Effetto Hall e tensione di Hall

Lezione del 19.11 (sezione 6.6 del libro di testo). Prerequisiti: Forze e momenti magnetici su circuiti percorsi da correnteSeconda legge elementare di Laplace: su un tratto di filo ds percorso dalla corrente i agisce dF = i ds × B (somma delle forze di Lorentz sui portatori). Filo rettilineo in campo uniforme: F = i L × B; circuito chiuso in campo uniforme: forza totale nulla. Una spira piana ha momento magnetico m = iΣ u_n (N spire: NiΣ u_n); in un campo uniforme subisce il momento meccanico M = m × B, che la fa ruotare verso m parallelo a B, e ha energia potenziale U = −m·B.Forze e momenti magnetici su circuiti percorsi da corrente →, Conduzione, legge di Ohm ed effetto JouleNel modello classico gli elettroni accelerano nel campo e vengono frenati dagli urti, raggiungendo una velocità di deriva proporzionale a E: J = σE (legge di Ohm locale, σ = ne²τ/m, resistività ρ = 1/σ). Per un filo R = ρL/Σ e ΔV = Ri. La potenza ceduta al conduttore e dissipata in calore è P = iΔV = Ri² = ΔV²/R (effetto Joule). Resistenze in serie si sommano, in parallelo si sommano gli inversi.Conduzione, legge di Ohm ed effetto Joule →, Forza elettromotrice e resistenza interna del generatorePer mantenere una corrente in un circuito chiuso serve un campo non conservativo (campo elettromotore E*) dentro il generatore: la forza elettromotrice è ℰ = ∮ E*·ds, il lavoro per unità di carica fatto dal generatore. Un generatore reale ha una resistenza interna r: la tensione ai morsetti è ΔV = ℰ − ri, la corrente in un carico R è i = ℰ/(R + r), e il generatore eroga la potenza ℰi.Forza elettromotrice e resistenza interna del generatore → (il concetto di campo elettromotore). È una domanda di teoria (appello 24.06.2025).

Il fenomeno

Geometria

Un conduttore a forma di nastro ha sezione rettangolare $\Sigma = a\cdot b$. La corrente $i$ scorre lungo l'asse $x$ (perpendicolare alla sezione). Un campo magnetico uniforme $\vec B$ è diretto lungo $z$, perpendicolare alla corrente; $a$ è lo spessore del nastro lungo $z$, $b$ la larghezza lungo $y$.

Cosa succede ai portatori

I portatori di carica $q$ si muovono con la velocità di deriva $\vec v_d$, parallela alla corrente se $q > 0$ e opposta se $q < 0$. Su ognuno agisce la forza di Lorentz $q\vec v_d \times \vec B$, diretta lungo $y$, cioè verso uno dei due bordi del nastro.

• Portatori positivi ($\vec v_d$ lungo $+x$): $\vec v_d \times \vec B \propto \vec u_x \times \vec u_z = -\vec u_y$, la forza $q\vec v_d \times \vec B$ con $q > 0$ punta verso $-y$.
• Portatori negativi ($\vec v_d$ lungo $-x$): $\vec v_d \times \vec B \propto +\vec u_y$, ma moltiplicato per $q < 0$ la forza punta di nuovo verso $-y$.

In entrambi i casi i portatori vengono spinti verso lo stesso bordo ($-y$). Cambia però il segno della carica che vi si accumula: positiva nel primo caso, negativa nel secondo.

Il campo elettromotore e il campo di Hall

Campo elettromotore

La forza per unità di carica che agisce sui portatori è

$$\vec E_m = \frac{\vec F}{q} = \vec v_d \times \vec B,$$

detto campo elettromotore (di Hall). Non è un campo elettrostatico: è una forza di origine magnetica che agisce solo sulle cariche in moto, come il campo elettromotore all'interno di un generatore.

Equilibrio: il campo di Hall

Le cariche che si accumulano sui due bordi (un bordo si carica, quello opposto resta con la carica di segno contrario) creano un campo elettrostatico $\vec E_H$ trasversale, diretto lungo $y$, che si oppone all'ulteriore accumulo. L'accumulo si ferma quando la forza elettrica bilancia quella magnetica:

$$q\vec E_H + q\vec v_d \times \vec B = 0 \implies \vec E_H = -\vec v_d \times \vec B, \qquad E_H = v_d B.$$

Da questo momento i portatori proseguono dritti lungo $x$. Il transitorio è brevissimo.

Tensione di Hall

Tra i due bordi, distanti $b$, c'è la d.d.p.

$$V_H = E_H\,b = v_d B b.$$

Si esprime $v_d$ in funzione della corrente: $i = nq v_d\Sigma = nqv_d ab$, quindi $v_d = \frac{i}{nqab}$. Sostituendo, la larghezza $b$ si semplifica:

Formula (tensione di Hall). $$V_H = \frac{iB}{nqa},$$ con $n$ densità dei portatori e $a$ spessore del nastro nella direzione di $\vec B$.

Esempio. Nastro di rame ($n = 8{,}5\cdot10^{28}\ \text{m}^{-3}$), $a = 1$ mm, $i = 10$ A, $B = 1$ T: $V_H = \frac{10\cdot1}{8{,}5\cdot10^{28}\cdot1{,}602\cdot10^{-19}\cdot10^{-3}} = 7{,}34\cdot10^{-7}$ V.

Si definisce la costante di Hall $R_H = \frac{1}{nq}$, che ha il segno dei portatori: $V_H = R_H\frac{iB}{a}$.

Cosa si misura con l'effetto Hall

1. Il segno dei portatori. A parità di verso di $i$ e $\vec B$, la tensione di Hall ha segni opposti per portatori positivi e negativi. L'esperimento ha mostrato che nei metalli i portatori sono negativi (elettroni), mentre in certi semiconduttori (tipo p) si comportano come cariche positive (lacune).
2. La densità dei portatori. Misurati $i$, $B$, $a$ e $V_H$: $n = \frac{iB}{qaV_H}$.
3. Il campo magnetico (sonde di Hall, vedi sotto).

Ordine di grandezza. Nel rame $n \approx 8{,}5\cdot10^{28}$ m⁻³. Con $i = 10$ A, $B = 1$ T, $a = 0{,}1$ mm: $V_H = \frac{10\cdot1}{8{,}5\cdot10^{28}\cdot1{,}6\cdot10^{-19}\cdot10^{-4}} \approx 7\ \mu$V, molto piccola. Nei semiconduttori $n$ è molto minore e $V_H$ molto maggiore: per questo le sonde si fanno con semiconduttori.

Sonde di Hall

Una sonda di Hall è un piccolo nastro di semiconduttore con $n$, $q$ e $a$ noti, alimentato con una corrente $i$ nota. Messa in un campo magnetico, misura la tensione di Hall, da cui:

Formula (campo misurato con una sonda di Hall). $$B = \frac{nqa}{i}V_H.$$

Esempio. Sonda con $n = 10^{22}\ \text{m}^{-3}$, $a = 0{,}5$ mm, $i = 1$ mA e $V_H = 1$ mV: $B = \frac{10^{22}\cdot1{,}602\cdot10^{-19}\cdot5\cdot10^{-4}}{10^{-3}}\cdot10^{-3} = 0{,}8$ T.

• $V_H$ è proporzionale a $B$: la sonda si tara una volta e poi fornisce il campo con una semplice misura di tensione.
• Misura solo la componente di $\vec B$ perpendicolare al nastro: ruotandola si trova anche la direzione del campo.
• È lo strumento usato in laboratorio per misurare il campo di un solenoide.

Domanda d'esame tipo

"Nastro di sezione $\Sigma = a\cdot b$, corrente $i$ lungo $x$, campo $B$ perpendicolare: si scriva il campo elettromotore, la tensione di Hall all'equilibrio e si dica come funzionano le sonde di Hall." (appello 24.06.2025)

1. $\vec E_m = \vec v_d \times \vec B$, di modulo $v_d B$, con $v_d = i/(nq\Sigma)$.
2. All'equilibrio $E_H = v_d B$ e $V_H = E_H b = \frac{iB}{nqa}$.
3. Sonda: semiconduttore con $i$ noto; $V_H \propto B$, quindi dalla tensione si ricava il campo.

Errori comuni

• Usare la dimensione sbagliata al denominatore: è lo spessore lungo $\vec B$, non la larghezza tra i bordi su cui si misura $V_H$.
• Pensare che il verso della deflessione riveli il segno dei portatori: i portatori vanno sempre verso lo stesso bordo; è il segno della tensione a cambiare.
• Confondere il campo elettromotore con il campo di Hall: sono uguali in modulo e opposti in verso all'equilibrio; il primo è magnetico (agisce solo su cariche in moto), il secondo elettrostatico.