Amplificatori e modello a doppio bipolo

A cosa serve un amplificatore

Un trasduttore (microfono, sensore di temperatura, antenna) trasforma una grandezza fisica in un segnale elettrico di potenza minima. Il segnale va portato a un livello di tensione, corrente e potenza adatto all'utilizzatore (altoparlante, convertitore, ricevitore): l'amplificatore ha ingresso a potenza praticamente nulla e uscita a potenza elevata. L'energia in più non viene dal segnale ma dall'alimentazione.

L'ingresso e l'uscita di un amplificatore sono due coppie di morsetti, le porte. Una rete con due porte si chiama doppio bipolo (Doppi bipoli e loro rappresentazioniUn doppio bipolo ha due porte e quattro grandezze (v1, i1, v2, i2) legate da due equazioni. Se è lineare e senza generatori interni (ideale inerte) le equazioni sono lineari omogenee: scegliendo quali due grandezze sono indipendenti si hanno sei rappresentazioni (matrici R, G, h, g, T, T'). Ogni parametro si calcola mettendo una porta a vuoto (corrente nulla) o in cortocircuito (tensione nulla). Reciproco: R12 = R21 (oppure det T = 1); simmetrico: anche R11 = R22. Serie di doppi bipoli: si sommano le R; parallelo: si sommano le G; cascata: si moltiplicano le T. Un doppio bipolo resistivo si sintetizza con tre resistori a T o a Π.Doppi bipoli e loro rappresentazioni →). In tutto il corso le correnti delle porte si prendono entranti dal morsetto positivo (convenzione degli utilizzatori su entrambe le porte).

Quali grandezze sono indipendenti

Su ogni porta si può imporre una sola delle due grandezze (tensione o corrente): l'altra è determinata dalla rete. Una resistenza, per esempio, con una tensione imposta ha la corrente che risulta dalla legge di Ohm. Per ogni porta si sceglie quindi una grandezza indipendente e l'altra è dipendente. Le quattro scelte danno quattro tipi di amplificatore:

Definizione (i quattro modelli di amplificatore).

Ingresso → uscita	Grandezze indipendenti	Parametri	Guadagno
tensione → tensione	$v_1,\ i_2$	g	$A_v=g_{21}$ (adimensionale)
corrente → tensione (transresistenza)	$i_1,\ i_2$	z	$R_m=z_{21}$ (Ω)
tensione → corrente (transconduttanza)	$v_1,\ v_2$	y	$G_m=y_{21}$ (S)
corrente → corrente	$i_1,\ v_2$	h	$A_i=h_{21}$ (adimensionale)

Esempio. Un amplificatore di tensione con $g_{21} = 100$ e $v_1 = 10\ \mathrm{mV}$ dà a uscita aperta $v_2 = 1\ \mathrm V$; uno di corrente con $h_{21} = 50$ e $i_1 = 20\ \mu\mathrm A$ dà $i_2 = 1\ \mathrm{mA}$.

Lo schema equivalente prevede Norton (generatore di corrente in parallelo) su una porta in cui la grandezza dipendente è la corrente, Thévenin (generatore di tensione in serie) dove è la tensione.

Il modello g (amplificatore di tensione)

Definizione (modello g dell'amplificatore di tensione). Per un amplificatore con ingresso e uscita in tensione le variabili indipendenti sono $v_1$ e $i_2$ e il modello è

$$\begin{cases}v_2=g_{21}\,v_1+g_{22}\,i_2\\[2pt] i_1=g_{11}\,v_1+g_{12}\,i_2\end{cases}$$

Esempio. Con $g_{21} = 20$, $g_{22} = 100\ \Omega$ e $v_1 = 10\ \mathrm{mV}$: a vuoto $v_2 = 0{,}2\ \mathrm V$; se il carico assorbe $1\ \mathrm{mA}$ ($i_2 = -1\ \mathrm{mA}$) è $v_2 = 0{,}2 - 0{,}1 = 0{,}1\ \mathrm V$.

Si legge come due equazioni circuitali: la prima è una maglia (Thévenin all'uscita), la seconda è un nodo (Norton all'ingresso). Non ci sono generatori indipendenti perché un amplificatore con segnale nullo in ingresso ha segnale nullo in uscita.

Formula (parametri del modello g). I quattro parametri si ottengono con quattro "misure" ai morsetti:

$$g_{21}=\left.\frac{v_2}{v_1}\right|_{i_2=0},\quad g_{22}=\left.\frac{v_2}{i_2}\right|_{v_1=0},\quad g_{11}=\left.\frac{i_1}{v_1}\right|_{i_2=0},\quad g_{12}=\left.\frac{i_1}{i_2}\right|_{v_1=0}.$$

Quindi $i_2=0$ significa uscita aperta e $v_1=0$ significa ingresso in cortocircuito. Le dimensioni dei parametri sono diverse tra loro: $g_{21}$ è adimensionale, $g_{22}$ è una resistenza, $g_{11}$ una conduttanza, $g_{12}$ adimensionale.

Esempio. A uscita aperta, $v_1 = 10\ \mathrm{mV}$ dà $v_2 = 0{,}2\ \mathrm V$ e $i_1 = 10\ \mu\mathrm A$: $g_{21} = 20$ e $g_{11} = 1\ \mathrm{mS}$, cioè $R_{in} = 1\ \mathrm{k\Omega}$.

Significato fisico, per un amplificatore di tensione:

• $g_{21}$ è il guadagno intrinseco (a uscita aperta);
• $1/g_{11}$ è la resistenza di ingresso a uscita aperta: deve essere grande, perché l'ingresso non deve assorbire corrente dal trasduttore;
• $g_{22}$ è la resistenza di uscita: deve essere piccola, perché la tensione d'uscita non deve dipendere dalla corrente richiesta dal carico (un amplificatore di tensione ideale ha $g_{22}=0$);
• $g_{12}$ è il guadagno inverso: la quantità di corrente che l'uscita "rimanda" sull'ingresso.

Definizione (amplificatore unidirezionale). Un amplificatore con $g_{12}=0$ si dice unidirezionaleil segnale presente all'uscita non retroagisce sull'ingresso: la tensione e la corrente d'uscita non cambiano il comportamento della porta d'ingresso: quello che accade all'uscita non influenza l'ingresso. In tal caso la resistenza d'ingresso $1/g_{11}$ non dipende dal carico. Vale anche il contrario: se l'espressione della resistenza di ingresso non contiene la resistenza di carico, l'amplificatore è unidirezionale.

Esempio. Se $g_{12} = 0$ e $g_{11} = 1\ \mathrm{mS}$, la resistenza di ingresso $1/g_{11} = 1\ \mathrm{k\Omega}$ è la stessa per qualunque carico $R_L$.

Effetto di carico: guadagno intrinseco e guadagno complessivo

Si collega un amplificatore unidirezionale a una sorgente $(v_s,R_s)$ e a un carico $R_L$:

• ingresso: $v_1=v_s\,\dfrac{1/g_{11}}{R_s+1/g_{11}}=\alpha_i\,v_s$ (partitore tra $R_s$ e $R_{in}=1/g_{11}$);
• uscita: $v_L=g_{21}v_1\,\dfrac{R_L}{g_{22}+R_L}=\alpha_o\,g_{21}\,v_1$ (partitore tra $g_{22}$ e $R_L$).

Formula (guadagno complessivo di un amplificatore unidirezionale). Il guadagno complessivo è dunque il prodotto di tre fattori

$$\boxed{A_{v,tot}=\frac{v_L}{v_s}=\alpha_i\cdot g_{21}\cdot\alpha_o,\qquad \alpha_i=\frac{R_{in}}{R_{in}+R_s}<1,\quad\alpha_o=\frac{R_L}{R_{out}+R_L}<1}$$

ed è sempre minore del guadagno intrinseco: $\alpha_i$ e $\alpha_o$ tendono a 1 solo se $R_{in}\gg R_s$ e $R_{out}\ll R_L$, cioè per un amplificatore di tensione con le caratteristiche ideali. Per questo motivo il simbolo $A_v$ ha due significati (guadagno del doppio bipolo, guadagno dell'insieme sorgente-amplificatore-carico): accanto a ogni guadagno si scrive come è definito (rapporto tra quali tensioni, con quali carichi).

Esempio numerico. Un amplificatore ha $R_{in}=1\ \mathrm{k\Omega}$, $g_{21}=20$, $R_{out}=100\ \Omega$ ed è collegato a $R_s=1\ \mathrm{k\Omega}$ e $R_L=2\ \mathrm{k\Omega}$. Allora $\alpha_i=\dfrac{1}{1+1}=0{,}5$, $\alpha_o=\dfrac{2000}{100+2000}=0{,}952$ e $A_{v,tot}=0{,}5\cdot20\cdot0{,}952=9{,}52$: meno della metà del guadagno intrinseco.

Determinare i parametri di un circuito

Esempio (circuito con generatore di corrente pilotato). Un doppio bipolo contiene la resistenza $R_1$ tra il morsetto positivo della porta 1 e il morsetto positivo della porta 2, la resistenza $R_2$ tra quest'ultimo e la massa comune, e un generatore di corrente $\beta\,i_1$ che inietta corrente nel morsetto positivo della porta 2 (con $i_1$ la corrente entrante nella porta 1, che attraversa $R_1$). Con $i_2=0$: KCL sul nodo di uscita: $i_1+\beta i_1=v_2/R_2$, quindi $v_2=(1+\beta)R_2\,i_1$; la maglia d'ingresso dà $v_1=R_1i_1+v_2=[R_1+(1+\beta)R_2]\,i_1$. Ne seguono $$g_{11}=\frac{1}{R_1+(1+\beta)R_2},\qquad g_{21}=\frac{(1+\beta)R_2}{R_1+(1+\beta)R_2}.$$ Con $v_1=0$ e un generatore $v_2$ alla porta 2: $i_1=-v_2/R_1$ (la porta 1 in corto mette $R_1$ tra $v_2$ e massa), e $i_2=\dfrac{v_2}{R_2}-(1+\beta)i_1=v_2\left[\dfrac1{R_2}+\dfrac{1+\beta}{R_1}\right]$, da cui $$g_{22}=\frac{R_1}{1+\beta}\,\Big\|\,R_2,\qquad g_{12}=\frac{i_1}{i_2}=-\frac{R_2}{R_1+(1+\beta)R_2}\neq0.$$ L'amplificatore non è unidirezionale. Numeri: $R_1=1\ \mathrm{k\Omega}$, $R_2=2\ \mathrm{k\Omega}$, $\beta=99$ danno $g_{11}=1/201\ \mathrm{k\Omega}=4{,}975\ \mu\mathrm S$, $g_{21}=200/201=0{,}995$, $g_{22}=10\,\Omega\|2000\,\Omega=9{,}95\ \Omega$, $g_{12}=-2/201=-0{,}00995$. (I quattro valori sono stati verificati con un'analisi nodale numerica del circuito, applicando le quattro condizioni di misura.)

Cascata di amplificatori unidirezionali

Formula (cascata di amplificatori unidirezionali). Si collegano due amplificatori in cascata: l'uscita del primo ($g_{2x}$ = parametri di A) alimenta l'ingresso del secondo (parametri di B). Con la corrente $i_2^A=-i_1^B=-g_{11}^Bv_2^A$ e la tensione $v_2^A=g_{21}^Av_1+g_{22}^Ai_2^A$ si ottiene $v_2^A=\dfrac{g_{21}^A\,v_1}{1+g_{22}^A g_{11}^B}$ e poi

$$g_{11}=g_{11}^A,\quad g_{12}=0,\quad g_{21}=\frac{g_{21}^A\,g_{21}^B}{1+g_{22}^A\,g_{11}^B},\quad g_{22}=g_{22}^B.$$

Esempio. A con $g_{11} = 1\ \mathrm{mS}$, $g_{21} = 20$, $g_{22} = 100\ \Omega$ e B con $g_{11} = 2\ \mathrm{mS}$, $g_{21} = 10$: $g_{21} = \frac{20 \cdot 10}{1 + 100 \cdot 2 \cdot 10^{-3}} = \frac{200}{1{,}2} \approx 166{,}7$.

Il doppio bipolo risultante è ancora unidirezionale. Il fattore $\dfrac1{1+g_{22}^Ag_{11}^B}=\dfrac{R_{in}^B}{R_{in}^B+R_{out}^A}$ è il partitore tra la resistenza di uscita del primo stadio e quella di ingresso del secondo: l'effetto di carico tra gli stadi. Esempio: A con $g_{11}=1\ \mathrm{mS}$, $g_{21}=20$, $g_{22}=100\ \Omega$ e B con $g_{11}=2\ \mathrm{mS}$, $g_{21}=10$, $g_{22}=50\ \Omega$: $g_{21}=\dfrac{20\cdot10}{1+100\cdot2\cdot10^{-3}}=\dfrac{200}{1{,}2}=166{,}7$. Con sorgente $R_s=1\ \mathrm{k\Omega}$ e carico $R_L=2\ \mathrm{k\Omega}$ il guadagno complessivo è $$A_{v,tot}=\underbrace{\frac{1000}{1000+1000}}_{0{,}5}\cdot20\cdot\underbrace{\frac{500}{500+100}}_{0{,}833}\cdot10\cdot\underbrace{\frac{2000}{2000+50}}_{0{,}976}=81{,}3$$ (controllato con un'analisi nodale dell'intera catena).

Esempio d'esame: conduttanza di ingresso con guadagno di corrente inverso

Un amplificatore è descritto dal modello g con $g_{11}=G_i=2\ \mathrm{mS}$, $g_{21}=A_v=3$, $g_{22}=R_o=500\ \Omega$, $g_{12}=F_i=0{,}5$, e chiuso su $R_{load}=1500\ \Omega$ (quesito rapido, tema d'esame luglio 2022 e agosto 2026). Si chiede $G_{in}=i_1/v_1$.

1. La corrente entrante nella porta 2 è l'opposto di quella nel carico: $i_2=-v_2/R_{load}$.
2. $v_2=A_vv_1+R_oi_2=A_vv_1-R_ov_2/R_{load}$ $\Rightarrow$ $v_2=\dfrac{A_v\,v_1}{1+R_o/R_{load}}=\dfrac{3}{1+1/3}v_1=2{,}25\,v_1$.
3. $i_2=-\dfrac{2{,}25\,v_1}{1500\ \Omega}=-1{,}5\ \mathrm{mS}\cdot v_1$.
4. $i_1=G_iv_1+F_ii_2=(2-0{,}5\cdot1{,}5)\ \mathrm{mS}\cdot v_1$, quindi $$G_{in}=1{,}25\ \mathrm{mS}\quad(R_{in}=800\ \Omega).$$ Si vede l'effetto di $g_{12}$: con $F_i=0$ si avrebbe $R_{in}=500\ \Omega$; la resistenza di ingresso dipende dal carico proprio perché l'amplificatore non è unidirezionale.

Errori comuni

• Dimenticare che $g_{21}$ e $g_{11}$ si misurano con l'uscita aperta e $g_{22},g_{12}$ con l'ingresso in corto.
• Confondere guadagno intrinseco e complessivo (e dimenticare i due partitori).
• Dimenticare che la corrente di uscita nel modello è entrante nella porta: con un carico $i_2=-v_2/R_L$.
• Calcolare $R_{in}=1/g_{11}$ per un amplificatore non unidirezionale con carico (quel valore vale a uscita aperta).