Dipolo elettrico e momento in un campo esterno

Lezione del 13.10 (sezioni 2.7 e 2.8 del libro di testo, fino all'eq. 2.51). Prerequisiti: Lavoro della forza elettrica e potenziale elettrostaticoIl lavoro della forza elettrostatica non dipende dal percorso (campo conservativo, circuitazione nulla); si definisce quindi il potenziale V con V(B) − V(A) = −∫ da A a B di E·ds, misurato in volt (1 V = 1 J/C). Carica puntiforme: V = q/(4πε₀r) con V(∞) = 0; più cariche: somma (scalare) dei potenziali. La forza elettromotrice di un percorso chiuso è la circuitazione di E, nulla in elettrostatica.Lavoro della forza elettrica e potenziale elettrostatico →, Campo come gradiente del potenziale e superfici equipotenzialiIl campo si ottiene dal potenziale come E = −∇V, cioè Ex = −∂V/∂x, Ey = −∂V/∂y, Ez = −∂V/∂z: punta dove V diminuisce più rapidamente e il suo modulo è la rapidità di variazione. Le superfici equipotenziali (V costante) sono sempre perpendicolari alle linee di campo, e spostarsi su di esse non costa lavoro.Campo come gradiente del potenziale e superfici equipotenziali →. Il dipolo è il modello delle molecole nei dielettriciUn dielettrico che riempie un condensatore ne moltiplica la capacità per la costante dielettrica relativa ε_r (κ) e, a carica fissata, divide campo e d.d.p. per ε_r. Il motivo è la polarizzazione: i dipoli molecolari si allineano (vettore P = momento di dipolo per unità di volume) e compaiono cariche di polarizzazione σ_p = P·n = (ε_r − 1)/ε_r · σ_lib che schermano il campo. Il vettore D = ε₀E + P ha flusso uguale alla sola carica libera: ∮D·n dS = Q_lib, e D = ε₀ε_r E.Dielettrici - polarizzazione e vettore induzione elettrica → e ha un analogo magnetico (la spira, in Forze e momenti magnetici su circuiti percorsi da correnteSeconda legge elementare di Laplace: su un tratto di filo ds percorso dalla corrente i agisce dF = i ds × B (somma delle forze di Lorentz sui portatori). Filo rettilineo in campo uniforme: F = i L × B; circuito chiuso in campo uniforme: forza totale nulla. Una spira piana ha momento magnetico m = iΣ u_n (N spire: NiΣ u_n); in un campo uniforme subisce il momento meccanico M = m × B, che la fa ruotare verso m parallelo a B, e ha energia potenziale U = −m·B.Forze e momenti magnetici su circuiti percorsi da corrente →).

Definizione

Definizione (dipolo elettrico). Un dipolo elettrico è un sistema di due cariche uguali e opposte, $+q$ e $-q$, a distanza fissa $a$. Il suo momento di dipolo elettrico è il vettore $$\vec p = q\vec a,$$ dove $\vec a$ va dalla carica negativa alla carica positiva. Unità: C·m.

Esempio. Cariche $\pm1$ nC a distanza $a = 2$ mm: $p = qa = 10^{-9}\cdot2\cdot10^{-3} = 2\cdot10^{-12}$ C m.

La carica totale è nulla, ma il campo non lo è: le due cariche sono in punti diversi. Molte molecole sono dipoli permanenti (l'acqua ha $p \approx 6 \cdot 10^{-30}$ C·m, perché gli elettroni stanno più vicini all'ossigeno che agli idrogeni); altre diventano dipoli quando sono immerse in un campo che sposta le cariche (dipoli indotti).

Potenziale del dipolo

Origine al centro del dipolo, asse $z$ lungo $\vec p$. In un punto $P$ a distanza $r$ dal centro, che forma l'angolo $\theta$ con l'asse, le distanze dalle due cariche sono $r_+$ e $r_-$. Per sovrapposizione:

$$V(P) = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{r_+} - \frac{1}{r_-}\right) = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\frac{r_- - r_+}{r_+ r_-}.$$

Approssimazione di grande distanza ($r \gg a$). Le due congiungenti sono quasi parallele, quindi la differenza di distanza è la proiezione di $\vec a$ sulla direzione di $P$, e il prodotto è circa $r^2$:

$$r_- - r_+ \approx a\cos\theta, \qquad r_+ r_- \approx r^2.$$

Formula (potenziale di un dipolo). $$V(r, \theta) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{p\cos\theta}{r^2} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\vec p\cdot\hat u_r}{r^2}.$$

Esempio. $p = 2\cdot10^{-12}$ C m, $r = 10$ cm, $\theta = 0$: $V = 9\cdot10^9\cdot\frac{2\cdot10^{-12}}{0{,}01} = 1{,}8$ V; nel piano equatoriale $V = 0$.

• Il potenziale decresce come $\frac{1}{r^2}$, più rapidamente di una carica singola ($\frac1r$): da lontano le due cariche quasi si compensano.
• Nel piano equatoriale ($\theta = 90°$) $V = 0$: ogni punto è equidistante dalle due cariche.
• È positivo dalla parte della carica positiva ($\theta < 90°$), negativo dall'altra.
• Dipende solo dal prodotto $p = qa$: dipoli con $q$ doppio e $a$ dimezzato sono indistinguibili da lontano.

Campo del dipolo

Si ottiene dal gradiente in coordinate polari, $E_r = -\frac{\partial V}{\partial r}$, $E_\theta = -\frac1r\frac{\partial V}{\partial\theta}$:

Formula (campo di un dipolo). $$E_r = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{2p\cos\theta}{r^3}, \qquad E_\theta = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{p\sin\theta}{r^3}.$$

Esempio. Stesso dipolo sull'asse a $r = 10$ cm: $E = \frac{2\cdot9\cdot10^9\cdot2\cdot10^{-12}}{10^{-3}} = 36$ V/m; nel piano equatoriale metà, $18$ V/m.

Casi particolari:

• sull'asse ($\theta = 0$): $E = \frac{2p}{4\pi\varepsilon_0 r^3}$, diretto come $\vec p$;
• nel piano equatoriale ($\theta = 90°$): $E = \frac{p}{4\pi\varepsilon_0 r^3}$, diretto opposto a $\vec p$ (stesso risultato del calcolo diretto con due cariche opposte in Campo elettrostatico di cariche puntiformiIl campo elettrostatico E = F/q₀ è la forza per unità di carica che subirebbe una carica di prova in un punto; per una carica puntiforme vale E = q/(4πε₀r²) in direzione radiale (uscente se q > 0), per più cariche si sommano i vettori; si misura in N/C = V/m e una carica q in un campo E subisce F = qE.Campo elettrostatico di cariche puntiformi →, con $p = 2qa$ per cariche in $\pm a$).

Il campo decresce come $\frac{1}{r^3}$. Le linee di campo escono dalla carica positiva e rientrano nella negativa, come nelle figure di limatura di ferro attorno a una calamita.

Dipolo in un campo esterno uniforme

Un dipolo rigido è immerso in un campo uniforme $\vec E$, e $\vec p$ forma l'angolo $\theta$ con $\vec E$.

Forza totale nulla

Sulla carica positiva agisce $q\vec E$, sulla negativa $-q\vec E$: la somma è zero. In un campo uniforme il dipolo non trasla. (In un campo non uniforme le due forze sono diverse e c'è una forza netta, verso le zone di campo più intenso se il dipolo è allineato: è il motivo per cui un corpo carico attira i pezzetti di carta.)

Momento meccanico

Le due forze sono uguali e opposte ma applicate in punti diversi: formano una coppia. Il momento rispetto al centro è

$$M = 2\cdot\frac a2\cdot qE\sin\theta = qaE\sin\theta = pE\sin\theta.$$

Formula (momento meccanico su un dipolo). $$\vec M = \vec p \times \vec E.$$

Esempio. $p = 2\cdot10^{-12}$ C m in $E = 10^4$ V/m con $\theta = 30°$: $M = pE\sin\theta = 2\cdot10^{-12}\cdot10^4\cdot0{,}5 = 10^{-8}$ N m.

Il momento tende a ruotare il dipolo per allinearlo al campo ($\theta \to 0$). È nullo se $\vec p$ è parallelo ($\theta = 0$) o antiparallelo ($\theta = \pi$) a $\vec E$.

Energia potenziale

L'energia del dipolo nel campo è la somma delle energie delle due cariche: $U = qV(+) - qV(-) = q[V(+) - V(-)]$. In un campo uniforme la d.d.p. tra le posizioni delle cariche è $-\vec E\cdot\vec a$, quindi

Formula (energia potenziale di un dipolo). $$U = -\vec p\cdot\vec E = -pE\cos\theta.$$

Lavoro per ruotare il dipolo. Per portarlo da $\theta_1$ a $\theta_2$ una forza esterna deve fare $W = U(\theta_2) - U(\theta_1) = pE(\cos\theta_1 - \cos\theta_2)$. Da allineato a antiparallelo costa $2pE$.

Esempio. Molecola d'acqua ($p = 6{,}2 \cdot 10^{-30}$ C·m) in un campo $E = 10^6$ V/m: momento massimo $pE = 6{,}2 \cdot 10^{-24}$ N·m; energia per ribaltarla $2pE = 1{,}2 \cdot 10^{-23}$ J $\approx 8 \cdot 10^{-5}$ eV, molto meno dell'energia di agitazione termica a temperatura ambiente ($\approx 0{,}025$ eV): il campo orienta le molecole solo parzialmente.

Lo stesso schema, con $\vec m$ al posto di $\vec p$ e $\vec B$ al posto di $\vec E$, descrive una spira percorsa da corrente in un campo magnetico: $\vec M = \vec m \times \vec B$, $U = -\vec m\cdot\vec B$ (Forze e momenti magnetici su circuiti percorsi da correnteSeconda legge elementare di Laplace: su un tratto di filo ds percorso dalla corrente i agisce dF = i ds × B (somma delle forze di Lorentz sui portatori). Filo rettilineo in campo uniforme: F = i L × B; circuito chiuso in campo uniforme: forza totale nulla. Una spira piana ha momento magnetico m = iΣ u_n (N spire: NiΣ u_n); in un campo uniforme subisce il momento meccanico M = m × B, che la fa ruotare verso m parallelo a B, e ha energia potenziale U = −m·B.Forze e momenti magnetici su circuiti percorsi da corrente →).

Riepilogo

Errori comuni

• Verso di $\vec p$: va dalla carica negativa alla positiva (opposto al campo tra le due cariche).
• Usare la formula approssimata vicino al dipolo: vale solo per $r \gg a$.
• Pensare che il dipolo sia attratto da un campo uniforme: in campo uniforme ruota soltanto.
• Segno dell'energia: il minimo è con $\vec p$ parallelo a $\vec E$, dove $U = -pE$ è negativo.