MOSFET - caratteristiche di uscita dalla struttura del canale

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È la domanda orale "ricavare le caratteristiche di uscita del MOSFET a partire dalla sua struttura" (Domande orali ricorrenti - elenco e tracce di risposta). Qui si ricavano le equazioni usate in Transistor ad effetto di campo - JFET e MOSFET.

Il condensatore MOS e la carica del canale

Tra il gate e il semiconduttore c'è l'ossido di spessore $t_{ox}$ : la capacità per unità di area è $C_{ox}=\varepsilon_{ox}/t_{ox}$ . Esempio: $\varepsilon_{ox}=3{,}9\cdot8{,}85\cdot10^{-14}=3{,}45\cdot10^{-13}\ \mathrm{F/cm}$ e $t_{ox}=10\ \mathrm{nm}$ danno $C_{ox}=3{,}45\cdot10^{-7}\ \mathrm{F/cm^2}$ ( $34{,}5\ \mathrm{fF/\mu m^2}$ ).

Definizione (condensatore MOS: regimi di funzionamento e carica del canale). Si distinguono tre regimi del condensatore MOS (substrato di tipo p, n-MOS), in funzione di $v_{GB}$ :

accumulazione ( $v_{GB}<0$ ): il gate negativo richiama lacune sotto l'ossido; nessun canale;

svuotamento ( $0<v_{GB}<V_t$ ): il gate positivo respinge le lacune, lasciando ioni accettori fissi (zona svuotata) senza portatori mobili;

inversione ( $v_{GB}>V_t$ ): sotto l'ossido si accumula uno strato di elettroni liberi (il canale), la cui carica per unità di area è proporzionale alla tensione oltre la soglia: $Q_n=-C_{ox}\,(v_{GS}-V_t).$ $V_t$ è la tensione di soglia: per $v_{GS}<V_t$ non c'è canale (interdizione).

Esempio. Con $C_{ox} = 3{,}45 \cdot 10^{-7}\ \mathrm{F/cm^2}$ e $v_{GS} - V_t = 2\ \mathrm V$ : $|Q_n| = C_{ox}\,(v_{GS} - V_t) = 6{,}9 \cdot 10^{-7}\ \mathrm{C/cm^2}$ .

Ricavo della corrente in zona ohmica

Si applica una tensione $V_{DS}\ge0$ tra drain e source (con source e substrato a massa). Il canale ha lunghezza $L$ (coordinata $y$ , $y=0$ al source e $y=L$ al drain) e larghezza $W$ . Il potenziale $V(y)$ del canale cresce da $0$ a $V_{DS}$ : la tensione tra gate e canale nel punto $y$ diminuisce lungo il canale e la carica diventa (approssimazione di canale graduale) $Q_n(y)=-C_{ox}\,\big[v_{GS}-V(y)-V_t\big].$ La corrente (di deriva: gli elettroni si muovono nel campo $E=-dV/dy$ con velocità $-\mu_nE$ ) in una sezione di larghezza $W$ è $I_D=W\,\mu_n\,|Q_n(y)|\,\frac{dV}{dy}=W\mu_nC_{ox}\,\big[v_{GS}-V(y)-V_t\big]\frac{dV}{dy}.$

Formula (corrente in zona ohmica del MOSFET e resistenza del canale). $I_D$ è la stessa in ogni sezione (conservazione della corrente): si separano le variabili e si integra da $y=0$ ( $V=0$ ) a $y=L$ ( $V=V_{DS}$ ): $I_DL=W\mu_nC_{ox}\int_0^{V_{DS}}(v_{GS}-V_t-V)\,dV=W\mu_nC_{ox}\Big[(v_{GS}-V_t)V_{DS}-\frac{V_{DS}^2}2\Big].$ $\boxed{I_D=\mu_nC_{ox}\frac WL\Big[(v_{GS}-V_t)V_{DS}-\frac{V_{DS}^2}{2}\Big]=k\,\big[2(v_{GS}-V_t)V_{DS}-V_{DS}^2\big],\quad k=\tfrac12\mu_nC_{ox}\tfrac WL.}$ Per $V_{DS}$ piccola il termine quadratico è trascurabile: $I_D\simeq2k(v_{GS}-V_t)V_{DS}$ , il canale è un resistore controllato dalla tensione di gate con $r_{on}=\frac1{2k\,(v_{GS}-V_t)}.$

Esempio. Con $k = 1{,}38\ \mathrm{mA/V^2}$ , $v_{GS} - V_t = 2\ \mathrm V$ e $V_{DS} = 1\ \mathrm V$ : $I_D = 1{,}38\,[2 \cdot 2 \cdot 1 - 1] = 4{,}14\ \mathrm{mA}$ ; per $V_{DS}$ piccola $r_{on} = \frac{1}{2 \cdot 1{,}38 \cdot 2} \approx 0{,}18\ \mathrm{k\Omega}$ .

Saturazione

Formula (saturazione del MOSFET: strozzamento del canale). La formula vale finché la carica è positiva su tutto il canale. Al drain la tensione tra gate e canale è $v_{GS}-V_{DS}$ : la carica si annulla per $V_{DS}=v_{GS}-V_t=V_{ov}$ (strozzamento, pinch-off). Per $V_{DS}\ge V_{ov}$ il punto di strozzamento si sposta verso il source e la parte del canale tra lo strozzamento e il drain è una zona svuotata che regge la tensione in eccesso $V_{DS}-V_{ov}$ : la corrente non cresce più, resta il valore ottenuto per $V_{DS}=V_{ov}$ : $I_D=k\,\big[2V_{ov}^2-V_{ov}^2\big]=k\,V_{ov}^2=\tfrac12\mu_nC_{ox}\frac WL\,(v_{GS}-V_t)^2.$ La modulazione della lunghezza di canale: la zona di strozzamento si allarga con $V_{DS}$ e la lunghezza efficace del canale diventa $L-\Delta L(V_{DS})$ , quindi $I_D$ aumenta un poco: $I_D=kV_{ov}^2(1+\lambda V_{DS})$ , analogo all'effetto Early.

Esempio. Con $k = 1{,}38\ \mathrm{mA/V^2}$ e $V_{ov} = 2\ \mathrm V$ : lo strozzamento avviene a $V_{DS} = 2\ \mathrm V$ e $I_D = k V_{ov}^2 = 5{,}52\ \mathrm{mA}$ .

La transcaratteristica in saturazione è la parabola $I_D=k\,(v_{GS}-V_t)^2$ , il parametro $g_m=2k\,V_{ov}=2I_D/V_{ov}$ (Transistor ad effetto di campo - JFET e MOSFET). I due regimi si raccordano con derivata continua in $V_{DS}=V_{ov}$ (la parabola della zona ohmica ha il massimo proprio lì).

Esempio numerico

$\mu_n=400\ \mathrm{cm^2/(V\,s)}$ (mobilità superficiale, più bassa di quella di volume) con $C_{ox}=3{,}45\cdot10^{-7}\ \mathrm{F/cm^2}$ dà $\mu_nC_{ox}=138\ \mu\mathrm A/\mathrm V^2$ ; con $W/L=20$ : $k=\tfrac12\cdot138\cdot20=1{,}38\ \mathrm{mA/V^2}$ . Per $V_t=1\ \mathrm V$ e $v_{GS}=3\ \mathrm V$ ( $V_{ov}=2\ \mathrm V$ ):

saturazione: $I_D=1{,}38\cdot2^2=5{,}52\ \mathrm{mA}$ per $V_{DS}\ge2\ \mathrm V$ ;
zona ohmica a $V_{DS}=1\ \mathrm V$ : $I_D=1{,}38\,[2\cdot2\cdot1-1]=4{,}14\ \mathrm{mA}$ (inferiore a $5{,}52$ ✓);
resistenza a piccola $V_{DS}$ : $r_{on}=\dfrac1{2\cdot1{,}38\cdot2}=0{,}18\ \mathrm{k\Omega}=181\ \Omega$ . (Per il caso $k=1\ \mathrm{mA/V^2}$ , $V_{ov}=2\ \mathrm V$ il grafico della caratteristica di uscita è in Transistor ad effetto di campo - JFET e MOSFET.)

Grafico interattivo: Caratteristiche di uscita dell'esempio (k = 1,38 mA/V², V_t = 1 V) per V_GS = 2, 3, 4 V (V_ov = 1, 2, 3 V): parabola in zona ohmica fino a V_DS = V_ov, poi saturazione a k V_ov²; il tratteggio k V_DS² è il luogo dei punti di strozzamento

Varianti

p-MOS: i portatori sono lacune, $\mu_p$ (circa tre volte minore di $\mu_n$ ), e tutte le tensioni e le correnti cambiano segno ( $V_t<0$ per l'enhancement, $V_{DS}<0$ ).
Depletion: il canale esiste già a $v_{GS}=0$ (si inserisce uno strato drogato sotto l'ossido): le stesse equazioni con $V_t<0$ (n-MOS).
Equazione con $I_{DSS}$ : $I_{DSS}=kV_t^2$ , e quindi $I_D=I_{DSS}(v_{GS}/V_t-1)^2$ come usato negli esercizi.

Errori comuni

Dimenticare che la corrente è costante lungo il canale mentre la carica non lo è.
Usare la formula della zona ohmica per $V_{DS}>V_{ov}$ (la parabola ridiscende).
Dimenticare il fattore $1/2$ in $k=\tfrac12\mu_nC_{ox}W/L$ (e la differenza tra $k(V_{GS}-V_t)^2$ e $\mu_nC_{ox}\frac WL(V_{GS}-V_t)^2$ ).
Usare la mobilità di volume ( $1300$ ) invece di quella superficiale più bassa del canale.

Versione ripasso

Enunciati e formule chiave

Condensatore MOS: $C_{ox}=\varepsilon_{ox}/t_{ox}$ . Regimi: accumulazione ( $v_{GB}<0$ ), svuotamento ( $0<v_{GB}<V_t$ ), inversione ( $v_{GB}>V_t$ , canale di elettroni).
Carica del canale: $Q_n=-C_{ox}(v_{GS}-V_t)$ senza tensione di canale; con la tensione $V(y)$ lungo il canale, $Q_n(y)=-C_{ox}\big[v_{GS}-V(y)-V_t\big]$ (approssimazione di canale graduale).
Corrente costante lungo il canale: $I_D=W\mu_nC_{ox}\big[v_{GS}-V(y)-V_t\big]\frac{dV}{dy}$ , la stessa in ogni sezione.
Zona ohmica: integrando da $0$ a $L$ , $I_D=\mu_nC_{ox}\frac{W}{L}\big[(v_{GS}-V_t)V_{DS}-\frac{V_{DS}^2}{2}\big]=k\big[2(v_{GS}-V_t)V_{DS}-V_{DS}^2\big]$ , con $k=\frac12\mu_nC_{ox}\frac WL$ . Per $V_{DS}$ piccola, $r_{on}=\frac{1}{2kV_{ov}}$ .
Saturazione: strozzamento (pinch-off) per $V_{DS}=V_{ov}=v_{GS}-V_t$ ; oltre, $I_D=kV_{ov}^2=\frac12\mu_nC_{ox}\frac WL(v_{GS}-V_t)^2$ . Con la modulazione della lunghezza di canale $I_D=kV_{ov}^2(1+\lambda V_{DS})$ , analoga all'effetto Early.
Transconduttanza in saturazione: $g_m=2kV_{ov}=\frac{2I_D}{V_{ov}}$ ; i due regimi si raccordano con derivata continua in $V_{DS}=V_{ov}$ .
Varianti: p-MOS con $\mu_p$ (circa tre volte minore) e segni opposti; depletion con $V_t<0$ ; $I_{DSS}=kV_t^2$ .

Passaggi principali degli esempi

Ossido di $10$ nm con $\varepsilon_{ox}=3{,}45\cdot10^{-13}$ F/cm: $C_{ox}=3{,}45\cdot10^{-7}$ F/cm $^2$ ( $34{,}5$ fF/ $\mu$ m $^2$ ). Con $v_{GS}-V_t=2$ V, $|Q_n|=6{,}9\cdot10^{-7}$ C/cm $^2$ .
Con $\mu_n=400$ cm $^2$ /(V·s): $\mu_nC_{ox}=138\ \mu$ A/V $^2$ ; con $W/L=20$ , $k=\frac12\cdot138\cdot20=1{,}38$ mA/V $^2$ .
Con $V_t=1$ V e $v_{GS}=3$ V ( $V_{ov}=2$ V): saturazione $I_D=1{,}38\cdot2^2=5{,}52$ mA da $V_{DS}=2$ V; zona ohmica a $V_{DS}=1$ V: $I_D=1{,}38\,[2\cdot2\cdot1-1]=4{,}14$ mA; $r_{on}=\frac{1}{2\cdot1{,}38\cdot2}\approx181\ \Omega$ .

Errori tipici

Dimenticare che la corrente è costante lungo il canale mentre la carica non lo è.
Usare la formula della zona ohmica per $V_{DS}>V_{ov}$ : la parabola ridiscende.
Dimenticare il fattore $\frac12$ in $k=\frac12\mu_nC_{ox}\frac WL$ .
Usare la mobilità di volume (1300) invece di quella superficiale, più bassa, del canale.