Modello a piccolo segnale del BJT

Il punto di lavoro $Q$ si determina come in Polarizzazione del BJTPolarizzare un BJT significa fissare il punto di lavoro (I_C, V_CE). Con il circuito a quattro resistenze si sostituisce il partitore di base con il suo equivalente di Thévenin (V_B, R_B): I_B = (V_B − V_BE)/(R_B + (1+β_F)R_E), I_C = β_F I_B, V_CE = V_CC − R_C I_C − R_E(I_C + I_B). Poi si verifica l'ipotesi di zona attiva (I_B ≥ 0 e V_CE ≥ V_CE,sat); se è falsa si riscrive il sistema in saturazione con V_CE = V_CE,sat. La stabilità rispetto a β_F e a V_BE è migliore se R_B ≪ β_F R_E. Con accoppiamento diretto tra stadi la corrente di base del secondo transistor entra nell'equazione del nodo di collegamento.Polarizzazione del BJT →. Per piccole variazioni $v_{be},v_{ce}$ attorno a $Q$ la caratteristica non lineare viene sostituita dalla sua tangente (Amplificatori reali, punto di lavoro e piccoli segnaliUn amplificatore reale è non lineare: la tensione di uscita satura vicino alle alimentazioni e solo in un piccolo intorno di un punto di lavoro Q segue una retta, la tangente alla transcaratteristica. Per questo ogni stadio si studia in due fasi separate: polarizzazione (solo generatori costanti, condensatori aperti) e segnale (generatori costanti spenti, condensatori di accoppiamento e di bypass in corto, transistor sostituito dal modello a piccolo segnale). La sovrapposizione vale solo per le due componenti separate, non per il circuito intero.Amplificatori reali, punto di lavoro e piccoli segnali →): i parametri si ricavano derivando le equazioni del dispositivo in $Q$.

I parametri

Definizione (parametri del modello a piccolo segnale del BJT). Siano $i_C=I_Se^{v_{BE}/V_T}\big(1+\tfrac{v_{CE}}{V_A}\big)$ e $i_B=i_C/\beta_F$ (zona attiva diretta).

• Transconduttanza: $g_m=\dfrac{\partial i_C}{\partial v_{BE}}\Big|_Q=\dfrac{I_{CQ}}{V_T}=40\ \mathrm{V^{-1}}\cdot I_{CQ}$ (con $V_T=25\ \mathrm{mV}$). La variazione di corrente di collettore è $i_c=g_mv_{be}$. Dipende solo dalla corrente di polarizzazione: $40\ \mathrm{mS}$ per ogni mA.
• Guadagno di corrente per piccoli segnali: $\beta_0=\dfrac{\partial i_C}{\partial i_B}\Big|_Q$ (in generale diverso da $\beta_F=I_C/I_B$; nei temi si danno entrambi, anche uguali).
• Resistenza di ingresso: $r_\pi=\dfrac{\partial v_{BE}}{\partial i_B}\Big|_Q=\dfrac{\beta_0}{g_m}=\dfrac{\beta_0V_T}{I_{CQ}}$: la corrente di base varia di $i_b=v_{be}/r_\pi$.
• Resistenza di uscita (effetto Early): $r_o=\left(\dfrac{\partial i_C}{\partial v_{CE}}\right)^{-1}=\dfrac{V_A+V_{CEQ}}{I_{CQ}}\simeq\dfrac{V_A}{I_{CQ}}$; se non è dato $V_A$ si pone $r_o=\infty$.

Esempio. Con $I_{CQ} = 2{,}5\ \mathrm{mA}$ e $\beta_0 = 200$: $g_m = 2{,}5/25 = 100\ \mathrm{mS}$ e $r_\pi = \beta_0/g_m = 2\ \mathrm{k\Omega}$.

Per un transistor pnp si usano i moduli di corrente e tensione: $g_m=|I_{CQ}|/V_T$, $r_o=(|V_A|+|V_{CEQ}|)/|I_{CQ}|$.

Il circuito equivalente (ibrido a $\pi$)

Definizione (circuito equivalente ibrido a π del BJT). Con i generatori continui spenti il transistor si sostituisce con:

• tra base ed emettitore la resistenza $r_\pi$ (ai suoi capi la tensione $v_\pi=v_{be}$);
• tra collettore ed emettitore il generatore di corrente pilotato $g_m\,v_\pi$ (verso: dal collettore all'emettitore per il npn; per il pnp, con tensioni e correnti entrambe cambiate di segno, il circuito di piccolo segnale è lo stesso) in parallelo a $r_o$.

Esempio. Con $g_m = 100\ \mathrm{mS}$ e $r_\pi = 2\ \mathrm{k\Omega}$ ($\beta_0 = 200$): una $v_\pi = 1\ \mathrm{mV}$ dà $i_b = 0{,}5\ \mu\mathrm A$ e $g_m v_\pi = 0{,}1\ \mathrm{mA} = \beta_0 i_b$.

Sono equivalenti la forma con il generatore di corrente controllato dalla corrente di base, $\beta_0\,i_b$ (con $i_b=v_\pi/r_\pi$ e $g_mv_\pi=\beta_0i_b$ perché $\beta_0=g_mr_\pi$).

Non c'è nessun legame dal collettore alla base: il modello è unidirezionale, quindi la resistenza di ingresso di uno stadio non dipende dalla resistenza di carico sul collettore (se $r_o$ è presente il collegamento via $r_o$ tra collettore ed emettitore influisce solo se l'emettitore non è a massa: Amplificatori a BJT - emettitore comune, collettore comune e base comuneGli stadi elementari a BJT si distinguono dal terminale comune a ingresso e uscita. Emettitore comune: guadagno di tensione alto e invertente, A_v = −β0 R_C/(r_π + R_E1(1+β0)) (−g_m R_C con l'emettitore in bypass), R_out = R_C. Collettore comune (inseguitore di emettitore): A_v ≈ 1, R_in alta, R_out bassa (≈ 1/g_m). Base comune: A_v = g_m(R_C∥R_L) non invertente, R_in ≈ 1/g_m bassa, R_out = R_C. Per ogni stadio si disegna il circuito di piccolo segnale, si trova il doppio bipolo (g11, g21, g22) e il guadagno complessivo si ottiene con i due partitori di ingresso e di uscita.Amplificatori a BJT - emettitore comune, collettore comune e base comune →). I MOSFET hanno lo stesso modello con $r_\pi\to\infty$ (Transistor ad effetto di campo - JFET e MOSFETNel transistor a effetto di campo la tensione di gate controlla la corrente di drain senza assorbire corrente (I_G = 0). Il MOSFET ha quattro versioni: canale n o p, enhancement (V_t > 0 per n) o depletion (V_t < 0 per n). In saturazione I_D = k(V_GS − V_t)² = I_DSS(V_GS/V_t − 1)²(1 + λV_DS), con g_m = 2|I_D|/|V_GS − V_t| e r_o ≈ 1/(λ|I_D|); in zona ohmica I_D = k[2(V_GS−V_t)V_DS − V_DS²]. Zone (n-MOS): interdizione V_GS < V_t; ohmica 0 < V_DS < V_GS − V_t; saturazione V_DS > V_GS − V_t (per il canale p, tutte le disuguaglianze si invertono). Il JFET segue le stesse equazioni del depletion con V_t = V_p (tensione di pinch-off).Transistor ad effetto di campo - JFET e MOSFET →).

Perché in banda il modello è così semplice. Si trascurano le capacità interne (diffusione e giunzione): il guadagno di corrente diventa $\beta(j\omega)=\dfrac{\beta_0}{1+j\omega/\omega_\beta}$ e si annulla in $\omega_T=\beta_0\omega_\beta=\dfrac{g_m}{C_\pi+C_\mu}$ (pulsazione di transizione). Le capacità fisseranno il limite superiore della banda: per ora si lavora a frequenze molto minori.

Esempi

1. Parametri dal punto di lavoro. Un BJT con $I_{CQ}=2{,}5\ \mathrm{mA}$ e $\beta_0=200$: $g_m=\dfrac{2{,}5\ \mathrm{mA}}{25\ \mathrm{mV}}=100\ \mathrm{mS}$, $r_\pi=\dfrac{200}{0{,}1\ \mathrm S}=2\ \mathrm{k\Omega}$. Una variazione $v_{be}=1\ \mathrm{mV}$ dà $i_c=0{,}1\ \mathrm{mA}$ e $i_b=0{,}5\ \mu\mathrm A$.

2. Transistor a diodo. Si collegano base e collettore (nel pnp della figura: base e collettore a massa, corrente $I=2{,}5\ \mathrm{mA}$ entrante nell'emettitore). Per le variazioni $v_\pi=v$ (tra emettitore e massa) e la corrente entrante è $i=v/r_\pi+g_mv$: la resistenza vista dal nodo è $$r_d=\frac{v}{i}=\frac{1}{g_m+1/r_\pi}=r_\pi\Big\|\frac1{g_m}\simeq\frac1{g_m}.$$ Con $\beta_0=200$: $r_d=\dfrac{1}{0{,}1+0{,}0005}=9{,}95\ \Omega$ (praticamente $1/g_m=10\ \Omega$). È il modello di un diodo: $r_d=V_T/I$ come in Il diodo a giunzione - equazione, modelli e piccolo segnaleIl diodo ha caratteristica esponenziale I = I_S(e^{V/V_T} − 1): conduce solo in polarizzazione diretta con tensione quasi costante (0,6–0,7 V). Nei circuiti si usano modelli semplificati: interruttore ideale (ON: V = 0 e I > 0; OFF: I = 0 e V < 0), con tensione di soglia V_γ, lineare a tratti (V_γ + r_D I), oppure l'esponenziale risolto per iterazione. Una rete a diodi si risolve ipotizzando lo stato di ogni diodo e verificando le condizioni (2^N casi per N diodi). Il diodo Zener in zona di breakdown inverso mantiene una tensione V_Z quasi costante (stabilizzatore). Per piccoli segnali il diodo è una resistenza r_d = V_T/I_D.Il diodo a giunzione - equazione, modelli e piccolo segnale →.

3. Doppio bipolo di una rete con un transistor a diodo (quesito d'esame). Tra la porta 1 e la porta 2 c'è un resistore $R=10\ \Omega$ in serie a ciascuna porta e in mezzo, verso massa, il transistor a diodo dell'esempio 2 con in parallelo un generatore di corrente continua (che per le variazioni è un circuito aperto): rete a T con $R$, $R$ e $r_d=9{,}95\ \Omega$. Rappresentazione a parametri $g$: $$g_{11}=\frac1{R+r_d}=50{,}1\ \mathrm{mS},\quad g_{21}=\frac{r_d}{R+r_d}=0{,}4988,\quad g_{22}=R+R\|r_d=14{,}99\ \Omega,\quad g_{12}=-\frac{r_d}{R+r_d}=-0{,}4988.$$ Si ricava $g_{21}$ con $i_2=0$ (partitore $R$-$r_d$), $g_{22}$ con la porta 1 in cortocircuito ($R$ in serie al parallelo $R\|r_d$), $g_{12}$ come partitore di corrente ($i_1=-i_2\,r_d/(r_d+R)$). Con le rappresentazioni $z$ si avrebbe la forma più semplice: $z_{11}=z_{22}=R+r_d=19{,}95\ \Omega$, $z_{12}=z_{21}=r_d$ (rete reciproca). Se alle due porte ci sono condensatori di accoppiamento (in banda cortocircuiti) il rapporto tra le tensioni a uscita aperta è $A_v=v_2/v_1=g_{21}=0{,}4988$. Tutti i valori sono stati verificati con analisi nodale della rete a T.

Errori comuni

• Calcolare $g_m$ con la corrente di piccolo segnale invece di quella di riposo $I_{CQ}$.
• Usare $\beta_F$ al posto di $\beta_0$ per $r_\pi$ (quando sono diversi).
• Dimenticare che per il pnp si usano i moduli.
• Lasciare i generatori di corrente continua nel circuito di piccolo segnale (vanno aperti).
• Dimenticare $r_o$ quando è dato $V_A$ (e usare $r_o=V_A/I_C$ e non $(V_A+V_{CE})/I_C$ se $V_{CE}$ è noto: la differenza è piccola, ma il testo può richiederla).