Corrente di deriva e di diffusione - resistenza di una barretta

Corrente di deriva

Formula (velocità di deriva e mobilità). In un campo elettrico $E$ ogni portatore libero sente la forza $qE$, ma non accelera indefinitamente: gli urti con il reticolo azzerano continuamente la componente di velocità nel verso del campo, e la velocità media si assesta a un valore proporzionale al campo: $$v_n=-\mu_nE\ \text{(gli elettroni vanno in verso opposto al campo)},\qquad v_p=+\mu_pE.$$ $\mu_n,\mu_p$ sono le mobilità; per il silicio a basso drogaggio $\mu_n\simeq1300$, $\mu_p\simeq500\ \mathrm{cm^2\,V^{-1}s^{-1}}$ (si riducono di 10 volte vicino a $10^{18}\ \mathrm{cm^{-3}}$; le lacune sono più lente perché si muovono nella banda di valenza). La proporzionalità vale per $E\lesssim3\cdot10^3\ \mathrm{V/cm}$; oltre la velocità satura intorno a $10^7\ \mathrm{cm/s}$.

Esempio. Con $E = 100\ \mathrm{V/cm}$ e $\mu_n = 1300\ \mathrm{cm^2/(V\,s)}$ gli elettroni hanno velocità $1{,}3 \cdot 10^{5}\ \mathrm{cm/s}$, in verso opposto al campo.

Formula (corrente di deriva e conducibilità). Densità di corrente. In un volumetto di sezione $S$ e lunghezza $dx$ ci sono $p\,S\,dx$ lacune; in $dt$ percorrono $dx=v_pdt$, quindi la corrente è $I_p=q\,p\,S\,v_p$ e la densità ($I/S$) vale $J_p=qp\mu_pE$. Gli elettroni hanno carica $-q$ e velocità opposta al campo, per cui la corrente è nello stesso verso del campo: $J_n=qn\mu_nE$. In totale $$J_{drift}=q\,(p\mu_p+n\mu_n)\,E=\sigma E,\qquad\sigma=q\,(p\mu_p+n\mu_n)\ \ [\mathrm{S/cm}].$$ Per un semiconduttore drogato di tipo n con $n\gg p$ conta solo il primo termine: $\sigma\simeq qn\mu_n$, nel tipo p $\sigma\simeq qp\mu_p$.

Esempio. Silicio di tipo n con $n = 10^{16}\ \mathrm{cm^{-3}}$, $\mu_n = 1300\ \mathrm{cm^2/(V\,s)}$ ed $E = 10\ \mathrm{V/cm}$: $\sigma \simeq q n \mu_n = 1{,}6 \cdot 10^{-19} \cdot 10^{16} \cdot 1300 = 2{,}08\ \mathrm{S/cm}$ e $J = \sigma E = 20{,}8\ \mathrm{A/cm^2}$.

Resistenza di una barretta

Formula (resistenza di una barretta di semiconduttore). Barretta uniforme di lunghezza $L$ (direzione della corrente) e sezione $S$ con tensione $V$ ai capi: $E=V/L$, $I=J\,S=\sigma\dfrac{V}{L}S$, cioè $$\boxed{R=\frac{L}{\sigma\,S}=\frac{\rho\,L}{S}}.$$ Attenzione alle unità: con $\sigma$ in $\mathrm{S/cm}$ la lunghezza va in cm e la sezione in $\mathrm{cm^2}$ ($1\ \mathrm{mm}=0{,}1\ \mathrm{cm}$, $1\ \mathrm{mm^2}=0{,}01\ \mathrm{cm^2}$).

Esempio 1 (densità di corrente). Barretta di silicio tipo p, $N_A=2\cdot10^{17}\ \mathrm{cm^{-3}}$, $\mu_p=440$, lunga $L=100\ \mu\mathrm m=0{,}01\ \mathrm{cm}$ con $V=4\ \mathrm V$: $E=4/0{,}01=400\ \mathrm{V/cm}$ (sotto il limite di saturazione, quindi la legge lineare vale). Le lacune sono $p\simeq N_A$ e si trascurano gli elettroni minoritari ($n=n_i^2/N_A\approx10^3\ \mathrm{cm^{-3}}$): $$J=qp\mu_pE=1{,}6\cdot10^{-19}\cdot2\cdot10^{17}\cdot440\cdot400=5632\ \mathrm{A/cm^2}.$$

Esempio 2 (drogaggio da una resistenza). Barretta tipo p, $L=10\ \mathrm{mm}$, larghezza $3\ \mathrm{mm}$, altezza $1\ \mathrm{mm}$, $R=100\ \Omega$, $\mu_p=500$: sezione $S=0{,}3\cdot0{,}1=0{,}03\ \mathrm{cm^2}$, $\sigma=\dfrac{L}{RS}=\dfrac{1}{100\cdot0{,}03}=0{,}333\ \mathrm{S/cm}$ e $$N_A\simeq p=\frac{\sigma}{q\mu_p}=\frac{0{,}333}{1{,}6\cdot10^{-19}\cdot500}=4{,}17\cdot10^{15}\ \mathrm{cm^{-3}}.$$ (Gli elettroni, $n=n_i^2/p=5{,}4\cdot10^4$, sono trascurabili.) Con $L=20\ \mathrm{mm}$, $4\times1\ \mathrm{mm}$ e $R=200\ \Omega$: $\sigma=2/(200\cdot0{,}04)=0{,}25\ \mathrm{S/cm}$ e $N_A=3{,}125\cdot10^{15}\ \mathrm{cm^{-3}}$.

Esempio 3 (drogaggi compensati). Barretta con sezione $S=1\ \mathrm{mm^2}$ e lunghezza $L=40\ \mathrm{mm}$ drogata prima con $N_D=2\cdot10^{15}\ \mathrm{cm^{-3}}$ e poi con $N_A=8\cdot10^{13}\ \mathrm{cm^{-3}}$ (Semiconduttori - bande, drogaggio e legge di azione di massaNel silicio puro (intrinseco) ogni coppia elettrone-lacuna è creata dall'agitazione termica: n = p = n_i ≈ 1,5·10^10 cm^-3 a 300 K, con n_i^2 proporzionale a T^3 e^{-E_G/kT}. Il drogaggio con donatori (gruppo V) crea elettroni liberi (tipo n, n ≈ N_D), con accettori (gruppo III) crea lacune (tipo p, p ≈ N_A). Vale sempre la legge di azione di massa n·p = n_i^2 e la neutralità della carica p + N_D = n + N_A; con drogaggi compensati conta la differenza N_D − N_A.Semiconduttori - bande, drogaggio e legge di azione di massa →): è di tipo n con $n\simeq N_D-N_A=1{,}92\cdot10^{15}$ ($p=1{,}2\cdot10^5$ trascurabile). $$\sigma\simeq qn\mu_n=1{,}6\cdot10^{-19}\cdot1{,}92\cdot10^{15}\cdot1300=0{,}399\ \mathrm{S/cm},\quad R=\frac{L}{\sigma S}=\frac{4}{0{,}399\cdot0{,}01}=1001{,}6\ \Omega.$$ Altre varianti dei temi: $S=10\ \mathrm{mm^2}$, $L=30\ \mathrm{mm}$, $N_D=0{,}2\cdot10^{15}$, $N_A=8\cdot10^{13}$ danno $n=1{,}2\cdot10^{14}$ e $R=1202\ \Omega$; $S=10\ \mathrm{mm^2}$, $L=20\ \mathrm{mm}$, $N_D=10^{15}$, $N_A=5\cdot10^{14}$ danno $R=192{,}3\ \Omega$. (Controllati con la formula esatta per $n$ e $p$: lo scarto con l'approssimazione $n\simeq N_D-N_A$ è sotto lo $0{,}01\%$.)

Corrente di diffusione

Formula (corrente di diffusione e relazione di Einstein). Se la concentrazione dei portatori non è uniforme, l'agitazione termica produce un flusso netto dalla zona più concentrata alla meno concentrata (il numero di attraversamenti di una sezione è maggiore dal lato dove ci sono più portatori). La corrente corrispondente è $$J_n=qD_n\frac{dn}{dx},\qquad J_p=-qD_p\frac{dp}{dx},$$ con $D_n,D_p$ ($\mathrm{cm^2/s}$) coefficienti di diffusione (nel silicio $D_n\simeq34$, $D_p\simeq13\ \mathrm{cm^2/s}$). Il segno cambia perché gli elettroni (carica negativa) che diffondono verso $x$ crescenti fanno una corrente verso $x$ decrescenti. Relazione di Einstein: $$\frac{D_n}{\mu_n}=\frac{D_p}{\mu_p}=\frac{kT}{q}=V_T\simeq25\ \mathrm{mV}\ (26\ \mathrm{mV\ a}\ 300\ \mathrm K),$$ dove $V_T$ si chiama potenziale termico ($1/V_T=40\ \mathrm V^{-1}$ a $25\ \mathrm{mV}$). La corrente totale è la somma di deriva e diffusione: $$J_n=qn\mu_nE+qD_n\frac{dn}{dx},\qquad J_p=qp\mu_pE-qD_p\frac{dp}{dx}.$$

Esempio. A $300\ \mathrm K$ è $V_T = kT/q = 8{,}62 \cdot 10^{-5} \cdot 300 = 25{,}9\ \mathrm{mV}$; con $\mu_n = 1300\ \mathrm{cm^2/(V\,s)}$ si ha $D_n = \mu_n V_T \approx 33{,}6\ \mathrm{cm^2/s}$.

Tensione indotta da una concentrazione non uniforme

Si consideri una barretta isolata, drogata con donatori in modo non uniforme, in equilibrio. Gli elettroni diffondono verso la zona meno drogata e lasciano ioni positivi dove erano molti; si forma un campo che crea una corrente di deriva uguale e opposta. In equilibrio la corrente di ogni tipo è nulla in ogni punto: con $p$ trascurabile $$J_n=qn\mu_nE+qD_n\frac{dn}{dx}=0\ \Longrightarrow\ E=-\frac{D_n}{\mu_n}\frac1n\frac{dn}{dx}=-V_T\frac{d\ln n}{dx}.$$

Formula (tensione indotta da una concentrazione non uniforme). Con $E=-dV/dx$ e integrando tra $X_1$ e $X_2$: $$\boxed{V(X_2)-V(X_1)=V_T\ln\frac{n(X_2)}{n(X_1)}}$$

Esempio. Con $n(0) = 10^{17}$ e $n(L) = 10^{15}\ \mathrm{cm^{-3}}$ a $V_T = 25\ \mathrm{mV}$: $V(L) - V(0) = 0{,}025\,\ln(10^{-2}) \approx -115\ \mathrm{mV}$.

(per le lacune $V(X_2)-V(X_1)=-V_T\ln\frac{p(X_2)}{p(X_1)}$). Conta solo il valore della concentrazione nei due punti, non l'andamento tra essi. Esempio: $n(0)=10^{17}$ e $n(L)=10^{15}\ \mathrm{cm^{-3}}$: $V(L)-V(0)=0{,}025\ln(10^{-2})=-115\ \mathrm{mV}$ (il potenziale è più alto dal lato più drogato).

Corrente di deriva in una barretta isolata e non uniforme (quesito d'esame). Se la barretta non è collegata a nulla la corrente totale è nulla: $J_p=0\Rightarrow J_{p,drift}=-J_{p,diff}=+qD_p\dfrac{dp}{dx}$. Quindi dove $p$ è costante la deriva è nulla e dove $p$ varia la deriva compensa esattamente la diffusione. Con $p$ crescente linearmente da $p_1=1{,}5\cdot10^{16}$ a $p_2=4\cdot10^{17}\ \mathrm{cm^{-3}}$ tra $x_1=40\ \mu\mathrm m$ e $x_2=60\ \mu\mathrm m$ (e costante altrove), $D_p=13\ \mathrm{cm^2/s}$: $$\frac{dp}{dx}=\frac{4\cdot10^{17}-1{,}5\cdot10^{16}}{20\cdot10^{-4}\ \mathrm{cm}}=1{,}925\cdot10^{20}\ \mathrm{cm^{-4}},\qquad J_{p,drift}=1{,}6\cdot10^{-19}\cdot13\cdot1{,}925\cdot10^{20}=400{,}4\ \mathrm{A/cm^2}.$$ Il massimo è $400{,}4\ \mathrm{A/cm^2}$ e il minimo $0$ (nei tratti uniformi). La mobilità non serve: è un dato superfluo (il campo si adatta in modo da compensare la diffusione, qualunque sia $\mu_p$).

Errori comuni

• Dimenticare la conversione delle unità (mm in cm).
• Usare $\sigma=qn\mu_n$ nel tipo p (o viceversa).
• Applicare la legge $J=\sigma E$ a campi molto grandi (oltre $3\cdot10^3\ \mathrm{V/cm}$ la velocità satura).
• Dimenticare il segno meno nella diffusione delle lacune.
• Usare $V_T=kT/q$ con $T$ in gradi Celsius.