Esercizio 16tre fili paralleli e dipolo magnetico

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Geometria

L'asse $x$ è parallelo ai fili e sta a metà tra loro: il filo 1 è nella retta $y = -d/2$, il filo 2 nella retta $y = +d/2$ (nel piano $z = 0$). P è sull'asse $x$ a distanza $d$ dall'origine: $P = (d, 0, 0)$. Il terzo filo è l'asse $z$.

1. Campo in P dei due fili

Direzioni con la mano destra

Per un filo indefinito $\vec B = \frac{\mu_0 i}{2\pi r}\vec u_t \times \vec u_R$, con $\vec u_t$ versore della corrente e $\vec u_R$ versore che va dal filo al punto (Legge di Biot-Savart e campo di un filo rettilineoPrima legge elementare di Laplace: un tratto di filo ds percorso da i genera dB = (μ0/4π) i ds × u_r / r², con μ0 = 4π·10⁻⁷ T·m/A; una carica in moto genera B = (μ0/4π) q v × u_r / r². Integrando su un filo rettilineo: tratto finito B = μ0 i (sin α2 − sin α1)/(4πR); filo indefinito B = μ0 i/(2πR) (legge di Biot-Savart), con linee di campo circolari attorno al filo; filo semi-infinito visto dal piede della perpendicolare: metà. Un arco di circonferenza di angolo Δθ genera al centro B = μ0 i Δθ/(4πR).Legge di Biot-Savart e campo di un filo rettilineo →).

• Filo 1 ($y = -d/2$, corrente $+x$): P è "sopra" il filo nel senso delle $y$, $\vec u_R = +\vec u_y$; $\vec u_x \times \vec u_y = +\vec u_z$.
• Filo 2 ($y = +d/2$, corrente $+x$): $\vec u_R = -\vec u_y$; $\vec u_x \times (-\vec u_y) = -\vec u_z$.

Con correnti concordi, a metà strada i campi sono opposti e si sottraggono.

Calcolo

Distanza di P da ciascun filo: $d/2 = 0{,}15$ m.

$$\vec B_{12} = \frac{\mu_0i_1}{2\pi(d/2)}\vec u_z - \frac{\mu_0i_2}{2\pi(d/2)}\vec u_z = \frac{\mu_0(i_1 - i_2)}{\pi d}\vec u_z = \frac{4\cdot10^{-7}\cdot(-10)}{0{,}3}\vec u_z = \boxed{-13{,}3\ \mu\text{T}\ \vec u_z}$$

Prevale il filo 2, che ha più corrente. (La soluzione ufficiale scrive $-13{,}4\ \mu$T per un arrotondamento.)

2. Corrente nel terzo filo

Direzione del nuovo contributo

Il terzo filo è l'asse $z$ con corrente verso $+z$; P è a distanza $d$ lungo $+x$: $\vec u_z \times \vec u_x = +\vec u_y$.

$$\vec B_3 = \frac{\mu_0i_3}{2\pi d}\vec u_y.$$

Modulo del campo totale

$\vec B_3$ è lungo $y$ e $\vec B_{12}$ lungo $z$: sono perpendicolari, quindi il modulo del campo totale si trova con Pitagora:

$$B_P^2 = \left(\frac{\mu_0i_3}{2\pi d}\right)^2 + \left(\frac{\mu_0(i_1 - i_2)}{\pi d}\right)^2 = \left(\frac{\mu_0}{2\pi d}\right)^2\left[i_3^2 + 4(i_1 - i_2)^2\right].$$

Si isola $i_3$:

$$i_3 = \sqrt{\left(\frac{2\pi dB_P}{\mu_0}\right)^2 - 4(i_1 - i_2)^2}.$$

$\frac{2\pi dB_P}{\mu_0} = \frac{0{,}3\cdot16\cdot10^{-6}}{2\cdot10^{-7}} = 24$ A, quindi

$$i_3 = \sqrt{24^2 - 4\cdot10^2} = \sqrt{576 - 400} = \sqrt{176} = \boxed{13{,}27\ \text{A}}$$

Il campo del terzo filo in P è $B_y = \frac{2\cdot10^{-7}\cdot13{,}27}{0{,}3} = 8{,}84\ \mu$T. Controllo: $\sqrt{8{,}84^2 + 13{,}33^2} = 16{,}0\ \mu$T ✓.

3. Energia del dipolo

Il campo in P è $\vec B_P = (8{,}84\ \mu\text{T})\,\vec u_y - (13{,}33\ \mu\text{T})\,\vec u_z$. Il prodotto scalare si fa componente per componente (energia del dipolo magneticoU = −m·B: minima quando m è concorde a B.Forze e momenti magnetici su circuiti percorsi da corrente →); la componente $m_x$ non conta perché $B_x = 0$:

$$\vec m\cdot\vec B_P = m_yB_y + m_zB_z = 2\cdot10^{-6}\cdot8{,}84\cdot10^{-6} + 2\cdot10^{-6}\cdot(-13{,}33\cdot10^{-6}) = (1{,}77 - 2{,}67)\cdot10^{-11}\ \text{J}.$$

$$U_i = -\vec m\cdot\vec B_P = \boxed{+0{,}90\cdot10^{-11}\ \text{J} = 9{,}0\cdot10^{-12}\ \text{J}}$$

L'energia è positiva: l'angolo tra $\vec m$ e $\vec B_P$ è maggiore di $90°$ (la componente $m_z$ positiva è contro il campo, che ha $B_z$ negativa).

Nota sulla soluzione ufficiale. La soluzione ufficiale riporta $U_i = -4{,}4\cdot10^{-11}$ J, che si ottiene sommando i moduli dei due termini ($-1{,}77 - 2{,}67$). Con il segno corretto di $B_z$ il secondo termine cambia segno e il risultato è quello trovato sopra.

4. Lavoro della forza magnetica

Posizione finale

Con $\vec m$ parallelo e concorde a $\vec B_P$ l'angolo è nullo e l'energia è minima:

$$|\vec m| = \sqrt{4^2 + 2^2 + 2^2}\cdot10^{-6} = \sqrt{24}\cdot10^{-6} = 4{,}90\cdot10^{-6}\ \text{A·m}^2,$$

$$U_f = -mB_P = -4{,}90\cdot10^{-6}\cdot16\cdot10^{-6} = -7{,}84\cdot10^{-11}\ \text{J}.$$

Lavoro

La forza magnetica è conservativa per la rotazione del dipolo: il suo lavoro è l'opposto della variazione di energia potenziale.

$$W = -\Delta U = U_i - U_f = 0{,}90\cdot10^{-11} + 7{,}84\cdot10^{-11} = \boxed{8{,}7\cdot10^{-11}\ \text{J}}$$

Positivo: lasciato libero, il dipolo ruota spontaneamente verso l'allineamento con il campo. (Con il valore ufficiale di $U_i$ si otterrebbe $3{,}4\cdot10^{-11}$ J.)

Riepilogo

Errori comuni

• Sommare i campi dei due fili: con correnti concordi, tra i fili i campi sono opposti.
• Sommare i moduli di campi perpendicolari: serve Pitagora.
• Perdere i segni delle componenti nel prodotto scalare.