10$, $A_{CM}=-0{,}05$, $v_1=0{,}6\ \mathrm V$, $v_2=-0{,}2\ \mathrm V$: $v_D=0{,}8\ \mathrm V$, $v_{CM}=0{,}2\ \mathrm V$, $v_O=10\cdot0{,}8-0{,}05\cdot0{,}2=7{,}99\ \mathrm V$. Il modo comune ($0{,}2\ \mathrm V$, il 25% della parte utile in ampiezza) causa un errore di solo $10\ \mathrm{mV}$ (CMRR $=200\to46\ \mathrm{dB}$).

Esempio 2 (con sinusoidi). $A_D=10$, $A_{CM}=-0{,}5$, $v_1=0{,}6+0{,}2\sin\omega t$, $v_2=-0{,}2+0{,}2\sin\omega t$ (volt). Le due sinusoidi sono uguali, quindi sono tutte di modo comune: $v_D=0{,}8\ \mathrm V$ (costante) e $v_{CM}=0{,}2+0{,}2\sin\omega t$. $$v_O=10\cdot0{,}8-0{,}5\,(0{,}2+0{,}2\sin\omega t)=7{,}9-0{,}1\sin\omega t\ \mathrm V.$$ La sinusoide in uscita è un disturbo: la sua ampiezza è $A_{CM}\cdot0{,}2$. Con un buon CMRR sparirebbe.

Esempio 3 (CMRR dato in dB: attenzione al segno). $A_D=10$ e $\mathrm{CMRR}=26\ \mathrm{dB}$: $\mathrm{CMRR}=10^{26/20}=19{,}95$, quindi $|A_{CM}|=10/19{,}95=0{,}501\approx0{,}5$. Il CMRR è un modulo: il segno di $A_{CM}$ non è noto e dà due risultati (con $v_1,v_2$ dell'esempio 2 e $|A_{CM}|=0{,}5$: $7{,}9-0{,}1\sin\omega t$ se $A_{CM}=-0{,}5$, oppure $8{,}1+0{,}1\sin\omega t$ se $A_{CM}=+0{,}5$); se il testo non lo dà si discutono i due casi. Allo stesso modo $A_D=-10$ e $\mathrm{CMRR}=20\ \mathrm{dB}$ danno $|A_{CM}|=1$ e, con $v_D=0{,}8$, $v_{CM}=0{,}2$: $v_O=-8\pm0{,}2$, cioè $-7{,}8\ \mathrm V$ oppure $-8{,}2\ \mathrm V$.

Esempio 4 (guadagni in dB e ingressi con segno). $v_1=-60\ \mathrm{mV}$, $v_2=-100+80\sin\omega t\ \mathrm{mV}$, $A_D=20\ \mathrm{dB}=10$, $\mathrm{CMRR}=40\ \mathrm{dB}=100$ ($|A_{CM}|=0{,}1$). $v_D=v_1-v_2=40-80\sin\omega t\ \mathrm{mV}$ e $v_{CM}=-80+40\sin\omega t\ \mathrm{mV}$. Con $A_{CM}=+0{,}1$: $v_O=10(40-80\sin\omega t)+0{,}1(-80+40\sin\omega t)=392-796\sin\omega t\ \mathrm{mV}$ (con $A_{CM}=-0{,}1$: $408-804\sin\omega t$).

Esempio 5 (CMRR da due misure). Se un amplificatore dà $v_O=8\ \mathrm V$ con solo $v_{NI}=0{,}2\ \mathrm V$ e $v_O=-10\ \mathrm V$ con solo $v_{INV}=0{,}2\ \mathrm V$: $A_1=8/0{,}2=40$ e $A_2=10/0{,}2=50$ (in modulo), quindi $A_D=45$, $A_{CM}=40-50=-10$ e $\mathrm{CMRR}=4{,}5\to13{,}1\ \mathrm{dB}$ (un amplificatore pessimo!).

(Tutti i risultati sono stati ricalcolati con uno script.)

Stadio d'ingresso dell'amplificatore per strumentazione

Formula (stadio d'ingresso dell'amplificatore per strumentazione). Per i circuiti con due ingressi e due uscite si definiscono anche $v_{OD}=v_{O1}-v_{O2}$ e $v_{OCM}=(v_{O1}+v_{O2})/2$ e quattro guadagni. Per lo stadio con due non invertenti e $R_g$ tra i morsetti invertenti (resistenze di retroazione uguali, $R_{B1}=R_{B2}=R_B$): $$\begin{bmatrix}v_{OD}\\v_{OCM}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1+\dfrac{2R_B}{R_g}&0\\0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}v_D\\v_{CM}\end{bmatrix}.$$ Il modo differenziale è amplificato, il modo comune passa con guadagno 1 e non genera componente differenziale, qualunque sia il valore (anche impreciso) delle resistenze. Lo stadio differenziale che segue (resistenze appaiate) attenua il modo comune. Così si misurano piccoli segnali sovrapposti a tensioni grandi: con $v_D=10\ \mathrm{mV}$ su un modo comune di $1\ \mathrm V$ ($A_D=100$ e $\mathrm{CMRR}=60\ \mathrm{dB}$) l'errore è $A_{CM}v_{CM}=0{,}1\ \mathrm V$ contro un'uscita utile di $1\ \mathrm V$.

Esempio. Con $R_B = 10\ \mathrm{k\Omega}$ e $R_g = 1\ \mathrm{k\Omega}$ il guadagno differenziale è $1 + 2R_B/R_g = 21$ e quello di modo comune $1$: con $v_D = 10\ \mathrm{mV}$ e $v_{CM} = 1\ \mathrm V$ si ha $v_{OD} = 210\ \mathrm{mV}$ e $v_{OCM} = 1\ \mathrm V$.

Errori comuni

• Definire $v_{CM}=v_1+v_2$ (senza dividere per 2).
• Dimenticare che $v_D=v_1-v_2$ ha il segno dell'ingresso non invertente meno l'invertente.
• Convertire il CMRR in dB con il fattore 10: per rapporti di tensione è $20\log$.
• Prendere il CMRR come $A_D/A_{CM}$ con segno.