Giunzione pn - potenziale di contatto e zona di svuotamento

Come nasce la zona di svuotamento

Si uniscono un cristallo di tipo p (accettori $N_A$, lacune maggioritarie) e uno di tipo n (donatori $N_D$, elettroni maggioritari) (Semiconduttori - bande, drogaggio e legge di azione di massaNel silicio puro (intrinseco) ogni coppia elettrone-lacuna è creata dall'agitazione termica: n = p = n_i ≈ 1,5·10^10 cm^-3 a 300 K, con n_i^2 proporzionale a T^3 e^{-E_G/kT}. Il drogaggio con donatori (gruppo V) crea elettroni liberi (tipo n, n ≈ N_D), con accettori (gruppo III) crea lacune (tipo p, p ≈ N_A). Vale sempre la legge di azione di massa n·p = n_i^2 e la neutralità della carica p + N_D = n + N_A; con drogaggi compensati conta la differenza N_D − N_A.Semiconduttori - bande, drogaggio e legge di azione di massa →). Attraverso il piano di contatto (la giunzione metallurgica) c'è una forte differenza di concentrazione:

1. le lacune diffondono da p a n e gli elettroni da n a p (Corrente di deriva e di diffusione - resistenza di una barrettaNei semiconduttori la corrente ha due cause: il campo elettrico (deriva, J = qpμ_pE + qnμ_nE = σE, con velocità v = μE) e le differenze di concentrazione (diffusione, J_n = qD_n dn/dx, J_p = −qD_p dp/dx). Le due costanti sono legate dalla relazione di Einstein D/μ = V_T = kT/q ≈ 25 mV. Una barretta uniforme di lunghezza L e sezione S ha resistenza R = L/(σS). In un materiale isolato a concentrazione non uniforme la corrente totale è nulla e compare un campo (e una tensione V(X2) − V(X1) = V_T ln[n(X2)/n(X1)]).Corrente di deriva e di diffusione - resistenza di una barretta →);
2. ciascun portatore che se ne va lascia uno ione fisso scoperto: ioni negativi (accettori) dal lato p, ioni positivi (donatori) dal lato n. Si forma una regione, vicino alla giunzione, svuotata di portatori liberi, con carica fissa: la zona di svuotamentodetta anche zona di carica spaziale: regione vicino alla giunzione priva di portatori liberi, dove restano solo gli ioni fissi (o di carica spaziale), di larghezza $W=x_p+x_n$;
3. la carica fissa produce un campo elettrico diretto da n a p che si oppone alla diffusione; l'equilibrio si raggiunge quando la corrente di deriva dovuta al campo compensa quella di diffusione, per ogni tipo di portatore;
4. fuori dalla zona di svuotamento i semiconduttori restano neutri (regioni quasi neutre).

La differenza di potenziale tra le due regioni quasi neutre è il potenziale di contatto (o di giunzione) $\Phi_0$.

Potenziale di contatto

Formula (potenziale di contatto di una giunzione pn). In equilibrio $J_n=0$ e $J_p=0$ ovunque. Applicando a ciascun lato la formula della concentrazione non uniforme ($V(X_2)-V(X_1)=V_T\ln\frac{n(X_2)}{n(X_1)}$) con $n_{n}\simeq N_D$ nella regione n e $n_p\simeq n_i^2/N_A$ nella regione p: $$\boxed{\Phi_0=V_T\ln\frac{n_n}{n_p}=V_T\ln\frac{N_AN_D}{n_i^2}}$$

Esempio. Con $N_A = 4 \cdot 10^{14}$, $N_D = 2 \cdot 10^{18}$, $n_i = 1{,}5 \cdot 10^{10}\ \mathrm{cm^{-3}}$ e $V_T = 25\ \mathrm{mV}$: $\Phi_0 = 0{,}025\,\ln\frac{8 \cdot 10^{32}}{2{,}25 \cdot 10^{20}} \approx 722\ \mathrm{mV}$.

Dipende solo dai drogaggi e dalla temperatura (e in modo logaritmico, quindi lento). Per $N_A=4\cdot10^{14}$, $N_D=2\cdot10^{18}$, $n_i=1{,}5\cdot10^{10}$ e $V_T=25\ \mathrm{mV}$: $\Phi_0=0{,}025\ln\dfrac{8\cdot10^{32}}{2{,}25\cdot10^{20}}=0{,}025\cdot28{,}9=722\ \mathrm{mV}$. Per $N_A=3\cdot10^{18}$, $N_D=6\cdot10^{15}$, $n_i=1{,}4\cdot10^{10}$: $\Phi_0=804\ \mathrm{mV}$. Per giunzioni al silicio i valori stanno tra $0{,}6$ e $0{,}9\ \mathrm V$.

Attenzione: $\Phi_0$ non si misura. Se si collega un voltmetro ai terminali di un diodo isolato (in equilibrio) si legge zero: ai contatti metallo-semiconduttore si creano altri potenziali di contatto che compensano esattamente $\Phi_0$ (altrimenti si potrebbe estrarre energia da un diodo a temperatura costante). Il potenziale di giunzione fa da barriera ai portatori ma non appare come tensione ai morsetti.

Larghezza della zona di svuotamento e campo

Formula (larghezza della zona di svuotamento e campo massimo). La carica totale delle due parti deve essere uguale: $qN_Ax_p\,S=qN_Dx_n\,S\Rightarrow N_Ax_p=N_Dx_n$, quindi la zona penetra di più nel lato meno drogato. Il campo è nullo fuori dalla zona, cresce linearmente (per carica costante) fino a un massimo nella giunzione metallurgica e rientra a zero: ha l'andamento di un triangolo di base $W$. Il potenziale di contatto è l'area del triangolo: $\Phi_0=\tfrac12E_{max}W$. Risolvendo con la legge di Gauss ($\varepsilon_{Si}\simeq1\ \mathrm{pF/cm}$): $$W=\sqrt{\frac{2\varepsilon_{Si}}{q}\Big(\frac1{N_A}+\frac1{N_D}\Big)\Phi_0},\quad x_n=W\frac{N_A}{N_A+N_D},\quad x_p=W\frac{N_D}{N_A+N_D},\quad E_{max}=\frac{2\Phi_0}{W}.$$

Esempio. Giunzione simmetrica $N_A=N_D=10^{16}\ \mathrm{cm^{-3}}$: $\Phi_0=0{,}025\ln\frac{10^{32}}{2{,}25\cdot10^{20}}=0{,}67\ \mathrm V$; $W=\sqrt{\frac{2\cdot10^{-12}}{1{,}6\cdot10^{-19}}\cdot2\cdot10^{-16}\cdot0{,}67}=4{,}1\cdot10^{-5}\ \mathrm{cm}=0{,}41\ \mu\mathrm m$ ($0{,}20\ \mu\mathrm m$ per lato) e $E_{max}=\dfrac{2\cdot0{,}67}{4{,}1\cdot10^{-5}}=3{,}3\cdot10^4\ \mathrm{V/cm}$. Con $N_A=10^{17}$ e $N_D=10^{16}$: $\Phi_0=0{,}73\ \mathrm V$, $W=0{,}32\ \mu\mathrm m$ con $x_n=0{,}29\ \mu\mathrm m$ e $x_p=0{,}029\ \mu\mathrm m$ (dieci volte meno nel lato più drogato).

Giunzione polarizzata

Si applica una tensione $V$ tra il lato p (morsetto positivo) e il lato n:

• polarizzazione diretta ($V>0$): la tensione si sottrae alla barriera, $\Phi_0\to\Phi_0-V$: la zona si restringe e la diffusione prevale sulla deriva, quindi passa corrente;
• polarizzazione inversa ($V<0$): la barriera sale a $\Phi_0+|V|$, la zona si allarga e passa solo una piccola corrente di saturazione.

Formula (larghezza della zona di svuotamento con tensione applicata). Le formule precedenti restano valide sostituendo $\Phi_0$ con $\Phi_0-V$: $$W(V)=W(0)\sqrt{1-\frac V{\Phi_0}}.$$

Esempio. Per la giunzione simmetrica dell'esempio: $V=0{,}3\ \mathrm V$ (diretta) $\to W=0{,}30\ \mu\mathrm m$; $V=0\to0{,}41\ \mu\mathrm m$; $V=-5\ \mathrm V\to W=0{,}41\sqrt{1+5/0{,}67}=1{,}19\ \mu\mathrm m$.

Formula (capacità di giunzione). Capacità di giunzione. La zona di svuotamento è un dielettrico tra due regioni conduttrici: ha capacità per unità di area $\varepsilon_{Si}/W$. Quindi $$C_j(V)=\frac{\varepsilon_{Si}S}{W(V)}=\frac{C_{j0}}{\sqrt{1-V/\Phi_0}},\qquad C_{j0}=\frac{\varepsilon_{Si}S}{W(0)}.$$

Esempio. Con $S=10^{-4}\ \mathrm{cm^2}$: $C_{j0}=\frac{10^{-12}\cdot10^{-4}}{4{,}1\cdot10^{-5}}=2{,}4\ \mathrm{pF}$. La capacità decresce con la polarizzazione inversa ed è alla base dei varicap (condensatori controllati in tensione).

Corrente: legge della giunzione e equazione del diodo

Formula (legge della giunzione). Fuori dalla zona di svuotamento la corrente è di diffusione dei portatori minoritari iniettati dall'altro lato. La legge della giunzione dà le concentrazioni dei minoritari ai bordi della zona, in funzione della tensione: $$p_n(x_n)=p_{n0}\,e^{V/V_T}=\frac{n_i^2}{N_D}e^{V/V_T},\qquad n_p(-x_p)=n_{p0}\,e^{V/V_T}=\frac{n_i^2}{N_A}e^{V/V_T}.$$

Esempio. Con $N_D = 10^{16}\ \mathrm{cm^{-3}}$ e $V = 0{,}6\ \mathrm V$: $p_{n0} = 2{,}25 \cdot 10^{4}$ e $p_n(x_n) = p_{n0}\,e^{24} \approx 6 \cdot 10^{14}\ \mathrm{cm^{-3}}$.

Formula (equazione del diodo a giunzione). In polarizzazione diretta i minoritari in eccesso si diffondono nelle regioni quasi neutre e si ricombinano dopo una lunghezza di diffusione $L_p=\sqrt{D_p\tau_p}$, $L_n=\sqrt{D_n\tau_n}$ ($\tau$ vita media). Sommando le due correnti di diffusione si ottiene l'equazione del diodo $$\boxed{I=I_S\left(e^{V/V_T}-1\right),\qquad I_S=qS\,n_i^2\left[\frac{D_p}{L_pN_D}+\frac{D_n}{L_nN_A}\right]}$$

Esempio. Con $I_S = 1{,}5 \cdot 10^{-15}\ \mathrm A$ e $V = 0{,}6\ \mathrm V$: $I = I_S\,(e^{24} - 1) \approx 40\ \mu\mathrm A$.

($I_S$ è la corrente di saturazione inversa). Esempio: $N_A=10^{17}$, $N_D=10^{16}$, $S=10^{-4}\ \mathrm{cm^2}$, $\tau=1\ \mu\mathrm s$, $D_p=13$, $D_n=34\ \mathrm{cm^2/s}$: $L_p=36\ \mu\mathrm m$, $L_n=58\ \mu\mathrm m$ e $I_S=1{,}5\cdot10^{-15}\ \mathrm A$; con $V=0{,}6\ \mathrm V$ si ha $I=1{,}5\cdot10^{-15}(e^{24}-1)=40\ \mu\mathrm A$, e per avere $1\ \mathrm{mA}$ servono $V=V_T\ln(I/I_S)=0{,}68\ \mathrm V$ (valori controllati numericamente). La tensione di accensione tipica ($0{,}6$–$0{,}7\ \mathrm V$) dipende dolcemente da $I_S$ e quindi dalla tecnologia (Il diodo a giunzione - equazione, modelli e piccolo segnaleIl diodo ha caratteristica esponenziale I = I_S(e^{V/V_T} − 1): conduce solo in polarizzazione diretta con tensione quasi costante (0,6–0,7 V). Nei circuiti si usano modelli semplificati: interruttore ideale (ON: V = 0 e I > 0; OFF: I = 0 e V < 0), con tensione di soglia V_γ, lineare a tratti (V_γ + r_D I), oppure l'esponenziale risolto per iterazione. Una rete a diodi si risolve ipotizzando lo stato di ogni diodo e verificando le condizioni (2^N casi per N diodi). Il diodo Zener in zona di breakdown inverso mantiene una tensione V_Z quasi costante (stabilizzatore). Per piccoli segnali il diodo è una resistenza r_d = V_T/I_D.Il diodo a giunzione - equazione, modelli e piccolo segnale →).

Capacità di diffusione. In polarizzazione diretta la carica $Q_p$ dei minoritari immagazzinata cambia con $V$: $C_{diff}=\dfrac{\partial Q_p}{\partial V}\simeq\tau_p\dfrac{\partial I}{\partial V}\simeq\tau_p\dfrac{I}{V_T}$ ($\tau_p=1\ \mu\mathrm s$ e $I=1\ \mathrm{mA}$ danno $40\ \mathrm{nF}$: ben più grande della $C_j$ in inversa).

Errori comuni

• Considerare $\Phi_0$ come la tensione misurabile ai capi del diodo isolato (è zero).
• Dimenticare che la zona si estende di più dal lato meno drogato.
• Applicare $W(V)=W(0)\sqrt{1+V/\Phi_0}$ con $V$ diretta (nella forma con $V$ positiva in diretta il segno è $-$).
• Usare $\ln$ in base 10 nella formula di $\Phi_0$.
• Dimenticare $n_i^2$ nel numeratore sotto il logaritmo (e usare $n_i$).