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Note per Studenti Carica e scarica di un condensatore (circuito RC)

Carica e scarica di un condensatore (circuito RC)

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Lezione del 10.11 (sezione 5.8 del libro di testo). Prerequisiti: Condensatori - capacità, serie e paralleloUn condensatore sono due conduttori in induzione completa con cariche ±q; la capacità C = q/ΔV (farad) dipende solo dalla geometria: piano ε₀S/d, sferico 4πε₀R₁R₂/(R₂ − R₁), cilindrico 2πε₀L/ln(R₂/R₁). In parallelo le capacità si sommano (stessa ΔV), in serie si sommano gli inversi (stessa carica). Con un dielettrico che riempie il condensatore C diventa ε_r C.Condensatori - capacità, serie e parallelo →, Energia del campo elettrostaticoCaricare un condensatore costa lavoro, immagazzinato come energia U = ½q²/C = ½CΔV² = ½qΔV; questa energia è localizzata nel campo, con densità u = ½ε₀E² (½εE² in un dielettrico). Con il condensatore isolato si conserva q, collegato al generatore si conserva ΔV: nel secondo caso il generatore fa un lavoro doppio della variazione di energia del condensatore.Energia del campo elettrostatico →, Forza elettromotrice e resistenza interna del generatorePer mantenere una corrente in un circuito chiuso serve un campo non conservativo (campo elettromotore E*) dentro il generatore: la forza elettromotrice è ℰ = ∮ E*·ds, il lavoro per unità di carica fatto dal generatore. Un generatore reale ha una resistenza interna r: la tensione ai morsetti è ΔV = ℰ − ri, la corrente in un carico R è i = ℰ/(R + r), e il generatore eroga la potenza ℰi.Forza elettromotrice e resistenza interna del generatore →. L'analogo con l'induttanza è il circuito RL in Autoinduzione, circuiti RL e LC, energia magneticaUn circuito percorso da corrente concatena il flusso del proprio campo: Φ = L i, con L coefficiente di autoinduzione (henry; solenoide L = μ0 n² Σ ℓ). Se i varia compare la fem autoindotta −L di/dt. Circuito RL in chiusura: i = (ℰ/R)(1 − e^(−t/τ)), τ = L/R (extracorrente di chiusura); in apertura i = i₀e^(−t/τ). Un'induttanza percorsa da i immagazzina U = ½Li², con densità di energia magnetica u = B²/(2μ0). Circuito LC: la carica oscilla come q₀cos(ωt), ω = 1/√(LC), con l'energia che passa dal condensatore all'induttanza e viceversa.Autoinduzione, circuiti RL e LC, energia magnetica →. È una domanda di teoria (appello 24.06.2025) e una parte di molti problemi.

Carica del condensatore

L'equazione del circuito

Un generatore ideale di f.e.m. E\mathcal E, una resistenza RR e un condensatore CC inizialmente scarico sono in serie; all'istante t=0t = 0 si chiude l'interruttore. A un istante qualsiasi circola la corrente ii e il condensatore ha carica qq. Lungo la maglia la f.e.m. è uguale alla somma delle cadute di tensione:

E=Ri+qC.\mathcal E = Ri + \frac qC.

La corrente è la carica che arriva sull'armatura per unità di tempo: i=dqdti = \frac{dq}{dt}. Si ottiene l'equazione differenziale del primo ordine

Legge (equazione del circuito RC). Rdqdt+qC=E.R\frac{dq}{dt} + \frac qC = \mathcal E.

Esempio. R=1 kΩR = 1\ \text{k}\Omega e C=100 μC = 100\ \muF: τ=RC=1000⋅10−4=0,1\tau = RC = 1000\cdot10^{-4} = 0{,}1 s.

Soluzione

Si separano le variabili: dqCE−q=dtRC\frac{dq}{C\mathcal E - q} = \frac{dt}{RC}. Integrando da q=0q = 0 a qq e da 00 a tt:

−ln⁡CE−qCE=tRC  ⟹  CE−q=CE e−t/RC.-\ln\frac{C\mathcal E - q}{C\mathcal E} = \frac{t}{RC} \implies C\mathcal E - q = C\mathcal E\,e^{-t/RC}.

Legge (carica di un condensatore). q(t)=CE(1−e−t/τ),i(t)=dqdt=ERe−t/τ,τ=RC.q(t) = C\mathcal E\left(1 - e^{-t/\tau}\right), \qquad i(t) = \frac{dq}{dt} = \frac{\mathcal E}{R}e^{-t/\tau}, \qquad \tau = RC.

Esempio. E=10\mathcal E = 10 V, R=1 kΩR = 1\ \text{k}\Omega, C=100 μC = 100\ \muF, t=τ=0,1t = \tau = 0{,}1 s: q=10−3(1−e−1)=632 μq = 10^{-3}(1 - e^{-1}) = 632\ \muC e i=10 mA⋅e−1=3,68i = 10\,\text{mA}\cdot e^{-1} = 3{,}68 mA.

  • All'inizio il condensatore scarico non oppone tensione: la corrente parte dal valore massimo ER\frac{\mathcal E}{R}, come se il condensatore fosse un cortocircuito.
  • Man mano che si carica, la sua tensione q/Cq/C si oppone al generatore e la corrente cala.
  • A regime (t→∞t \to \infty) i=0i = 0 e q=CEq = C\mathcal E: il condensatore si comporta come un circuito aperto, con tutta la f.e.m. ai suoi capi.

La costante di tempo

τ=RC\tau = RC ha le dimensioni di un tempo (Ω⋅\Omega\cdotF == V/A ⋅\cdot C/V == s) e decide la velocità del transitorio:

tt τ\tau 2τ2\tau 3τ3\tau 5τ5\tau
q/q∞q/q_\infty in carica 63%63\% 86%86\% 95%95\% 99,3%99{,}3\%

Dopo circa 5τ5\tau il transitorio si considera esaurito. Esempio: R=120R = 120 kΩ\Omega, C=225,8C = 225{,}8 pF: τ=27,1 μ\tau = 27{,}1\ \mus, transitorio finito dopo circa 135 μ135\ \mus (appello 18.02.2026, Esercizio 21 · condensatore piano e cilindrico in serie con dielettrico e scarica).

Tempo per raggiungere una certa carica. Da q=q∞(1−e−t/τ)q = q_\infty(1 - e^{-t/\tau}): t=−τln⁡(1−qq∞)t = -\tau\ln\left(1 - \frac{q}{q_\infty}\right). (Appello 16.09.2025, Esercizio 17 · condensatori sferico e piano in serie, carica RC ed estrazione del dielettrico.)

Grafico interattivo: Carica (in unità di Cℰ) in funzione di t/τ: 63% dopo τ, quasi completa dopo 5τ

Scarica del condensatore

Il condensatore carico (q0q_0, d.d.p. V0=q0/CV_0 = q_0/C) si chiude su una resistenza RR, senza generatore. Equazione di maglia: Ri+qC=0Ri + \frac qC = 0. Ora la corrente che esce dall'armatura positiva riduce la carica, quindi i=−dqdti = -\frac{dq}{dt}:

Rdqdt+qC=0  ⟹  dqq=−dtRC.R\frac{dq}{dt} + \frac qC = 0 \implies \frac{dq}{q} = -\frac{dt}{RC}.

Legge (scarica di un condensatore). q(t)=q0 e−t/τ,VC(t)=V0 e−t/τ,i(t)=V0Re−t/τ.q(t) = q_0\,e^{-t/\tau}, \qquad V_C(t) = V_0\,e^{-t/\tau}, \qquad i(t) = \frac{V_0}{R}e^{-t/\tau}.

Esempio. V0=10V_0 = 10 V e τ=0,1\tau = 0{,}1 s: dopo 0,20{,}2 s è VC=10 e−2=1,35V_C = 10\,e^{-2} = 1{,}35 V.

Dopo τ\tau resta il 37%37\% della carica; dopo 5τ5\tau meno dell'1%1\%.

Grafico interattivo: Scarica del condensatore (ascissa: t/τ): la carica q/q₀ = e^(−t/τ) scende al 37% dopo τ, mentre l'energia U/U₀ = e^(−2t/τ) scende più in fretta (13,5% dopo τ, quindi l'energia dissipata fino a τ è l'86,5% di U₀)

Quale resistenza nella scarica. Se il condensatore si scarica attraverso una parte del circuito, τ\tau si calcola con la resistenza vista dal condensatore in quella configurazione. Nell'appello del 26.06.2026 (Esercizio 23 · condensatore con dielettrico in un partitore resistivo) il condensatore, aprendo l'interruttore, si scarica solo su R2R_2: τ=R2C\tau = R_2 C.

Bilancio energetico

Durante la carica

  • Il generatore sposta la carica totale q∞=CEq_\infty = C\mathcal E alla f.e.m. E\mathcal E: Wgen=Eq∞=CE2W_{\text{gen}} = \mathcal E q_\infty = C\mathcal E^2.
  • Il condensatore a fine carica immagazzina U=12CE2U = \frac12 C\mathcal E^2.
  • La resistenza dissipa WR=∫0∞R i2 dt=∫0∞RE2R2e−2t/τdt=E2R⋅τ2=12CE2.W_R = \int_0^\infty R\,i^2\,dt = \int_0^\infty R\frac{\mathcal E^2}{R^2}e^{-2t/\tau}dt = \frac{\mathcal E^2}{R}\cdot\frac\tau2 = \frac12 C\mathcal E^2.

Proprietà (bilancio energetico durante la carica). Durante la carica, metà dell'energia fornita dal generatore va nel condensatore e metà si dissipa nella resistenza, qualunque sia il valore di RR.

Esempio. C=100 μC = 100\ \muF e E=10\mathcal E = 10 V: il generatore fornisce CE2=10C\mathcal E^2 = 10 mJ, di cui 55 mJ restano nel condensatore e 55 mJ si dissipano in RR.

(RR cambia solo la durata del transitorio, non l'energia persa.)

Durante la scarica

Tutta l'energia iniziale del condensatore si dissipa nella resistenza. L'energia rimasta al tempo tt è

U(t)=q(t)22C=U0 e−2t/τ.U(t) = \frac{q(t)^2}{2C} = U_0\,e^{-2t/\tau}.

Decresce con costante di tempo τ/2\tau/2: l'energia va come il quadrato della carica. L'energia dissipata tra 00 e t1t_1 è

WR(t1)=∫0t1R i2 dt=V02R⋅τ2(1−e−2t1/τ)=U0(1−e−2t1/τ).W_R(t_1) = \int_0^{t_1}R\,i^2\,dt = \frac{V_0^2}{R}\cdot\frac\tau2\left(1 - e^{-2t_1/\tau}\right) = U_0\left(1 - e^{-2t_1/\tau}\right).

Esempi d'esame.

  • Energia dissipata dopo t1=τt_1 = \tau (appello 23.01.2025, Esercizio 9 · condensatore piano con dielettrico estratto a metà e scarica): WR=U0(1−e−2)≈0,865 U0W_R = U_0(1 - e^{-2}) \approx 0{,}865\,U_0.
  • Tempo per dimezzare l'energia (appello 26.06.2026): e−2t/τ=12  ⟹  t=τ2ln⁡2e^{-2t/\tau} = \frac12 \implies t = \frac{\tau}{2}\ln 2. Attenzione: è la metà del tempo di dimezzamento della carica (τln⁡2\tau\ln 2).

Domanda d'esame tipo

"Si scriva l'equazione di Ohm per un circuito RC; la si risolva per la chiusura del circuito."

  1. E=Ri+q/C\mathcal E = Ri + q/C, con i=dq/dti = dq/dt: R q˙+q/C=ER\,\dot q + q/C = \mathcal E.
  2. Separazione delle variabili con q(0)=0q(0) = 0: q=CE(1−e−t/RC)q = C\mathcal E(1 - e^{-t/RC}), i=ERe−t/RCi = \frac{\mathcal E}{R}e^{-t/RC}.
  3. Commento: costante di tempo τ=RC\tau = RC; corrente iniziale E/R\mathcal E/R, finale nulla; energia: metà al condensatore, metà dissipata.
Carica Scarica
equazione Rq˙+q/C=ER\dot q + q/C = \mathcal E Rq˙+q/C=0R\dot q + q/C = 0
carica CE(1−e−t/τ)C\mathcal E(1 - e^{-t/\tau}) q0e−t/τq_0 e^{-t/\tau}
corrente ERe−t/τ\frac{\mathcal E}{R}e^{-t/\tau} V0Re−t/τ\frac{V_0}{R}e^{-t/\tau}
energia U=12CE2U = \frac12 C\mathcal E^2 a regime; dissipata la stessa quantità U0e−2t/τU_0 e^{-2t/\tau} rimasta

Errori comuni

  • Usare la carica del regime nella fase iniziale: all'istante 00 in carica q=0q = 0 e i=E/Ri = \mathcal E/R.
  • Dimenticare il fattore 2 nell'esponente dell'energia.
  • Sbagliare la resistenza della costante di tempo quando nel circuito ce ne sono più di una.
  • Pensare che una resistenza piccola riduca le perdite in carica: la perdita è sempre 12CE2\frac12 C\mathcal E^2.

Versione ripasso

Prerequisiti: Condensatori - capacità, serie e paralleloUn condensatore sono due conduttori in induzione completa con cariche ±q; la capacità C = q/ΔV (farad) dipende solo dalla geometria: piano ε₀S/d, sferico 4πε₀R₁R₂/(R₂ − R₁), cilindrico 2πε₀L/ln(R₂/R₁). In parallelo le capacità si sommano (stessa ΔV), in serie si sommano gli inversi (stessa carica). Con un dielettrico che riempie il condensatore C diventa ε_r C.Condensatori - capacità, serie e parallelo →, Energia del campo elettrostaticoCaricare un condensatore costa lavoro, immagazzinato come energia U = ½q²/C = ½CΔV² = ½qΔV; questa energia è localizzata nel campo, con densità u = ½ε₀E² (½εE² in un dielettrico). Con il condensatore isolato si conserva q, collegato al generatore si conserva ΔV: nel secondo caso il generatore fa un lavoro doppio della variazione di energia del condensatore.Energia del campo elettrostatico →, Forza elettromotrice e resistenza interna del generatorePer mantenere una corrente in un circuito chiuso serve un campo non conservativo (campo elettromotore E*) dentro il generatore: la forza elettromotrice è ℰ = ∮ E*·ds, il lavoro per unità di carica fatto dal generatore. Un generatore reale ha una resistenza interna r: la tensione ai morsetti è ΔV = ℰ − ri, la corrente in un carico R è i = ℰ/(R + r), e il generatore eroga la potenza ℰi.Forza elettromotrice e resistenza interna del generatore →. Analogo con l'induttanza: Autoinduzione, circuiti RL e LC, energia magneticaUn circuito percorso da corrente concatena il flusso del proprio campo: Φ = L i, con L coefficiente di autoinduzione (henry; solenoide L = μ0 n² Σ ℓ). Se i varia compare la fem autoindotta −L di/dt. Circuito RL in chiusura: i = (ℰ/R)(1 − e^(−t/τ)), τ = L/R (extracorrente di chiusura); in apertura i = i₀e^(−t/τ). Un'induttanza percorsa da i immagazzina U = ½Li², con densità di energia magnetica u = B²/(2μ0). Circuito LC: la carica oscilla come q₀cos(ωt), ω = 1/√(LC), con l'energia che passa dal condensatore all'induttanza e viceversa.Autoinduzione, circuiti RL e LC, energia magnetica →.

Carica

Maglia: E=Ri+qC\mathcal E = Ri + \frac qC con i=dqdti = \frac{dq}{dt}, cioè Rdqdt+qC=ER\frac{dq}{dt} + \frac qC = \mathcal E. Separando le variabili con q(0)=0q(0) = 0: CE−q=CEe−t/RCC\mathcal E - q = C\mathcal E e^{-t/RC}.

q(t)=CE(1−e−t/τ),i(t)=ERe−t/τ,τ=RC.q(t) = C\mathcal E\left(1 - e^{-t/\tau}\right),\quad i(t) = \frac{\mathcal E}{R}e^{-t/\tau},\quad \tau = RC.

Scarica

Ri+qC=0Ri + \frac qC = 0 con i=−dqdti = -\frac{dq}{dt}:

q(t)=q0e−t/τ,VC=V0e−t/τ,i(t)=V0Re−t/τ.q(t) = q_0 e^{-t/\tau},\quad V_C = V_0 e^{-t/\tau},\quad i(t) = \frac{V_0}{R}e^{-t/\tau}.

Dopo τ\tau resta il 37%37\%. In τ\tau va usata la resistenza vista dal condensatore (in Esercizio 23 · condensatore con dielettrico in un partitore resistivo si scarica solo su R2R_2: τ=R2C\tau = R_2C).

Energia

  • Carica: Wgen=Eq∞=CE2W_{\text{gen}} = \mathcal E q_\infty = C\mathcal E^2; il condensatore immagazzina 12CE2\frac12C\mathcal E^2; WR=∫0∞Ri2dt=E2Rτ2=12CE2W_R = \int_0^\infty Ri^2dt = \frac{\mathcal E^2}{R}\frac\tau2 = \frac12C\mathcal E^2. Metà va al condensatore e metà si dissipa, qualunque sia RR.
  • Scarica: U(t)=U0e−2t/τU(t) = U_0e^{-2t/\tau} (costante di tempo τ/2\tau/2); dissipata fino a t1t_1: WR=U0(1−e−2t1/τ)W_R = U_0(1 - e^{-2t_1/\tau}). Per t1=τt_1 = \tau: 0,865 U00{,}865\,U_0 (Esercizio 9 · condensatore piano con dielettrico estratto a metà e scarica). Dimezzamento dell'energia: t=τ2ln⁡2t = \frac\tau2\ln2 (metà di quello della carica, τln⁡2\tau\ln2).

Domanda tipo

Equazione di Ohm E=Ri+q/C\mathcal E = Ri + q/C; soluzione per separazione delle variabili; commento: τ=RC\tau = RC, corrente iniziale E/R\mathcal E/R e finale nulla, energia metà/metà.

Errori tipici: usare la carica di regime all'istante iniziale (q=0q = 0, i=E/Ri = \mathcal E/R); dimenticare il fattore 2 nell'esponente dell'energia; sbagliare la resistenza in τ\tau con più resistori; credere che una RR piccola riduca le perdite in carica (sono sempre 12CE2\frac12C\mathcal E^2).

Esercizi su questo argomento

Teoria collegata