Reti a diodi e transcaratteristiche

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La transcaratteristica di una rete a diodi è il grafico di $V_{out}$ in funzione di $V_{in}$ nell'intervallo assegnato (per esempio $-9\ \mathrm V\le V_{in}\le9\ \mathrm V$ ). Dato il modello del diodo (Il diodo a giunzione - equazione, modelli e piccolo segnale) è una spezzata: in ogni intervallo di $V_{in}$ ogni diodo è ON o OFF e la rete è lineare.

Metodo

Principio (metodo per costruire la transcaratteristica di una rete a diodi).

Elencare le combinazioni di stato dei diodi (con $N$ diodi, al massimo $2^N$ ; molte non possono esistere).

Per ogni combinazione sostituire i diodi (ON: corto circuito o generatore $V_\gamma$ ; OFF: circuito aperto) e ricavare $V_{out}=f_k(V_{in})$ (retta con pendenza e intercetta).

Condizioni di validità: per ogni diodo ON imporre $I_D\ge0$ (di solito una disuguaglianza lineare in $V_{in}$ ); per ogni diodo OFF imporre $V_D\le V_\gamma$ (o $\le0$ ). Le disuguaglianze danno l'intervallo di $V_{in}$ in cui la combinazione vale.

Punti di spezzamento: sono gli estremi degli intervalli (dove una condizione diventa uguaglianza). Le due rette adiacenti devono dare lo stesso valore in quel punto (continuità), ed è un controllo da fare sempre.

Grafico: unire i segmenti, indicando pendenza di ogni tratto e coordinate dei punti di spezzamento.

Esempio. Con due diodi le combinazioni sono al massimo $2^2 = 4$ ; per il limitatore con un solo diodo e $V_B = 2\ \mathrm V$ ne bastano due, con punto di spezzamento in $V_{in} = 2\ \mathrm V$ .

Per valutare $V_{out}$ in un punto assegnato (per esempio $V_{in}=8\ \mathrm V$ ) si guarda l'intervallo che contiene il punto e si usa la sua retta.

Esempio 1: un solo diodo (limitatore)

$V_{in}\to R\to V_{out}$ (nodo di uscita senza carico); dal nodo di uscita un diodo con anodo sul nodo e catodo collegato a un generatore $V_B=2\ \mathrm V$ verso massa. Diodo ideale.

Diodo OFF: nessuna corrente in $R$ , $V_{out}=V_{in}$ ; condizione $V_D=V_{out}-V_B\le0\Rightarrow V_{in}\le2\ \mathrm V$ .
Diodo ON: $V_{out}=V_B=2\ \mathrm V$ ; condizione $I_D=\dfrac{V_{in}-V_B}{R}\ge0\Rightarrow V_{in}\ge2\ \mathrm V$ .

Proprietà (limitatore superiore a diodo). La caratteristica è $V_{out}=\min(V_{in},2\ \mathrm V)$ : un limitatore superiore (clipper). Con $V_\gamma=0{,}7\ \mathrm V$ il limite è $V_B+V_\gamma=2{,}7\ \mathrm V$ .

Esempio. Con $V_B = 2\ \mathrm V$ : per $V_{in} = 1\ \mathrm V$ si ha $V_{out} = 1\ \mathrm V$ , per $V_{in} = 8\ \mathrm V$ si ha $V_{out} = 2\ \mathrm V$ ; con $V_\gamma = 0{,}7\ \mathrm V$ il limite sale a $2{,}7\ \mathrm V$ .

Grafico interattivo: Limitatore superiore con V_B = 2 V (ascissa: V_in in V, ordinata: V_out in V): V_out = V_in finché il diodo è OFF e poi resta bloccata a V_B = 2 V; con la soglia V_γ = 0,7 V il limite sale a 2,7 V

Esempio 2: due diodi e un carico (limitatore doppio)

$V_{in}\to R=1\ \mathrm{k\Omega}\to$ nodo $V_{out}$ , con $R_L=4\ \mathrm{k\Omega}$ verso massa; $D_1$ (anodo sul nodo, catodo a $+5\ \mathrm V$ ) e $D_2$ (catodo sul nodo, anodo a $-3\ \mathrm V$ ). Diodi ideali.

Proprietà (limitatore doppio a due diodi: stati e intervalli).

Stati $V_{out}$ Condizioni Intervallo di $V_{in}$

$D_1,D_2$ OFF $V_{in}\dfrac{R_L}{R+R_L}=0{,}8\,V_{in}$ $-3\le V_{out}\le5$ $-3{,}75\le V_{in}\le6{,}25$

$D_1$ ON, $D_2$ OFF $5\ \mathrm V$ corrente in $D_1$ : $\dfrac{V_{in}-5}{1\ \mathrm k}-\dfrac5{4\ \mathrm k}\ge0$ $V_{in}\ge6{,}25$

$D_1$ OFF, $D_2$ ON $-3\ \mathrm V$ corrente in $D_2$ : $\dfrac{-3-V_{in}}{1\ \mathrm k}-\dfrac{3}{4\ \mathrm k}\ge0$ $V_{in}\le-3{,}75$

Stati	$V_{out}$	Condizioni	Intervallo di $V_{in}$
$D_1,D_2$ OFF	$V_{in}\dfrac{R_L}{R+R_L}=0{,}8\,V_{in}$	$-3\le V_{out}\le5$	$-3{,}75\le V_{in}\le6{,}25$
$D_1$ ON, $D_2$ OFF	$5\ \mathrm V$	corrente in $D_1$ : $\dfrac{V_{in}-5}{1\ \mathrm k}-\dfrac5{4\ \mathrm k}\ge0$	$V_{in}\ge6{,}25$
$D_1$ OFF, $D_2$ ON	$-3\ \mathrm V$	corrente in $D_2$ : $\dfrac{-3-V_{in}}{1\ \mathrm k}-\dfrac{3}{4\ \mathrm k}\ge0$	$V_{in}\le-3{,}75$

Esempio. Con $V_{in} = 5\ \mathrm V$ i due diodi sono OFF e $V_{out} = 0{,}8 \cdot 5 = 4\ \mathrm V$ ; con $V_{in} = 8\ \mathrm V$ conduce $D_1$ e $V_{out} = 5\ \mathrm V$ .

Verifiche: il punto di spezzamento superiore è dove $0{,}8V_{in}=5$ , cioè $V_{in}=6{,}25\ \mathrm V$ ; quello inferiore dove $0{,}8V_{in}=-3$ , cioè $V_{in}=-3{,}75\ \mathrm V$ . In $V_{in}=6{,}25$ le due rette danno $5\ \mathrm V$ (continuità). Le due combinazioni $D_1,D_2$ ON insieme non esistono (richiederebbero $V_{out}=5$ e $V_{out}=-3$ ). Si è controllato con una risoluzione numerica sulle quattro combinazioni.

Grafico interattivo: Transcaratteristica del limitatore doppio con R = 1 kΩ, R_L = 4 kΩ, limiti −3 V e +5 V: pendenza 0,8 tra V_in = −3,75 V e +6,25 V, poi costante

Esempio 3: Zener come limitatore

Proprietà (limitatore con diodo Zener). $V_{in}\to R\to V_{out}$ con uno Zener (anodo a massa, catodo sul nodo di uscita) di tensione $V_Z=5\ \mathrm V$ . Per $V_{out}<0$ lo Zener è un diodo normale in diretta: ON, $V_{out}=0$ (con $V_\gamma$ , $-0{,}7$ ); per $0<V_{out}<5$ è OFF; per $V_{out}>5$ è in breakdown: $V_{out}=5\ \mathrm V$ . Quindi $V_{out}=V_{in}$ per $0\le V_{in}\le5$ , $0$ per $V_{in}<0$ e $5$ per $V_{in}>5$ : limitatore tra $0$ e $5\ \mathrm V$ (il circuito protegge un ingresso sensibile).

Esempio. Con $V_Z = 5\ \mathrm V$ : $V_{in} = 3\ \mathrm V$ dà $V_{out} = 3\ \mathrm V$ , $V_{in} = 8\ \mathrm V$ dà $V_{out} = 5\ \mathrm V$ e $V_{in} = -4\ \mathrm V$ dà $V_{out} = 0$ .

Grafico interattivo: Zener come limitatore con V_Z = 5 V (ascissa: V_in in V, ordinata: V_out in V): per V_in < 0 lo Zener conduce come un diodo normale e V_out = 0, tra 0 e 5 V è OFF e V_out = V_in, oltre 5 V è in breakdown e V_out = 5 V

Reti con operazionale e diodi

Con diodi nel ramo di un circuito con opamp:

Il corto virtuale vale solo se c'è retroazione negativa effettiva. Se un diodo OFF interrompe l'unico percorso dall'uscita all'ingresso invertente, l'opamp non è più retroazionato e va in saturazione ( $\pm V_{sat}$ ). Nei circuiti d'esame si verifica sempre che esista un altro percorso (tipicamente un resistore tra uscita e ingresso invertente).
Con la retroazione presente, per ogni combinazione di stati si imposta $V_-=V_+$ , si ricava $V_{out}$ e si verificano le condizioni sui diodi (correnti positive per gli ON, tensioni inverse per gli OFF).
I diodi ideali in un ramo dell'opamp cambiano il guadagno in modo diverso nei due semiassi: è il principio dei raddrizzatori di precisione e dei limitatori di precisione (Raddrizzatori e circuiti a diodi con carico).

L'esercizio svolto della transcaratteristica con opamp e due diodi è Esercizio 10 · transcaratteristica con operazionale e due diodi (tema d'esame giugno 2021); altre reti (tre diodi, operazionale con Zener) sono negli esercizi 11-14.

Errori comuni

Non verificare le condizioni sugli stati (correnti positive / tensioni inverse): si ottengono tratti falsi.
Dimenticare i punti di spezzamento e controllare la continuità.
Orientare male anodo e catodo rispetto al generatore (un generatore con $V_B$ negativo cambia i segni delle disuguaglianze). Il valore di un generatore si legge con il verso di riferimento disegnato (il morsetto contrassegnato con $+$ , o la linea lunga del simbolo, è il riferimento positivo): $E=-5\ \mathrm V$ con il $+$ disegnato verso massa vuol dire che l'altro morsetto sta a $+5\ \mathrm V$ rispetto a massa. Nei compiti non si può "girare" il generatore per lavorare con numeri positivi.
Con diodi reali dimenticare $V_\gamma$ nei punti di spezzamento (le soglie si spostano di $V_\gamma$ ).

Versione ripasso

Metodo (per una rete con $N$ diodi, al massimo $2^N$ combinazioni di stato)

Elencare le combinazioni di stato dei diodi.
Per ogni combinazione sostituire i diodi (ON: corto o generatore $V_\gamma$ ; OFF: aperto) e ricavare la retta $V_{out}=f_k(V_{in})$ .
Imporre le condizioni: per un diodo ON $I_D\ge0$ ; per un diodo OFF $V_D\le V_\gamma$ (o $\le0$ ). Le disuguaglianze danno l'intervallo di $V_{in}$ in cui la combinazione vale.
Punti di spezzamento: estremi degli intervalli. Le due rette adiacenti devono dare lo stesso valore lì (continuità).
Grafico: segmenti con pendenza e coordinate dei punti di spezzamento.

Passaggi principali degli esempi

Limitatore superiore con $V_B=2$ V: $V_{out}=\min(V_{in},2)$ . Con $V_\gamma=0{,}7$ V il limite sale a $2{,}7$ V. Con $V_{in}=8$ V, $V_{out}=2$ V.
Limitatore doppio con $R=1$ $R = 1$ k $\Omega$ $Ω$ , $R_L=4$ $R_{L} = 4$ k $\Omega$ $Ω$ , $D_1$ $D_{1}$ verso $+5$ $+ 5$ V, $D_2$ $D_{2}$ verso $-3$ $- 3$ V:
- $D_1,D_2$ OFF: $V_{out}=0{,}8\,V_{in}$ , valido per $-3{,}75\le V_{in}\le6{,}25$ V;
- $D_1$ ON: $V_{out}=5$ V, con $I_{D1}=\frac{V_{in}-5}{1\ \mathrm k\Omega}-\frac{5}{4\ \mathrm k\Omega}\ge0$ , quindi $V_{in}\ge6{,}25$ V;
- $D_2$ ON: $V_{out}=-3$ V, valido per $V_{in}\le-3{,}75$ V.
- Con $V_{in}=5$ V si ha $V_{out}=4$ V; con $V_{in}=8$ V, $V_{out}=5$ V. In $V_{in}=6{,}25$ V le due rette danno $5$ V. La combinazione con entrambi ON non esiste.
Zener con $V_Z=5$ V come limitatore: $V_{out}=V_{in}$ tra $0$ e $5$ V, $0$ per $V_{in}<0$ , $5$ V per $V_{in}>5$ . Con $V_{in}=8$ V, $V_{out}=5$ V.

Reti con operazionale e diodi

Il corto virtuale vale solo con retroazione negativa effettiva. Se un diodo OFF interrompe l'unico percorso di retroazione, l'opamp va in saturazione ( $\pm V_{sat}$ ).
Con la retroazione presente: per ogni combinazione di stati si impone $V_-=V_+$ , si ricava $V_{out}$ e si verificano le condizioni sui diodi (Raddrizzatori e circuiti a diodi con carico).

Errori tipici

Non verificare le condizioni sugli stati: si ottengono tratti falsi.
Dimenticare i punti di spezzamento o non controllarne la continuità.
Leggere male la polarità di un generatore: il valore si legge con il verso di riferimento disegnato, per esempio $E=-5$ V con il $+$ verso massa vuol dire $+5$ V sull'altro morsetto. Non si può "girare" il generatore.
Dimenticare $V_\gamma$ nei punti di spezzamento quando i diodi sono reali.