FormularioFondamenti di Elettronica: definizioni, teoremi e formule delle note, in ordine di capitolo

In questa pagina 7

I. Amplificatori e doppi bipoli

Richiami di teoria dei circuiti per l'elettronica

Formula (partitore di tensione e di corrente).

Tensione: due resistenze in serie con la stessa corrente $I$ ai capi di una tensione $V_1$ : $V_2=V_1\dfrac{R_2}{R_1+R_2}$ . Vale solo se dal nodo centrale non esce corrente (partitore non caricato). Se il nodo alimenta un altro circuito, quel circuito va tenuto in conto (per esempio con Thévenin, vedi sotto).

Corrente: $I$ si divide in due resistenze in parallelo: $I_{R_1}=I\dfrac{R_2}{R_1+R_2}$ , $I_{R_2}=I\dfrac{R_1}{R_1+R_2}$ (la corrente più grande va nella resistenza più piccola). La resistenza parallelo si scrive $R_1\|R_2=\dfrac{R_1R_2}{R_1+R_2}$ e va sempre parentesizzata: $R_1\|R_2+R_3\ne R_1\|(R_2+R_3)$ .

Esempio. Con $V_1 = 12\ \mathrm V$ su $R_1 = 2\ \mathrm{k\Omega}$ e $R_2 = 4\ \mathrm{k\Omega}$ non caricato: $V_2 = 12 \cdot \frac{4}{6} = 8\ \mathrm V$ . Una corrente di $6\ \mathrm{mA}$ su gli stessi due resistori in parallelo si divide in $4\ \mathrm{mA}$ in $R_1$ e $2\ \mathrm{mA}$ in $R_2$ .

Teorema (Thévenin e Norton). Una rete lineare vista da due morsetti $A,B$ è equivalente a un generatore di tensione $V_{th}$ in serie a una resistenza $R_{th}$ (Thévenin) oppure a un generatore di corrente $I_N$ in parallelo a $R_N=R_{th}$ (Norton). Si determinano così:

$V_{th}$ = tensione a vuoto tra $A$ e $B$ ;

$I_N$ = corrente di cortocircuito tra $A$ e $B$ ;

$R_{th}=V_{th}/I_N$ ; oppure, se la rete non contiene generatori pilotati, si spengono i generatori indipendenti (generatore di tensione $\to$ cortocircuito, di corrente $\to$ circuito aperto) e si calcola la resistenza equivalente vista da $A,B$ .

Esempio. Una rete con $V_{th} = 8\ \mathrm V$ a vuoto e corrente di cortocircuito $I_N = 6\ \mathrm{mA}$ ha $R_{th} = V_{th}/I_N = 8/6 \approx 1{,}33\ \mathrm{k\Omega}$ .

Principio di sovrapposizione degli effetti. In una rete lineare ogni tensione o corrente è la somma dei contributi dei singoli generatori indipendenti, ognuno calcolato con tutti gli altri spenti. In elettronica serve in due modi:

Esempio. Se due generatori da soli darebbero $3\ \mathrm V$ e $2\ \mathrm V$ su un nodo, con entrambi accesi la tensione è $3 + 2 = 5\ \mathrm V$ .

Formula (potenza di una somma di sinusoidi a pulsazioni diverse). 1. Potenza di una somma di sinusoidi a pulsazioni diverse. Con $v_R(t)=V_1\sin(\omega_1t)+V_2\cos(\omega_2t)$ e $\omega_1\ne\omega_2$ il termine incrociato $2V_1V_2\sin(\omega_1t)\cos(\omega_2t)$ ha valore medio nullo, quindi i quadrati dei valori efficaci si sommano: $V_{rms}^2=\frac{V_1^2}{2}+\frac{V_2^2}{2},\qquad P=\frac{V_1^2+V_2^2}{2R}.$

Esempio: $R=100\ \Omega$ , $V_1=6\ \mathrm V$ , $V_2=10\ \mathrm V$ : $P=\dfrac{36+100}{200}=0{,}68\ \mathrm W$ . (Le due pulsazioni devono essere diverse: se fossero uguali bisognerebbe sommare i fasori.)

Formula (ampiezza della tensione su un bipolo RC serie). 2. Ampiezza della tensione su un bipolo RC serie. In un serie $R$ - $C$ percorso dalla corrente $I$ la tensione su $R$ è in fase con $I$ , quella sul condensatore è in ritardo di $90^\circ$ (Impedenza e ammettenza): le ampiezze non si sommano algebricamente ma in quadratura, $V_Z=I\sqrt{R^2+X_C^2}=\sqrt{V_R^2+V_C^2}.$

Esempio. $I=0{,}2\ \mathrm A$ , $R=100\ \Omega$ , $|Z_C|=100\ \Omega$ : $V=0{,}2\cdot\sqrt{100^2+100^2}=28{,}28\ \mathrm V$ (e non $0{,}2\cdot200=40\ \mathrm V$ ). Se la tensione su $R$ ha ampiezza $5{,}6\ \mathrm V$ e quella sul condensatore $19{,}2\ \mathrm V$ : $V_Z=\sqrt{5{,}6^2+19{,}2^2}=20\ \mathrm V$ .

Definizione (valore medio ed efficace di un'onda). 3. Valore medio ed efficace di un'onda. Il valore medio è l'area per periodo; il valore efficace è la radice del valor medio del quadrato. Per $v=V_0+V_1\sin\omega t$ : $V_{rms}=\sqrt{V_0^2+V_1^2/2}$ (la parte continua e la parte alternata si sommano nei quadrati). Per un'onda quadra che vale $10\ \mathrm V$ per metà periodo e $0$ per l'altra metà: media $5\ \mathrm V$ , $V_{rms}^2=\frac12\cdot10^2=50$ , cioè $7{,}07\ \mathrm V$ ; su $R=100\ \Omega$ : $P=50/100=0{,}5\ \mathrm W$ (la potenza si calcola sempre con $V_{rms}^2/R$ , mai con il valore medio al quadrato).

Esempio. Per $v = 2 + 3\sin\omega t$ (in volt): $V_{rms} = \sqrt{2^2 + 3^2/2} = \sqrt{8{,}5} \approx 2{,}92\ \mathrm V$ .

Amplificatori e modello a doppio bipolo

Definizione (i quattro modelli di amplificatore).

Ingresso → uscita Grandezze indipendenti Parametri Guadagno

tensione → tensione $v_1,\ i_2$ g $A_v=g_{21}$ (adimensionale)

corrente → tensione (transresistenza) $i_1,\ i_2$ z $R_m=z_{21}$ (Ω)

tensione → corrente (transconduttanza) $v_1,\ v_2$ y $G_m=y_{21}$ (S)

corrente → corrente $i_1,\ v_2$ h $A_i=h_{21}$ (adimensionale)

Ingresso → uscita	Grandezze indipendenti	Parametri	Guadagno
tensione → tensione	$v_1,\ i_2$	g	$A_v=g_{21}$ (adimensionale)
corrente → tensione (transresistenza)	$i_1,\ i_2$	z	$R_m=z_{21}$ (Ω)
tensione → corrente (transconduttanza)	$v_1,\ v_2$	y	$G_m=y_{21}$ (S)
corrente → corrente	$i_1,\ v_2$	h	$A_i=h_{21}$ (adimensionale)

Esempio. Un amplificatore di tensione con $g_{21} = 100$ e $v_1 = 10\ \mathrm{mV}$ dà a uscita aperta $v_2 = 1\ \mathrm V$ ; uno di corrente con $h_{21} = 50$ e $i_1 = 20\ \mu\mathrm A$ dà $i_2 = 1\ \mathrm{mA}$ .

Definizione (modello g dell'amplificatore di tensione). Per un amplificatore con ingresso e uscita in tensione le variabili indipendenti sono $v_1$ e $i_2$ e il modello è

$\begin{cases}v_2=g_{21}\,v_1+g_{22}\,i_2\\[2pt] i_1=g_{11}\,v_1+g_{12}\,i_2\end{cases}$

Esempio. Con $g_{21} = 20$ , $g_{22} = 100\ \Omega$ e $v_1 = 10\ \mathrm{mV}$ : a vuoto $v_2 = 0{,}2\ \mathrm V$ ; se il carico assorbe $1\ \mathrm{mA}$ ( $i_2 = -1\ \mathrm{mA}$ ) è $v_2 = 0{,}2 - 0{,}1 = 0{,}1\ \mathrm V$ .

Formula (parametri del modello g). I quattro parametri si ottengono con quattro "misure" ai morsetti:

$g_{21}=\left.\frac{v_2}{v_1}\right|_{i_2=0},\quad g_{22}=\left.\frac{v_2}{i_2}\right|_{v_1=0},\quad g_{11}=\left.\frac{i_1}{v_1}\right|_{i_2=0},\quad g_{12}=\left.\frac{i_1}{i_2}\right|_{v_1=0}.$

Quindi $i_2=0$ significa uscita aperta e $v_1=0$ significa ingresso in cortocircuito. Le dimensioni dei parametri sono diverse tra loro: $g_{21}$ è adimensionale, $g_{22}$ è una resistenza, $g_{11}$ una conduttanza, $g_{12}$ adimensionale.

Esempio. A uscita aperta, $v_1 = 10\ \mathrm{mV}$ dà $v_2 = 0{,}2\ \mathrm V$ e $i_1 = 10\ \mu\mathrm A$ : $g_{21} = 20$ e $g_{11} = 1\ \mathrm{mS}$ , cioè $R_{in} = 1\ \mathrm{k\Omega}$ .

Definizione (amplificatore unidirezionale). Un amplificatore con $g_{12}=0$ si dice unidirezionale: quello che accade all'uscita non influenza l'ingresso. In tal caso la resistenza d'ingresso $1/g_{11}$ non dipende dal carico. Vale anche il contrario: se l'espressione della resistenza di ingresso non contiene la resistenza di carico, l'amplificatore è unidirezionale.

Esempio. Se $g_{12} = 0$ e $g_{11} = 1\ \mathrm{mS}$ , la resistenza di ingresso $1/g_{11} = 1\ \mathrm{k\Omega}$ è la stessa per qualunque carico $R_L$ .

Formula (guadagno complessivo di un amplificatore unidirezionale). Il guadagno complessivo è dunque il prodotto di tre fattori

$\boxed{A_{v,tot}=\frac{v_L}{v_s}=\alpha_i\cdot g_{21}\cdot\alpha_o,\qquad \alpha_i=\frac{R_{in}}{R_{in}+R_s}<1,\quad\alpha_o=\frac{R_L}{R_{out}+R_L}<1}$

Esempio numerico. Un amplificatore ha $R_{in}=1\ \mathrm{k\Omega}$ , $g_{21}=20$ , $R_{out}=100\ \Omega$ ed è collegato a $R_s=1\ \mathrm{k\Omega}$ e $R_L=2\ \mathrm{k\Omega}$ . Allora $\alpha_i=\dfrac{1}{1+1}=0{,}5$ , $\alpha_o=\dfrac{2000}{100+2000}=0{,}952$ e $A_{v,tot}=0{,}5\cdot20\cdot0{,}952=9{,}52$ : meno della metà del guadagno intrinseco.

Formula (cascata di amplificatori unidirezionali). Si collegano due amplificatori in cascata: l'uscita del primo ( $g_{2x}$ = parametri di A) alimenta l'ingresso del secondo (parametri di B). Con la corrente $i_2^A=-i_1^B=-g_{11}^Bv_2^A$ e la tensione $v_2^A=g_{21}^Av_1+g_{22}^Ai_2^A$ si ottiene $v_2^A=\dfrac{g_{21}^A\,v_1}{1+g_{22}^A g_{11}^B}$ e poi

$g_{11}=g_{11}^A,\quad g_{12}=0,\quad g_{21}=\frac{g_{21}^A\,g_{21}^B}{1+g_{22}^A\,g_{11}^B},\quad g_{22}=g_{22}^B.$

Esempio. A con $g_{11} = 1\ \mathrm{mS}$ , $g_{21} = 20$ , $g_{22} = 100\ \Omega$ e B con $g_{11} = 2\ \mathrm{mS}$ , $g_{21} = 10$ : $g_{21} = \frac{20 \cdot 10}{1 + 100 \cdot 2 \cdot 10^{-3}} = \frac{200}{1{,}2} \approx 166{,}7$ .

Amplificatori reali, punto di lavoro e piccoli segnali

Definizione (modello a piccolo segnale: linearizzazione in un punto di lavoro). Sia $i=f(v)$ la caratteristica di un componente non lineare (un diodo, un MOSFET). Si sceglie un punto di lavoro $Q=(V_Q,I_Q)$ e si scrive $v=V_Q+v_{ac}$ . Con lo sviluppo in serie di Taylor di punto iniziale $V_Q$ : $i=f(V_Q)+f'(V_Q)\,v_{ac}+\tfrac12f''(V_Q)\,v_{ac}^2+\cdots=I_Q+\underbrace{f'(V_Q)}_{g}\,v_{ac}+\cdots$ Se $v_{ac}$ è abbastanza piccolo si trascurano i termini dal secondo ordine in poi: la variazione di corrente è proporzionale a quella di tensione con costante $g=f'(V_Q)$ , la pendenza della tangente in $Q$ . Quella costante è il parametro differenziale ( $g_m$ , $1/r_d$ , ...) e si calcola nel punto di lavoro: cambia se cambia la polarizzazione.

Esempio. Per $I_D = k(V_{GS} - V_t)^2$ con $k = 1\ \mathrm{mA/V^2}$ e $V_t = 1\ \mathrm V$ in $V_{GS} = 2\ \mathrm V$ : $I_Q = 1\ \mathrm{mA}$ e $g_m = f'(V_Q) = 2k(V_{GS} - V_t) = 2\ \mathrm{mS}$ .

Grafico interattivo: I_D (mA) in funzione di V_GS (V) con k = 1 mA/V² e V_t = 1 V: in V_GS = 2 V (punto Q) la pendenza vale g_m = 2 mS

Definizione (decibel). Per rapporti di ampiezza (tensioni, correnti) $G_{dB}=20\log_{10}|G|$ ; per rapporti di potenza $10\log_{10}$ . Valori da ricordare:

guadagno in ampiezza 1 2 10 20 100 1000 $1/\sqrt2$

dB 0 6 20 26 40 60 $-3$

guadagno in ampiezza	1	2	10	20	100	1000	$1/\sqrt2$
dB	0	6	20	26	40	60	$-3$

Esempio. Un guadagno di tensione $100$ vale $20\log_{10}100 = 40\ \mathrm{dB}$ ; un guadagno di potenza $100$ vale $10\log_{10}100 = 20\ \mathrm{dB}$ ; due stadi da $20\ \mathrm{dB}$ e $26\ \mathrm{dB}$ danno $46\ \mathrm{dB}$ .

II. Amplificatore operazionale

Amplificatore operazionale ideale - corto virtuale e configurazioni base

Definizione (amplificatore operazionale: uscita proporzionale alla differenza degli ingressi). I due ingressi sono l'ingresso non invertente ( $v_{NI}$ , segno $+$ ) e invertente ( $v_{INV}$ , segno $-$ ): hanno lo stesso guadagno in modulo e segno opposto, per cui

$v_O=A\,(v_{NI}-v_{INV})=A\,v_D,\qquad v_D=v_{NI}-v_{INV}.$

Esempio. Con $A = 10^{5}$ , $v_{NI} = 1{,}00001\ \mathrm V$ e $v_{INV} = 1\ \mathrm V$ si ha $v_O = 10^{5} \cdot 10\ \mu\mathrm V = 1\ \mathrm V$ ; con i due ingressi uguali, anche a $1\ \mathrm V$ , è $v_O = 0$ .

Definizione (modello ideale dell'amplificatore operazionale).

guadagno infinito, $A=\infty$ ;

banda di frequenze infinita (funziona anche a frequenza zero);

resistenza di ingresso infinita: le correnti negli ingressi sono nulle;

resistenza di uscita nulla: $v_O$ non dipende dalla corrente erogata.

Esempio. Con $R_{in} = \infty$ un ingresso a $2\ \mathrm V$ non assorbe corrente; con $R_{out} = 0$ un'uscita a $3\ \mathrm V$ resta a $3\ \mathrm V$ su qualunque carico.

Principio (corto virtuale con retroazione negativa). Regola operativa. In un circuito con opamp ideale e retroazione negativa:

tra i due ingressi c'è un corto virtuale: $v_{NI}=v_{INV}$ (stessa tensione, ma nessuna corrente passa tra i due morsetti);

le correnti negli ingressi sono nulle;

se $v_{NI}$ è a massa, $v_{INV}=0$ e si parla di massa virtuale.

Esempio. Con $v_{NI} = 2\ \mathrm V$ e retroazione negativa è $v_{INV} = 2\ \mathrm V$ e nei due ingressi non entra corrente; se $v_{NI}$ è a massa, il morsetto $-$ è a $0\ \mathrm V$ (massa virtuale).

Formula (amplificatore non invertente). Segnale $v_S$ al $+$ ; $R_2$ tra uscita e $-$ ; $R_1$ tra $-$ e massa. Con il corto virtuale $v_{INV}=v_S$ e il partitore (non caricato, perché il morsetto $-$ non assorbe corrente) dà $v_S=v_O\dfrac{R_1}{R_1+R_2}$ :

$\boxed{A_v=\frac{v_O}{v_S}=1+\frac{R_2}{R_1}}\qquad R_{in}=\infty,\quad R_{out}=0.$

Esempio. Con $R_1 = 2\ \mathrm{k\Omega}$ e $R_2 = 18\ \mathrm{k\Omega}$ si ha $A_v = 1 + 9 = 10$ ; con $v_S = 0{,}3\ \mathrm V$ l'uscita è $v_O = 3\ \mathrm V$ .

Formula (amplificatore invertente). Il segnale $v_S$ arriva a $R_1$ collegata al $-$ ; $R_2$ tra uscita e $-$ ; il $+$ è a massa. Massa virtuale: $v_{INV}=0$ . Le correnti $i_{R_1}=\dfrac{v_S}{R_1}$ (verso il nodo $-$ ) e $i_{R_2}=\dfrac{v_O}{R_2}$ (dal nodo $-$ verso l'uscita) devono avere somma nulla perché nel morsetto non entra corrente: $\dfrac{v_S}{R_1}+\dfrac{v_O}{R_2}=0$ .

$\boxed{A_v=\frac{v_O}{v_S}=-\frac{R_2}{R_1}}\qquad R_{in}=R_1,\quad R_{out}=0.$

$R_{in}=R_1$ perché il nodo $-$ è a massa virtuale: dal generatore la corrente è $v_S/R_1$ . Per $R_{out}$ : con $v_S=0$ e una corrente di prova $I_O$ all'uscita, $i_{R_1}=0$ , quindi anche $i_{R_2}=0$ e $v_O=0$ : $R_{out}=0$ . Se la sorgente ha resistenza interna $R_s$ , la resistenza in serie in ingresso è $R_1+R_s$ e il guadagno rispetto alla tensione a vuoto del generatore è $-R_2/(R_1+R_s)$ .

Esempio. Con $R_1 = 1\ \mathrm{k\Omega}$ e $R_2 = 4\ \mathrm{k\Omega}$ si ha $A_v = -4$ ; con $v_S = 0{,}5\ \mathrm V$ l'uscita è $v_O = -2\ \mathrm V$ e $R_{in} = 1\ \mathrm{k\Omega}$ .

Grafico interattivo: Transcaratteristica di un amplificatore invertente con A_v = −4 e alimentazione ±5 V: l'uscita segue la retta −4·v_S solo per |v_S| < 1,25 V

Circuiti con operazionale - sommatore, differenziale, integratore, derivatore

Formula (guadagno con impedenze qualunque). Nell'invertente e nel non invertente al posto di $R_1,R_2$ si possono mettere due impedenze $Z_1(s),Z_2(s)$ qualunque (reti di resistori e condensatori), perché le stesse equazioni valgono nel dominio di Laplace con $s\to j\omega$ in regime sinusoidale: $A_v(s)=-\frac{Z_2(s)}{Z_1(s)}\ \text{(invertente)},\qquad A_v(s)=1+\frac{Z_2(s)}{Z_1(s)}\ \text{(non invertente)}.$ È così che nascono integratore, derivatore e i filtri (Circuiti con operazionale in frequenza - Bode e uscita a una sinusoide). In elettronica si usa la variabile $s$ e non $j\omega$ perché permette di ragionare sui poli e gli zeri (Laplace unilatera, funzione di trasferimento e stabilità).

Esempio. Con $Z_1 = 10\ \mathrm{k\Omega}$ e $Z_2 = 100\ \mathrm{k\Omega}$ si ha $A_v = -10$ (invertente) oppure $A_v = 1 + 10 = 11$ (non invertente).

Formula (sommatore invertente). Più ingressi $V_k$ collegati con le resistenze $R_k$ al nodo $-$ (massa virtuale), resistenza di retroazione $R$ . Con $v_{INV}=0$ la corrente in ciascun $R_k$ è $V_k/R_k$ e la LKC al nodo $-$ senza corrente nell'ingresso dà $\sum_kV_k/R_k+v_O/R=0$ :

$v_O=-\sum_k\frac{R}{R_k}\,V_k.$

Con tutte le resistenze uguali è $v_O=-\sum V_k$ (somma); con resistenze diverse si ha un sommatore pesato. Gli ingressi non interferiscono tra loro perché il nodo $-$ resta a potenziale zero: ogni $R_k$ vede sempre massa.

Esempio. $R=10\ \mathrm{k\Omega}$ , $R_1=10\ \mathrm{k\Omega}$ , $R_2=5\ \mathrm{k\Omega}$ , $R_3=20\ \mathrm{k\Omega}$ : $v_O=-(V_1+2V_2+0{,}5V_3)$ . Con $V_1=1\ \mathrm V$ , $V_2=0{,}5\ \mathrm V$ , $V_3=2\ \mathrm V$ : $v_O=-(1+1+1)=-3\ \mathrm V$ (verificato con analisi nodale).

Formula (amplificatore differenziale). Per avere un vero amplificatore differenziale ( $v_O\propto V_1-V_2$ ) i due guadagni devono essere uguali: $A_1=A_2$ , cioè

$\boxed{\frac{R_1}{R_2}=\frac{R_3}{R_4}}\ \Longrightarrow\ v_O=\frac{R_2}{R_1}(V_1-V_2).$

Esempio. Con $R_1 = R_3 = 10\ \mathrm{k\Omega}$ e $R_2 = R_4 = 50\ \mathrm{k\Omega}$ si ha $v_O = 5\,(V_1 - V_2)$ ; con $V_1 = 1{,}2\ \mathrm V$ e $V_2 = 1{,}0\ \mathrm V$ è $v_O = 1\ \mathrm V$ .

Formula (integratore). Invertente con $Z_1=R$ e $Z_2=\dfrac1{sC}$ : $A_v(s)=-\dfrac{1}{sRC}$ . Nel tempo: $i_R=v_S/R$ , $i_C=C\,\dot v_C$ con $v_C=v_O-v_{INV}=v_O$ e $i_R+i_C=0$ :

$v_O(t)=-\frac{1}{RC}\int_0^tv_S(\tau)\,d\tau+v_O(0).$

Esempio. $R=10\ \mathrm{k\Omega}$ , $C=100\ \mathrm{nF}$ ( $RC=1\ \mathrm{ms}$ ), $v_S=0{,}5\sin(2\pi\cdot1000\,t)\ \mathrm V$ : $v_O=-\dfrac{1}{RC}\int0{,}5\sin\omega t\,dt=\dfrac{0{,}5}{\omega RC}\cos\omega t=0{,}0796\cos(2\pi\cdot1000\,t)\ \mathrm V$ (verificato con l'analisi nodale in regime sinusoidale). Con un gradino di $1\ \mathrm V$ per $2\ \mathrm{ms}$ l'uscita scende linearmente fino a $-2\ \mathrm V$ .

Formula (derivatore). Invertente con $Z_1=\dfrac1{sC}$ e $Z_2=R$ : $A_v(s)=-sRC$ . Nel tempo: $i_C=C\,\dot v_S$ (la tensione sul condensatore è $v_S$ perché il nodo $-$ è a massa virtuale), $i_R=v_O/R$ e $i_C+i_R=0$ :

$v_O(t)=-RC\,\frac{dv_S}{dt}.$

Esempio. $R=1\ \mathrm{k\Omega}$ , $C=1\ \mu\mathrm F$ e $v_S=0{,}2\sin(2\pi\cdot100\,t)\ \mathrm V$ : $v_O=-RC\,\omega\cdot0{,}2\cos\omega t=-0{,}1257\cos(2\pi\cdot100\,t)\ \mathrm V$ . Il derivatore amplifica le alte frequenze (modulo $\omega RC$ , che cresce con $\omega$ ), quindi amplifica anche il rumore: nella pratica ha una resistenza in serie al condensatore che ne limita il guadagno. Il segnale d'ingresso non deve avere variazioni troppo rapide.

Grafico interattivo: Integratore e derivatore con RC = 1 ms (ascissa: ω in rad/s, scala logaritmica; ordinata: |A_v| in dB): l'integratore scende di 20 dB/decade e vale 0 dB in ω = 1/RC = 1000 rad/s, il derivatore sale di 20 dB/decade e passa per lo stesso punto; i due punti sono gli esempi del testo, integratore a 1 kHz (−16 dB, cioè guadagno 0,16) e derivatore a 100 Hz (−4 dB, guadagno 0,63)

Formula (amplificatore per strumentazione). Due non invertenti con una sola resistenza $R_g$ tra i due morsetti invertenti, seguiti da un differenziale. Le due uscite $v_{o1},v_{o2}$ soddisfano

$v_{o1}-v_{o2}=\Big(1+\frac{2R}{R_g}\Big)(V_1-V_2),$

Esempio. Con $R = 10\ \mathrm{k\Omega}$ e $R_g = 1\ \mathrm{k\Omega}$ il primo stadio ha guadagno $1 + 2R/R_g = 21$ ; con $V_1 - V_2 = 0{,}1\ \mathrm V$ è $v_{o1} - v_{o2} = 2{,}1\ \mathrm V$ .

Segnali di modo differenziale e di modo comune - CMRR

Definizione (modo comune e modo differenziale). Dati due segnali $v_1$ e $v_2$ si definiscono

$v_{CM}=\frac{v_1+v_2}{2}\quad\text{(modo comune)},\qquad v_D=v_1-v_2\quad\text{(modo differenziale)}.$

Esempio. Con $v_1 = 0{,}6\ \mathrm V$ e $v_2 = -0{,}2\ \mathrm V$ : $v_{CM} = 0{,}2\ \mathrm V$ e $v_D = 0{,}8\ \mathrm V$ ; infatti $v_1 = 0{,}2 + 0{,}4$ e $v_2 = 0{,}2 - 0{,}4$ .

Formula (guadagni di modo differenziale e di modo comune). Un amplificatore con due ingressi e una sola uscita ha in generale guadagni $A_1$ (dall'ingresso non invertente) e $A_2$ (dall'invertente, in modulo): $v_O=A_1v_1-A_2v_2=A_1\Big(v_{CM}+\frac{v_D}2\Big)-A_2\Big(v_{CM}-\frac{v_D}2\Big)=\underbrace{(A_1-A_2)}_{A_{CM}}v_{CM}+\underbrace{\frac{A_1+A_2}{2}}_{A_D}v_D.$ Quindi $A_D=\left.\frac{v_O}{v_D}\right|_{v_{CM}=0}=\frac{A_1+A_2}2,\qquad A_{CM}=\left.\frac{v_O}{v_{CM}}\right|_{v_D=0}=A_1-A_2.$

Esempio. Con $A_1 = 10{,}05$ e $A_2 = 9{,}95$ : $A_D = \frac{A_1 + A_2}{2} = 10$ e $A_{CM} = A_1 - A_2 = 0{,}1$ .

Definizione (rapporto di reiezione del modo comune, CMRR).

Un amplificatore differenziale ideale ha $A_1=A_2$ , quindi $A_{CM}=0$ e $v_O=A_Dv_D$ .

La qualità si misura con il rapporto di reiezione del modo comune $\boxed{\mathrm{CMRR}=\frac{|A_D|}{|A_{CM}|}\qquad\mathrm{CMRR}_{dB}=20\log_{10}\frac{|A_D|}{|A_{CM}|}}$ infinito nel caso ideale.

Esempio. Con $A_D = 10$ e $A_{CM} = 0{,}1$ : $\mathrm{CMRR} = 100$ , cioè $20\log_{10}100 = 40\ \mathrm{dB}$ .

Formula (stadio d'ingresso dell'amplificatore per strumentazione). Per i circuiti con due ingressi e due uscite si definiscono anche $v_{OD}=v_{O1}-v_{O2}$ e $v_{OCM}=(v_{O1}+v_{O2})/2$ e quattro guadagni. Per lo stadio con due non invertenti e $R_g$ tra i morsetti invertenti (resistenze di retroazione uguali, $R_{B1}=R_{B2}=R_B$ ): $\begin{bmatrix}v_{OD}\\v_{OCM}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1+\dfrac{2R_B}{R_g}&0\\0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}v_D\\v_{CM}\end{bmatrix}.$ Il modo differenziale è amplificato, il modo comune passa con guadagno 1 e non genera componente differenziale, qualunque sia il valore (anche impreciso) delle resistenze. Lo stadio differenziale che segue (resistenze appaiate) attenua il modo comune. Così si misurano piccoli segnali sovrapposti a tensioni grandi: con $v_D=10\ \mathrm{mV}$ su un modo comune di $1\ \mathrm V$ ( $A_D=100$ e $\mathrm{CMRR}=60\ \mathrm{dB}$ ) l'errore è $A_{CM}v_{CM}=0{,}1\ \mathrm V$ contro un'uscita utile di $1\ \mathrm V$ .

Esempio. Con $R_B = 10\ \mathrm{k\Omega}$ e $R_g = 1\ \mathrm{k\Omega}$ il guadagno differenziale è $1 + 2R_B/R_g = 21$ e quello di modo comune $1$ : con $v_D = 10\ \mathrm{mV}$ e $v_{CM} = 1\ \mathrm V$ si ha $v_{OD} = 210\ \mathrm{mV}$ e $v_{OCM} = 1\ \mathrm V$ .

Operazionale reale - guadagno finito, offset, correnti di polarizzazione e slew rate

Formula (invertente con guadagno finito). Per un amplificatore invertente con guadagno ideale $-R_2/R_1$ e opamp con guadagno $A$ (non più corto virtuale: $v_D=v_O/A$ ): $A_v=-\frac{R_2}{R_1}\cdot\frac{A}{A+(1+R_2/R_1)}=-\frac{R_2}{R_1}\cdot\frac1{1+\dfrac{1+R_2/R_1}{A}}.$ Se $|A|\gg 1+R_2/R_1$ si ritrova il valore ideale. Esempio: $R_2/R_1=9$ e $A_0=10^5$ : l'errore è $10/10^5=0{,}01\%$ . Il fattore $\dfrac{1}{1+G/A}$ , con $G=1+R_2/R_1$ , è lo stesso per il non invertente (guadagno ideale $G$ ): $A_v=\dfrac{G}{1+G/A}=\dfrac{A}{1+A/G}$ . Questa è la struttura di un sistema retroazionato con guadagno diretto $A$ e fattore di retroazione $\beta=1/G=R_1/(R_1+R_2)$ : $A_v=\dfrac{A}{1+A\beta}$ .

Con il guadagno finito anche le resistenze cambiano ( $\beta=R_1/(R_1+R_2)$ ): la resistenza di ingresso dell'invertente è $R_{in}=R_1+\dfrac{R_2}{1+A}$ (il nodo $-$ non è più a massa virtuale), e la resistenza di uscita dei circuiti con retroazione negativa è $R_{out}=\dfrac{R_O}{1+A\beta}$ : con $R_O=100\ \Omega$ , $A=10^5$ e $\beta=0{,}1$ è $R_{out}=0{,}01\ \Omega$ (praticamente nulla: la retroazione "nasconde" $R_O$ ).

Esempio. Con $R_2/R_1 = 9$ e $A = 10^{5}$ : $A_v = -\frac{9}{1 + 10/10^{5}} \approx -8{,}9991$ , con un errore di $0{,}01\%$ rispetto a $-9$ .

Formula (prodotto guadagno-banda). Con $A(j\omega)=\dfrac{A_0}{1+j\omega/\omega_A}$ e $A_0\gg G$ : $A_v(j\omega)=\frac{A}{1+A/G}\simeq\frac{G}{1+j\omega/\omega_B},\qquad\omega_B=\frac{\omega_AA_0}{G}=\frac{\omega_T}{G}.$ Il circuito è un passa-basso con guadagno $G$ e banda $\omega_T/G$ : guadagno per banda costante (uguale a $\omega_T$ ). Più si chiede guadagno, meno banda c'è. Esempio: $A_0=10^5$ , $f_T=1\ \mathrm{MHz}$ ( $f_A=10\ \mathrm{Hz}$ ): per $G=10$ la banda è $100\ \mathrm{kHz}$ , per $G=100$ è $10\ \mathrm{kHz}$ (controllato calcolando numericamente $A/(1+A\beta)$ : frequenze a $-3\ \mathrm{dB}$ di $100{,}0\ \mathrm{kHz}$ e $10{,}01\ \mathrm{kHz}$ ).

Esempio. Con $f_T = 1\ \mathrm{MHz}$ : per $G = 10$ la banda è $f_T/G = 100\ \mathrm{kHz}$ , per $G = 100$ è $10\ \mathrm{kHz}$ .

Grafico interattivo: Guadagno in dB di un non invertente con G = 10 (opamp con prodotto guadagno-banda di 1 MHz) in funzione di log10(f): guadagno 20 dB fino a circa 100 kHz, poi −20 dB/decade

Formula (errore dovuto alla tensione di offset). Si spegne il segnale e si considera $V_{OS}$ come ingresso. In un invertente $V_{OS}$ si somma in serie all'ingresso non invertente, quindi per quel contributo il circuito è un non invertente: $v_O=-\frac{R_2}{R_1}V_S+\Big(1+\frac{R_2}{R_1}\Big)V_{OS}.$ Il secondo termine è un errore di ampiezza massima nota e segno incognito. Esempio: $R_1=1\ \mathrm{k\Omega}$ , $R_2=99\ \mathrm{k\Omega}$ e $|V_{OS}|=2\ \mathrm{mV}$ : errore fino a $100\cdot2\ \mathrm{mV}=0{,}2\ \mathrm V$ in uscita con ingresso nullo. Si corregge con un trimmer che applica al morsetto non invertente una piccola tensione regolabile, tarata per avere $v_O=0$ con $V_S=0$ (vale solo alla temperatura di taratura, perché $V_{OS}$ varia con la temperatura e con l'età del componente).

Esempio. Con $R_1 = 1\ \mathrm{k\Omega}$ , $R_2 = 99\ \mathrm{k\Omega}$ e $|V_{OS}| = 2\ \mathrm{mV}$ l'errore in uscita è al massimo $100 \cdot 2\ \mathrm{mV} = 0{,}2\ \mathrm V$ .

Formula (errore dovuto alle correnti di ingresso). Con $V_S=0$ e un invertente con il morsetto $+$ a massa: $v_{INV}=v_{NI}=0$ , in $R_1$ non passa corrente e quindi tutta $I_{INV}$ viene da $R_2$ : $v_O=R_2\Big(I_B-\frac{I_{OS}}2\Big)\simeq R_2I_B\quad(|I_B|\gg|I_{OS}|).$

Esempio. Con $R_2 = 100\ \mathrm{k\Omega}$ e $I_B = 80\ \mathrm{nA}$ : $v_O \simeq R_2 I_B = 100\ \mathrm{k\Omega} \cdot 80\ \mathrm{nA} = 8\ \mathrm{mV}$ .

Definizione (slew rate e frequenza massima senza distorsione). Gli stadi interni hanno una corrente massima per caricare i condensatori interni, quindi l'uscita non può variare più velocemente di $SR=\left|\frac{dv_O}{dt}\right|_{max}\quad(\mathrm V/\mu\mathrm s).$ Per una sinusoide $v_O=V_p\sin\omega t$ la massima pendenza è $\omega V_p$ e non si ha distorsione se $\omega V_p\le SR$ , cioè $f_{max}=\frac{SR}{2\pi V_p}.$

Esempio: con $SR=0{,}5\ \mathrm{V/\mu s}$ e $V_p=10\ \mathrm V$ si ha $f_{max}=\dfrac{0{,}5\cdot10^6}{2\pi\cdot10}=7{,}96\ \mathrm{kHz}$ : a frequenze superiori l'onda sinusoidale diventa triangolare. A differenza del limite di banda $\omega_T/G$ (valido per segnali piccoli), lo slew rate è un limite a grande segnale: dipende dall'ampiezza.

Grafico interattivo: Slew rate SR = 0,5 V/μs con ingresso sinusoidale di 20 kHz e ampiezza 10 V (oltre f_max = 7,96 kHz), tempo in μs: l'uscita (arancio) non può salire più in fretta di 0,5 V/μs e diventa una forma triangolare di ampiezza ≈ 8,5 V, in ritardo rispetto alla sinusoide ideale (blu)

III. Risposta in frequenza e diagrammi di Bode

Funzione di trasferimento e diagrammi di Bode

Formula (risposta in frequenza e uscita a un ingresso sinusoidale). Un amplificatore lineare con condensatori ha un guadagno che dipende dalla frequenza. Nel dominio di Laplace (Laplace unilatera, funzione di trasferimento e stabilità) il guadagno $A(s)=V_{out}(s)/V_{in}(s)$ è una funzione razionale di $s$ . Per segnali sinusoidali si pone $s=j\omega$ : la funzione complessa $A(j\omega)$ è la risposta in frequenza (Risposta in frequenza e risposta a ingresso sinusoidale) e indica come un segnale $\sin(\omega t)$ viene modificato:

$v_{in}=V\sin(\omega_0t+\varphi)\ \Longrightarrow\ v_{out}=V\,|A(j\omega_0)|\,\sin\big(\omega_0t+\varphi+\angle A(j\omega_0)\big).$

Esempio. Con $|A(j\omega_0)| = 10$ e $\angle A(j\omega_0) = -45^\circ$ , un ingresso $0{,}1\sin(\omega_0 t)\ \mathrm V$ dà $v_{out} = 1\sin(\omega_0 t - 45^\circ)\ \mathrm V$ .

Definizione (forma fattorizzata di Bode). Dopo aver ricavato $A(s)$ dal circuito si scrive nella forma con i fattori adimensionali:

$A(s)=A_0\,\frac{(sT_{z1})\cdots(sT_{zk})\,(1+sT_{z,k+1})\cdots(1+sT_{zM})}{(sT_{p1})\cdots(sT_{ph})\,(1+sT_{p,h+1})\cdots(1+sT_{pN})}.$

Zeri e poli sono i valori di $s$ che annullano numeratore e denominatore. Il fattore $(1+sT)$ ha radice $s=-1/T$ e si scrive anche $(1+s/\omega_i)$ con $\omega_i=1/T$ pulsazione del polo/zero (per radici negative; per radici positive $\omega_i=+z_i$ e il fattore è $(1-s/\omega_i)$ ).

I fattori $(sT)$ sono zeri o poli nell'origine.

Le radici complesse coniugate si raggruppano in $\big(1+2\xi\,\tfrac s{\omega_n}+\tfrac{s^2}{\omega_n^2}\big)$ , con $\omega_n$ pulsazione naturale e $\xi\in[0,1]$ coefficiente di smorzamento.

Si fa in modo che in ogni fattore $(1+\cdots)$ il termine noto valga 1: la costante $A_0$ è quindi il valore del guadagno a bassa frequenza (se non ci sono zeri o poli nell'origine).

Esempio di riduzione: $A(s)=\dfrac{2+0{,}02\,s}{(0{,}1+s)(1+10^{-3}s)}$ : si porta fuori $2$ dal numeratore e $0{,}1$ dal primo fattore: $A(s)=\dfrac{2}{0{,}1}\cdot\dfrac{1+0{,}01s}{(1+10s)(1+10^{-3}s)}=20\cdot\dfrac{1+s/100}{(1+s/0{,}1)(1+s/1000)}$ : costante $20\ (26\ \mathrm{dB})$ , zero a $100\ \mathrm{rad/s}$ , poli a $0{,}1$ e $1000\ \mathrm{rad/s}$ .

Proprietà (diagramma asintotico del modulo di un polo reale). Per ogni fattore si guardano due casi limite. Per un polo reale $\dfrac1{1+j\omega/\omega_p}$ :

$\omega\ll\omega_p$ : la parte immaginaria è trascurabile, $|\cdot|\simeq1$ ( $0\ \mathrm{dB}$ );

$\omega\gg\omega_p$ : domina la parte immaginaria, $|\cdot|\simeq\omega_p/\omega$ : $-20\ \mathrm{dB/decade}$ (ogni volta che $\omega$ si moltiplica per 10 il modulo si divide per 10; equivalente a $-6\ \mathrm{dB/ottava}$ );

in $\omega=\omega_p$ il modulo esatto vale $1/\sqrt2$ , cioè $-3\ \mathrm{dB}$ sotto l'asintoto. Le due semirette si raccordano in $\omega_p$ (punto di spezzamento).

Esempio. Polo in $\omega_p = 1000\ \mathrm{rad/s}$ : in $\omega_p$ il modulo è $-3\ \mathrm{dB}$ e in $\omega = 10^4\ \mathrm{rad/s}$ è circa $-20\ \mathrm{dB}$ (esatto $-20{,}04\ \mathrm{dB}$ ).

Grafico interattivo: Polo reale in ω_p = 1000 rad/s, guadagno in continua 0 dB (ascissa: ω in rad/s, scala logaritmica; ordinata: dB): modulo esatto −10 log₁₀(1 + (ω/ω_p)²) e diagramma asintotico (tratteggio); l'errore massimo è nel punto di spezzamento, dove il modulo esatto è −3 dB, e a ω_p/2 e 2ω_p vale ancora circa 1 dB

Proprietà (modulo e fase asintotici dei singoli fattori).

Fattore Modulo asintotico Fase

costante $A_0>0$ costante $20\log A_0$ $0$

costante $A_0<0$ idem con $\lvert A_0\rvert$ $\pm180^\circ$

zero nell'origine $s/\omega_z$ $+20$ dB/dec, vale $0\ \mathrm{dB}$ in $\omega_z$ $+90^\circ$

polo nell'origine $\omega_p/s$ $-20$ dB/dec, vale $0\ \mathrm{dB}$ in $\omega_p$ $-90^\circ$

zero reale $(1+s/\omega_z)$ $0$ fino a $\omega_z$ , poi $+20$ dB/dec da $0$ a $+90^\circ$

polo reale $(1+s/\omega_p)^{-1}$ $0$ fino a $\omega_p$ , poi $-20$ dB/dec da $0$ a $-90^\circ$

coppia di zeri complessi $0$ fino a $\omega_n$ , poi $+40$ dB/dec da $0$ a $+180^\circ$

coppia di poli complessi $0$ fino a $\omega_n$ , poi $-40$ dB/dec da $0$ a $-180^\circ$

radice reale positiva $(1-s/\omega)$ modulo uguale a quello della radice negativa segno della fase invertito

Fattore	Modulo asintotico	Fase
costante $A_0>0$	costante $20\log A_0$	$0$
costante $A_0<0$	idem con $\lvert A_0\rvert$	$\pm180^\circ$
zero nell'origine $s/\omega_z$	$+20$ dB/dec, vale $0\ \mathrm{dB}$ in $\omega_z$	$+90^\circ$
polo nell'origine $\omega_p/s$	$-20$ dB/dec, vale $0\ \mathrm{dB}$ in $\omega_p$	$-90^\circ$
zero reale $(1+s/\omega_z)$	$0$ fino a $\omega_z$ , poi $+20$ dB/dec	da $0$ a $+90^\circ$
polo reale $(1+s/\omega_p)^{-1}$	$0$ fino a $\omega_p$ , poi $-20$ dB/dec	da $0$ a $-90^\circ$
coppia di zeri complessi	$0$ fino a $\omega_n$ , poi $+40$ dB/dec	da $0$ a $+180^\circ$
coppia di poli complessi	$0$ fino a $\omega_n$ , poi $-40$ dB/dec	da $0$ a $-180^\circ$
radice reale positiva $(1-s/\omega)$	modulo uguale a quello della radice negativa	segno della fase invertito

Esempio. Con uno zero a $100\ \mathrm{rad/s}$ e un polo a $1000\ \mathrm{rad/s}$ su guadagno unitario: $0\ \mathrm{dB}$ fino a $100$ , poi $+20\ \mathrm{dB/dec}$ fino a $+20\ \mathrm{dB}$ in $1000$ , poi di nuovo piatto a $+20\ \mathrm{dB}$ .

Proprietà (fase asintotica di un polo reale). Per un polo reale la fase esatta è $-\arctan(\omega/\omega_p)$ : $-45^\circ$ in $\omega_p$ e asintoti a $0^\circ$ e $-90^\circ$ . Nel diagramma asintotico si raccordano i due asintoti con un segmento che comincia una decade prima ( $\omega_p/10$ ) e finisce una decade dopo ( $10\,\omega_p$ ): la fase varia di $-90^\circ$ su due decadi, cioè con pendenza $-45^\circ$ /decade, ed è $-45^\circ$ in $\omega_p$ . Per uno zero reale vale lo stesso con segno $+$ . Per i fattori nell'origine la fase è costante ( $\pm90^\circ$ ). Per i poli o zeri positivi il segno della variazione è opposto: per esempio $(1-s/\omega_z)$ ha lo stesso modulo di $(1+s/\omega_z)$ ma la fase scende da $0$ a $-90^\circ$ (è lo "zero a fase non minima").

Esempio. Polo in $\omega_p = 1000\ \mathrm{rad/s}$ : la fase vale $0^\circ$ fino a $100\ \mathrm{rad/s}$ , $-45^\circ$ in $1000\ \mathrm{rad/s}$ e $-90^\circ$ da $10^4\ \mathrm{rad/s}$ in poi.

Grafico interattivo: Fase dello stesso polo (ascissa: ω in rad/s, scala logaritmica; ordinata: gradi): fase esatta −arctan(ω/ω_p) e diagramma asintotico a rampa che va da 0° a −90° in due decadi, da ω_p/10 a 10ω_p; le due curve coincidono in ω_p (−45°) e l'errore massimo è circa 5,7°, agli estremi della rampa

Circuiti con operazionale in frequenza - Bode e uscita a una sinusoide

Formula (passa-basso invertente). Passa-basso invertente. $Z_1=R_1$ , $Z_2=R_2\|C_2$ : $A_v(s)=-\dfrac{R_2}{R_1}\dfrac1{1+sR_2C_2}$ : guadagno $R_2/R_1$ , un polo in $\omega_p=1/(R_2C_2)$ .

Esempio. Con $R_1 = 10\ \mathrm{k\Omega}$ , $R_2 = 100\ \mathrm{k\Omega}$ e $C_2 = 1{,}6\ \mathrm{nF}$ : $A_v(s) = -\frac{10}{1 + s/6250}$ , guadagno $20\ \mathrm{dB}$ e polo in $\omega_p = 6250\ \mathrm{rad/s}$ .

Formula (passa-alto invertente). Passa-alto invertente. $Z_1=R_1+\dfrac1{sC_1}$ e $Z_2=R_2$ : $A_v(s)=-\dfrac{R_2}{R_1}\cdot\dfrac{s\,R_1C_1}{1+sR_1C_1}$ : zero nell'origine e polo in $\omega=1/(R_1C_1)$ ; ad alta frequenza vale $-R_2/R_1$ .

Esempio. Con $R_1 = 1\ \mathrm{k\Omega}$ , $C_1 = 1\ \mu\mathrm F$ e $R_2 = 10\ \mathrm{k\Omega}$ : il polo è in $1/(R_1 C_1) = 1000\ \mathrm{rad/s}$ e ad alta frequenza il guadagno è $-R_2/R_1 = -10$ .

Formula (passa-banda invertente). Passa-banda invertente (i due insieme): $A_v(s)=-\frac{R_2}{R_1}\cdot\frac{s\tau_1}{(1+s\tau_1)(1+s\tau_2)},\qquad\tau_1=R_1C_1,\ \tau_2=R_2C_2.$ Guadagno di banda $R_2/R_1$ tra $\omega_1=1/\tau_1$ e $\omega_2=1/\tau_2$ (se $\omega_1\ll\omega_2$ ).

Rete RC a scala non separata da un buffer. Due celle RC passa-basso in cascata non danno il prodotto di due poli semplici, perché la seconda carica la prima. Per $V_{in}\to R_1\to$ nodo $a$ (con $C_1$ a massa) $\to R_2\to$ nodo $v$ (con $C_2$ a massa): $\frac{V_v}{V_{in}}=\frac1{1+s(R_1C_1+R_1C_2+R_2C_2)+s^2R_1R_2C_1C_2}.$ Per $R_1=5\ \mathrm{k\Omega}$ , $C_1=100\ \mathrm{nF}$ , $R_2=10\ \mathrm{k\Omega}$ , $C_2=50\ \mathrm{nF}$ : coefficiente di $s$ : $0{,}5+0{,}25+0{,}5=1{,}25\ \mathrm{ms}$ ; coefficiente di $s^2$ : $2{,}5\cdot10^{-7}\ \mathrm{s^2}$ . Il denominatore ha radici $s=\dfrac{-1{,}25\cdot10^{-3}\pm\sqrt{1{,}5625\cdot10^{-6}-10^{-6}}}{5\cdot10^{-7}}=-1000$ e $-4000\ \mathrm{rad/s}$ , quindi la rete ha $\dfrac1{(1+s/1000)(1+s/4000)}$ : poli reali e distinti (una rete RC ha sempre poli reali negativi), ma diversi da $1/(R_1C_1)=2000$ e $1/(R_2C_2)=2000$ . L'espressione è stata controllata con l'analisi nodale a tre pulsazioni.

Esempio. Con $R_1 = 1\ \mathrm{k\Omega}$ , $C_1 = 1\ \mu\mathrm F$ , $R_2 = 100\ \mathrm{k\Omega}$ e $C_2 = 1{,}6\ \mathrm{nF}$ : guadagno di banda $R_2/R_1 = 100$ ( $40\ \mathrm{dB}$ ) tra $\omega_1 = 1000\ \mathrm{rad/s}$ e $\omega_2 = 6250\ \mathrm{rad/s}$ .

Formula (uscita con un ingresso costante più una sinusoide). Se $v_{in}(t)=V_0+V_1\sin(\omega_1t+\varphi)$ , per la linearità $v_{out}(t)=A(0)\,V_0+|A(j\omega_1)|\,V_1\,\sin\big(\omega_1t+\varphi+\angle A(j\omega_1)\big).$ La componente continua passa moltiplicata per $A(0)$ (il valore a frequenza zero): se c'è uno zero nell'origine (per esempio un condensatore di accoppiamento all'ingresso) la continua è bloccata.

Il valore $|A(j\omega_1)|$ si può leggere sul diagramma asintotico (dB $\to$ rapporto con $10^{dB/20}$ ) oppure calcolare in modo esatto con i numeri complessi: all'esame si dichiara quale dei due si usa e, se chiesto il diagramma, si usa quello.

Esempio 1 (passa-basso invertente). $R_1=10\ \mathrm{k\Omega}$ , $R_2=100\ \mathrm{k\Omega}$ , $C_2=1{,}6\ \mathrm{nF}$ : $A_v(s)=-\dfrac{10}{1+s/6250}$ (guadagno $20\ \mathrm{dB}$ , polo in $\omega_p=6250\ \mathrm{rad/s}$ , cioè $995\ \mathrm{Hz}$ ). Con $v_{in}=0{,}1\sin(62500\,t)$ ( $\omega=10\,\omega_p$ ): $|A|=\dfrac{10}{\sqrt{1+100}}=0{,}995$ (l'asintotica dà $20-20=0\ \mathrm{dB}$ , cioè $1$ ) e la fase vale $180^\circ-\arctan10=95{,}7^\circ$ (l'asintotica, a $10\omega_p$ , dà $180^\circ-90^\circ=90^\circ$ ). Quindi $v_{out}=0{,}0995\sin(62500\,t+95{,}7^\circ)$ V. (Valori controllati con analisi nodale con opamp ideale.)

Grafico interattivo: Esempio 1, passa-basso invertente A_v = −10/(1 + s/6250) (ascissa: ω in rad/s, scala logaritmica; ordinata: |A_v| in dB): 20 dB fino al polo ω_p = 6250 rad/s, poi −20 dB/decade; la curva continua è il modulo esatto, il tratteggio l'asintotico; in ω_p il modulo esatto vale 17 dB

IV. Semiconduttori e diodi

Semiconduttori - bande, drogaggio e legge di azione di massa

Formula (concentrazione intrinseca e dipendenza dalla temperatura). Nel silicio puro, a ogni elettrone libero corrisponde una lacuna: $n=p=n_i$ . La concentrazione intrinseca a $300\ \mathrm K$ è $n_i\approx1{,}5\cdot10^{10}\ \mathrm{cm^{-3}}$ (contro circa $5\cdot10^{22}\ \mathrm{cm^{-3}}$ atomi): un legame ogni $3\cdot10^{12}$ è spezzato. Dipende molto dalla temperatura: $n_i^2=B\,T^3\,e^{-E_G/(kT)}\quad\Longrightarrow\quad\frac{n_i^2(T_2)}{n_i^2(T_1)}=\Big(\frac{T_2}{T_1}\Big)^3e^{-\frac{E_G}{k}\left(\frac1{T_2}-\frac1{T_1}\right)}.$ Con $k=8{,}62\cdot10^{-5}\ \mathrm{eV/K}$ e il silicio: da $300\ \mathrm K$ a $450\ \mathrm K$ il rapporto $n_i^2$ è circa $6\cdot10^6$ e quindi $n_i$ cresce di un fattore circa $2{,}5\cdot10^3$ (con un aumento di $150\ ^\circ\mathrm C$ i portatori intrinseci salgono di tre ordini di grandezza e diventano confrontabili con un drogaggio debole: è il limite termico di funzionamento dei dispositivi, oltre il quale il semiconduttore perde le proprietà del drogaggio). Il grafico mostra $\log_{10}n_i$ tra $250$ e $450\ \mathrm K$ (valori calcolati con la formula del rapporto a partire da $n_i=1{,}5\cdot10^{10}$ a $300\ \mathrm K$ : $1{,}5\cdot10^8$ a $250\ \mathrm K$ , $4{,}2\cdot10^{11}$ a $350\ \mathrm K$ , $3{,}8\cdot10^{13}$ a $450\ \mathrm K$ ).

Esempio. Da $300\ \mathrm K$ a $450\ \mathrm K$ la concentrazione intrinseca del silicio passa da $1{,}5 \cdot 10^{10}$ a circa $3{,}8 \cdot 10^{13}\ \mathrm{cm^{-3}}$ , cioè cresce di un fattore circa $2{,}5 \cdot 10^{3}$ .

Grafico interattivo: log10 della concentrazione intrinseca n_i del silicio (in cm^-3) in funzione della temperatura T (kelvin): da 8,2 a 250 K a 13,6 a 450 K

Definizione (donatori e accettori, semiconduttore di tipo n e di tipo p).

donatori ( $N_D$ per $\mathrm{cm^3}$ ): atomi pentavalenti (fosforo, arsenico, azoto, ...) hanno cinque elettroni di valenza: quattro formano legami, il quinto è poco legato e a temperatura ambiente è libero. L'atomo resta uno ione fisso positivo $+q$ . Si ottiene un semiconduttore di tipo n: elettroni = portatori maggioritari, lacune = minoritari.

accettori ( $N_A$ ): atomi trivalenti (boro, alluminio, gallio, indio) hanno solo tre elettroni di valenza e lasciano un legame incompleto: un elettrone vicino lo riempie e crea una lacuna libera. L'atomo diventa uno ione fisso negativo $-q$ . Si ottiene il tipo p: lacune maggioritarie.

Esempio. Il fosforo con $N_D = 10^{16}\ \mathrm{cm^{-3}}$ dà un semiconduttore di tipo n con $n \simeq 10^{16}\ \mathrm{cm^{-3}}$ ; il boro con $N_A = 10^{16}\ \mathrm{cm^{-3}}$ dà un tipo p con $p \simeq 10^{16}\ \mathrm{cm^{-3}}$ .

Legge di azione di massa e neutralità della carica. In equilibrio termodinamico, a temperatura $T$ , $\boxed{n\cdot p=n_i^2}$ (generazione e ricombinazione si bilanciano: più elettroni, meno lacune). Inoltre il cristallo è neutro: la carica positiva (lacune $p$ più donatori ionizzati $N_D$ ) uguaglia quella negativa (elettroni $n$ più accettori ionizzati $N_A$ ): $p+N_D=n+N_A.$ Sostituendo $p=n_i^2/n$ si ottiene $n^2-(N_D-N_A)\,n-n_i^2=0$ , con soluzione positiva $n=\frac{N_D-N_A}2+\sqrt{\Big(\frac{N_D-N_A}2\Big)^2+n_i^2},\qquad p=\frac{n_i^2}{n}.$

Esempio. Con $N_D = 10^{16}\ \mathrm{cm^{-3}}$ e $n_i = 1{,}5 \cdot 10^{10}\ \mathrm{cm^{-3}}$ : $n \simeq 10^{16}\ \mathrm{cm^{-3}}$ e $p = n_i^2/n = 2{,}25 \cdot 10^{4}\ \mathrm{cm^{-3}}$ .

Corrente di deriva e di diffusione - resistenza di una barretta

Formula (velocità di deriva e mobilità). In un campo elettrico $E$ ogni portatore libero sente la forza $qE$ , ma non accelera indefinitamente: gli urti con il reticolo azzerano continuamente la componente di velocità nel verso del campo, e la velocità media si assesta a un valore proporzionale al campo: $v_n=-\mu_nE\ \text{(gli elettroni vanno in verso opposto al campo)},\qquad v_p=+\mu_pE.$ $\mu_n,\mu_p$ sono le mobilità; per il silicio a basso drogaggio $\mu_n\simeq1300$ , $\mu_p\simeq500\ \mathrm{cm^2\,V^{-1}s^{-1}}$ (si riducono di 10 volte vicino a $10^{18}\ \mathrm{cm^{-3}}$ ; le lacune sono più lente perché si muovono nella banda di valenza). La proporzionalità vale per $E\lesssim3\cdot10^3\ \mathrm{V/cm}$ ; oltre la velocità satura intorno a $10^7\ \mathrm{cm/s}$ .

Esempio. Con $E = 100\ \mathrm{V/cm}$ e $\mu_n = 1300\ \mathrm{cm^2/(V\,s)}$ gli elettroni hanno velocità $1{,}3 \cdot 10^{5}\ \mathrm{cm/s}$ , in verso opposto al campo.

Formula (corrente di deriva e conducibilità). Densità di corrente. In un volumetto di sezione $S$ e lunghezza $dx$ ci sono $p\,S\,dx$ lacune; in $dt$ percorrono $dx=v_pdt$ , quindi la corrente è $I_p=q\,p\,S\,v_p$ e la densità ( $I/S$ ) vale $J_p=qp\mu_pE$ . Gli elettroni hanno carica $-q$ e velocità opposta al campo, per cui la corrente è nello stesso verso del campo: $J_n=qn\mu_nE$ . In totale $J_{drift}=q\,(p\mu_p+n\mu_n)\,E=\sigma E,\qquad\sigma=q\,(p\mu_p+n\mu_n)\ \ [\mathrm{S/cm}].$ Per un semiconduttore drogato di tipo n con $n\gg p$ conta solo il primo termine: $\sigma\simeq qn\mu_n$ , nel tipo p $\sigma\simeq qp\mu_p$ .

Esempio. Silicio di tipo n con $n = 10^{16}\ \mathrm{cm^{-3}}$ , $\mu_n = 1300\ \mathrm{cm^2/(V\,s)}$ ed $E = 10\ \mathrm{V/cm}$ : $\sigma \simeq q n \mu_n = 1{,}6 \cdot 10^{-19} \cdot 10^{16} \cdot 1300 = 2{,}08\ \mathrm{S/cm}$ e $J = \sigma E = 20{,}8\ \mathrm{A/cm^2}$ .

Formula (resistenza di una barretta di semiconduttore). Barretta uniforme di lunghezza $L$ (direzione della corrente) e sezione $S$ con tensione $V$ ai capi: $E=V/L$ , $I=J\,S=\sigma\dfrac{V}{L}S$ , cioè $\boxed{R=\frac{L}{\sigma\,S}=\frac{\rho\,L}{S}}.$ Attenzione alle unità: con $\sigma$ in $\mathrm{S/cm}$ la lunghezza va in cm e la sezione in $\mathrm{cm^2}$ ( $1\ \mathrm{mm}=0{,}1\ \mathrm{cm}$ , $1\ \mathrm{mm^2}=0{,}01\ \mathrm{cm^2}$ ).

Esempio 1 (densità di corrente). Barretta di silicio tipo p, $N_A=2\cdot10^{17}\ \mathrm{cm^{-3}}$ , $\mu_p=440$ , lunga $L=100\ \mu\mathrm m=0{,}01\ \mathrm{cm}$ con $V=4\ \mathrm V$ : $E=4/0{,}01=400\ \mathrm{V/cm}$ (sotto il limite di saturazione, quindi la legge lineare vale). Le lacune sono $p\simeq N_A$ e si trascurano gli elettroni minoritari ( $n=n_i^2/N_A\approx10^3\ \mathrm{cm^{-3}}$ ): $J=qp\mu_pE=1{,}6\cdot10^{-19}\cdot2\cdot10^{17}\cdot440\cdot400=5632\ \mathrm{A/cm^2}.$

Formula (corrente di diffusione e relazione di Einstein). Se la concentrazione dei portatori non è uniforme, l'agitazione termica produce un flusso netto dalla zona più concentrata alla meno concentrata (il numero di attraversamenti di una sezione è maggiore dal lato dove ci sono più portatori). La corrente corrispondente è $J_n=qD_n\frac{dn}{dx},\qquad J_p=-qD_p\frac{dp}{dx},$ con $D_n,D_p$ ( $\mathrm{cm^2/s}$ ) coefficienti di diffusione (nel silicio $D_n\simeq34$ , $D_p\simeq13\ \mathrm{cm^2/s}$ ). Il segno cambia perché gli elettroni (carica negativa) che diffondono verso $x$ crescenti fanno una corrente verso $x$ decrescenti. Relazione di Einstein: $\frac{D_n}{\mu_n}=\frac{D_p}{\mu_p}=\frac{kT}{q}=V_T\simeq25\ \mathrm{mV}\ (26\ \mathrm{mV\ a}\ 300\ \mathrm K),$ dove $V_T$ si chiama potenziale termico ( $1/V_T=40\ \mathrm V^{-1}$ a $25\ \mathrm{mV}$ ). La corrente totale è la somma di deriva e diffusione: $J_n=qn\mu_nE+qD_n\frac{dn}{dx},\qquad J_p=qp\mu_pE-qD_p\frac{dp}{dx}.$

Esempio. A $300\ \mathrm K$ è $V_T = kT/q = 8{,}62 \cdot 10^{-5} \cdot 300 = 25{,}9\ \mathrm{mV}$ ; con $\mu_n = 1300\ \mathrm{cm^2/(V\,s)}$ si ha $D_n = \mu_n V_T \approx 33{,}6\ \mathrm{cm^2/s}$ .

Formula (tensione indotta da una concentrazione non uniforme). Con $E=-dV/dx$ e integrando tra $X_1$ e $X_2$ : $\boxed{V(X_2)-V(X_1)=V_T\ln\frac{n(X_2)}{n(X_1)}}$

Esempio. Con $n(0) = 10^{17}$ e $n(L) = 10^{15}\ \mathrm{cm^{-3}}$ a $V_T = 25\ \mathrm{mV}$ : $V(L) - V(0) = 0{,}025\,\ln(10^{-2}) \approx -115\ \mathrm{mV}$ .

Equazione di continuità e portatori minoritari in eccesso

Definizione (ricombinazione e tempo di vita medio dei minoritari). Se si porta il materiale fuori equilibrio (per esempio illuminandolo, o iniettando portatori con una giunzione polarizzata) compaiono lacune in eccesso $\Delta p=p-p_{n0}$ . Ogni lacuna in più modifica pochissimo la concentrazione degli elettroni ( $n\simeq N_D$ , enorme) ma può cambiare molto quella delle lacune (che è piccolissima): per questo ci si occupa delle cariche di minoranza. La velocità di ricombinazione cresce con $p$ e si scrive $R=\frac{p-p_{n0}}{\tau_p},$ cioè ogni lacuna in eccesso vive in media $\tau_p$ (tempo di vita medio, $\tau_p=1/(N_Df_R(T))$ ).

Esempio. Con $\tau_p = 1\ \mu\mathrm s$ e un eccesso $\Delta p = 10^{14}\ \mathrm{cm^{-3}}$ la velocità di ricombinazione è $R = \Delta p/\tau_p = 10^{20}\ \mathrm{cm^{-3}s^{-1}}$ .

Legge di continuità (lacune in un semiconduttore). Per un volumetto di lunghezza $dx$ la variazione nel tempo del numero di lacune è data dal flusso netto di corrente (entra meno esce) più la generazione meno la ricombinazione: $\frac{\partial p(x,t)}{\partial t}=-\frac1q\frac{\partial J_p(x,t)}{\partial x}+G-R.$ Con la corrente di lacune $J_p=qp\mu_pE-qD_p\partial p/\partial x$ (Corrente di deriva e di diffusione - resistenza di una barretta) e $G=G_0=p_{n0}/\tau_p$ si ottiene la forma completa $\frac{\partial p}{\partial t}=-\mu_pp\,\frac{\partial E}{\partial x}-\mu_pE\frac{\partial p}{\partial x}+D_p\frac{\partial^2p}{\partial x^2}-\frac{p-p_{n0}}{\tau_p}.$ Se il campo elettrico è trascurabile (come nelle regioni quasi neutre) e il drogaggio è uniforme: $\boxed{\frac{\partial p}{\partial t}=D_p\frac{\partial^2p}{\partial x^2}-\frac{p-p_{n0}}{\tau_p}}$

Esempio. Senza campo e con un eccesso uniforme $\Delta p = 10^{14}\ \mathrm{cm^{-3}}$ e $\tau_p = 1\ \mu\mathrm s$ : $\partial p/\partial t = -\Delta p/\tau_p = -10^{20}\ \mathrm{cm^{-3}s^{-1}}$ .

Formula (decadimento nel tempo dell'eccesso di minoritari). Se l'eccesso è uniforme nello spazio ( $\partial^2p/\partial x^2=0$ ), per esempio subito dopo aver spento una luce che aveva portato $p$ a $p_{n0}+\Delta p_0$ : $\frac{dp}{dt}=-\frac{p-p_{n0}}{\tau_p}\ \Rightarrow\ p(t)=p_{n0}+\Delta p_0\,e^{-t/\tau_p}.$

Esempio. Con $\tau_p = 1\ \mu\mathrm s$ , dopo $t = 3\ \mu\mathrm s$ l'eccesso è $e^{-3} \approx 5\%$ di quello iniziale.

Formula (profilo stazionario dei minoritari e lunghezza di diffusione). Se $\partial p/\partial t=0$ e c'è un eccesso mantenuto in $x=0$ (iniezione costante), l'equazione diventa $D_p\,p''=(p-p_{n0})/\tau_p$ , cioè per $\Delta p=p-p_{n0}$ : $\Delta p''=\frac{\Delta p}{L_p^2},\qquad L_p=\sqrt{D_p\tau_p}\quad\text{(lunghezza di diffusione)},$ con soluzione generale $p(x)=p_{n0}+Ae^{x/L_p}+Be^{-x/L_p}$ . Per una regione semi-infinita ( $x\ge0$ , $\Delta p\to0$ per $x\to\infty$ ) $A=0$ e $p(x)=p_{n0}+\Delta p(0)\,e^{-x/L_p}.$

Esempio. Con $D_p = 13\ \mathrm{cm^2/s}$ e $\tau_p = 1\ \mu\mathrm s$ : $L_p = \sqrt{D_p\tau_p} = \sqrt{13 \cdot 10^{-6}} \approx 36\ \mu\mathrm m$ ; a $x = L_p$ l'eccesso è $e^{-1} \approx 37\%$ di quello in $x = 0$ .

Grafico interattivo: Profilo dei minoritari in eccesso Δp(x)/Δp(0) (ascissa: x in unità di L_p): regione lunga, esponenziale e^(−x/L_p) che si spegne di un fattore e ogni L_p (37% a x = L_p); regione corta di lunghezza W = 0,5 L_p, in cui la ricombinazione è trascurabile e il profilo è lineare, 1 − x/W, fino a zero al contatto

Formula (equazione del diodo dalla diffusione dei minoritari). In una giunzione pn polarizzata con $V$ la legge della giunzione dà $\Delta p(0)=p_{n0}\big(e^{V/V_T}-1\big)$ al bordo della regione n. La corrente di lacune (e analogamente quella degli elettroni nella regione p) è dunque $J_p=\frac{qD_p\,p_{n0}}{L_p}\big(e^{V/V_T}-1\big)=\frac{qD_pn_i^2}{L_pN_D}\big(e^{V/V_T}-1\big),$ e sommando il contributo degli elettroni si ottiene $I=I_S(e^{V/V_T}-1)$ con $I_S=qSn_i^2\Big[\dfrac{D_p}{L_pN_D}+\dfrac{D_n}{L_nN_A}\Big]$ .

Esempio numerico. $N_D=10^{16}\ \mathrm{cm^{-3}}$ ( $p_{n0}=2{,}25\cdot10^4$ ), $V=0{,}6\ \mathrm V$ , $\tau_p=1\ \mu\mathrm s$ : $\Delta p(0)=2{,}25\cdot10^4\,(e^{24}-1)=6\cdot10^{14}\ \mathrm{cm^{-3}}$ (il $6\%$ di $N_D$ : iniezione "a basso livello", dove valgono le formule). La densità di corrente di lacune è $J_p=\dfrac{1{,}6\cdot10^{-19}\cdot13\cdot6\cdot10^{14}}{3{,}6\cdot10^{-3}}=0{,}34\ \mathrm{A/cm^2}$ , cioè $34\ \mu\mathrm A$ su una sezione di $10^{-4}\ \mathrm{cm^2}$ (solo componente di lacune; l'equazione del diodo aggiunge quella di elettroni). Il profilo esponenziale è stato verificato anche risolvendo numericamente l'equazione differenziale con le condizioni al contorno (valori $1$ ; $0{,}368$ ; $0{,}135$ del massimo in $x=0,L_p,2L_p$ ).

Giunzione pn - potenziale di contatto e zona di svuotamento

Formula (potenziale di contatto di una giunzione pn). In equilibrio $J_n=0$ e $J_p=0$ ovunque. Applicando a ciascun lato la formula della concentrazione non uniforme ( $V(X_2)-V(X_1)=V_T\ln\frac{n(X_2)}{n(X_1)}$ ) con $n_{n}\simeq N_D$ nella regione n e $n_p\simeq n_i^2/N_A$ nella regione p: $\boxed{\Phi_0=V_T\ln\frac{n_n}{n_p}=V_T\ln\frac{N_AN_D}{n_i^2}}$

Esempio. Con $N_A = 4 \cdot 10^{14}$ , $N_D = 2 \cdot 10^{18}$ , $n_i = 1{,}5 \cdot 10^{10}\ \mathrm{cm^{-3}}$ e $V_T = 25\ \mathrm{mV}$ : $\Phi_0 = 0{,}025\,\ln\frac{8 \cdot 10^{32}}{2{,}25 \cdot 10^{20}} \approx 722\ \mathrm{mV}$ .

Formula (larghezza della zona di svuotamento e campo massimo). La carica totale delle due parti deve essere uguale: $qN_Ax_p\,S=qN_Dx_n\,S\Rightarrow N_Ax_p=N_Dx_n$ , quindi la zona penetra di più nel lato meno drogato. Il campo è nullo fuori dalla zona, cresce linearmente (per carica costante) fino a un massimo nella giunzione metallurgica e rientra a zero: ha l'andamento di un triangolo di base $W$ . Il potenziale di contatto è l'area del triangolo: $\Phi_0=\tfrac12E_{max}W$ . Risolvendo con la legge di Gauss ( $\varepsilon_{Si}\simeq1\ \mathrm{pF/cm}$ ): $W=\sqrt{\frac{2\varepsilon_{Si}}{q}\Big(\frac1{N_A}+\frac1{N_D}\Big)\Phi_0},\quad x_n=W\frac{N_A}{N_A+N_D},\quad x_p=W\frac{N_D}{N_A+N_D},\quad E_{max}=\frac{2\Phi_0}{W}.$

Esempio. Giunzione simmetrica $N_A=N_D=10^{16}\ \mathrm{cm^{-3}}$ : $\Phi_0=0{,}025\ln\frac{10^{32}}{2{,}25\cdot10^{20}}=0{,}67\ \mathrm V$ ; $W=\sqrt{\frac{2\cdot10^{-12}}{1{,}6\cdot10^{-19}}\cdot2\cdot10^{-16}\cdot0{,}67}=4{,}1\cdot10^{-5}\ \mathrm{cm}=0{,}41\ \mu\mathrm m$ ( $0{,}20\ \mu\mathrm m$ per lato) e $E_{max}=\dfrac{2\cdot0{,}67}{4{,}1\cdot10^{-5}}=3{,}3\cdot10^4\ \mathrm{V/cm}$ . Con $N_A=10^{17}$ e $N_D=10^{16}$ : $\Phi_0=0{,}73\ \mathrm V$ , $W=0{,}32\ \mu\mathrm m$ con $x_n=0{,}29\ \mu\mathrm m$ e $x_p=0{,}029\ \mu\mathrm m$ (dieci volte meno nel lato più drogato).

Grafico interattivo: Campo elettrico (kV/cm) nella zona di svuotamento di una giunzione simmetrica N_A = N_D = 10^16 cm^-3 in funzione della posizione x (μm): triangolo di base W = 0,41 μm e valore minimo −32,8 kV/cm nella giunzione

Formula (larghezza della zona di svuotamento con tensione applicata). Le formule precedenti restano valide sostituendo $\Phi_0$ con $\Phi_0-V$ : $W(V)=W(0)\sqrt{1-\frac V{\Phi_0}}.$

Esempio. Per la giunzione simmetrica dell'esempio: $V=0{,}3\ \mathrm V$ (diretta) $\to W=0{,}30\ \mu\mathrm m$ ; $V=0\to0{,}41\ \mu\mathrm m$ ; $V=-5\ \mathrm V\to W=0{,}41\sqrt{1+5/0{,}67}=1{,}19\ \mu\mathrm m$ .

Formula (capacità di giunzione). Capacità di giunzione. La zona di svuotamento è un dielettrico tra due regioni conduttrici: ha capacità per unità di area $\varepsilon_{Si}/W$ . Quindi $C_j(V)=\frac{\varepsilon_{Si}S}{W(V)}=\frac{C_{j0}}{\sqrt{1-V/\Phi_0}},\qquad C_{j0}=\frac{\varepsilon_{Si}S}{W(0)}.$

Esempio. Con $S=10^{-4}\ \mathrm{cm^2}$ : $C_{j0}=\frac{10^{-12}\cdot10^{-4}}{4{,}1\cdot10^{-5}}=2{,}4\ \mathrm{pF}$ . La capacità decresce con la polarizzazione inversa ed è alla base dei varicap (condensatori controllati in tensione).

Grafico interattivo: Capacità di giunzione dell'esempio, C_j = C_j0/√(1 − V/Φ₀) con C_j0 = 2,4 pF e Φ₀ = 0,67 V (ascissa: V in V, ordinata: pF): vale 2,4 pF a V = 0, sale in polarizzazione diretta (zona più stretta) e scende in inversa, fino a 0,82 pF a −5 V, perché la zona di svuotamento si allarga

Formula (legge della giunzione). Fuori dalla zona di svuotamento la corrente è di diffusione dei portatori minoritari iniettati dall'altro lato. La legge della giunzione dà le concentrazioni dei minoritari ai bordi della zona, in funzione della tensione: $p_n(x_n)=p_{n0}\,e^{V/V_T}=\frac{n_i^2}{N_D}e^{V/V_T},\qquad n_p(-x_p)=n_{p0}\,e^{V/V_T}=\frac{n_i^2}{N_A}e^{V/V_T}.$

Esempio. Con $N_D = 10^{16}\ \mathrm{cm^{-3}}$ e $V = 0{,}6\ \mathrm V$ : $p_{n0} = 2{,}25 \cdot 10^{4}$ e $p_n(x_n) = p_{n0}\,e^{24} \approx 6 \cdot 10^{14}\ \mathrm{cm^{-3}}$ .

Formula (equazione del diodo a giunzione). In polarizzazione diretta i minoritari in eccesso si diffondono nelle regioni quasi neutre e si ricombinano dopo una lunghezza di diffusione $L_p=\sqrt{D_p\tau_p}$ , $L_n=\sqrt{D_n\tau_n}$ ( $\tau$ vita media). Sommando le due correnti di diffusione si ottiene l'equazione del diodo $\boxed{I=I_S\left(e^{V/V_T}-1\right),\qquad I_S=qS\,n_i^2\left[\frac{D_p}{L_pN_D}+\frac{D_n}{L_nN_A}\right]}$

Esempio. Con $I_S = 1{,}5 \cdot 10^{-15}\ \mathrm A$ e $V = 0{,}6\ \mathrm V$ : $I = I_S\,(e^{24} - 1) \approx 40\ \mu\mathrm A$ .

Il diodo a giunzione - equazione, modelli e piccolo segnale

Formula (caratteristica del diodo a giunzione). Il diodo è una giunzione pn (Giunzione pn - potenziale di contatto e zona di svuotamento) con due morsetti: anodo (lato p) e catodo (lato n). Con la tensione $V_D$ (anodo meno catodo) e la corrente $I_D$ (entrante nell'anodo):

$I_D=I_S\left(e^{V_D/V_T}-1\right).$

$V_D>0$ di pochi $V_T$ : $I_D\simeq I_Se^{V_D/V_T}$ , esponenziale: la corrente cresce di un fattore 10 ogni $V_T\ln10\simeq58\ \mathrm{mV}$ (a $V_T=25\ \mathrm{mV}$ ). Per questo, su un grande intervallo di corrente, la tensione resta vicina a $0{,}6$ – $0{,}7\ \mathrm V$ .

$V_D<0$ : $I_D\simeq-I_S$ (pochi femtoampere nel silicio): il diodo è interdetto.

La tensione a corrente fissata cala di circa $2\ \mathrm{mV/^\circ C}$ con la temperatura.

Esempio. Con $I_S = 10^{-14}\ \mathrm A$ e $V_D = 0{,}65\ \mathrm V$ : $I_D \simeq I_S\,e^{0{,}65/0{,}025} \approx 2{,}0\ \mathrm{mA}$ ; ogni $58\ \mathrm{mV}$ in più moltiplicano la corrente per $10$ .

Grafico interattivo: Corrente I_D (mA) in funzione di V_D (V) per I_S = 10^-14 A e V_T = 25 mV: nulla fino a circa 0,55 V, poi cresce 10 volte ogni 58 mV

Principio (retta di carico: soluzione di una rete con un diodo). Un diodo in serie a $R$ con generatore $E$ : l'equazione $\dfrac{E-V_D}{R}=I_S(e^{V_D/V_T}-1)$ non ha soluzione elementare. Si risolve per iterazione o graficamente con la retta di carico ( $I=(E-V)/R$ ) tracciata sulla caratteristica: il punto di lavoro è l'intersezione.

Esempio: $E=5\ \mathrm V$ , $R=1\ \mathrm{k\Omega}$ , $I_S=10^{-14}\ \mathrm A$ . Partendo da $I=4{,}3\ \mathrm{mA}$ : $V_D=V_T\ln\frac{I}{I_S}=0{,}025\ln(4{,}3\cdot10^{11})=0{,}6696\ \mathrm V$ ; $I=(5-0{,}6696)/1\ \mathrm{k\Omega}=4{,}330\ \mathrm{mA}$ ; ripetendo converge a $V_D=0{,}6699\ \mathrm V$ , $I_D=4{,}33\ \mathrm{mA}$ (verificato con un risolutore numerico). Con il modello a tensione costante $V_\gamma=0{,}7\ \mathrm V$ si avrebbe $I=4{,}3\ \mathrm{mA}$ : l'errore sulla corrente è dello $0{,}7\%$ . Convergenza velocissima perché la tensione dipende dal logaritmo della corrente.

Grafico interattivo: Retta di carico del diodo con E = 5 V e R = 1 kΩ (V_D in ascissa, I in mA): la retta I = (5 − V_D)/1 kΩ incontra la caratteristica esponenziale (I_S = 10⁻¹⁴ A) nel punto di lavoro V_D = 0,670 V, I_D = 4,33 mA; la tensione sul diodo è quasi indipendente dalla corrente

Definizione (modelli semplificati del diodo).

Modello Diodo ON Diodo OFF

ideale corto circuito ( $V_D=0$ ), vale se $I_D>0$ circuito aperto ( $I_D=0$ ), vale se $V_D<0$

con soglia $V_\gamma$ generatore di tensione $V_\gamma$ (anodo $+$ ): $V_D=V_\gamma$ , vale se $I_D>0$ circuito aperto, vale se $V_D<V_\gamma$

lineare a tratti $V_D=V_\gamma+r_DI_D$ , vale se $I_D>0$ circuito aperto, vale se $V_D<V_\gamma$

Modello	Diodo ON	Diodo OFF
ideale	corto circuito ( $V_D=0$ ), vale se $I_D>0$	circuito aperto ( $I_D=0$ ), vale se $V_D<0$
con soglia $V_\gamma$	generatore di tensione $V_\gamma$ (anodo $+$ ): $V_D=V_\gamma$ , vale se $I_D>0$	circuito aperto, vale se $V_D<V_\gamma$
lineare a tratti	$V_D=V_\gamma+r_DI_D$ , vale se $I_D>0$	circuito aperto, vale se $V_D<V_\gamma$

Esempio. Con il modello a soglia $V_\gamma = 0{,}7\ \mathrm V$ , $E = 5\ \mathrm V$ e $R = 1\ \mathrm{k\Omega}$ : $I = (5 - 0{,}7)/1\ \mathrm{k\Omega} = 4{,}3\ \mathrm{mA}$ , positiva, quindi il diodo è davvero ON.

Grafico interattivo: Diodo reale e modello lineare a tratti (ascissa: V_D in V, ordinata: I_D in mA): esponenziale con I_S = 10⁻¹⁴ A e V_T = 25 mV, e modello con soglia V_γ = 0,65 V e r_D = 5 Ω: corrente nulla sotto V_γ e poi una retta di pendenza 1/r_D = 200 mS; il modello con sola soglia (r_D = 0) sarebbe la semiretta verticale in V_γ, quello ideale la semiretta verticale in 0 V

Proprietà (soluzione di una rete a diodi per ipotesi e verifica).

Ipotesi sullo stato di ogni diodo (di solito: si parte da quello più plausibile) e sostituzione di ciascun diodo con il circuito corrispondente (corto/aperto, o generatore $V_\gamma$ );

soluzione della rete lineare risultante;

verifica delle condizioni: per un diodo ipotizzato ON, $I_D>0$ ; per uno ipotizzato OFF, $V_D<V_\gamma$ (o $<0$ nell'ideale);

se una verifica fallisce si cambia l'ipotesi e si ripete; si arriva a una combinazione coerente (tipicamente unica, per la tensione d'ingresso data).

Esempio. Diodo ideale in serie a $R = 1\ \mathrm{k\Omega}$ : con $E = 5\ \mathrm V$ l'ipotesi ON dà $I = 5\ \mathrm{mA} > 0$ (vera); con $E = -5\ \mathrm V$ darebbe $I = -5\ \mathrm{mA} < 0$ (falsa), quindi il diodo è OFF con $I = 0$ e $V_D = -5\ \mathrm V < 0$ .

Definizione (diodo Zener). Un diodo costruito per lavorare in breakdown inverso: oltre una tensione inversa $V_Z$ la corrente inversa cresce rapidamente, con tensione quasi costante (effetto Zener o a valanga). Modello ideale in tre stati:

$V_D\ge0$ e $I_D>0$ : ON diretto, $V_D=0$ (o $V_\gamma$ );

$-V_Z<V_D<0$ : OFF, $I_D=0$ ;

$V_D=-V_Z$ con $I_D<0$ (corrente nel verso catodo-anodo): breakdown, il diodo è un generatore di tensione $V_Z$ .

Con resistenza dinamica $r_z$ (pendenza nel breakdown) $V=V_Z+r_zI_Z$ .

Esempio. Zener con $V_Z = 5{,}6\ \mathrm V$ : con $-3\ \mathrm V$ ai capi è OFF ( $I_D = 0$ ); con una tensione inversa che tenderebbe a superare $5{,}6\ \mathrm V$ va in breakdown e $V_D = -5{,}6\ \mathrm V$ .

Grafico interattivo: Caratteristica del diodo Zener ideale (V_Z = 5,6 V) nel piano V_D–I_D: in conduzione diretta V_D = 0 con I_D > 0, tra −V_Z e 0 è interdetto (I_D = 0), nel breakdown V_D = −V_Z con corrente inversa qualunque

Formula (resistenza differenziale del diodo). Con una polarizzazione $(V_D,I_D)$ e un piccolo segnale sovrapposto, la tangente (Amplificatori reali, punto di lavoro e piccoli segnali) dà una conduttanza $\frac1{r_d}=\frac{dI_D}{dV_D}=\frac{I_S}{V_T}e^{V_D/V_T}\simeq\frac{I_D}{V_T}\quad\Longrightarrow\quad r_d=\frac{V_T}{I_D}=\frac{25\ \mathrm{mV}}{I_D}.$

Esempio. Con $I_D = 4{,}33\ \mathrm{mA}$ si ha $r_d = V_T/I_D = 25\ \mathrm{mV}/4{,}33\ \mathrm{mA} \approx 5{,}8\ \Omega$ .

Grafico interattivo: Piccolo segnale nel punto di lavoro dell'esempio, V_D = 0,67 V e I_D = 4,33 mA (ascissa: V_D in V, ordinata: I_D in mA): la tangente in Q ha pendenza I_D/V_T = 173 mS, cioè r_d = V_T/I_D = 5,8 Ω, e incontra l'asse delle ascisse 25 mV (cioè V_T) sotto Q; a ±10 mV la tangente e la curva sono ancora vicine

Reti a diodi e transcaratteristiche

Principio (metodo per costruire la transcaratteristica di una rete a diodi).

Elencare le combinazioni di stato dei diodi (con $N$ diodi, al massimo $2^N$ ; molte non possono esistere).

Per ogni combinazione sostituire i diodi (ON: corto circuito o generatore $V_\gamma$ ; OFF: circuito aperto) e ricavare $V_{out}=f_k(V_{in})$ (retta con pendenza e intercetta).

Condizioni di validità: per ogni diodo ON imporre $I_D\ge0$ (di solito una disuguaglianza lineare in $V_{in}$ ); per ogni diodo OFF imporre $V_D\le V_\gamma$ (o $\le0$ ). Le disuguaglianze danno l'intervallo di $V_{in}$ in cui la combinazione vale.

Punti di spezzamento: sono gli estremi degli intervalli (dove una condizione diventa uguaglianza). Le due rette adiacenti devono dare lo stesso valore in quel punto (continuità), ed è un controllo da fare sempre.

Grafico: unire i segmenti, indicando pendenza di ogni tratto e coordinate dei punti di spezzamento.

Esempio. Con due diodi le combinazioni sono al massimo $2^2 = 4$ ; per il limitatore con un solo diodo e $V_B = 2\ \mathrm V$ ne bastano due, con punto di spezzamento in $V_{in} = 2\ \mathrm V$ .

Proprietà (limitatore superiore a diodo). La caratteristica è $V_{out}=\min(V_{in},2\ \mathrm V)$ : un limitatore superiore (clipper). Con $V_\gamma=0{,}7\ \mathrm V$ il limite è $V_B+V_\gamma=2{,}7\ \mathrm V$ .

Esempio. Con $V_B = 2\ \mathrm V$ : per $V_{in} = 1\ \mathrm V$ si ha $V_{out} = 1\ \mathrm V$ , per $V_{in} = 8\ \mathrm V$ si ha $V_{out} = 2\ \mathrm V$ ; con $V_\gamma = 0{,}7\ \mathrm V$ il limite sale a $2{,}7\ \mathrm V$ .

Grafico interattivo: Limitatore superiore con V_B = 2 V (ascissa: V_in in V, ordinata: V_out in V): V_out = V_in finché il diodo è OFF e poi resta bloccata a V_B = 2 V; con la soglia V_γ = 0,7 V il limite sale a 2,7 V

Proprietà (limitatore doppio a due diodi: stati e intervalli).

Stati $V_{out}$ Condizioni Intervallo di $V_{in}$

$D_1,D_2$ OFF $V_{in}\dfrac{R_L}{R+R_L}=0{,}8\,V_{in}$ $-3\le V_{out}\le5$ $-3{,}75\le V_{in}\le6{,}25$

$D_1$ ON, $D_2$ OFF $5\ \mathrm V$ corrente in $D_1$ : $\dfrac{V_{in}-5}{1\ \mathrm k}-\dfrac5{4\ \mathrm k}\ge0$ $V_{in}\ge6{,}25$

$D_1$ OFF, $D_2$ ON $-3\ \mathrm V$ corrente in $D_2$ : $\dfrac{-3-V_{in}}{1\ \mathrm k}-\dfrac{3}{4\ \mathrm k}\ge0$ $V_{in}\le-3{,}75$

Stati	$V_{out}$	Condizioni	Intervallo di $V_{in}$
$D_1,D_2$ OFF	$V_{in}\dfrac{R_L}{R+R_L}=0{,}8\,V_{in}$	$-3\le V_{out}\le5$	$-3{,}75\le V_{in}\le6{,}25$
$D_1$ ON, $D_2$ OFF	$5\ \mathrm V$	corrente in $D_1$ : $\dfrac{V_{in}-5}{1\ \mathrm k}-\dfrac5{4\ \mathrm k}\ge0$	$V_{in}\ge6{,}25$
$D_1$ OFF, $D_2$ ON	$-3\ \mathrm V$	corrente in $D_2$ : $\dfrac{-3-V_{in}}{1\ \mathrm k}-\dfrac{3}{4\ \mathrm k}\ge0$	$V_{in}\le-3{,}75$

Esempio. Con $V_{in} = 5\ \mathrm V$ i due diodi sono OFF e $V_{out} = 0{,}8 \cdot 5 = 4\ \mathrm V$ ; con $V_{in} = 8\ \mathrm V$ conduce $D_1$ e $V_{out} = 5\ \mathrm V$ .

Grafico interattivo: Transcaratteristica del limitatore doppio con R = 1 kΩ, R_L = 4 kΩ, limiti −3 V e +5 V: pendenza 0,8 tra V_in = −3,75 V e +6,25 V, poi costante

Proprietà (limitatore con diodo Zener). $V_{in}\to R\to V_{out}$ con uno Zener (anodo a massa, catodo sul nodo di uscita) di tensione $V_Z=5\ \mathrm V$ . Per $V_{out}<0$ lo Zener è un diodo normale in diretta: ON, $V_{out}=0$ (con $V_\gamma$ , $-0{,}7$ ); per $0<V_{out}<5$ è OFF; per $V_{out}>5$ è in breakdown: $V_{out}=5\ \mathrm V$ . Quindi $V_{out}=V_{in}$ per $0\le V_{in}\le5$ , $0$ per $V_{in}<0$ e $5$ per $V_{in}>5$ : limitatore tra $0$ e $5\ \mathrm V$ (il circuito protegge un ingresso sensibile).

Esempio. Con $V_Z = 5\ \mathrm V$ : $V_{in} = 3\ \mathrm V$ dà $V_{out} = 3\ \mathrm V$ , $V_{in} = 8\ \mathrm V$ dà $V_{out} = 5\ \mathrm V$ e $V_{in} = -4\ \mathrm V$ dà $V_{out} = 0$ .

Grafico interattivo: Zener come limitatore con V_Z = 5 V (ascissa: V_in in V, ordinata: V_out in V): per V_in < 0 lo Zener conduce come un diodo normale e V_out = 0, tra 0 e 5 V è OFF e V_out = V_in, oltre 5 V è in breakdown e V_out = 5 V

Raddrizzatori e circuiti a diodi con carico

Formula (raddrizzatore a semionda con diodo ideale). Per il diodo ideale, su un periodo: $V_{medio}=\frac1T\int_0^{T/2}V_p\sin\omega t\,dt=\frac{V_p}{\pi},\qquad V_{rms}^2=\frac1T\int_0^{T/2}V_p^2\sin^2\omega t\,dt=\frac{V_p^2}{4}\ \Rightarrow\ V_{rms}=\frac{V_p}2,$ $P_R=\frac{V_{rms}^2}{R}=\frac{V_p^2}{4R}.$

Esempio. Con $V_p = 10\ \mathrm V$ e $R = 100\ \Omega$ : $V_{medio} = 10/\pi \approx 3{,}18\ \mathrm V$ , $V_{rms} = 5\ \mathrm V$ e $P = 25/100 = 0{,}25\ \mathrm W$ .

Grafico interattivo: Tensione sul carico di un raddrizzatore a semionda ideale con v_g = 10 sin(ωt), in funzione di ωt (radianti): positiva per metà periodo, nulla per l'altra metà

Formula (raddrizzatore a doppia semionda con diodi ideali). Con un ponte di quattro diodi (o con un trasformatore a presa centrale e due diodi) anche la semionda negativa è ribaltata: $v_R=|v_g|$ (con il ponte, due diodi in serie conducono per ciascuna semionda, quindi con soglia $v_R=|v_g|-2V_\gamma$ ). Per diodi ideali: $V_{medio}=\frac{2V_p}{\pi},\qquad V_{rms}=\frac{V_p}{\sqrt2},\qquad P_R=\frac{V_p^2}{2R}.$

Esempio. Per $V_p=10\ \mathrm V$ e $R=100\ \Omega$ : $6{,}37\ \mathrm V$ di media e $0{,}5\ \mathrm W$ .

Grafico interattivo: Raddrizzatore a doppia semionda con v_g = 10 sin ωt (ascissa: ωt in rad, due periodi; ordinata: V): la sinusoide (tratteggio), l'uscita del ponte ideale |v_g| e quella del ponte con due diodi in serie di soglia V_γ = 0,7 V, che è |v_g| − 1,4 V ed è nulla quando |v_g| < 1,4 V; la media del caso ideale è 2V_p/π = 6,37 V

Formula (ripple del rivelatore di picco). In parallelo al carico si mette un condensatore $C$ . Quando $v_g$ supera la tensione $v_C$ del condensatore il diodo conduce e $C$ si carica seguendo $v_g$ fino al picco; quando $v_g$ scende, il diodo si interdice e $C$ si scarica su $R$ con costante di tempo $RC$ ( $v_C\simeq V_pe^{-t/RC}$ ) finché $v_g$ lo raggiunge di nuovo. L'uscita diventa quasi costante, con una piccola oscillazione residua (ripple) di ampiezza picco-picco $\Delta V\simeq V_p\,\frac{T_{scarica}}{RC}\simeq\frac{V_p}{fRC}\quad\text{(semionda)},\qquad\frac{V_p}{2fRC}\quad\text{(doppia semionda)},$

Esempio. Con $V_p = 10\ \mathrm V$ , $f = 50\ \mathrm{Hz}$ , $R = 1\ \mathrm{k\Omega}$ e $C = 100\ \mu\mathrm F$ : $\Delta V \simeq \frac{V_p}{fRC} = \frac{10}{50 \cdot 0{,}1} = 2\ \mathrm V$ (stima per eccesso; la simulazione dà $1{,}65\ \mathrm V$ ).

Grafico interattivo: Raddrizzatore a semionda con filtro capacitivo (V_p = 10 V, f = 50 Hz, R = 1 kΩ, C = 100 μF), tempo in ms: v_C (linea arancio) insegue il picco della sinusoide v_g (blu) quando il diodo conduce e poi si scarica con RC = 100 ms; a regime oscilla tra 8,35 e 10 V (ripple 1,65 V, media 9,18 V)

Formula (diodo lineare a tratti con soglia: tensione di uscita). $V_{out}=\frac{R}{R+r_D}\,(E+V_\gamma)=0{,}8\,(E+1)\quad(E\le-1\ \mathrm V),\qquad V_{out}=0\quad(E\ge-1\ \mathrm V).$

Esempio. A $E=-6\ \mathrm V$ si ha $V_{out}=-4\ \mathrm V$ . Il punto di spezzamento è in $E=-V_\gamma=-1\ \mathrm V$ e la pendenza del tratto che conduce è $R/(R+r_D)=0{,}8$ .

Grafico interattivo: Transcaratteristica dell'esempio (V_γ = 1 V, r_D = 10 Ω, R = 40 Ω; ascissa: E in V, ordinata: V_out in V): nulla per E ≥ −1 V (diodo OFF), poi retta di pendenza R/(R + r_D) = 0,8 con punto di spezzamento in (−1; 0), fino a −4 V a E = −6 V

V. Transistor bipolare

Transistor bipolare - struttura, regioni di funzionamento e modello del trasporto

Formula (corrente di saturazione del BJT). Per la legge della giunzione la concentrazione dei portatori in base al bordo con l'emettitore è $n_p(0)=n_{p0}e^{V_{BE}/V_T}$ e la corrente di diffusione nella base, di pendenza costante, è $I_C=I_S\,e^{V_{BE}/V_T}$ , con $I_S=qS\frac{D_B}{W_B}\frac{n_i^2}{N_B}.$

Esempio. Con $S = 10^{-4}\ \mathrm{cm^2}$ , $D_B = 25\ \mathrm{cm^2/s}$ , $W_B = 1\ \mu\mathrm m$ , $N_B = 10^{17}\ \mathrm{cm^{-3}}$ e $n_i = 1{,}5 \cdot 10^{10}\ \mathrm{cm^{-3}}$ : $I_S = 1{,}6 \cdot 10^{-19} \cdot 10^{-4} \cdot \frac{25}{10^{-4}} \cdot \frac{2{,}25 \cdot 10^{20}}{10^{17}} \approx 9 \cdot 10^{-15}\ \mathrm A$ .

Definizione (guadagno di corrente in continua del BJT). Quindi la corrente di collettore dipende dalla tensione base-emettitore, non da $V_{CE}$ (la tensione di collettore sposta solo il bordo della zona di svuotamento) e non dipende dal drogaggio dell'emettitore. Il rapporto tra le correnti è il guadagno di corrente in continua $\beta_F=\frac{I_C}{I_B}\simeq\frac{L_E}{W_B}\cdot\frac{D_B}{D_E}\cdot\frac{N_E}{N_B}\quad(\gg1),$

Esempio. Con $I_C = 2\ \mathrm{mA}$ e $I_B = 20\ \mu\mathrm A$ si ha $\beta_F = I_C/I_B = 100$ .

Formula (BJT in zona attiva diretta). In zona attiva diretta, quindi, $\boxed{I_C=I_Se^{V_{BE}/V_T},\qquad I_C=\beta_FI_B,\qquad I_E=-(1+\beta_F)I_B}$

Esempio: con $I_S=10^{-15}\ \mathrm A$ , $V_{BE}=0{,}65\ \mathrm V$ si ha $I_C=10^{-15}e^{26}=0{,}196\ \mathrm{mA}$ ; per avere $I_C=2\ \mathrm{mA}$ servono $V_{BE}=0{,}025\ln(2\cdot10^{12})=0{,}708\ \mathrm V$ . Come nel diodo, $V_{BE}$ resta tra $0{,}6$ e $0{,}7\ \mathrm V$ per correnti tra $0{,}2$ e $4\ \mathrm{mA}$ ( $V_{BE,on}$ ), e diminuisce di circa $2{,}2\ \mathrm{mV/^\circ C}$ a corrente costante.

Grafico interattivo: Caratteristica di trasferimento di un BJT in zona attiva, I_C = I_S e^(V_BE/V_T) con I_S = 10⁻¹⁵ A e V_T = 25 mV (ascissa: V_BE in V, ordinata: I_C in mA): quasi nulla sotto 0,6 V e poi ripidissima, 10 volte più grande ogni 58 mV; V_BE = 0,65 V dà 0,196 mA e 0,708 V dà 2 mA, cioè la tensione base-emettitore resta sempre intorno a 0,7 V per correnti da 0,2 a 3 mA

Formula (modello del trasporto di Ebers-Moll). Per descrivere tutte le zone si usa il modello del trasporto: la corrente "di trasporto" attraverso la base è la differenza tra una componente diretta e una inversa, $I_T=I_S\left(e^{V_{BE}/V_T}-e^{V_{BC}/V_T}\right)=I_F-I_R,$ con $I_F=I_S(e^{V_{BE}/V_T}-1)$ (corrente a $V_{BC}=0$ ) e $I_R=I_S(e^{V_{BC}/V_T}-1)$ (a $V_{BE}=0$ ); le correnti di base di ciascuna giunzione sono $I_F/\beta_F$ e $I_R/\beta_R$ ( $\beta_R$ = guadagno inverso, molto piccolo, $1\div10$ , perché il collettore è poco drogato e la base non è simmetrica).

Esempio. Con $I_S = 10^{-15}\ \mathrm A$ , $V_{BE} = 0{,}65\ \mathrm V$ e $V_{BC} = -5\ \mathrm V$ : $I_T \approx 10^{-15}\,e^{26} \approx 0{,}196\ \mathrm{mA}$ (il termine in $V_{BC}$ è trascurabile).

Definizione (le quattro zone di funzionamento del BJT).

Zona Giunzione BE Giunzione BC Condizioni (npn) Modello

attiva diretta diretta inversa $V_{BE}=V_{BE,on}$ , $I_B>0$ , $V_{CE}>V_{CE,sat}$ $I_C=\beta_FI_B$

saturazione diretta diretta $V_{CE}=V_{CE,sat}$ ( $\approx0{,}1\div0{,}2\ \mathrm V$ ), $I_B>0$ , $I_C<\beta_FI_B$ interruttore chiuso tra C ed E

interdizione inversa inversa $V_{BE}<V_{BE,on}$ , $I_B=I_C=0$ interruttore aperto

attiva inversa inversa diretta (non usata: $\beta_R$ è bassissimo)

Zona	Giunzione BE	Giunzione BC	Condizioni (npn)	Modello
attiva diretta	diretta	inversa	$V_{BE}=V_{BE,on}$ , $I_B>0$ , $V_{CE}>V_{CE,sat}$	$I_C=\beta_FI_B$
saturazione	diretta	diretta	$V_{CE}=V_{CE,sat}$ ( $\approx0{,}1\div0{,}2\ \mathrm V$ ), $I_B>0$ , $I_C<\beta_FI_B$	interruttore chiuso tra C ed E
interdizione	inversa	inversa	$V_{BE}<V_{BE,on}$ , $I_B=I_C=0$	interruttore aperto
attiva inversa	inversa	diretta	(non usata: $\beta_R$ è bassissimo)

Esempio. Con $V_{CC} = 12\ \mathrm V$ , $R_C = 3\ \mathrm{k\Omega}$ , $I_B = 50\ \mu\mathrm A$ e $\beta_F = 100$ : $\beta_F I_B = 5\ \mathrm{mA}$ darebbe $V_{CE} = 12 - 15 = -3\ \mathrm V$ , impossibile; il transistor è in saturazione con $I_C \simeq 12/3 = 4\ \mathrm{mA} < 5\ \mathrm{mA}$ .

Formula (effetto Early e resistenza di uscita). Effetto Early. Aumentando $V_{CE}$ la zona di svuotamento base-collettore si allarga e la base si restringe ( $W_B$ diminuisce): la corrente di collettore cresce un poco. Il prolungamento delle caratteristiche a $V_{CE}<0$ taglia l'asse in un punto $-V_A$ (tensione di Early, $V_A=50\div200\ \mathrm V$ ): $I_C=I_Se^{V_{BE}/V_T}\Big(1+\frac{V_{CE}}{V_A}\Big),\qquad r_o=\left(\frac{\partial I_C}{\partial V_{CE}}\right)^{-1}=\frac{V_A+V_{CE}}{I_C}\simeq\frac{V_A}{I_C}.$

Esempio: $V_A=50\ \mathrm V$ e $I_C=2\ \mathrm{mA}$ a $V_{CE}=5\ \mathrm V$ : $r_o=\dfrac{50+5}{2\ \mathrm{mA}}=27{,}5\ \mathrm{k\Omega}$ ; tra $V_{CE}=1$ e $10\ \mathrm V$ $I_C$ varia da $1{,}02$ a $1{,}2$ volte il valore di riferimento. Per un pnp si usa $|V_A|$ (e nei dati d'esame $V_A$ può comparire negativo: $|V_A|$ ).

Grafico interattivo: Tensione di Early (β = 100, V_A = 50 V; ascissa: V_CE in V, estesa a valori negativi, ordinata: I_C in mA, solo tratto in zona attiva): le rette I_C = βI_B(1 + V_CE/V_A) per I_B = 10, 20 e 30 μA, prolungate all'indietro, si incontrano tutte nello stesso punto V_CE = −V_A sull'asse delle ascisse; la pendenza di ciascuna è I_C/(V_A + V_CE) = 1/r_o

Polarizzazione del BJT

Formula (equivalente di Thévenin del partitore di base). $R_{B1}$ da $V_{CC}$ alla base, $R_{B2}$ dalla base a massa, $R_C$ dal collettore a $V_{CC}$ , $R_E$ dall'emettitore a massa. Si sostituisce il partitore di base con il suo equivalente di Thévenin (Teoremi di Thévenin e di Norton): $V_B=V_{CC}\frac{R_{B2}}{R_{B1}+R_{B2}},\qquad R_B=R_{B1}\|R_{B2}.$

Esempio. Con $V_{CC} = 15\ \mathrm V$ , $R_{B1} = 100\ \mathrm{k\Omega}$ e $R_{B2} = 50\ \mathrm{k\Omega}$ : $V_B = 15 \cdot \frac{50}{150} = 5\ \mathrm V$ e $R_B = 33{,}3\ \mathrm{k\Omega}$ .

Formula (polarizzazione del BJT a quattro resistenze, zona attiva diretta). Ipotesi di zona attiva diretta: $I_C=\beta_FI_B$ e $V_{BE}=V_{BE,on}\ (0{,}6\div0{,}7\ \mathrm V)$ . Dalla prima: $\boxed{I_B=\frac{V_B-V_{BE}}{R_B+(1+\beta_F)R_E},\quad I_C=\beta_FI_B,\quad V_{CE}=V_{CC}-R_CI_C-R_E(I_C+I_B)}$ e con $\beta_F\gg1$ : $I_C\simeq\dfrac{V_B-V_{BE}}{R_B/\beta_F+R_E}$ , $V_{CE}\simeq V_{CC}-(R_C+R_E)I_C$ .

Verifica obbligatoria: $I_B\ge0$ e $V_{CE}\ge V_{CE,sat}$ .

Esempio (zona attiva). $V_{CC}=15\ \mathrm V$ , $R_{B1}=100\ \mathrm{k\Omega}$ , $R_{B2}=50\ \mathrm{k\Omega}$ , $R_E=1\ \mathrm{k\Omega}$ , $R_C=2\ \mathrm{k\Omega}$ , $\beta_F=100$ , $V_{BE}=0{,}7\ \mathrm V$ . Thévenin: $V_B=15\cdot\dfrac{50}{150}=5\ \mathrm V$ , $R_B=33{,}3\ \mathrm{k\Omega}$ . $I_B=\frac{5-0{,}7}{33{,}3+101\cdot1}\ \mathrm{mA}=32{,}0\ \mu\mathrm A,\quad I_C=3{,}20\ \mathrm{mA},\quad V_{CE}=15-2\cdot3{,}20-1\cdot3{,}232=5{,}37\ \mathrm V.$ $I_B>0$ e $V_{CE}=5{,}37\ \mathrm V>V_{CE,sat}$ : ipotesi verificata, il transistor è in zona attiva con $Q=(3{,}20\ \mathrm{mA},\,5{,}37\ \mathrm V)$ . La retta di carico è $I_C=\dfrac{V_{CC}-V_{CE}}{R_C+R_E(1+1/\beta_F)}$ .

Grafico interattivo: Rette di carico I_C = (V_CC − V_CE)/(R_C + R_E(1 + 1/β)) con V_CC = 15 V, R_E = 1 kΩ: con R_C = 2 kΩ il punto di lavoro è in zona attiva (5,37 V; 3,20 mA), con R_C = 5 kΩ cade in saturazione (V_CE,sat = 0,2 V; 2,46 mA)

Formula (corrente di collettore e stabilità del punto di lavoro). $\beta_F$ ha un'incertezza molto grande (anche $110\div800$ per lo stesso tipo) e $V_{BE}$ cala di $2{,}2\ \mathrm{mV/^\circ C}$ . La corrente di collettore dipende da entrambi: $I_C=\beta_F\frac{V_B-V_{BE}}{R_B+(1+\beta_F)R_E}.$

Esempio: con $\beta_F=200$ al posto di $100$ , il circuito con $R_E=1\ \mathrm{k\Omega}$ passa da $I_C=3{,}20$ a $3{,}67\ \mathrm{mA}$ ( $+15\%$ , e $V_{CE}$ da $5{,}37$ a $3{,}97\ \mathrm V$ ); senza $R_E$ ( $R_B=33{,}3\ \mathrm{k\Omega}$ ) passerebbe da $12{,}9$ a $25{,}8\ \mathrm{mA}$ ( $+100\%$ ), cioè fuori dalla zona attiva. $R_E$ realizza una retroazione negativa in continua: se $I_C$ cresce, cresce la caduta su $R_E$ e cala la tensione $V_{BE}$ effettiva. Per questo si usa $R_E$ (e poi si mette un condensatore di bypass per il segnale: Amplificatori a BJT - emettitore comune, collettore comune e base comune).

Modello a piccolo segnale del BJT

Definizione (parametri del modello a piccolo segnale del BJT). Siano $i_C=I_Se^{v_{BE}/V_T}\big(1+\tfrac{v_{CE}}{V_A}\big)$ e $i_B=i_C/\beta_F$ (zona attiva diretta).

Transconduttanza: $g_m=\dfrac{\partial i_C}{\partial v_{BE}}\Big|_Q=\dfrac{I_{CQ}}{V_T}=40\ \mathrm{V^{-1}}\cdot I_{CQ}$ (con $V_T=25\ \mathrm{mV}$ ). La variazione di corrente di collettore è $i_c=g_mv_{be}$ . Dipende solo dalla corrente di polarizzazione: $40\ \mathrm{mS}$ per ogni mA.

Guadagno di corrente per piccoli segnali: $\beta_0=\dfrac{\partial i_C}{\partial i_B}\Big|_Q$ (in generale diverso da $\beta_F=I_C/I_B$ ; nei temi si danno entrambi, anche uguali).

Resistenza di ingresso: $r_\pi=\dfrac{\partial v_{BE}}{\partial i_B}\Big|_Q=\dfrac{\beta_0}{g_m}=\dfrac{\beta_0V_T}{I_{CQ}}$ : la corrente di base varia di $i_b=v_{be}/r_\pi$ .

Resistenza di uscita (effetto Early): $r_o=\left(\dfrac{\partial i_C}{\partial v_{CE}}\right)^{-1}=\dfrac{V_A+V_{CEQ}}{I_{CQ}}\simeq\dfrac{V_A}{I_{CQ}}$ ; se non è dato $V_A$ si pone $r_o=\infty$ .

Esempio. Con $I_{CQ} = 2{,}5\ \mathrm{mA}$ e $\beta_0 = 200$ : $g_m = 2{,}5/25 = 100\ \mathrm{mS}$ e $r_\pi = \beta_0/g_m = 2\ \mathrm{k\Omega}$ .

Grafico interattivo: Linearizzazione in un punto di lavoro con I_CQ = 1 mA (ascissa: v_be in mV rispetto a V_BEQ, ordinata: i_C in mA, V_T = 25 mV): l'esponenziale i_C = I_CQ e^(v_be/V_T) e la sua tangente in Q, i_C = I_CQ(1 + v_be/V_T), di pendenza g_m = I_CQ/V_T = 40 mS; per v_be piccolo coincidono, a +10 mV l'errore è già il 6% e a +40 mV la tangente è quasi la metà dell'esponenziale

Definizione (circuito equivalente ibrido a π del BJT). Con i generatori continui spenti il transistor si sostituisce con:

tra base ed emettitore la resistenza $r_\pi$ (ai suoi capi la tensione $v_\pi=v_{be}$ );

tra collettore ed emettitore il generatore di corrente pilotato $g_m\,v_\pi$ (verso: dal collettore all'emettitore per il npn; per il pnp, con tensioni e correnti entrambe cambiate di segno, il circuito di piccolo segnale è lo stesso) in parallelo a $r_o$ .

Esempio. Con $g_m = 100\ \mathrm{mS}$ e $r_\pi = 2\ \mathrm{k\Omega}$ ( $\beta_0 = 200$ ): una $v_\pi = 1\ \mathrm{mV}$ dà $i_b = 0{,}5\ \mu\mathrm A$ e $g_m v_\pi = 0{,}1\ \mathrm{mA} = \beta_0 i_b$ .

Amplificatori a BJT - emettitore comune, collettore comune e base comune

Formula (emettitore comune con resistenza di emettitore non bypassata). Per $R_{E1}\ne0$ : $v_{in}=v_\pi+R_{E1}(i_b+g_mv_\pi)=\big[1+R_{E1}(g_m+1/r_\pi)\big]v_\pi$ e $v_o=-g_mv_\pi R_C$ . Con $g_mr_\pi=\beta_0$ :

$A_v^{int}=\frac{v_o}{v_{in}}=-\frac{\beta_0R_C}{r_\pi+R_{E1}(1+\beta_0)}\ \ (\text{a uscita aperta}),\qquad R_{i}=r_\pi+R_{E1}(1+\beta_0)\ \text{(vista dalla base)}.$

Doppio bipolo (con $R_B$ e $R_C$ inclusi, $R_s$ e $R_L$ fuori): $g_{11}=\frac1{R_B\|[r_\pi+R_{E1}(1+\beta_0)]},\quad g_{21}=-\frac{\beta_0R_C}{r_\pi+R_{E1}(1+\beta_0)},\quad g_{22}=R_C,\quad g_{12}=0.$ È unidirezionale ( $g_{12}=0$ ). Il guadagno complessivo è $A_v=\frac{v_o}{v_s}=\underbrace{\frac{R_i}{R_i+R_s}}_{\text{ingresso}}\cdot\underbrace{\Big(-\frac{\beta_0\,(R_C\|R_L)}{r_\pi+R_{E1}(1+\beta_0)}\Big)}_{\text{stadio}}\qquad(R_i=R_B\|[r_\pi+R_{E1}(1+\beta_0)]).$

Esempio ( $I_{CQ}=2{,}5\ \mathrm{mA}$ , $\beta_0=200$ : $g_m=100\ \mathrm{mS}$ , $r_\pi=2\ \mathrm{k\Omega}$ ; $R_B=33{,}3\ \mathrm{k\Omega}$ , $R_{E1}=200\ \Omega$ , $R_C=2\ \mathrm{k\Omega}$ , $R_s=1\ \mathrm{k\Omega}$ , $R_L=4\ \mathrm{k\Omega}$ ): $r_\pi+R_{E1}(1+\beta_0)=2+40{,}2=42{,}2\ \mathrm{k\Omega}$ ; $g_{21}=-\dfrac{200\cdot2}{42{,}2}=-9{,}48$ ; $R_i=33{,}3\|42{,}2=18{,}6\ \mathrm{k\Omega}$ ; partitore di ingresso $\dfrac{18{,}6}{19{,}6}=0{,}949$ ; partitore di uscita $\dfrac{R_L}{R_C+R_L}=0{,}667$ : $A_v=0{,}949\cdot(-9{,}48)\cdot0{,}667=-6{,}00.$ (Il valore è stato verificato con l'analisi nodale del circuito di piccolo segnale: $-5{,}997$ .) Con $\beta_0R_{E1}\gg R_B+r_\pi$ si ha $A_v\simeq-R_C/R_{E1}$ : il guadagno non dipende più dal transistor, si hanno una resistenza di ingresso grande ( $\simeq\beta_0R_{E1}$ ) e bassa distorsione, al prezzo di un guadagno ridotto.

Formula (emettitore comune con bypass totale). Se tutta $R_E$ è in parallelo a un condensatore di bypass ( $R_{E1}=0$ , $\omega C_E\gg g_m$ ): il segnale ha l'emettitore a massa e $A_v^{int}=-\frac{\beta_0R_C}{r_\pi}=-g_mR_C,\qquad R_i=R_B\|r_\pi,\qquad R_{out}=R_C.$

Esempio. Con $g_m = 100\ \mathrm{mS}$ ( $I_{CQ} = 2{,}5\ \mathrm{mA}$ ) e $R_C = 2\ \mathrm{k\Omega}$ in parallelo a $R_L = 4\ \mathrm{k\Omega}$ : $A_v^{int} = -g_m R_C = -200$ ; con il carico $-g_m (R_C \| R_L) = -133$ .

Formula (collettore comune, inseguitore di emettitore). Ingresso in base, uscita sull'emettitore (resistenza $R_E$ verso massa), collettore a $V_{CC}$ (a massa per il segnale). Con $R_L$ in parallelo a $R_E$ : $R_E'=R_E\|R_L$ . Il segnale tra base e massa è $v_b=v_\pi+(1+\beta_0)\,i_b\,R_E'=\big[r_\pi+(1+\beta_0)R_E'\big]i_b$ , e l'uscita è $v_o=(1+\beta_0)R_E'\,i_b$ : $A_v=\frac{v_o}{v_b}=\frac{(1+\beta_0)R_E'}{r_\pi+(1+\beta_0)R_E'}<1,\quad R_i=R_B\|[r_\pi+(1+\beta_0)R_E'],\quad R_{out}=R_E\Big\|\frac{r_\pi+R_B\|R_s}{1+\beta_0}.$

Esempio. Con $\beta_0 = 100$ , $r_\pi = 2{,}5\ \mathrm{k\Omega}$ e $R_E' = 1\ \mathrm{k\Omega}$ : $A_v = \frac{101 \cdot 1}{2{,}5 + 101} \approx 0{,}976$ e, prima di $R_B$ , $R_i = r_\pi + (1 + \beta_0)R_E' = 103{,}5\ \mathrm{k\Omega}$ .

Formula (base comune). Ingresso sull'emettitore, uscita sul collettore, base a massa per il segnale (tramite condensatore). Dall'emettitore la resistenza vista è $\dfrac1{g_m+1/r_\pi}=\dfrac{r_\pi}{1+\beta_0}$ in parallelo a $R_E$ : $R_i=R_E\|\dfrac{r_\pi}{1+\beta_0}\simeq\dfrac1{g_m}$ (bassa). Poiché $v_\pi=-v_e$ e la corrente $g_mv_\pi$ scorre dal collettore all'emettitore: $A_v^{int}=\frac{v_o}{v_e}=g_m\,R_C\ \ (\text{non invertente}),\qquad R_{out}=R_C,\qquad A_i\simeq\frac{\beta_0}{1+\beta_0}\simeq1.$

Esempio. Con $g_m = 40\ \mathrm{mS}$ e $R_C = 3\ \mathrm{k\Omega}$ : $A_v^{int} = g_m R_C = 120$ , non invertente, con resistenza di ingresso circa $1/g_m = 25\ \Omega$ .

Proprietà (confronto tra gli stadi elementari a BJT).

Stadio $A_v$ $R_{in}$ $R_{out}$ Uso

emettitore comune (bypass) $-g_mR_C$ (alto, invertente) media ( $r_\pi\parallel R_B$ ) $R_C$ guadagno di tensione

emettitore comune con $R_{E1}$ $-\dfrac{R_C}{R_{E1}}$ circa alta $R_C$ guadagno stabile, linearità

collettore comune $\simeq1$ alta bassa ( $\sim\dfrac1{g_m}$ ) buffer

base comune $g_mR_C$ (non inv.) bassa ( $\sim\dfrac1{g_m}$ ) $R_C$ alta frequenza, cascode

Stadio	$A_v$	$R_{in}$	$R_{out}$	Uso
emettitore comune (bypass)	$-g_mR_C$ (alto, invertente)	media ( $r_\pi\parallel R_B$ )	$R_C$	guadagno di tensione
emettitore comune con $R_{E1}$	$-\dfrac{R_C}{R_{E1}}$ circa	alta	$R_C$	guadagno stabile, linearità
collettore comune	$\simeq1$	alta	bassa ( $\sim\dfrac1{g_m}$ )	buffer
base comune	$g_mR_C$ (non inv.)	bassa ( $\sim\dfrac1{g_m}$ )	$R_C$	alta frequenza, cascode

Esempio. A $I_{CQ} = 1\ \mathrm{mA}$ ( $g_m = 40\ \mathrm{mS}$ ) e $R_C = 5\ \mathrm{k\Omega}$ l'emettitore comune in bypass ha $|A_v| = g_m R_C = 200$ (invertente), la base comune lo stesso modulo senza inversione, il collettore comune $A_v \simeq 1$ .

Amplificatore differenziale a BJT

Formula (polarizzazione della coppia differenziale). Con ingressi a potenziale nullo e transistor identici le due correnti di emettitore sono uguali e valgono metà della corrente di coda: $I_{C1}=I_{C2}=\frac{I_{EE}}{2}\cdot\frac{\beta_F}{1+\beta_F}\simeq\frac{I_{EE}}2.$

Esempio. Con $I_{EE} = 1\ \mathrm{mA}$ e $\beta_F = 100$ : $I_{C1} = I_{C2} = 0{,}5 \cdot \frac{100}{101} \approx 0{,}495\ \mathrm{mA}$ .

Formula (coppia differenziale a grande segnale). Comportamento a grande segnale. Con $v_D=v_1-v_2$ le due correnti di collettore si dividono secondo $i_{C1}-i_{C2}=I_{EE}\tanh\dfrac{v_D}{2V_T}$ : lineare per $|v_D|\lesssim V_T$ (circa $25\ \mathrm{mV}$ ), poi la corrente si porta tutta in un transistor (limite a $\pm I_{EE}$ ).

Esempio. Con $I_{EE} = 1\ \mathrm{mA}$ e $v_D = 25\ \mathrm{mV}$ : $i_{C1} - i_{C2} = 1\,\tanh(0{,}5) \approx 0{,}46\ \mathrm{mA}$ ; con $v_D = 200\ \mathrm{mV}$ è $\tanh 4 \approx 1$ , cioè tutta la corrente passa in $Q_1$ .

Grafico interattivo: Differenza delle correnti di collettore normalizzata (i_C1 − i_C2)/I_EE in funzione di v_D (V): lineare vicino all'origine, saturazione a ±1 oltre circa ±100 mV

Formula (guadagno differenziale della coppia). Modo differenziale. Le variazioni di corrente dei due emettitori sono opposte: la corrente nel nodo di coda non varia, quindi la tensione di coda non varia: emettitore a massa per il segnale (qualunque sia $R_{EE}$ ). Ogni semicircuito è un emettitore comune con bypass totale: $A_{D}^{(1)}=\frac{v_{o1}}{v_D}=-\frac{g_mR_C}{2},\quad A_D^{(2)}=\frac{v_{o2}}{v_D}=+\frac{g_mR_C}{2},\quad A_D=\frac{v_{o1}-v_{o2}}{v_D}=-g_mR_C,\quad R_{id}=2r_\pi.$

Esempio. Con $g_m = 20\ \mathrm{mS}$ , $R_C = 10\ \mathrm{k\Omega}$ e $r_\pi = 5\ \mathrm{k\Omega}$ : da un collettore $A_D^{(1)} = -g_m R_C/2 = -100$ , tra i collettori $A_D = -200$ e $R_{id} = 2r_\pi = 10\ \mathrm{k\Omega}$ .

Formula (guadagno di modo comune della coppia). Modo comune. Le correnti di emettitore variano nello stesso verso e la corrente totale $i_{e1}+i_{e2}$ passa in $R_{EE}$ : per ogni semicircuito è come avere una resistenza $2R_{EE}$ nell'emettitore (si divide a metà il circuito). Allora $A_{CM}=\frac{v_{o1}}{v_{CM}}=-\frac{\beta_0R_C}{r_\pi+2(1+\beta_0)R_{EE}}\simeq-\frac{R_C}{2R_{EE}}\quad(\text{da un collettore a massa}).$

Esempio. Con $\beta_0 = 100$ , $r_\pi = 5\ \mathrm{k\Omega}$ , $R_C = 10\ \mathrm{k\Omega}$ e $R_{EE} = 100\ \mathrm{k\Omega}$ : $A_{CM} = -\frac{100 \cdot 10}{5 + 2 \cdot 101 \cdot 100} \approx -0{,}0495$ .

Formula (CMRR della coppia differenziale). $\mathrm{CMRR}=\frac{|A_D^{(1)}|}{|A_{CM}|}\simeq\frac{g_mR_C/2}{R_C/(2R_{EE})}=g_mR_{EE}.$

Esempio. Con $g_m = 20\ \mathrm{mS}$ e $R_{EE} = 100\ \mathrm{k\Omega}$ : $\mathrm{CMRR} \simeq g_m R_{EE} = 2000$ , cioè $66\ \mathrm{dB}$ .

VI. Transistor ad effetto di campo

Transistor ad effetto di campo - JFET e MOSFET

Definizione (zone di funzionamento del n-MOS).

Zona Condizione Corrente

interdizione $v_{GS}<V_t$ $i_D=0$

ohmica (triodo) $v_{GS}>V_t$ , $0<v_{DS}<v_{GS}-V_t$ $i_D=k\,[\,2(v_{GS}-V_t)v_{DS}-v_{DS}^2]$

saturazione $v_{GS}>V_t$ , $v_{DS}>v_{GS}-V_t$ $i_D=k\,(v_{GS}-V_t)^2(1+\lambda v_{DS})$

Zona	Condizione	Corrente
interdizione	$v_{GS}<V_t$	$i_D=0$
ohmica (triodo)	$v_{GS}>V_t$ , $0<v_{DS}<v_{GS}-V_t$	$i_D=k\,[\,2(v_{GS}-V_t)v_{DS}-v_{DS}^2]$
saturazione	$v_{GS}>V_t$ , $v_{DS}>v_{GS}-V_t$	$i_D=k\,(v_{GS}-V_t)^2(1+\lambda v_{DS})$

Esempio. Con $V_t = 2{,}5\ \mathrm V$ , $k = 2\ \mathrm{mA/V^2}$ , $v_{GS} = 4\ \mathrm V$ e $v_{DS} = 5\ \mathrm V > v_{GS} - V_t = 1{,}5\ \mathrm V$ : saturazione, con $i_D = 2 \cdot 1{,}5^2 = 4{,}5\ \mathrm{mA}$ .

Formula (corrente di drain in saturazione). Nel corso la saturazione si scrive anche con la corrente $I_{DSS}$ : $i_D=k(v_{GS}-V_t)^2=I_{DSS}\Big(\frac{v_{GS}}{V_t}-1\Big)^2,\qquad I_{DSS}=k\,V_t^2\ \ (k=\tfrac12\mu C_{ox}\tfrac WL).$

Esempio. Con $V_t = 2{,}5\ \mathrm V$ , $I_{DSS} = 12{,}5\ \mathrm{mA}$ ( $k = 2\ \mathrm{mA/V^2}$ ) e $v_{GS} = 4\ \mathrm V$ : $i_D = 12{,}5\,(4/2{,}5 - 1)^2 = 4{,}5\ \mathrm{mA}$ .

Grafico interattivo: Caratteristica di uscita di un n-MOS con k = 1 mA/V² e V_ov = V_GS − V_t = 2 V: i_D (mA) in funzione di v_DS (V): parabola (zona ohmica) fino a v_DS = 2 V, poi saturazione a k V_ov² = 4 mA

Formula (corrente di drain del JFET in saturazione). Il JFET (a giunzione) ha un canale drogato (per esempio di tipo n) collegato a drain e source, e una regione di gate di tipo opposto che forma con il canale una giunzione pn polarizzata inversamente: aumentando $|v_{GS}|$ la zona di svuotamento della giunzione si allarga e strozza il canale. Per un n-JFET $v_{GS}\le0$ (tipicamente) e vale $i_D=I_{DSS}\Big(1-\frac{v_{GS}}{V_p}\Big)^2\quad(\text{saturazione, }v_{DS}>v_{GS}-V_p),$

Esempio. Un n-JFET con $I_{DSS} = 8\ \mathrm{mA}$ e $V_p = -4\ \mathrm V$ a $v_{GS} = -2\ \mathrm V$ ha $i_D = 8\,(1 - 0{,}5)^2 = 2\ \mathrm{mA}$ .

Formula (parametri del modello a piccolo segnale del MOSFET). Dal punto di lavoro $Q=(V_{GS},I_D)$ : $i_d=g_mv_{gs}+g_ov_{ds},\quad g_m=\frac{\partial i_D}{\partial v_{GS}}=2k(V_{GS}-V_t)(1+\lambda V_{DS})=\frac{2|I_D|}{|V_{GS}-V_t|}=2\sqrt{k|I_D|(1+\lambda V_{DS})},\quad r_o=\frac1{g_o}=\frac{V_{DS}+1/\lambda}{I_D}\simeq\frac1{\lambda|I_D|}.$ Il circuito equivalente ha la porta di ingresso aperta ( $g_{in}=0$ : nessuna corrente di gate), il generatore pilotato $g_mv_{gs}$ da drain a source e $r_o$ in parallelo: è il modello del BJT con $r_\pi\to\infty$ (Modello a piccolo segnale del BJT). Con $\lambda=0$ è $r_o=\infty$ . Il modello è unidirezionale.

Esempio. Con $I_D = 1\ \mathrm{mA}$ e $V_{GS} - V_t = 0{,}5\ \mathrm V$ : $g_m = 2I_D/(V_{GS} - V_t) = 4\ \mathrm{mS}$ ; con $\lambda = 0{,}02\ \mathrm V^{-1}$ è $r_o \simeq 1/(\lambda I_D) = 50\ \mathrm{k\Omega}$ .

MOSFET - caratteristiche di uscita dalla struttura del canale

Definizione (condensatore MOS: regimi di funzionamento e carica del canale). Si distinguono tre regimi del condensatore MOS (substrato di tipo p, n-MOS), in funzione di $v_{GB}$ :

accumulazione ( $v_{GB}<0$ ): il gate negativo richiama lacune sotto l'ossido; nessun canale;

svuotamento ( $0<v_{GB}<V_t$ ): il gate positivo respinge le lacune, lasciando ioni accettori fissi (zona svuotata) senza portatori mobili;

inversione ( $v_{GB}>V_t$ ): sotto l'ossido si accumula uno strato di elettroni liberi (il canale), la cui carica per unità di area è proporzionale alla tensione oltre la soglia: $Q_n=-C_{ox}\,(v_{GS}-V_t).$ $V_t$ è la tensione di soglia: per $v_{GS}<V_t$ non c'è canale (interdizione).

Esempio. Con $C_{ox} = 3{,}45 \cdot 10^{-7}\ \mathrm{F/cm^2}$ e $v_{GS} - V_t = 2\ \mathrm V$ : $|Q_n| = C_{ox}\,(v_{GS} - V_t) = 6{,}9 \cdot 10^{-7}\ \mathrm{C/cm^2}$ .

Formula (corrente in zona ohmica del MOSFET e resistenza del canale). $I_D$ è la stessa in ogni sezione (conservazione della corrente): si separano le variabili e si integra da $y=0$ ( $V=0$ ) a $y=L$ ( $V=V_{DS}$ ): $I_DL=W\mu_nC_{ox}\int_0^{V_{DS}}(v_{GS}-V_t-V)\,dV=W\mu_nC_{ox}\Big[(v_{GS}-V_t)V_{DS}-\frac{V_{DS}^2}2\Big].$ $\boxed{I_D=\mu_nC_{ox}\frac WL\Big[(v_{GS}-V_t)V_{DS}-\frac{V_{DS}^2}{2}\Big]=k\,\big[2(v_{GS}-V_t)V_{DS}-V_{DS}^2\big],\quad k=\tfrac12\mu_nC_{ox}\tfrac WL.}$ Per $V_{DS}$ piccola il termine quadratico è trascurabile: $I_D\simeq2k(v_{GS}-V_t)V_{DS}$ , il canale è un resistore controllato dalla tensione di gate con $r_{on}=\frac1{2k\,(v_{GS}-V_t)}.$

Esempio. Con $k = 1{,}38\ \mathrm{mA/V^2}$ , $v_{GS} - V_t = 2\ \mathrm V$ e $V_{DS} = 1\ \mathrm V$ : $I_D = 1{,}38\,[2 \cdot 2 \cdot 1 - 1] = 4{,}14\ \mathrm{mA}$ ; per $V_{DS}$ piccola $r_{on} = \frac{1}{2 \cdot 1{,}38 \cdot 2} \approx 0{,}18\ \mathrm{k\Omega}$ .

Formula (saturazione del MOSFET: strozzamento del canale). La formula vale finché la carica è positiva su tutto il canale. Al drain la tensione tra gate e canale è $v_{GS}-V_{DS}$ : la carica si annulla per $V_{DS}=v_{GS}-V_t=V_{ov}$ (strozzamento, pinch-off). Per $V_{DS}\ge V_{ov}$ il punto di strozzamento si sposta verso il source e la parte del canale tra lo strozzamento e il drain è una zona svuotata che regge la tensione in eccesso $V_{DS}-V_{ov}$ : la corrente non cresce più, resta il valore ottenuto per $V_{DS}=V_{ov}$ : $I_D=k\,\big[2V_{ov}^2-V_{ov}^2\big]=k\,V_{ov}^2=\tfrac12\mu_nC_{ox}\frac WL\,(v_{GS}-V_t)^2.$ La modulazione della lunghezza di canale: la zona di strozzamento si allarga con $V_{DS}$ e la lunghezza efficace del canale diventa $L-\Delta L(V_{DS})$ , quindi $I_D$ aumenta un poco: $I_D=kV_{ov}^2(1+\lambda V_{DS})$ , analogo all'effetto Early.

Esempio. Con $k = 1{,}38\ \mathrm{mA/V^2}$ e $V_{ov} = 2\ \mathrm V$ : lo strozzamento avviene a $V_{DS} = 2\ \mathrm V$ e $I_D = k V_{ov}^2 = 5{,}52\ \mathrm{mA}$ .

Polarizzazione dei MOSFET

Formula (polarizzazione del MOSFET a quattro resistenze: partitore di gate). $R_{G1}$ da $V_{DD}$ al gate, $R_{G2}$ dal gate a massa, $R_D$ dal drain a $V_{DD}$ , $R_S$ dal source a massa. Poiché $I_G=0$ il partitore di gate non è caricato e $V_G=V_{DD}\frac{R_{G2}}{R_{G1}+R_{G2}},\qquad V_G=V_{GS}+R_SI_D,\qquad V_{DS}=V_{DD}-(R_D+R_S)I_D.$

Esempio. Con $V_{DD} = 20\ \mathrm V$ , $R_{G1} = 300\ \mathrm{k\Omega}$ e $R_{G2} = 100\ \mathrm{k\Omega}$ (senza corrente di gate): $V_G = 20 \cdot \frac{100}{400} = 5\ \mathrm V$ .

Formula (equazione di secondo grado per V_GS in saturazione). In saturazione (trascurando $\lambda$ ): $I_D=I_{DSS}\big(\tfrac{V_{GS}}{V_t}-1\big)^2$ . Sostituendo $I_D$ nella prima equazione: $V_G=V_{GS}+R_SI_{DSS}\Big(\frac{V_{GS}}{V_t}-1\Big)^2\ \Longleftrightarrow\ \frac{R_SI_{DSS}}{V_t^2}\,V_{GS}^2+\Big(1-\frac{2R_SI_{DSS}}{V_t}\Big)V_{GS}+\big(R_SI_{DSS}-V_G\big)=0.$

Esempio. Con $V_t = 2\ \mathrm V$ , $I_{DSS} = 4\ \mathrm{mA}$ , $R_S = 1\ \mathrm{k\Omega}$ e $V_G = 5\ \mathrm V$ : $V_{GS}^2 - 3V_{GS} - 1 = 0$ , con radici $3{,}303$ e $-0{,}303$ ; si sceglie $V_{GS} = 3{,}303\ \mathrm V > V_t$ .

Grafico interattivo: Soluzione grafica nel piano (V_GS, I_D): la retta I_D = (V_G − V_GS)/R_S = 5 − V_GS (R_S = 1 kΩ) incontra la parabola di saturazione I_D = 4(V_GS/2 − 1)² (V_t = 2 V, I_DSS = 4 mA) in V_GS = 3,303 V, I_D = 1,70 mA; l'altra intersezione dell'equazione (V_GS = −0,303 V) è sulla parte non fisica

Amplificatori a MOSFET - source comune, drain comune e gate comune

Formula (source comune: doppio bipolo). Ingresso al gate, uscita al drain, source a massa per il segnale (se è bypassato) o tramite $R_{S1}$ (parte di $R_S$ non bypassata): $g_{21}=\frac{v_o}{v_i}\Big|_{i_o=0}=-\frac{g_mR_D}{1+g_mR_{S1}},\qquad g_{11}=\frac1{R_G},\qquad g_{22}=R_D,\qquad g_{12}=0.$

Esempio. Con $g_m = 4\ \mathrm{mS}$ , $R_D = 5\ \mathrm{k\Omega}$ e source bypassato ( $R_{S1} = 0$ ): $g_{21} = -g_m R_D = -20$ ; con $R_{S1} = 250\ \Omega$ diventa $-20/(1 + 1) = -10$ .

Formula (guadagno complessivo del source comune). (Con $R_{S1}$ : il segnale $v_{gs}=v_i-R_{S1}\,g_mv_{gs}$ , cioè $v_{gs}=v_i/(1+g_mR_{S1})$ .) Il guadagno complessivo $A_v=\frac{v_o}{v_s}=\underbrace{\frac{R_G}{R_g+R_G}}_{\text{ingresso}}\cdot\underbrace{\Big(-\frac{g_m\,(R_D\|R_L)}{1+g_mR_{S1}}\Big)}_{\text{stadio con carico}}.$

Esempio. $g_m=4\ \mathrm{mS}$ , $R_D=R_L=5\ \mathrm{k\Omega}$ , $R_g=100\ \mathrm{k\Omega}$ , $R_G=1\ \mathrm{M\Omega}$ . Con source totalmente bypassato: $A_v=\dfrac{1}{1{,}1}\cdot(-4\cdot2{,}5)=-9{,}09$ ; con $R_{S1}=250\ \Omega$ ( $g_mR_{S1}=1$ ): $A_v=0{,}909\cdot\Big(-\dfrac{10}{2}\Big)=-4{,}55$ (valori verificati con un'analisi nodale). La resistenza di source non bypassata dimezza il guadagno ma lo rende meno dipendente da $g_m$ (per $g_mR_{S1}\gg1$ è $-R_D'/R_{S1}$ ).

Formula (drain comune, inseguitore di source). Ingresso al gate, uscita sul source (resistenza $R_S$ verso massa, carico $R_L$ in parallelo), drain a $V_{DD}$ (massa per il segnale). Con $R_S'=R_S\|R_L$ : $g_{21}=\frac{g_mR_S}{1+g_mR_S},\quad g_{11}=\frac1{R_G},\quad g_{22}=R_S\Big\|\frac1{g_m}=\frac{R_S}{1+g_mR_S},\quad g_{12}=0,$ $A_v=\frac{R_G}{R_g+R_G}\cdot\frac{g_mR_S'}{1+g_mR_S'}.$

Esempio. Con $g_m = 4\ \mathrm{mS}$ , $R_S' = 2{,}5\ \mathrm{k\Omega}$ , $R_g = 100\ \mathrm{k\Omega}$ e $R_G = 1\ \mathrm{M\Omega}$ : $A_v = \frac{1000}{1100} \cdot \frac{10}{11} \approx 0{,}826$ .

Formula (gate comune). Ingresso al source (la sorgente di segnale con $R_g$ è collegata al source tramite un condensatore; $R_S$ a massa serve alla polarizzazione), uscita al drain, gate a massa per il segnale (condensatore di bypass $C_G$ : in teoria non servirebbe perché la corrente di gate è nulla, ma serve a garantire il gate a massa quando si considerano le capacità del dispositivo): $g_{21}=g_mR_D,\quad g_{11}=\frac1{R_G}+g_m\ \ (\text{in assenza di }R_S),\quad g_{22}=R_D,\quad R_{in}=R_S\Big\|\frac1{g_m},$ $A_v=\frac{R_{in}}{R_{in}+R_g}\,g_m(R_D\|R_L).$

Esempio. Con $g_m = 4\ \mathrm{mS}$ , $R_S = 2\ \mathrm{k\Omega}$ , $R_D = R_L = 5\ \mathrm{k\Omega}$ e $R_g = 100\ \Omega$ : $R_{in} = 2000 \| 250 \approx 222\ \Omega$ e $A_v = \frac{222}{322} \cdot 4 \cdot 2{,}5 \approx 6{,}9$ .

VII. Multistadio e specchi di corrente

Amplificatori multistadio e accoppiamento diretto

Formula (guadagno di una cascata di stadi unidirezionali).

si calcolano per ogni stadio $R_{in}$ , $g_{21}$ (o guadagno a vuoto) e $R_{out}$ ;

la resistenza di ingresso dello stadio $k+1$ è il carico dello stadio $k$ ; la resistenza di uscita dello stadio $k$ è la resistenza della sorgente per lo stadio $k+1$ ;

il guadagno totale è il prodotto $A_v=\frac{R_{in1}}{R_{in1}+R_g}\cdot g_{21}^{(1)}\frac{R_{in2}}{R_{out1}+R_{in2}}\cdot g_{21}^{(2)}\frac{R_L}{R_{out2}+R_L}.$

Esempio 1 (due emettitori comuni con condensatore di accoppiamento). Due stadi identici con $I_C=1\ \mathrm{mA}$ ( $g_m=40\ \mathrm{mS}$ , $\beta_0=100$ , $r_\pi=2{,}5\ \mathrm{k\Omega}$ ), emettitori in bypass, $R_B=20\ \mathrm{k\Omega}$ (partitore di base); $R_{C1}=5\ \mathrm{k\Omega}$ , $R_{C2}=3\ \mathrm{k\Omega}$ , $R_L=3\ \mathrm{k\Omega}$ , $R_g=1\ \mathrm{k\Omega}$ .

Specchi di corrente

Formula (specchio di corrente elementare a BJT). $Q_1$ ha base e collettore collegati (transistor a diodo, $V_{CB}=0$ , in zona attiva diretta) ed è attraversato dalla corrente di riferimento $I_R$ , imposta da un resistore: $I_R=\dfrac{V_{CC}+V_{EE}-V_{BE}}{R_B}$ (quindi $I_R$ è praticamente proporzionale all'alimentazione). $Q_2$ ha la stessa $V_{BE}$ di $Q_1$ (basi e emettitori collegati): se i due transistor sono identici e alla stessa temperatura hanno la stessa corrente di collettore $I_C$ : $I_R=I_C+I_{B1}+I_{B2}=I_C\Big(1+\frac{2}{\beta_F}\Big)\ \Longrightarrow\ \boxed{I_{C2}=I_R\,\frac{\beta_F}{\beta_F+2}\simeq I_R}$

Esempio: alimentazione totale $10\ \mathrm V$ , $R_B=9{,}3\ \mathrm{k\Omega}$ , $V_{BE}=0{,}7\ \mathrm V$ : $I_R=1\ \mathrm{mA}$ ; con $\beta_F=100$ la corrente copiata è $I_{C2}=0{,}980\ \mathrm{mA}$ . Per l'effetto Early con $V_A=100\ \mathrm V$ , se $V_{CE2}=5\ \mathrm V$ (contro $V_{CE1}=V_{BE}=0{,}7\ \mathrm V$ ) la corrente è maggiore di un altro $(1+5/100)/(1+0{,}7/100)=1{,}043$ ( $+4{,}3\%$ ): la resistenza di uscita è $r_g=r_o$ ( $100\ \mathrm{k\Omega}$ per $I_C=1\ \mathrm{mA}$ ).

Grafico interattivo: Corrente copiata I_C2 dello specchio dell'esempio (I_R = 1 mA, β_F = 100, V_A = 100 V; ascissa: V_CE2 in V, ordinata: mA): sotto circa 0,2 V (a sinistra del grafico) Q₂ è in saturazione e la corrente non è copiata; oltre, vale 0,980 mA (l'errore del 2% dovuto alle basi) a V_CE2 = V_BE = 0,7 V e cresce con la pendenza 1/r_o = 10 μS per l'effetto Early, fino a 1,022 mA a 5 V (+4,3%): il generatore non è ideale

Formula (specchio di corrente a MOSFET). Il MOSFET a diodo ( $V_{DS}=V_{GS}$ , gate-drain collegati) ha $I_D=k_1(V_{GS}-V_t)^2$ ; un secondo MOSFET con la stessa $V_{GS}$ ha $I_{D2}=k_2(V_{GS}-V_t)^2$ , quindi $I_{D2}=I_R\frac{k_2}{k_1}=I_R\frac{(W/L)_2}{(W/L)_1}\quad(\lambda=0).$

Esempio. Con $I_R = 0{,}1\ \mathrm{mA}$ e $(W/L)_2/(W/L)_1 = 4$ : $I_{D2} = 0{,}4\ \mathrm{mA}$ .