Circuiti con operazionale in frequenza - Bode e uscita a una sinusoide

È il tipo di quesito che chiude di norma l'esercizio 2 dell'esame: dato un circuito con opamp ideale e reti RC, ricavare $A_v(s)=V_{out}(s)/V_{in}(s)$, tracciare i diagrammi di Bode asintotici con i punti di spezzamento e, con quei diagrammi, ricavare $v_{out}(t)$ per un ingresso sinusoidale. Gli strumenti sono quelli di Circuiti con operazionale - sommatore, differenziale, integratore, derivatoreCon il corto virtuale si ricavano tutti i circuiti di base con opamp: sommatore invertente v_O = −Σ(R/R_k)V_k, differenziale v_O = (R2/R1)(V1−V2) con R1/R2 = R3/R4, integratore v_O = −(1/RC)∫v_S e derivatore v_O = −RC dv_S/dt (in s: −1/(sRC) e −sRC), amplificatore per strumentazione (1+2R/Rg)(R4/R3)(V1−V2). In frequenza basta usare l'impedenza Z(s) al posto di R nelle formule dell'invertente e del non invertente.Circuiti con operazionale - sommatore, differenziale, integratore, derivatore → (con $Z(s)$ al posto di $R$) e di Funzione di trasferimento e diagrammi di BodeLa risposta in frequenza di un amplificatore è A(jω) = A(s) con s = jω. Scritta in forma fattorizzata (costante, zeri e poli come fattori (1+s/ω_i)), modulo in dB e fase si ottengono sommando i contributi di ogni fattore. Diagramma asintotico del modulo: polo = −20 dB/decade dopo ω_p, zero = +20 dB/decade, polo o zero nell'origine = pendenza costante ±20 dB/dec; fase: ogni polo (zero) reale aggiunge −90° (+90°) con un tratto lineare che parte da ω/10 e finisce in 10ω (±45°/decade). Per un ingresso sinusoidale A sin(ω0 t + φ) l'uscita è |A(jω0)| A sin(ω0 t + φ + ∠A(jω0)).Funzione di trasferimento e diagrammi di Bode →.

Come si ricava $A(s)$

Impedenze: resistore $R$; condensatore $\dfrac1{sC}$. Parallelo di $R$ e $C$: $\dfrac{R}{1+sRC}$. Serie di $R$ e $C$: $\dfrac{1+sRC}{sC}$.

1. Rete sul morsetto $+$. Il morsetto non assorbe corrente, quindi una rete RC all'ingresso non invertente è un partitore (non caricato) e il suo rapporto $V_+/V_{in}$ moltiplica tutto il resto. Esempi: $R$ in serie, $C$ a massa $\to\dfrac1{1+sRC}$ (passa-basso); $C$ in serie, $R$ a massa $\to\dfrac{sRC}{1+sRC}$ (passa-alto).
2. Reti di retroazione. Con corto virtuale $V_-=V_+$. Se il segnale entra solo sul morsetto $+$, $V_{out}=V_+\Big(1+\dfrac{Z_f}{Z_g}\Big)$ con $Z_f$ tra uscita e $-$ e $Z_g$ tra $-$ e massa (se la rete di retroazione è un T o ha più nodi si risolve con la LKC sui nodi interni). Se il segnale entra solo sul $-$ tramite $Z_1$: $V_{out}=-\dfrac{Z_f}{Z_1}V_{in}$.
3. Due ingressi, o ingresso su entrambi i morsetti: sovrapposizione.

Blocchi elementari

Formula (passa-basso invertente). Passa-basso invertente. $Z_1=R_1$, $Z_2=R_2\|C_2$: $A_v(s)=-\dfrac{R_2}{R_1}\dfrac1{1+sR_2C_2}$: guadagno $R_2/R_1$, un polo in $\omega_p=1/(R_2C_2)$.

Esempio. Con $R_1 = 10\ \mathrm{k\Omega}$, $R_2 = 100\ \mathrm{k\Omega}$ e $C_2 = 1{,}6\ \mathrm{nF}$: $A_v(s) = -\frac{10}{1 + s/6250}$, guadagno $20\ \mathrm{dB}$ e polo in $\omega_p = 6250\ \mathrm{rad/s}$.

Formula (passa-alto invertente). Passa-alto invertente. $Z_1=R_1+\dfrac1{sC_1}$ e $Z_2=R_2$: $A_v(s)=-\dfrac{R_2}{R_1}\cdot\dfrac{s\,R_1C_1}{1+sR_1C_1}$: zero nell'origine e polo in $\omega=1/(R_1C_1)$; ad alta frequenza vale $-R_2/R_1$.

Esempio. Con $R_1 = 1\ \mathrm{k\Omega}$, $C_1 = 1\ \mu\mathrm F$ e $R_2 = 10\ \mathrm{k\Omega}$: il polo è in $1/(R_1 C_1) = 1000\ \mathrm{rad/s}$ e ad alta frequenza il guadagno è $-R_2/R_1 = -10$.

Formula (passa-banda invertente). Passa-banda invertente (i due insieme): $$A_v(s)=-\frac{R_2}{R_1}\cdot\frac{s\tau_1}{(1+s\tau_1)(1+s\tau_2)},\qquad\tau_1=R_1C_1,\ \tau_2=R_2C_2.$$ Guadagno di banda $R_2/R_1$ tra $\omega_1=1/\tau_1$ e $\omega_2=1/\tau_2$ (se $\omega_1\ll\omega_2$).

Rete RC a scala non separata da un buffer. Due celle RC passa-basso in cascata non danno il prodotto di due poli semplici, perché la seconda carica la prima. Per $V_{in}\to R_1\to$ nodo $a$ (con $C_1$ a massa) $\to R_2\to$ nodo $v$ (con $C_2$ a massa): $$\frac{V_v}{V_{in}}=\frac1{1+s(R_1C_1+R_1C_2+R_2C_2)+s^2R_1R_2C_1C_2}.$$ Per $R_1=5\ \mathrm{k\Omega}$, $C_1=100\ \mathrm{nF}$, $R_2=10\ \mathrm{k\Omega}$, $C_2=50\ \mathrm{nF}$: coefficiente di $s$: $0{,}5+0{,}25+0{,}5=1{,}25\ \mathrm{ms}$; coefficiente di $s^2$: $2{,}5\cdot10^{-7}\ \mathrm{s^2}$. Il denominatore ha radici $s=\dfrac{-1{,}25\cdot10^{-3}\pm\sqrt{1{,}5625\cdot10^{-6}-10^{-6}}}{5\cdot10^{-7}}=-1000$ e $-4000\ \mathrm{rad/s}$, quindi la rete ha $\dfrac1{(1+s/1000)(1+s/4000)}$: poli reali e distinti (una rete RC ha sempre poli reali negativi), ma diversi da $1/(R_1C_1)=2000$ e $1/(R_2C_2)=2000$. L'espressione è stata controllata con l'analisi nodale a tre pulsazioni.

Esempio. Con $R_1 = 1\ \mathrm{k\Omega}$, $C_1 = 1\ \mu\mathrm F$, $R_2 = 100\ \mathrm{k\Omega}$ e $C_2 = 1{,}6\ \mathrm{nF}$: guadagno di banda $R_2/R_1 = 100$ ($40\ \mathrm{dB}$) tra $\omega_1 = 1000\ \mathrm{rad/s}$ e $\omega_2 = 6250\ \mathrm{rad/s}$.

Dal diagramma alla sinusoide

Formula (uscita con un ingresso costante più una sinusoide). Se $v_{in}(t)=V_0+V_1\sin(\omega_1t+\varphi)$, per la linearità $$v_{out}(t)=A(0)\,V_0+|A(j\omega_1)|\,V_1\,\sin\big(\omega_1t+\varphi+\angle A(j\omega_1)\big).$$ La componente continua passa moltiplicata per $A(0)$ (il valore a frequenza zero): se c'è uno zero nell'origine (per esempio un condensatore di accoppiamento all'ingresso) la continua è bloccata.

Il valore $|A(j\omega_1)|$ si può leggere sul diagramma asintotico (dB $\to$ rapporto con $10^{dB/20}$) oppure calcolare in modo esatto con i numeri complessi: all'esame si dichiara quale dei due si usa e, se chiesto il diagramma, si usa quello.

Esempio 1 (passa-basso invertente). $R_1=10\ \mathrm{k\Omega}$, $R_2=100\ \mathrm{k\Omega}$, $C_2=1{,}6\ \mathrm{nF}$: $A_v(s)=-\dfrac{10}{1+s/6250}$ (guadagno $20\ \mathrm{dB}$, polo in $\omega_p=6250\ \mathrm{rad/s}$, cioè $995\ \mathrm{Hz}$). Con $v_{in}=0{,}1\sin(62500\,t)$ ($\omega=10\,\omega_p$): $|A|=\dfrac{10}{\sqrt{1+100}}=0{,}995$ (l'asintotica dà $20-20=0\ \mathrm{dB}$, cioè $1$) e la fase vale $180^\circ-\arctan10=95{,}7^\circ$ (l'asintotica, a $10\omega_p$, dà $180^\circ-90^\circ=90^\circ$). Quindi $v_{out}=0{,}0995\sin(62500\,t+95{,}7^\circ)$ V. (Valori controllati con analisi nodale con opamp ideale.)

Esempio 2 (passa-banda invertente). $R_1=1\ \mathrm{k\Omega}$, $C_1=1\ \mu\mathrm F$ ($\tau_1=1\ \mathrm{ms}$, $\omega_1=1000$), $R_2=100\ \mathrm{k\Omega}$, $C_2=1{,}6\ \mathrm{nF}$ ($\omega_2=6250$): $A_v(s)=-100\,\dfrac{s\tau_1}{(1+s/1000)(1+s/6250)}$ con guadagno di banda $100$ ($40\ \mathrm{dB}$). Il diagramma asintotico: pendenza $+20\ \mathrm{dB/dec}$ fino a $\omega=1000$ (dove vale $40\ \mathrm{dB}$), piatto a $40\ \mathrm{dB}$ fino a $6250$ e poi $-20\ \mathrm{dB/dec}$. Valori esatti: $19{,}96,\ 36{,}88,\ 38{,}71,\ 36{,}88,\ 19{,}96\ \mathrm{dB}$ per $\omega=100,\,1000,\,2500,\,6250,\,62500$. Con $v_{in}=10\sin(2500\,t)\ \mathrm{mV}$: $A_v(j2500)=-100\dfrac{j2{,}5}{(1+j2{,}5)(1+j0{,}4)}=-86{,}2$ (reale: $2500=\sqrt{\omega_1\omega_2}$ è il centro geometrico della banda e le due fasi dei poli si compensano), quindi $v_{out}=-0{,}862\sin(2500\,t)\ \mathrm V$, mentre il diagramma asintotico darebbe $-1\ \mathrm V\sin(2500t)$.

Funzioni utili

• Frequenza di taglio di una cella RC: $\omega=\dfrac1{RC}$, $f=\dfrac1{2\pi RC}$.
• Filtri attivi del primo ordine: passa-basso $-\dfrac{R_2}{R_1}\dfrac1{1+sR_2C}$, passa-alto $-\dfrac{R_2}{R_1}\dfrac{sR_1C}{1+sR_1C}$. Il filtro attivo ha il vantaggio che il guadagno si sceglie con $R_2/R_1$ e il carico non altera la risposta ($R_{out}=0$).
• Zero a parte reale positiva: capita quando un segnale arriva su entrambi i morsetti e si sommano contributi di segno opposto; il modulo ha il solito spezzamento, la fase scende invece di salire (vedi la nota sui diagrammi di Bode).

Errori comuni

• Trattare l'ingresso non invertente con una rete RC come se caricasse il generatore: l'opamp non assorbe corrente.
• Scrivere $Z_f$ senza il parallelo o la serie corretti: controllare sempre i casi limite $s\to0$ (condensatori aperti) e $s\to\infty$ (condensatori in corto).
• Applicare il guadagno a una componente continua dimenticando $A(0)$.
• Prendere $\omega=2\pi f$ o $f$ nei calcoli del segnale: nei testi d'esame il segnale è dato come $\sin(\omega t)$ con $\omega$ in rad/s.