Circuiti con operazionale - sommatore, differenziale, integratore, derivatore

Tutti i circuiti qui sotto hanno retroazione negativa, opamp ideale e quindi corto virtuale ($v_{NI}=v_{INV}$) e correnti d'ingresso nulle (Amplificatore operazionale ideale - corto virtuale e configurazioni baseL'amplificatore operazionale (opamp) è un amplificatore differenziale con guadagno altissimo: v_O = A (v_NI − v_INV). Nel modello ideale A = ∞, Rin = ∞, Rout = 0, banda infinita. Con una retroazione negativa dall'uscita all'ingresso invertente l'uscita si porta al valore che rende nulla la tensione differenziale (corto virtuale: v_NI = v_INV) senza che entri corrente negli ingressi. Con questa sola regola si ricavano l'amplificatore non invertente (Av = 1 + R2/R1, Rin = ∞) e l'invertente (Av = −R2/R1, Rin = R1); in entrambi Rout = 0.Amplificatore operazionale ideale - corto virtuale e configurazioni base →). Si usa la sovrapposizione degli effetti (Principio di sovrapposizione degli effettiIn una rete lineare (resistori, GIT, GIC) ogni tensione e ogni corrente è combinazione lineare delle impresse dei generatori. Quindi si può calcolarla facendo agire un generatore alla volta, con gli altri spenti (GIT spento = cortocircuito, GIC spento = circuito aperto), e sommando i contributi. Vale per tensioni e correnti, non per le potenze.Principio di sovrapposizione degli effetti →) quando c'è più di un ingresso.

Generalizzazione con le impedenze

Formula (guadagno con impedenze qualunque). Nell'invertente e nel non invertente al posto di $R_1,R_2$ si possono mettere due impedenze $Z_1(s),Z_2(s)$ qualunque (reti di resistori e condensatori), perché le stesse equazioni valgono nel dominio di Laplace con $s\to j\omega$ in regime sinusoidale: $$A_v(s)=-\frac{Z_2(s)}{Z_1(s)}\ \text{(invertente)},\qquad A_v(s)=1+\frac{Z_2(s)}{Z_1(s)}\ \text{(non invertente)}.$$ È così che nascono integratore, derivatore e i filtri (Circuiti con operazionale in frequenza - Bode e uscita a una sinusoideNei circuiti con opamp ideale la funzione di trasferimento A(s) si ottiene dalle formule di invertente (−Z2/Z1) e non invertente (1+Z2/Z1), con i condensatori sostituiti da 1/(sC) e le reti RC sul morsetto + trattate come partitori (nessuna corrente nell'ingresso). Si porta A(s) nella forma di Bode, si traccia il diagramma asintotico con i punti di spezzamento e si legge modulo e fase alla pulsazione del segnale per scrivere v_out(t); la componente continua dell'ingresso esce moltiplicata per A(0).Circuiti con operazionale in frequenza - Bode e uscita a una sinusoide →). In elettronica si usa la variabile $s$ e non $j\omega$ perché permette di ragionare sui poli e gli zeri (Laplace unilatera, funzione di trasferimento e stabilitàCon la trasformata unilatera $X(s)=\int_{0^-}^\infty x(t)e^{-st}dt$ le derivate diventano $\mathcal L[y']=sY-y(0^-)$: un problema di Cauchy causale si riduce a un'equazione algebrica, $Y=\frac{b}{a}X+\frac{\text{termini iniziali}}{a}$ (forzata + libera). La funzione di trasferimento è $H(s)=b(s)/a(s)$; il sistema causale è BIBO stabile se e solo se $H$ è propria e tutti i poli hanno parte reale negativa.Laplace unilatera, funzione di trasferimento e stabilità →).

Esempio. Con $Z_1 = 10\ \mathrm{k\Omega}$ e $Z_2 = 100\ \mathrm{k\Omega}$ si ha $A_v = -10$ (invertente) oppure $A_v = 1 + 10 = 11$ (non invertente).

Sommatore invertente

Formula (sommatore invertente). Più ingressi $V_k$ collegati con le resistenze $R_k$ al nodo $-$ (massa virtuale), resistenza di retroazione $R$. Con $v_{INV}=0$ la corrente in ciascun $R_k$ è $V_k/R_k$ e la LKC al nodo $-$ senza corrente nell'ingresso dà $\sum_kV_k/R_k+v_O/R=0$:

$$v_O=-\sum_k\frac{R}{R_k}\,V_k.$$

Con tutte le resistenze uguali è $v_O=-\sum V_k$ (somma); con resistenze diverse si ha un sommatore pesato. Gli ingressi non interferiscono tra loro perché il nodo $-$ resta a potenziale zero: ogni $R_k$ vede sempre massa.

Esempio. $R=10\ \mathrm{k\Omega}$, $R_1=10\ \mathrm{k\Omega}$, $R_2=5\ \mathrm{k\Omega}$, $R_3=20\ \mathrm{k\Omega}$: $v_O=-(V_1+2V_2+0{,}5V_3)$. Con $V_1=1\ \mathrm V$, $V_2=0{,}5\ \mathrm V$, $V_3=2\ \mathrm V$: $v_O=-(1+1+1)=-3\ \mathrm V$ (verificato con analisi nodale).

Amplificatore differenziale

Ingresso $V_1$ al morsetto $+$ tramite $R_3$, con $R_4$ verso massa; $V_2$ al morsetto $-$ tramite $R_1$, con $R_2$ in retroazione. Il morsetto $+$ riceve il partitore (non caricato): $v_{NI}=V_1\dfrac{R_4}{R_3+R_4}$. Sul morsetto $-$ (sovrapposizione): $v_{INV}=V_2\dfrac{R_2}{R_1+R_2}+v_O\dfrac{R_1}{R_1+R_2}$. Con $v_{NI}=v_{INV}$:

$$v_O=\underbrace{\frac{R_4}{R_3+R_4}\cdot\frac{R_1+R_2}{R_1}}_{A_1}V_1-\underbrace{\frac{R_2}{R_1}}_{A_2}V_2=\frac{R_2}{R_1}\left[\frac{1+R_1/R_2}{1+R_3/R_4}V_1-V_2\right].$$

Formula (amplificatore differenziale). Per avere un vero amplificatore differenziale ($v_O\propto V_1-V_2$) i due guadagni devono essere uguali: $A_1=A_2$, cioè

$$\boxed{\frac{R_1}{R_2}=\frac{R_3}{R_4}}\ \Longrightarrow\ v_O=\frac{R_2}{R_1}(V_1-V_2).$$

Esempio. Con $R_1 = R_3 = 10\ \mathrm{k\Omega}$ e $R_2 = R_4 = 50\ \mathrm{k\Omega}$ si ha $v_O = 5\,(V_1 - V_2)$; con $V_1 = 1{,}2\ \mathrm V$ e $V_2 = 1{,}0\ \mathrm V$ è $v_O = 1\ \mathrm V$.

La scelta simmetrica è $R_3=R_1$, $R_4=R_2$.

Se le resistenze non sono perfettamente appaiate compare un guadagno di modo comune (Segnali di modo differenziale e di modo comune - CMRRDue segnali v1, v2 si scompongono in modo comune v_CM = (v1+v2)/2 (la parte uguale) e modo differenziale v_D = v1 − v2 (la parte che li differenzia). Un amplificatore differenziale con guadagni A1 e A2 sui due ingressi ha v_O = A_D v_D + A_CM v_CM con A_D = (A1+A2)/2 e A_CM = A1 − A2; la sua qualità è il CMRR = |A_D/A_CM| (in dB: 20 log), infinito se A1 = A2. Nei quesiti d'esame basta calcolare v_D, v_CM e sommare i due contributi, ricordando che il segno di A_CM, se non dato, lascia due risultati.Segnali di modo differenziale e di modo comune - CMRR →): $A_D=\dfrac{A_1+A_2}2$ e $A_{CM}=A_1-A_2$. Esempio: $R_1=R_3=10\ \mathrm{k\Omega}$, $R_2=50\ \mathrm{k\Omega}$, $R_4=49{,}5\ \mathrm{k\Omega}$ (appaiamento all'1%): $A_1=\dfrac{49{,}5}{59{,}5}\cdot6=4{,}9916$ e $A_2=5$, quindi $A_D=4{,}9958$, $A_{CM}=-0{,}0084$ e $\mathrm{CMRR}=|A_D/A_{CM}|=594{,}5$, cioè $55{,}5\ \mathrm{dB}$ (verificato con analisi nodale). Per questo nei circuiti reali le resistenze del differenziale devono essere molto precise.

Integratore

Formula (integratore). Invertente con $Z_1=R$ e $Z_2=\dfrac1{sC}$: $A_v(s)=-\dfrac{1}{sRC}$. Nel tempo: $i_R=v_S/R$, $i_C=C\,\dot v_C$ con $v_C=v_O-v_{INV}=v_O$ e $i_R+i_C=0$:

$$v_O(t)=-\frac{1}{RC}\int_0^tv_S(\tau)\,d\tau+v_O(0).$$

Il coefficiente $\dfrac1{RC}$ non è adimensionale (è il reciproco di un tempo): quando i segnali sono funzioni del tempo si parla di "guadagno" intendendo questo coefficiente. In regime sinusoidale $A_v(j\omega)=-\dfrac{1}{j\omega RC}$: modulo $\dfrac1{\omega RC}$ (cala con la frequenza), fase $+90^\circ$.

Esempio. $R=10\ \mathrm{k\Omega}$, $C=100\ \mathrm{nF}$ ($RC=1\ \mathrm{ms}$), $v_S=0{,}5\sin(2\pi\cdot1000\,t)\ \mathrm V$: $v_O=-\dfrac{1}{RC}\int0{,}5\sin\omega t\,dt=\dfrac{0{,}5}{\omega RC}\cos\omega t=0{,}0796\cos(2\pi\cdot1000\,t)\ \mathrm V$ (verificato con l'analisi nodale in regime sinusoidale). Con un gradino di $1\ \mathrm V$ per $2\ \mathrm{ms}$ l'uscita scende linearmente fino a $-2\ \mathrm V$.

Attenzione alla continua. In continua il condensatore è aperto: il circuito non ha più retroazione negativa. Un'offset anche piccolo, o un ingresso con valor medio non nullo, porta l'uscita a crescere fino alla saturazione. Il segnale d'ingresso deve avere media nulla, e in pratica si mette un resistore in parallelo al condensatore (o un azzeramento periodico).

Derivatore

Formula (derivatore). Invertente con $Z_1=\dfrac1{sC}$ e $Z_2=R$: $A_v(s)=-sRC$. Nel tempo: $i_C=C\,\dot v_S$ (la tensione sul condensatore è $v_S$ perché il nodo $-$ è a massa virtuale), $i_R=v_O/R$ e $i_C+i_R=0$:

$$v_O(t)=-RC\,\frac{dv_S}{dt}.$$

Esempio. $R=1\ \mathrm{k\Omega}$, $C=1\ \mu\mathrm F$ e $v_S=0{,}2\sin(2\pi\cdot100\,t)\ \mathrm V$: $v_O=-RC\,\omega\cdot0{,}2\cos\omega t=-0{,}1257\cos(2\pi\cdot100\,t)\ \mathrm V$. Il derivatore amplifica le alte frequenze (modulo $\omega RC$, che cresce con $\omega$), quindi amplifica anche il rumore: nella pratica ha una resistenza in serie al condensatore che ne limita il guadagno. Il segnale d'ingresso non deve avere variazioni troppo rapide.

Amplificatore per strumentazione

Formula (amplificatore per strumentazione). Due non invertenti con una sola resistenza $R_g$ tra i due morsetti invertenti, seguiti da un differenziale. Le due uscite $v_{o1},v_{o2}$ soddisfano

$$v_{o1}-v_{o2}=\Big(1+\frac{2R}{R_g}\Big)(V_1-V_2),$$

Esempio. Con $R = 10\ \mathrm{k\Omega}$ e $R_g = 1\ \mathrm{k\Omega}$ il primo stadio ha guadagno $1 + 2R/R_g = 21$; con $V_1 - V_2 = 0{,}1\ \mathrm V$ è $v_{o1} - v_{o2} = 2{,}1\ \mathrm V$.

perché per il corto virtuale i morsetti invertenti hanno tensione $V_1$ e $V_2$ e la corrente $(V_1-V_2)/R_g$ attraversa tutta la serie $R,R_g,R$. Il modo comune è amplificato per 1 (nessuna corrente in $R_g$ se $V_1=V_2$). Il secondo stadio (differenziale, guadagno $R_4/R_3$) completa $v_O=\Big(1+\dfrac{2R}{R_g}\Big)\dfrac{R_4}{R_3}(V_1-V_2)$. Esempio: $R=10\ \mathrm{k\Omega}$, $R_g=1\ \mathrm{k\Omega}$, $R_3=10\ \mathrm{k\Omega}$, $R_4=20\ \mathrm{k\Omega}$ danno guadagno $21\cdot2=42$; per $V_1-V_2=0{,}1\ \mathrm V$ si ottiene $4{,}2\ \mathrm V$, e un ingresso di modo comune da solo ($V_1=V_2=1\ \mathrm V$) dà uscita nulla (verificato). Si usa per misurare piccole tensioni differenziali (sensori) su un grande modo comune: ha $R_{in}$ altissima e guadagno regolabile con la sola $R_g$.

Amplificatore transresistivo (corrente in ingresso)

Se la sorgente è un generatore di corrente $i_S$ collegato al morsetto $-$ di un invertente con retroazione $R_2$, il nodo $-$ è a massa virtuale e tutta $i_S$ passa in $R_2$: $v_O=-R_2\,i_S$ (convertitore corrente-tensione).

Errori comuni

• Dimenticare di verificare $R_1/R_2=R_3/R_4$: senza questa condizione l'uscita contiene $V_1+V_2$.
• Scrivere $v_O=\int v_S$ senza il fattore $-1/(RC)$ (le unità di $1/RC$ sono s$^{-1}$).
• Usare integratore e derivatore con ingressi che hanno una componente continua o variazioni molto rapide.
• Dimenticare il segno meno negli integratori e derivatori invertenti.