Corrente elettrica, densità di corrente ed equazione di continuità

Lezione del 03.11 (sezioni 5.1 e 5.2 del libro di testo). Prerequisiti: Carica elettrica, conduttori e isolantiLa carica elettrica è una proprietà della materia, di due segni, quantizzata (multipla di e = 1,6·10⁻¹⁹ C) e conservata; nei conduttori alcune cariche (elettroni di conduzione) si muovono liberamente, negli isolanti no. Un corpo si elettrizza per strofinio, per contatto o per induzione, e l'elettroscopio a foglie rivela la presenza di carica.Carica elettrica, conduttori e isolanti →, Divergenza, rotore ed equazioni di Maxwell per l'elettrostaticaCon l'operatore nabla ∇ = (∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z) si definiscono divergenza ∇·E (quanto campo "nasce" in un punto) e rotore ∇×E (quanto campo "gira"). Teoremi della divergenza e di Stokes trasformano le leggi integrali in leggi locali: le equazioni dell'elettrostatica sono ∮E·n dS = Q/ε₀ ⇔ ∇·E = ρ/ε₀ e ∮E·ds = 0 ⇔ ∇×E = 0; da E = −∇V segue l'equazione di Poisson ∇²V = −ρ/ε₀.Divergenza, rotore ed equazioni di Maxwell per l'elettrostatica →. Seguito: Conduzione, legge di Ohm ed effetto JouleNel modello classico gli elettroni accelerano nel campo e vengono frenati dagli urti, raggiungendo una velocità di deriva proporzionale a E: J = σE (legge di Ohm locale, σ = ne²τ/m, resistività ρ = 1/σ). Per un filo R = ρL/Σ e ΔV = Ri. La potenza ceduta al conduttore e dissipata in calore è P = iΔV = Ri² = ΔV²/R (effetto Joule). Resistenze in serie si sommano, in parallelo si sommano gli inversi.Conduzione, legge di Ohm ed effetto Joule →.

Dalla elettrostatica alle cariche in moto

In un conduttore in equilibrio il campo interno è nullo e le cariche sono ferme (Conduttori in equilibrio, conduttori cavi e schermo elettrostaticoIn un conduttore in equilibrio il campo interno è nullo, il conduttore è tutto allo stesso potenziale, la carica sta sulla superficie e appena fuori il campo è perpendicolare alla superficie con modulo σ/ε₀ (teorema di Coulomb). In una cavità vuota il campo è nullo (schermo elettrostatico); una carica q dentro la cavità induce −q sulla parete interna e +q su quella esterna (induzione completa).Conduttori in equilibrio, conduttori cavi e schermo elettrostatico →). Se si mantiene un campo dentro il conduttore (con un generatore che tiene una d.d.p. ai suoi estremi), le cariche libere si mettono in moto ordinato: è una corrente elettrica.

Intensità di corrente

Definizione (intensità di corrente). L'intensità di corrente attraverso una superficie (tipicamente la sezione di un filo) è la carica che la attraversa per unità di tempo: $$i = \frac{dq}{dt}.$$ Unità: l'ampere, $1\ \text{A} = 1\ \text{C/s}$.

Esempio. Una carica di $120$ C attraversa una sezione in $60$ s: $i = \frac{120}{60} = 2$ A.

• Verso convenzionale: quello in cui si muoverebbero le cariche positive. Nei metalli i portatori sono elettroni, che si muovono in verso opposto alla corrente: il risultato è lo stesso (una carica negativa che va a sinistra equivale a una positiva che va a destra).
• Se $i$ è costante, $q = i\,\Delta t$. In generale $q = \int i\,dt$.
• L'ampere è una delle unità fondamentali del SI. Storicamente era definito tramite la forza tra due fili (Forza tra fili percorsi da correnteDue fili rettilinei paralleli indefiniti a distanza d, percorsi dalle correnti i1 e i2, si scambiano una forza per unità di lunghezza F/L = μ0 i1 i2/(2πd), lungo la congiungente: attrattiva se le correnti sono concordi, repulsiva se discordi (il contrario delle cariche elettriche). La forza si trova combinando Biot-Savart (campo di un filo nel punto dell'altro) e seconda legge di Laplace. Su questa forza si basava la definizione dell'ampere: 2·10⁻⁷ N/m tra fili a 1 m con 1 A.Forza tra fili percorsi da corrente →); oggi è definito fissando il valore esatto di $e$.

Ordini di grandezza: una lampadina a LED assorbe circa $0{,}05$ A, un asciugacapelli $10$ A, un fulmine $10^4$ A.

Densità di corrente

La corrente dice quanta carica passa nell'intera sezione; per descrivere come la corrente si distribuisce punto per punto serve un vettore.

Modello microscopico

Un conduttore contiene $n$ portatori di carica $q$ per unità di volume. In presenza di campo ciascun portatore, oltre al rapidissimo moto caotico di agitazione termica (che in media non sposta carica), acquista una piccola velocità di deriva $\vec v_d$ nel verso della forza.

In un tempo $dt$ attraversano una superficie $dS$ perpendicolare a $\vec v_d$ i portatori contenuti in un cilindretto di base $dS$ e altezza $v_d\,dt$: sono $n\,v_d\,dt\,dS$, con carica $dq = nqv_d\,dt\,dS$. Quindi la corrente per unità di superficie è $nqv_d$.

Definizione (densità di corrente). La densità di corrente è il vettore $$\vec J = nq\vec v_d \qquad (\text{A/m}^2),$$ e la corrente attraverso una superficie $S$ è il suo flusso: $$i = \int_S\vec J\cdot\hat n\,dS.$$

Esempio. $i = 3$ A in un filo di sezione $2\ \text{mm}^2$: $J = \frac{3}{2\cdot10^{-6}} = 1{,}5\cdot10^6\ \text{A/m}^2 = 1{,}5\ \text{A/mm}^2$.

$\vec J$ ha il verso della corrente convenzionale anche per cariche negative: se $q < 0$, $\vec v_d$ e $\vec J$ sono opposti. Per un filo di sezione $\Sigma$ con densità uniforme: $i = J\Sigma$.

Esempio: quanto vanno veloci gli elettroni

Filo di rame di sezione $\Sigma = 1$ mm² con $i = 1$ A. Il rame ha circa un elettrone libero per atomo, $n \approx 8{,}5 \cdot 10^{28}$ m$^{-3}$.

$$v_d = \frac{J}{ne} = \frac{i}{ne\Sigma} = \frac{1}{8{,}5 \cdot 10^{28}\cdot 1{,}6 \cdot 10^{-19}\cdot 10^{-6}} \approx 7 \cdot 10^{-5}\ \text{m/s}.$$

Meno di un decimo di millimetro al secondo! Eppure la luce si accende appena si preme l'interruttore: non sono gli elettroni a viaggiare velocemente, ma il segnale (il campo elettrico), che si propaga lungo il filo a una velocità vicina a quella della luce e mette in moto contemporaneamente tutti gli elettroni del circuito.

Equazione di continuità

La conservazione della carica in forma integrale

Si prende una superficie chiusa $S$ che racchiude il volume $V$, contenente la carica $Q_{\text{int}}$. La corrente uscente da $S$ è $\oint\vec J\cdot\hat n\,dS$. Poiché la carica si conserva, se esce corrente la carica interna diminuisce:

$$\oint_S\vec J\cdot\hat n\,dS = -\frac{dQ_{\text{int}}}{dt}.$$

Forma locale

Con $Q_{\text{int}} = \int_V\rho\,dV$ e il teorema della divergenza sul primo membro: $\int_V\nabla\cdot\vec J\,dV = -\int_V\frac{\partial\rho}{\partial t}dV$ per ogni volume, quindi

Legge (equazione di continuità). $$\nabla\cdot\vec J + \frac{\partial\rho}{\partial t} = 0.$$

Esempio. Se la carica contenuta in un volume diminuisce di $2$ C ogni secondo, attraverso la superficie esce una corrente $\oint\vec J\cdot\hat n\,dS = 2$ A.

È la conservazione della carica scritta punto per punto: dove la densità di corrente "diverge" (esce più carica di quanta ne entri), la densità di carica diminuisce. La stessa equazione descrive un fluido che si conserva (acqua in un tubo).

Regime stazionario

Legge (regime stazionario). In regime stazionario la distribuzione di carica non cambia nel tempo ($\partial\rho/\partial t = 0$), quindi $$\nabla\cdot\vec J = 0, \qquad \oint_S\vec J\cdot\hat n\,dS = 0.$$

Il flusso di $\vec J$ attraverso ogni superficie chiusa è nullo: la corrente che entra è uguale a quella che esce. Conseguenze:

• in un filo, anche se la sezione cambia, la corrente è la stessa in ogni sezione (dove il filo è più sottile, $J$ è maggiore);
• in un nodo di un circuito, la somma delle correnti entranti è uguale alla somma delle uscenti: è la legge di Kirchhoff delle correnti, che è quindi conseguenza della conservazione della carica;
• le linee di $\vec J$ sono chiuse (o vanno all'infinito): una corrente stazionaria richiede un circuito chiuso.

Esempio. Un filo passa da sezione $2$ mm² a $0{,}5$ mm² con $i = 3$ A costante: $J$ passa da $1{,}5$ A/mm² a $6$ A/mm², e la velocità di deriva quadruplica nel tratto sottile.

Fuori dal regime stazionario. Mentre un condensatore si carica, entra corrente in un'armatura ma non ne esce attraverso il vuoto tra le armature: la carica si accumula e $\oint\vec J\cdot\hat n\,dS \ne 0$. Questa situazione è il punto di partenza della corrente di spostamentoLa legge di Ampère non vale per correnti non stazionarie (condensatore in carica). Maxwell aggiunse la corrente di spostamento i_s = ε0 dΦ(E)/dt, che tra le armature di un condensatore è uguale alla corrente di conduzione nei fili: legge di Ampère-Maxwell ∮B·ds = μ0(i + ε0 dΦ(E)/dt), rot B = μ0 J + μ0ε0 ∂E/∂t. Con Gauss elettrica, Gauss magnetica e Faraday formano le quattro equazioni di Maxwell. Nel vuoto senza sorgenti E e B soddisfano l'equazione delle onde, con velocità c = 1/√(ε0μ0) = 3·10⁸ m/s: la luce è un'onda elettromagnetica, con E ⊥ B ⊥ direzione di propagazione ed E = cB.Corrente di spostamento ed equazioni di Maxwell → di Maxwell.

Riepilogo

Errori comuni

• Confondere la velocità di deriva con la velocità del segnale o con la velocità di agitazione termica (circa $10^5$–$10^6$ m/s, ma disordinata).
• Verso della corrente: è quello delle cariche positive, opposto al moto degli elettroni.
• Pensare che la corrente "si consumi" in una resistenza: in regime stazionario la corrente è la stessa prima e dopo; ciò che si dissipa è energia.