Conduzione, legge di Ohm ed effetto Joule

Lezione del 05.11 (sezioni 5.3, 5.4 e 5.5 del libro di testo). Prerequisiti: Corrente elettrica, densità di corrente ed equazione di continuitàLa corrente i = dq/dt (ampere) è la carica che attraversa una sezione per unità di tempo; la densità di corrente J = n q v_d (portatori per unità di volume × carica × velocità di deriva) ha flusso i = ∫ J·n dS. La conservazione della carica si scrive come equazione di continuità ∇·J = −∂ρ/∂t; in regime stazionario ∇·J = 0, cioè la corrente entrante in una superficie chiusa è uguale a quella uscente.Corrente elettrica, densità di corrente ed equazione di continuità →. Seguito: Forza elettromotrice e resistenza interna del generatorePer mantenere una corrente in un circuito chiuso serve un campo non conservativo (campo elettromotore E*) dentro il generatore: la forza elettromotrice è ℰ = ∮ E*·ds, il lavoro per unità di carica fatto dal generatore. Un generatore reale ha una resistenza interna r: la tensione ai morsetti è ΔV = ℰ − ri, la corrente in un carico R è i = ℰ/(R + r), e il generatore eroga la potenza ℰi.Forza elettromotrice e resistenza interna del generatore →. Le stesse leggi, viste dal lato dei circuiti, sono in Resistore e legge di OhmPer molti materiali V = R I (legge di Ohm), con R = ρℓ/S per un cilindro; la potenza assorbita R I² diventa calore (effetto Joule), quindi il resistore con R > 0 è passivo. Il resistore ideale è il bipolo v = R i: lineare, tempo-invariante, bilaterale; i casi limite sono il cortocircuito (R = 0) e il circuito aperto (R = ∞).Resistore e legge di Ohm → (corso di Teoria dei Circuiti).

Il modello classico della conduzione (Drude)

In un metallo gli elettroni liberi si muovono in modo disordinato a grande velocità (agitazione termica), urtando continuamente il reticolo di ioni. Se si applica un campo $\vec E$:

1. tra un urto e il successivo ogni elettrone è accelerato dalla forza $-e\vec E$: acquista una velocità extra $-\frac{e\vec E}{m}t$;
2. a ogni urto la direzione della velocità diventa casuale: l'elettrone "dimentica" la velocità acquistata.

Se $\tau$ è il tempo medio tra due urti, in media ogni elettrone ha una velocità extra (la velocità di deriva)

$$\vec v_d = -\frac{e\tau}{m}\vec E.$$

È come una pallina che rotola giù per un piano inclinato pieno di chiodi: non accelera indefinitamente, ma raggiunge una velocità media costante, proporzionale alla pendenza. Gli urti agiscono come un attrito.

Legge di Ohm in forma locale

Sostituendo nella densità di corrente $\vec J = n(-e)\vec v_d$:

Legge (legge di Ohm in forma locale). $$\vec J = \sigma\vec E, \qquad \sigma = \frac{ne^2\tau}{m}.$$

Esempio. Rame con $\sigma = 5{,}96\cdot10^7$ S/m e $E = 0{,}01$ V/m: $J = \sigma E = 5{,}96\cdot10^5\ \text{A/m}^2$.

$\sigma$ è la conducibilità del materiale (unità S/m, siemens al metro). Il suo inverso è la resistività:

$$\rho = \frac{1}{\sigma}, \qquad \vec E = \rho\vec J \qquad (\Omega\cdot\text{m}).$$

(Attenzione: $\rho$ e $\sigma$ sono gli stessi simboli usati per le densità di carica. Il significato si capisce dal contesto.)

I valori coprono più di 20 ordini di grandezza: è la differenza tra conduttori e isolanti. Nei metalli la resistività cresce con la temperatura (urti più frequenti, $\tau$ più piccolo): $\rho(T) \approx \rho_0[1 + \alpha(T - T_0)]$.

Legge di Ohm per un conduttore

Un filo di lunghezza $L$ e sezione $\Sigma$, con campo uniforme $E$ lungo il filo:

• d.d.p. agli estremi: $\Delta V = EL$;
• corrente: $i = J\Sigma = \sigma E\Sigma$.

Eliminando $E$: $\Delta V = \frac{L}{\sigma\Sigma}i$.

Legge di Ohm: $\Delta V = Ri$, con resistenza $$R = \rho\frac{L}{\Sigma} \qquad (\text{ohm, } 1\ \Omega = 1\ \text{V/A}).$$

Esempio. Filo di rame ($\rho = 1{,}7\cdot10^{-8}\ \Omega$ m), $L = 10$ m e $\Sigma = 1\ \text{mm}^2$: $R = 1{,}7\cdot10^{-8}\cdot\frac{10}{10^{-6}} = 0{,}17\ \Omega$; con $i = 5$ A la caduta è $\Delta V = 0{,}85$ V.

La resistenza cresce con la lunghezza (il percorso è più lungo) e diminuisce con la sezione (ci sono più "corsie"). Esempio: filo di rame lungo $10$ m, sezione $1$ mm²: $R = 1{,}7 \cdot 10^{-8}\cdot\frac{10}{10^{-6}} = 0{,}17\ \Omega$.

La legge di Ohm è una legge empirica valida per molti materiali (detti ohmici), non una legge fondamentale: diodi, transistor, gas ionizzati non la seguono.

Effetto Joule

Le cariche, attraversando la d.d.p. $\Delta V$, perdono energia potenziale $dq\,\Delta V$; ma la loro energia cinetica media non aumenta (la velocità di deriva è costante). L'energia viene ceduta al reticolo negli urti e diventa calore. La potenza è

$$P = \frac{dW}{dt} = \frac{dq\,\Delta V}{dt} = i\,\Delta V.$$

Legge (effetto Joule): in una resistenza la potenza dissipata è $$P = i\,\Delta V = R\,i^2 = \frac{\Delta V^2}{R} \qquad (\text{watt}).$$

Esempio. Stufetta da $2000$ W a $230$ V: $i = \frac{2000}{230} = 8{,}7$ A e $R = \frac{230^2}{2000} = 26{,}4\ \Omega$.

L'energia dissipata in un intervallo di tempo è $W = \int P\,dt$; se la corrente varia (come nei transitori RC e RL) bisogna integrare.

Esempi. Una stufetta da $2000$ W alla tensione di rete $230$ V assorbe $i = \frac{2000}{230} \approx 8{,}7$ A e ha $R = \frac{230^2}{2000} \approx 26\ \Omega$. Le linee elettriche trasportano energia ad alta tensione proprio per ridurre le perdite $Ri^2$: a parità di potenza $i\Delta V$, aumentando $\Delta V$ si riduce $i$.

Forma locale: potenza dissipata per unità di volume $p = \vec J\cdot\vec E = \sigma E^2 = \rho J^2$.

Resistenze in serie e in parallelo

Formula (resistenze in serie e in parallelo).

• Serie: le d.d.p. si sommano, $\Delta V = R_1 i + R_2 i$. Come allungare il filo.
• Parallelo: le correnti si sommano, $i = \frac{\Delta V}{R_1} + \frac{\Delta V}{R_2}$. Come allargare la sezione. Per due resistenze $R_{\text{eq}} = \frac{R_1R_2}{R_1 + R_2}$, minore della più piccola.

Esempio. $R_1 = 100\ \Omega$ e $R_2 = 200\ \Omega$: in serie $R_{eq} = 300\ \Omega$, in parallelo $R_{eq} = \frac{100\cdot200}{300} = 66{,}7\ \Omega$.

Sono le regole opposte a quelle dei condensatori (Condensatori - capacità, serie e paralleloUn condensatore sono due conduttori in induzione completa con cariche ±q; la capacità C = q/ΔV (farad) dipende solo dalla geometria: piano ε₀S/d, sferico 4πε₀R₁R₂/(R₂ − R₁), cilindrico 2πε₀L/ln(R₂/R₁). In parallelo le capacità si sommano (stessa ΔV), in serie si sommano gli inversi (stessa carica). Con un dielettrico che riempie il condensatore C diventa ε_r C.Condensatori - capacità, serie e parallelo →).

Partitore resistivo. Due resistenze in serie alimentate da $\mathcal E$: su $R_2$ cade $\Delta V_2 = \mathcal E\frac{R_2}{R_1 + R_2}$. Nell'appello del 26.06.2026 (Esercizio 23 · condensatore con dielettrico in un partitore resistivo) un condensatore in parallelo a $R_2$, a regime (nessuna corrente nel condensatore), si carica proprio a questa d.d.p.

Riepilogo

Errori comuni

• Confondere resistività (proprietà del materiale) e resistenza (proprietà dell'oggetto).
• Usare $P = Ri^2$ con la corrente di un altro ramo in un circuito con più resistenze.
• Calcolare l'energia dissipata come $P\cdot t$ con corrente variabile: serve l'integrale.
• Scambiare le regole serie/parallelo con quelle dei condensatori.