Esercizio 22filo con corrente crescente e piccola bobina quadrata

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Idea guida

La bobina è piccolissima rispetto alla distanza dal filo ($a/d \approx 2\%$): il campo del filo su di essa è praticamente uniforme, uguale al valore nel centro. Il flusso concatenato è quindi semplicemente

$$\Phi(t) = Na^2B(t) = Na^2\frac{\mu_0 i(t)}{2\pi d}.$$

Conviene calcolare una volta per tutte la costante $K = \frac{Na^2\mu_0I_0}{2\pi d}$, cioè il flusso a regime:

$$Na^2 = 55\cdot(2{,}9\cdot10^{-3})^2 = 4{,}626\cdot10^{-4}\ \text{m}^2, \qquad \frac{\mu_0I_0}{2\pi d} = \frac{2\cdot10^{-7}\cdot42}{0{,}15} = 5{,}6\cdot10^{-5}\ \text{T},$$

$$K = 4{,}626\cdot10^{-4}\cdot5{,}6\cdot10^{-5} = 2{,}590\cdot10^{-8}\ \text{Wb}.$$

1. Campo sulla bobina a $t_1$

$\frac{t_1}{\tau} = \frac{480}{360} = 1{,}333$, $e^{-1{,}333} = 0{,}2636$:

$$i(t_1) = 42\cdot(1 - 0{,}2636) = 30{,}9\ \text{A}.$$

Con la legge di Biot-SavartFilo indefinito: B = μ0 i/(2πd).Legge di Biot-Savart e campo di un filo rettilineo →:

$$B(t_1) = \frac{\mu_0i(t_1)}{2\pi d} = \frac{2\cdot10^{-7}\cdot30{,}9}{0{,}15} = \boxed{41{,}2\ \mu\text{T}}$$

2. Momento magnetico della bobina a $t_1$

Perché serve la corrente indotta

Il momento magnetico di una bobina è $m = Nia^2$ (Forze e momenti magnetici su circuiti percorsi da correnteSeconda legge elementare di Laplace: su un tratto di filo ds percorso dalla corrente i agisce dF = i ds × B (somma delle forze di Lorentz sui portatori). Filo rettilineo in campo uniforme: F = i L × B; circuito chiuso in campo uniforme: forza totale nulla. Una spira piana ha momento magnetico m = iΣ u_n (N spire: NiΣ u_n); in un campo uniforme subisce il momento meccanico M = m × B, che la fa ruotare verso m parallelo a B, e ha energia potenziale U = −m·B.Forze e momenti magnetici su circuiti percorsi da corrente →): serve la corrente che circola nella bobina, cioè quella indotta dal flusso variabile.

Fem e corrente

$$\mathcal E(t) = -\frac{d\Phi}{dt} = -\frac{Na^2\mu_0}{2\pi d}\frac{di}{dt} = -\frac{K}{\tau}e^{-t/\tau},$$

perché $\frac{di}{dt} = \frac{I_0}{\tau}e^{-t/\tau}$. A $t_1$:

$$\mathcal E(t_1) = -\frac{2{,}590\cdot10^{-8}}{3{,}6\cdot10^{-4}}\cdot0{,}2636 = -19\ \mu\text{V}, \qquad i_b = \frac{|\mathcal E|}{R} = 0{,}19\ \text{mA}.$$

Momento

$$m(t_1) = Na^2\frac{|\mathcal E(t_1)|}{R} = 4{,}626\cdot10^{-4}\cdot\frac{1{,}90\cdot10^{-5}}{0{,}1} = \boxed{8{,}8\cdot10^{-8}\ \text{A·m}^2}$$

Direzione: perpendicolare al piano della bobina. Per la legge di Lenz il flusso cresce, quindi il campo della bobina (e il suo momento) è opposto al campo del filo.

3. Carica circolata fino al regime

Con la legge di Feliciq =|ΔΦ|/R.Legge di Faraday-Neumann-Lenz e fem indotta →: a $t = 0$ la corrente nel filo è nulla ($\Phi = 0$), a regime vale $I_0$ ($\Phi = K$):

$$\Delta Q = \frac{K - 0}{R} = \frac{2{,}590\cdot10^{-8}}{0{,}1} = \boxed{259\ \text{nC}}$$

4. Energia dissipata fino al regime

Integrale della potenza

La corrente indotta è $i_b(t) = \frac{K}{\tau R}e^{-t/\tau}$, e la potenza dissipata è $Ri_b^2$:

$$W_b = \int_0^{\infty}R\,i_b^2\,dt = \frac1R\left(\frac K\tau\right)^2\int_0^\infty e^{-2t/\tau}dt = \frac1R\left(\frac K\tau\right)^2\cdot\frac\tau2 = \frac{K^2}{2R\tau}.$$

Numeri

$$W_b = \frac{(2{,}590\cdot10^{-8})^2}{2\cdot0{,}1\cdot3{,}6\cdot10^{-4}} = \boxed{9{,}3\cdot10^{-12}\ \text{J}}$$

A differenza della carica, l'energia dissipata dipende da quanto rapidamente varia il flusso: con un $\tau$ dieci volte più piccolo si dissiperebbe dieci volte più energia (il flusso totale è lo stesso, ma la corrente è più intensa per meno tempo, e la potenza va come il quadrato della corrente).

5. Coefficiente di mutua induzione

Il flusso nella bobina è proporzionale alla corrente nel filo, $\Phi = Mi$ (Mutua induzione e circuiti accoppiatiIl flusso del campo di un circuito 1 concatenato con un circuito 2 è proporzionale alla corrente: Φ₂ = M i₁, e vale la simmetria M₁₂ = M₂₁ = M (coefficiente di mutua induzione, in henry). Se i₁ varia, nel circuito 2 compare ℰ₂ = −M di₁/dt. Casi tipici: bobina di N spire e area Σ in un solenoide M = μ0 n N Σ cos θ; piccola bobina vicino a un filo M = μ0 N Σ/(2πd). Energia di due circuiti accoppiati: U = ½L₁i₁² + ½L₂i₂² + M i₁ i₂, con |M| ≤ √(L₁L₂). Il trasformatore sfrutta la mutua induzione: V₂/V₁ = N₂/N₁.Mutua induzione e circuiti accoppiati →). A regime:

$$M = \frac{\Phi}{I_0} = \frac{Na^2\mu_0}{2\pi d} = \frac{4{,}626\cdot10^{-4}\cdot2\cdot10^{-7}}{0{,}15} = \boxed{617\ \text{pH}}$$

$M$ dipende solo dalla geometria: lo stesso valore vale a qualunque istante, non solo a regime. Con $M$ si riscrivono i risultati precedenti in modo compatto: $\mathcal E = -M\frac{di}{dt}$ e $\Delta Q = \frac{MI_0}{R}$.

Riepilogo

Errori comuni

• Usare la corrente del filo nel momento magnetico della bobina: serve la corrente indotta nella bobina.
• Integrare il flusso su tutta la bobina con il campo $1/r$: si può, ma con $a \ll d$ il campo è uniforme e il risultato cambia di pochi decimillesimi.
• Pensare che l'energia dissipata, come la carica, dipenda solo dagli stati iniziale e finale.