Funzione di trasferimento e diagrammi di Bode

Dalla funzione di trasferimento alla risposta in frequenza

Formula (risposta in frequenza e uscita a un ingresso sinusoidale). Un amplificatore lineare con condensatori ha un guadagno che dipende dalla frequenza. Nel dominio di Laplace (Laplace unilatera, funzione di trasferimento e stabilitàCon la trasformata unilatera $X(s)=\int_{0^-}^\infty x(t)e^{-st}dt$ le derivate diventano $\mathcal L[y']=sY-y(0^-)$: un problema di Cauchy causale si riduce a un'equazione algebrica, $Y=\frac{b}{a}X+\frac{\text{termini iniziali}}{a}$ (forzata + libera). La funzione di trasferimento è $H(s)=b(s)/a(s)$; il sistema causale è BIBO stabile se e solo se $H$ è propria e tutti i poli hanno parte reale negativa.Laplace unilatera, funzione di trasferimento e stabilità →) il guadagno $A(s)=V_{out}(s)/V_{in}(s)$ è una funzione razionale di $s$. Per segnali sinusoidali si pone $s=j\omega$: la funzione complessa $A(j\omega)$ è la risposta in frequenza (Risposta in frequenza e risposta a ingresso sinusoidaleGli esponenziali complessi $e^{j\omega t}$ sono autofunzioni dei sistemi LTI stabili: escono moltiplicati per la risposta in frequenza $H(\omega)=\int h(\tau)e^{-j\omega\tau}d\tau$. Per un sistema reale, $A\cos(\omega_0t+\varphi)$ esce come $A|H(\omega_0)|\cos(\omega_0t+\varphi+\arg H(\omega_0))$: la frequenza non cambia, cambiano ampiezza e fase.Risposta in frequenza e risposta a ingresso sinusoidale →) e indica come un segnale $\sin(\omega t)$ viene modificato:

$$v_{in}=V\sin(\omega_0t+\varphi)\ \Longrightarrow\ v_{out}=V\,|A(j\omega_0)|\,\sin\big(\omega_0t+\varphi+\angle A(j\omega_0)\big).$$

Esempio. Con $|A(j\omega_0)| = 10$ e $\angle A(j\omega_0) = -45^\circ$, un ingresso $0{,}1\sin(\omega_0 t)\ \mathrm V$ dà $v_{out} = 1\sin(\omega_0 t - 45^\circ)\ \mathrm V$.

Il modulo $|A(j\omega)|$ (di solito in dB, $20\log_{10}$) dà l'amplificazione e la fase $\angle A(j\omega)$ lo sfasamento. Il diagramma di Bode è la coppia di grafici modulo-in-dB e fase, entrambi su un asse delle pulsazioni logaritmico.

Il motivo dei dB e della scala logaritmica: il modulo di un prodotto è il prodotto dei moduli e la fase di un prodotto è la somma delle fasi. Con i dB (logaritmo) i prodotti diventano somme e il diagramma complessivo si ottiene sommando, punto per punto, i diagrammi dei fattori.

Errore da non fare: non scrivere unità di misura sull'asse logaritmico (il logaritmo è adimensionale): si riportano le pulsazioni $\omega$ (in rad/s) in scala logaritmica, oppure $\log\omega$. Sull'asse del modulo vanno i dB.

Forma fattorizzata (forma di Bode)

Definizione (forma fattorizzata di Bode). Dopo aver ricavato $A(s)$ dal circuito si scrive nella forma con i fattori adimensionali:

$$A(s)=A_0\,\frac{(sT_{z1})\cdots(sT_{zk})\,(1+sT_{z,k+1})\cdots(1+sT_{zM})}{(sT_{p1})\cdots(sT_{ph})\,(1+sT_{p,h+1})\cdots(1+sT_{pN})}.$$

• Zeri e poli sono i valori di $s$ che annullano numeratore e denominatore. Il fattore $(1+sT)$ ha radice $s=-1/T$ e si scrive anche $(1+s/\omega_i)$ con $\omega_i=1/T$ pulsazione del polo/zero (per radici negative; per radici positive $\omega_i=+z_i$ e il fattore è $(1-s/\omega_i)$).
• I fattori $(sT)$ sono zeri o poli nell'origine.
• Le radici complesse coniugate si raggruppano in $\big(1+2\xi\,\tfrac s{\omega_n}+\tfrac{s^2}{\omega_n^2}\big)$, con $\omega_n$ pulsazione naturale e $\xi\in[0,1]$ coefficiente di smorzamento.
• Si fa in modo che in ogni fattore $(1+\cdots)$ il termine noto valga 1: la costante $A_0$ è quindi il valore del guadagno a bassa frequenza (se non ci sono zeri o poli nell'origine).

Esempio di riduzione: $A(s)=\dfrac{2+0{,}02\,s}{(0{,}1+s)(1+10^{-3}s)}$: si porta fuori $2$ dal numeratore e $0{,}1$ dal primo fattore: $A(s)=\dfrac{2}{0{,}1}\cdot\dfrac{1+0{,}01s}{(1+10s)(1+10^{-3}s)}=20\cdot\dfrac{1+s/100}{(1+s/0{,}1)(1+s/1000)}$: costante $20\ (26\ \mathrm{dB})$, zero a $100\ \mathrm{rad/s}$, poli a $0{,}1$ e $1000\ \mathrm{rad/s}$.

Il modulo: diagramma asintotico

Proprietà (diagramma asintotico del modulo di un polo reale). Per ogni fattore si guardano due casi limite. Per un polo reale $\dfrac1{1+j\omega/\omega_p}$:

• $\omega\ll\omega_p$: la parte immaginaria è trascurabile, $|\cdot|\simeq1$ ($0\ \mathrm{dB}$);
• $\omega\gg\omega_p$: domina la parte immaginaria, $|\cdot|\simeq\omega_p/\omega$: $-20\ \mathrm{dB/decade}$ (ogni volta che $\omega$ si moltiplica per 10 il modulo si divide per 10; equivalente a $-6\ \mathrm{dB/ottava}$);
• in $\omega=\omega_p$ il modulo esatto vale $1/\sqrt2$, cioè $-3\ \mathrm{dB}$ sotto l'asintoto. Le due semirette si raccordano in $\omega_p$ (punto di spezzamentola pulsazione in cui il diagramma asintotico cambia pendenza: coincide con il valore di un polo o di uno zero).

Esempio. Polo in $\omega_p = 1000\ \mathrm{rad/s}$: in $\omega_p$ il modulo è $-3\ \mathrm{dB}$ e in $\omega = 10^4\ \mathrm{rad/s}$ è circa $-20\ \mathrm{dB}$ (esatto $-20{,}04\ \mathrm{dB}$).

Un zero reale $(1+j\omega/\omega_z)$ fa il contrario: $0\ \mathrm{dB}$ fino a $\omega_z$ e poi $+20\ \mathrm{dB/decade}$ ($+3\ \mathrm{dB}$ in $\omega_z$).

Proprietà (modulo e fase asintotici dei singoli fattori).

Fattore	Modulo asintotico	Fase
costante $A_0>0$	costante $20\log A_0$	$0$
costante $A_0<0$	idem con $\lvert A_0\rvert$	$\pm180^\circ$
zero nell'origine $s/\omega_z$	$+20$ dB/dec, vale $0\ \mathrm{dB}$ in $\omega_z$	$+90^\circ$
polo nell'origine $\omega_p/s$	$-20$ dB/dec, vale $0\ \mathrm{dB}$ in $\omega_p$	$-90^\circ$
zero reale $(1+s/\omega_z)$	$0$ fino a $\omega_z$, poi $+20$ dB/dec	da $0$ a $+90^\circ$
polo reale $(1+s/\omega_p)^{-1}$	$0$ fino a $\omega_p$, poi $-20$ dB/dec	da $0$ a $-90^\circ$
coppia di zeri complessi	$0$ fino a $\omega_n$, poi $+40$ dB/dec	da $0$ a $+180^\circ$
coppia di poli complessi	$0$ fino a $\omega_n$, poi $-40$ dB/dec	da $0$ a $-180^\circ$
radice reale positiva $(1-s/\omega)$	modulo uguale a quello della radice negativa	segno della fase invertito

Esempio. Con uno zero a $100\ \mathrm{rad/s}$ e un polo a $1000\ \mathrm{rad/s}$ su guadagno unitario: $0\ \mathrm{dB}$ fino a $100$, poi $+20\ \mathrm{dB/dec}$ fino a $+20\ \mathrm{dB}$ in $1000$, poi di nuovo piatto a $+20\ \mathrm{dB}$.

Per le coppie complesse i diagrammi asintotici non dipendono da $\xi$; $\xi$ cambia solo l'andamento attorno a $\omega_n$ (per $\xi<0{,}707$ un picco di risonanza).

La fase: il tratto lineare di due decadi

Proprietà (fase asintotica di un polo reale). Per un polo reale la fase esatta è $-\arctan(\omega/\omega_p)$: $-45^\circ$ in $\omega_p$ e asintoti a $0^\circ$ e $-90^\circ$. Nel diagramma asintotico si raccordano i due asintoti con un segmento che comincia una decade prima ($\omega_p/10$) e finisce una decade dopo ($10\,\omega_p$): la fase varia di $-90^\circ$ su due decadi, cioè con pendenza $-45^\circ$/decade, ed è $-45^\circ$ in $\omega_p$. Per uno zero reale vale lo stesso con segno $+$. Per i fattori nell'origine la fase è costante ($\pm90^\circ$). Per i poli o zeri positivi il segno della variazione è opposto: per esempio $(1-s/\omega_z)$ ha lo stesso modulo di $(1+s/\omega_z)$ ma la fase scende da $0$ a $-90^\circ$ (è lo "zero a fase non minima").

Esempio. Polo in $\omega_p = 1000\ \mathrm{rad/s}$: la fase vale $0^\circ$ fino a $100\ \mathrm{rad/s}$, $-45^\circ$ in $1000\ \mathrm{rad/s}$ e $-90^\circ$ da $10^4\ \mathrm{rad/s}$ in poi.

Procedura completa

1. Calcolare $A(s)$ dal circuito (impedenze, Circuiti con operazionale in frequenza - Bode e uscita a una sinusoideNei circuiti con opamp ideale la funzione di trasferimento A(s) si ottiene dalle formule di invertente (−Z2/Z1) e non invertente (1+Z2/Z1), con i condensatori sostituiti da 1/(sC) e le reti RC sul morsetto + trattate come partitori (nessuna corrente nell'ingresso). Si porta A(s) nella forma di Bode, si traccia il diagramma asintotico con i punti di spezzamento e si legge modulo e fase alla pulsazione del segnale per scrivere v_out(t); la componente continua dell'ingresso esce moltiplicata per A(0).Circuiti con operazionale in frequenza - Bode e uscita a una sinusoide →).
2. Metterla in forma fattorizzata con costante e fattori $(1+s/\omega_i)$.
3. Elencare i punti di spezzamento (le pulsazioni $\omega_i$) in ordine crescente.
4. Modulo: partire dal tratto a bassa frequenza (costante, oppure retta con pendenza $\pm20\ \mathrm{dB/dec}$ per ogni fattore nell'origine) e cambiare pendenza di $\mp20$ (polo) o $\pm20$ (zero) dB/dec in ogni $\omega_i$. Per fissare la quota si calcola il valore in un punto (p.es. in $\omega=\omega_z$ o $\omega=1$ con la formula del fattore nell'origine).
5. Fase: sommare i contributi dei singoli fattori, ciascuno con il suo tratto di due decadi.
6. Valutare l'uscita per un ingresso sinusoidale con la formula del primo paragrafo, leggendo modulo e fase nel punto $\omega_0$.

Esempio completo

$$A(s)=\frac{100\,s}{(1+s/10)(1+s/10^4)}\quad(\text{passa-banda}).$$

• Fattori: costante $100$ ($40\ \mathrm{dB}$), uno zero nell'origine ($+20$ dB/dec), poli in $\omega=10$ e $\omega=10^4$.
• Modulo: per $\omega\ll10$ è $|A|\simeq100\,\omega$, che vale $40\ \mathrm{dB}$ in $\omega=1$ (retta $+20$ dB/dec). In $\omega=10$ vale $60\ \mathrm{dB}$ e la pendenza passa a $0$; resta a $60\ \mathrm{dB}$ fino a $\omega=10^4$ e poi scende di $20$ dB/dec ($40\ \mathrm{dB}$ in $10^5$).
• Fase: $+90^\circ$ (zero nell'origine) da cui si sottrae la rampa del primo polo (da $\omega=1$ a $\omega=100$) e quella del secondo (da $10^3$ a $10^5$): $+90^\circ$ per $\omega<1$, $0^\circ$ tra $100$ e $1000$ (centro della banda), $-90^\circ$ oltre $10^5$.

Valori esatti calcolati con numpy: $20\log|A|$ vale $39{,}96,\ 56{,}99,\ 59{,}96,\ 59{,}96,\ 56{,}99,\ 39{,}96\ \mathrm{dB}$ per $\omega=1,10,10^2,10^3,10^4,10^5$ (scarto massimo $3\ \mathrm{dB}$ nei punti di spezzamento), fase $84{,}3^\circ,\ 44{,}9^\circ,\ 5{,}1^\circ,\ -5{,}1^\circ,\ -44{,}9^\circ,\ -84{,}3^\circ$.

(La rampa di un polo in $\omega_p=10^{x_p}$ è $-22{,}5\,(|u+1|-|u-1|)-45$ con $u=x-x_p$: vale $0$ per $u<-1$, $-45^\circ$ per $u=0$, $-90^\circ$ per $u>1$.)

Uscita a una sinusoide dal diagramma asintotico. Per $A(s)=10\,\dfrac{1+s/100}{(1+s/10)(1+s/1000)}$ (guadagno $20\ \mathrm{dB}$, poli $10$ e $1000$, zero $100$) con $v_{in}=\sin(200\,t)$: dal diagramma asintotico in $\omega=200$ il modulo vale $20-20\log_{10}\frac{200}{10}+20\log_{10}\frac{200}{100}=20-26{,}02+6{,}02=0\ \mathrm{dB}$ ($|A|\approx1$) e la fase $-90^\circ+58{,}5^\circ-13{,}5^\circ=-45^\circ$; il valore esatto è $|A|=1{,}095$, fase $-35^\circ$. L'asintotica dà quindi $v_{out}\approx\sin(200t-45^\circ)$ contro il valore esatto $1{,}095\sin(200t-35^\circ)$: l'errore massimo è dell'ordine di $3\ \mathrm{dB}$ in modulo e di una decina di gradi in fase, e nell'esame si accetta se si dichiara che si usa il diagramma asintotico.

Errori comuni

• Dimenticare che un fattore nell'origine dà una retta (pendenza costante) e non un tratto piatto.
• Mettere la fase del polo da $\omega_p$ a $10\omega_p$ invece che da $\omega_p/10$ a $10\omega_p$.
• Non normalizzare i fattori a $1+s/\omega_i$ (la costante $A_0$ va allora calcolata dal prodotto di tutti i termini noti).
• Scrivere unità sull'asse logaritmico.
• Trascurare il segno meno del guadagno (costante negativa: fase di $\pm180^\circ$).
• Sommare modulo e fase senza passare dai dB (i moduli si moltiplicano, i dB si sommano).