Operazionale reale - guadagno finito, offset, correnti di polarizzazione e slew rate

Fino a qui l'opamp è ideale (Amplificatore operazionale ideale - corto virtuale e configurazioni baseL'amplificatore operazionale (opamp) è un amplificatore differenziale con guadagno altissimo: v_O = A (v_NI − v_INV). Nel modello ideale A = ∞, Rin = ∞, Rout = 0, banda infinita. Con una retroazione negativa dall'uscita all'ingresso invertente l'uscita si porta al valore che rende nulla la tensione differenziale (corto virtuale: v_NI = v_INV) senza che entri corrente negli ingressi. Con questa sola regola si ricavano l'amplificatore non invertente (Av = 1 + R2/R1, Rin = ∞) e l'invertente (Av = −R2/R1, Rin = R1); in entrambi Rout = 0.Amplificatore operazionale ideale - corto virtuale e configurazioni base →). Il componente vero si schematizza con un modello lineare che aggiunge gli effetti principali; in zona lineare (uscita tra le due alimentazioni) vale la sovrapposizione, quindi ogni non idealità si studia da sola.

Il modello

• Guadagno $A(j\omega)$ finito e dipendente dalla frequenza. Per gli opamp compensati in frequenza $$A(j\omega)=\frac{A_0}{1+j\omega/\omega_A},$$ con $A_0$ (guadagno in continua) tipicamente $10^4\div10^6$. Dopo $\omega_A$ il modulo scende di $20\ \mathrm{dB}$ per decade e arriva a $1$ in $\omega_T=A_0\omega_A$ (pulsazione di transizione, prodotto guadagno-banda).
• Resistenza di uscita $R_O$ (tipicamente sotto $100\ \Omega$): porta di uscita come Thévenin.
• Resistenze di ingresso: $R_D$ tra i due ingressi ($10^5\div10^{12}\ \Omega$) e $R_{CM}$ (fino a $10^{12}\ \Omega$) dagli ingressi verso massa.
• Correnti di ingresso (polarizzazione dei primi stadi): $I_{NI}=I_B+\tfrac{I_{OS}}2$, $I_{INV}=I_B-\tfrac{I_{OS}}2$, quindi $I_B=\tfrac{I_{NI}+I_{INV}}2$ (corrente di bias, di modo comune) e $I_{OS}=I_{NI}-I_{INV}$ (corrente di offset). Da $10\ \mathrm{pA}$ a $1\ \mu\mathrm A$ per $I_B$ a temperatura ambiente (cresce molto con la temperatura); $I_{OS}$ è di solito almeno un ordine di grandezza più piccola.
• Tensione di offset $V_{OS}$ (da $10\ \mu\mathrm V$ a $10\ \mathrm{mV}$): è la piccola tensione che bisogna applicare tra gli ingressi per avere uscita nulla; dipende da asimmetrie di costruzione, quindi se ne conosce il valore massimo in modulo ma non il segno. Si modella con un generatore in serie a uno dei due ingressi.
• Limiti di uscita: tensione tra $V_{EE}$ e $V_{CC}$, corrente massima, e slew rate (sotto).

Effetto del guadagno finito (statico)

Formula (invertente con guadagno finito). Per un amplificatore invertente con guadagno ideale $-R_2/R_1$ e opamp con guadagno $A$ (non più corto virtuale: $v_D=v_O/A$): $$A_v=-\frac{R_2}{R_1}\cdot\frac{A}{A+(1+R_2/R_1)}=-\frac{R_2}{R_1}\cdot\frac1{1+\dfrac{1+R_2/R_1}{A}}.$$ Se $|A|\gg 1+R_2/R_1$ si ritrova il valore ideale. Esempio: $R_2/R_1=9$ e $A_0=10^5$: l'errore è $10/10^5=0{,}01\%$. Il fattore $\dfrac{1}{1+G/A}$, con $G=1+R_2/R_1$, è lo stesso per il non invertente (guadagno ideale $G$): $A_v=\dfrac{G}{1+G/A}=\dfrac{A}{1+A/G}$. Questa è la struttura di un sistema retroazionato con guadagno diretto $A$ e fattore di retroazione $\beta=1/G=R_1/(R_1+R_2)$: $A_v=\dfrac{A}{1+A\beta}$.

Con il guadagno finito anche le resistenze cambiano ($\beta=R_1/(R_1+R_2)$): la resistenza di ingresso dell'invertente è $R_{in}=R_1+\dfrac{R_2}{1+A}$ (il nodo $-$ non è più a massa virtuale), e la resistenza di uscita dei circuiti con retroazione negativa è $R_{out}=\dfrac{R_O}{1+A\beta}$: con $R_O=100\ \Omega$, $A=10^5$ e $\beta=0{,}1$ è $R_{out}=0{,}01\ \Omega$ (praticamente nulla: la retroazione "nasconde" $R_O$).

Esempio. Con $R_2/R_1 = 9$ e $A = 10^{5}$: $A_v = -\frac{9}{1 + 10/10^{5}} \approx -8{,}9991$, con un errore di $0{,}01\%$ rispetto a $-9$.

Prodotto guadagno-banda

Formula (prodotto guadagno-banda). Con $A(j\omega)=\dfrac{A_0}{1+j\omega/\omega_A}$ e $A_0\gg G$: $$A_v(j\omega)=\frac{A}{1+A/G}\simeq\frac{G}{1+j\omega/\omega_B},\qquad\omega_B=\frac{\omega_AA_0}{G}=\frac{\omega_T}{G}.$$ Il circuito è un passa-basso con guadagno $G$ e banda $\omega_T/G$: guadagno per banda costante (uguale a $\omega_T$). Più si chiede guadagno, meno banda c'è. Esempio: $A_0=10^5$, $f_T=1\ \mathrm{MHz}$ ($f_A=10\ \mathrm{Hz}$): per $G=10$ la banda è $100\ \mathrm{kHz}$, per $G=100$ è $10\ \mathrm{kHz}$ (controllato calcolando numericamente $A/(1+A\beta)$: frequenze a $-3\ \mathrm{dB}$ di $100{,}0\ \mathrm{kHz}$ e $10{,}01\ \mathrm{kHz}$).

Esempio. Con $f_T = 1\ \mathrm{MHz}$: per $G = 10$ la banda è $f_T/G = 100\ \mathrm{kHz}$, per $G = 100$ è $10\ \mathrm{kHz}$.

Effetto della tensione di offset $V_{OS}$

Formula (errore dovuto alla tensione di offset). Si spegne il segnale e si considera $V_{OS}$ come ingresso. In un invertente $V_{OS}$ si somma in serie all'ingresso non invertente, quindi per quel contributo il circuito è un non invertente: $$v_O=-\frac{R_2}{R_1}V_S+\Big(1+\frac{R_2}{R_1}\Big)V_{OS}.$$ Il secondo termine è un errore di ampiezza massima nota e segno incognito. Esempio: $R_1=1\ \mathrm{k\Omega}$, $R_2=99\ \mathrm{k\Omega}$ e $|V_{OS}|=2\ \mathrm{mV}$: errore fino a $100\cdot2\ \mathrm{mV}=0{,}2\ \mathrm V$ in uscita con ingresso nullo. Si corregge con un trimmer che applica al morsetto non invertente una piccola tensione regolabile, tarata per avere $v_O=0$ con $V_S=0$ (vale solo alla temperatura di taratura, perché $V_{OS}$ varia con la temperatura e con l'età del componente).

Esempio. Con $R_1 = 1\ \mathrm{k\Omega}$, $R_2 = 99\ \mathrm{k\Omega}$ e $|V_{OS}| = 2\ \mathrm{mV}$ l'errore in uscita è al massimo $100 \cdot 2\ \mathrm{mV} = 0{,}2\ \mathrm V$.

Effetto delle correnti di ingresso

Formula (errore dovuto alle correnti di ingresso). Con $V_S=0$ e un invertente con il morsetto $+$ a massa: $v_{INV}=v_{NI}=0$, in $R_1$ non passa corrente e quindi tutta $I_{INV}$ viene da $R_2$: $$v_O=R_2\Big(I_B-\frac{I_{OS}}2\Big)\simeq R_2I_B\quad(|I_B|\gg|I_{OS}|).$$

Esempio. Con $R_2 = 100\ \mathrm{k\Omega}$ e $I_B = 80\ \mathrm{nA}$: $v_O \simeq R_2 I_B = 100\ \mathrm{k\Omega} \cdot 80\ \mathrm{nA} = 8\ \mathrm{mV}$.

Esempio: $R_2=100\ \mathrm{k\Omega}$ e $I_B=80\ \mathrm{nA}$ danno $8\ \mathrm{mV}$. Compensazione: si inserisce $R_3$ in serie al morsetto $+$. Con $R_3=R_1\|R_2$ la tensione sul morsetto $+$ ($-R_3I_{NI}$) compensa la caduta sul parallelo $R_1\|R_2$ dovuta a $I_{INV}$ e il contributo di $I_B$ si annulla: rimane $v_O=-R_2I_{OS}$, di molto inferiore se $|I_{OS}|\ll|I_B|$. Se invece $I_B\simeq I_{OS}$ la compensazione è inutile (peggiora).

Slew rate e banda di potenza

Definizione (slew rate e frequenza massima senza distorsione). Gli stadi interni hanno una corrente massima per caricare i condensatori interni, quindi l'uscita non può variare più velocemente di $$SR=\left|\frac{dv_O}{dt}\right|_{max}\quad(\mathrm V/\mu\mathrm s).$$ Per una sinusoide $v_O=V_p\sin\omega t$ la massima pendenza è $\omega V_p$ e non si ha distorsione se $\omega V_p\le SR$, cioè $$f_{max}=\frac{SR}{2\pi V_p}.$$

Esempio: con $SR=0{,}5\ \mathrm{V/\mu s}$ e $V_p=10\ \mathrm V$ si ha $f_{max}=\dfrac{0{,}5\cdot10^6}{2\pi\cdot10}=7{,}96\ \mathrm{kHz}$: a frequenze superiori l'onda sinusoidale diventa triangolare. A differenza del limite di banda $\omega_T/G$ (valido per segnali piccoli), lo slew rate è un limite a grande segnale: dipende dall'ampiezza.

Errori comuni

• Usare il corto virtuale come se $A$ fosse infinito a qualunque frequenza.
• Dimenticare che l'errore di $V_{OS}$ si moltiplica per $1+R_2/R_1$ anche nell'invertente.
• Sommare gli effetti di $V_{OS}$ e $I_B$ con segni definiti: il segno di $V_{OS}$ è incognito e si dà un massimo in modulo.
• Confondere banda a piccolo segnale ($\omega_T/G$) e limite di slew rate.