FormularioElementi di Fisica 2: definizioni, teoremi e formule delle note, in ordine di capitolo

In questa pagina 9

I. Carica elettrica e legge di Coulomb

Carica elettrica, conduttori e isolanti

Principio di quantizzazione della carica. $e = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\ \text{C}.$

Esempio. Un corpo con $10^{12}$ elettroni in eccesso ha $q = -10^{12}\cdot1{,}602\cdot10^{-19} = -1{,}602\cdot10^{-7}$ C, cioè $-0{,}16\ \mu\text{C}$ .

Formula (contatto tra conduttori identici). $q' = \frac{q_1 + q_2}{2}.$

Esempio. $q_1 = +6\ \text{nC}$ , $q_2 = -2\ \text{nC}$ ; dopo il contatto entrambe valgono $+2\ \text{nC}$ (la somma, $+4$ nC, si conserva).

Legge di Coulomb e principio di sovrapposizione

Legge di Coulomb. Due cariche puntiformi $q_1$ e $q_2$ , ferme, a distanza $r$ nel vuoto, si esercitano forze di modulo $F = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{|q_1 q_2|}{r^2}.$ In forma vettoriale, la forza che $q_1$ esercita su $q_2$ è $\vec F_{12} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1 q_2}{r^2}\,\hat u_{12},$ dove $\hat u_{12}$ è il versore che va da $q_1$ a $q_2$ .

Esempio. $q_1 = 3$ nC e $q_2 = 5$ nC a $r = 3$ cm: $F = 9\cdot10^9\cdot\frac{3\cdot10^{-9}\cdot5\cdot10^{-9}}{(0{,}03)^2} = 1{,}5\cdot10^{-4}$ N, repulsiva.

Principio di sovrapposizione. Se su una carica $q$ agiscono più cariche $q_1, q_2, \dots, q_N$ , la forza totale è la somma vettoriale delle forze che ciascuna eserciterebbe da sola: $\vec F = \sum_{i=1}^N \vec F_i = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\sum_{i=1}^N \frac{q_i}{r_i^2}\,\hat u_i,$ dove $r_i$ è la distanza di $q$ da $q_i$ e $\hat u_i$ il versore da $q_i$ a $q$ .

Esempio. Carica $q = 1\ \mu$ C in $x = 0$ con $q_1 = +2\ \mu$ C in $x = -0{,}1$ m e $q_2 = -2\ \mu$ C in $x = +0{,}1$ m: ciascuna spinge $q$ verso $+x$ con $F = 9\cdot10^9\cdot\frac{2\cdot10^{-6}\cdot10^{-6}}{0{,}01} = 1{,}8$ N, quindi $F_{tot} = 3{,}6$ N.

II. Campo elettrostatico

Campo elettrostatico di cariche puntiformi

Definizione (campo elettrostatico). Il campo elettrostatico in un punto $P$ è $\vec E(P) := \frac{\vec F}{q_0},$ dove $\vec F$ è la forza che agirebbe su una carica di prova $q_0$ (positiva e piccola) posta in $P$ .

Esempio. Una carica di prova $q_0 = 2$ nC posta in $P$ subisce una forza di $6\ \mu$ N: $E = \frac{6\cdot10^{-6}}{2\cdot10^{-9}} = 3000$ N/C.

Formula (forza su una carica in un campo). $\vec F = q\vec E.$

Esempio. Carica $q = -2\ \mu$ C in un campo $E = 3000$ N/C: $F = qE = -6\cdot10^{-3}$ N, cioè $6$ mN in verso opposto al campo.

Legge (campo di una carica puntiforme). $\vec E(P) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r^2}\,\hat u_r,$ dove $r$ è la distanza tra la carica e il punto $P$ e $\hat u_r$ è il versore che va dalla carica verso $P$ .

Esempio. Campo a $r = 2$ cm da $q = 5$ nC: $E = 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{5 \cdot 10^{-9}}{(0{,}02)^2} = \frac{45}{4 \cdot 10^{-4}} = 1{,}1 \cdot 10^5$ V/m. Un elettrone in quel punto subirebbe una forza $F = eE = 1{,}6 \cdot 10^{-19} \cdot 1{,}1 \cdot 10^5 \approx 1{,}8 \cdot 10^{-14}$ N, verso la carica (attrazione) e quindi un'accelerazione $a = F/m_e \approx 2 \cdot 10^{16}$ m/s²: le forze elettriche sulle particelle sono enormi rispetto al loro peso.

Grafico interattivo: Modulo del campo di una carica puntiforme in funzione della distanza: E ∝ 1/r²

Principio di sovrapposizione (campo elettrico). $\vec E(P) = \sum_{i=1}^N \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_i}{r_i^2}\,\hat u_i,$ con $r_i$ distanza di $P$ da $q_i$ e $\hat u_i$ versore da $q_i$ verso $P$ .

Esempio. $P$ a $10$ cm da $q_1 = +4$ nC (a sinistra) e da $q_2 = -4$ nC (a destra): ciascuna carica dà $E = 9\cdot10^9\cdot\frac{4\cdot10^{-9}}{0{,}01} = 3600$ N/C verso destra, quindi $E_{tot} = 7200$ N/C.

Distribuzioni continue di carica - filo, anello, disco, piano

Formula (campo di un filo indefinito). Filo rettilineo indefinito con densità $\lambda$ , a distanza $R$ : $E = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 R},$ radiale rispetto al filo (perpendicolare a esso), uscente se $\lambda > 0$ .

Esempio (primo appello 23.01.2024, Esercizio 1 · filo carico e piano carico, potenziale e velocità): $\lambda = 20$ nC/m a $R = 4{,}5$ cm dà $E = \frac{2 \cdot 10^{-8}}{2\pi \cdot 8{,}85 \cdot 10^{-12} \cdot 0{,}045} \approx 8{,}0$ kV/m.

Formula (campo di un anello carico sull'asse). Anello di carica $q$ e raggio $R$ , sull'asse: $E(z) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{qz}{(R^2 + z^2)^{3/2}},$ diretto lungo l'asse, uscente dall'anello se $q > 0$ .

Esempio. $q = 10$ nC, $R = 5$ cm, $z = 10$ cm: $E = 9\cdot10^9\cdot\frac{10^{-8}\cdot0{,}1}{(0{,}0025 + 0{,}01)^{3/2}} = 6{,}44\cdot10^{3}$ V/m.

Formula (campo di un disco carico sull'asse). Disco di raggio $R$ e densità $\sigma$ , sull'asse ( $z > 0$ ): $E(z) = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\left(1 - \frac{z}{\sqrt{R^2 + z^2}}\right).$

Esempio. $\sigma = 10$ nC/m $^2$ , $R = 10$ cm, $z = 5$ cm: $E = \frac{10^{-8}}{2\cdot8{,}85\cdot10^{-12}}\left(1 - \frac{5}{\sqrt{125}}\right) = 312$ V/m.

Grafico interattivo: Campo sull'asse di un disco (R = 1) in unità di σ/(2ε₀): vale 1 vicino al disco (come un piano indefinito) e decresce come 1/z² lontano

Formula (campo di un piano indefinito). Piano indefinito con densità uniforme $\sigma$ : $E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0},$ perpendicolare al piano, uscente da entrambi i lati se $\sigma > 0$ , indipendente dalla distanza.

Esempio. $\sigma = -10$ nC/m² (primo appello 23.01.2024): $E = \frac{10^{-8}}{2 \cdot 8{,}85 \cdot 10^{-12}} = 565$ V/m, diretto verso il piano da entrambi i lati (densità negativa).

Campo tra due piani carichi e moto di una carica

Formula (campo tra due piani con densità opposte). Due piani indefiniti con densità $+\sigma$ e $-\sigma$ : $E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} \ \text{tra i piani (dal positivo al negativo)}, \qquad E = 0 \ \text{fuori}.$

Esempio. $\sigma = 10$ nC/m $^2$ : tra i piani $E = \frac{10^{-8}}{8{,}854\cdot10^{-12}} = 1129$ V/m, fuori $E = 0$ .

Formula (campo tra due piani con densità qualsiasi). $E_{\text{tra}} = \frac{\sigma_1 - \sigma_2}{2\varepsilon_0} \quad \text{(positivo = verso l'alto)}, \qquad E_{\text{sopra}} = \frac{\sigma_1 + \sigma_2}{2\varepsilon_0}, \quad E_{\text{sotto}} = -\frac{\sigma_1 + \sigma_2}{2\varepsilon_0}.$

Esempio (appello 18.02.2025, Esercizio 11 · particella tra due piani carichi e selettore di velocità): $\sigma_1 = +4{,}2 \cdot 10^{-8}$ C/m² e $\sigma_2 = +8{,}4 \cdot 10^{-8}$ C/m². Tra i piani i campi sono opposti e prevale quello del piano più carico:

Formula (accelerazione di una carica in un campo uniforme). $\vec a = \frac{q\vec E}{m} = \text{costante}.$

Esempio. Elettrone in $E = 1000$ V/m: $a = \frac{1{,}602\cdot10^{-19}\cdot1000}{9{,}109\cdot10^{-31}} = 1{,}76\cdot10^{14}\ \text{m/s}^2$ , diretta contro il campo.

Formula (traiettoria di una carica che entra perpendicolarmente al campo). $y = \frac{qE}{2mv_0^2}\,x^2,$

Esempio (appello 18.02.2025): particella con $m = 6{,}64 \cdot 10^{-27}$ kg (una particella alfa), $q = 3{,}2 \cdot 10^{-19}$ C, nel campo $E = 2{,}37 \cdot 10^3$ V/m. L'accelerazione è $a = \frac{qE}{m} = \frac{3{,}2 \cdot 10^{-19} \cdot 2{,}37 \cdot 10^3}{6{,}64 \cdot 10^{-27}} \approx 1{,}14 \cdot 10^{11}$ m/s². Per deviare di $y = 3{,}26$ cm impiega $t = \sqrt{2y/a} \approx 7{,}6 \cdot 10^{-7}$ s.

Grafico interattivo: Carica positiva che entra tra due piani lunghi L (unità arbitrarie, L = 1) con velocità v₀ parallela ai piani: la traiettoria è la parabola y = (qE/2mv₀²)x², qui con deflessione 0,4 L in uscita; fuori dai piani prosegue in linea retta con tanθ = qEL/(mv₀²) = 2·0,4 = 0,8

III. Lavoro e potenziale elettrostatico

Lavoro della forza elettrica e potenziale elettrostatico

Definizione (lavoro della forza elettrica). $W_{AB} = \int_{A,\gamma}^{B}\vec F\cdot d\vec s = q_0\int_{A,\gamma}^{B}\vec E\cdot d\vec s,$

Esempio. Carica $q_0 = 2$ nC spostata di $5$ cm lungo un campo uniforme $E = 1000$ V/m: $W = q_0 E d = 2\cdot10^{-9}\cdot1000\cdot0{,}05 = 10^{-7}$ J $= 100$ nJ.

Proprietà (il campo elettrostatico è conservativo). Il campo elettrostatico è conservativo: il lavoro tra due punti non dipende dal percorso. Equivalentemente, la circuitazione lungo ogni curva chiusa è nulla: $\oint_\gamma \vec E\cdot d\vec s = 0.$

Esempio. Carica di $1\ \mu$ C in un campo uniforme $E = 500$ N/C da $A$ a $B$ , $20$ cm lungo il campo: $W = 10^{-4}$ J per qualunque percorso; su un giro chiuso $W = 0$ .

Definizione (differenza di potenziale). La differenza di potenziale tra $B$ e $A$ è $V(B) - V(A) := -\int_A^B\vec E\cdot d\vec s = -\frac{W_{AB}}{q_0}.$

Esempio. Da $A$ a $B$ a $5$ cm nel verso di un campo uniforme $E = 1000$ V/m: $V(B) - V(A) = -1000\cdot0{,}05 = -50$ V.

Formula (potenziale di una carica puntiforme). $V(r) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r}.$

Esempio. A $r = 3$ cm da $q = 2$ nC: $V = 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{2 \cdot 10^{-9}}{0{,}03} = 600$ V. Spostando una carica $q_0 = 1$ nC dall'infinito a quel punto, il campo fa il lavoro $W = -q_0\Delta V = -600$ nJ: bisogna spendere $600$ nJ dall'esterno per avvicinare due cariche positive.

Grafico interattivo: Potenziale di una carica q = 2 nC (ascissa: r in m, ordinata: V in volt): V = 18/r decresce come 1/r, cioè più lentamente del campo (1/r²); a 3 cm vale 600 V

Formula (potenziale di più cariche). $V(P) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\sum_i\frac{q_i}{r_i}, \qquad V(P) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int\frac{dq}{r}.$

Esempio. $P$ a $3$ cm da $q_1 = +2$ nC e a $6$ cm da $q_2 = -2$ nC: $V = 9\cdot10^9\left(\frac{2\cdot10^{-9}}{0{,}03} - \frac{2\cdot10^{-9}}{0{,}06}\right) = 300$ V.

Formula (differenza di potenziale di un filo indefinito). $V(r_B) - V(r_A) = -\int_{r_A}^{r_B}\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}dr = -\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\frac{r_B}{r_A}.$

Esempio. $\lambda = 20$ nC/m, da $r_A = 1$ cm a $r_B = 4$ cm: $V_B - V_A = -\frac{2\cdot10^{-8}}{2\pi\cdot8{,}854\cdot10^{-12}}\ln4 = -498$ V.

Formula (differenza di potenziale di un piano indefinito). $V(z_B) - V(z_A) = -\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}(z_B - z_A) \quad \text{(punti dalla stessa parte, } z \text{ distanza dal piano)}.$

Esempio (primo appello 23.01.2024, Esercizio 1 · filo carico e piano carico, potenziale e velocità). Filo con $\lambda = 20$ nC/m a distanza $h = 3$ cm da un piano; i punti $A$ e $B$ sono simmetrici rispetto al piano, a $h/2$ e $3h/2$ dal filo. Il piano non contribuisce (punti simmetrici), il filo dà

Energia potenziale elettrostatica e conservazione dell'energia

Definizione (energia potenziale elettrostatica). Una carica $q$ in un punto a potenziale $V$ ha energia potenziale $U = qV.$

Esempio. Carica $q = 2\ \mu$ C in un punto a $V = 300$ V: $U = qV = 6\cdot10^{-4}$ J.

Principio di conservazione dell'energia (carica in un campo elettrostatico). $\frac12 m v_A^2 + qV_A = \frac12 m v_B^2 + qV_B.$

Esempio. Protone che parte da fermo e viene accelerato da un punto A a un punto B con $V_A - V_B = 1000$ V (una carica positiva accelera verso i potenziali minori, quindi $\Delta V = V_B - V_A = -1000$ V). Dalla conservazione, $\frac12 m v^2 = q\,(V_A - V_B) = -q\,\Delta V$ , e il segno meno rende positivo il radicando: $v = \sqrt{\frac{-2q\,\Delta V}{m}} = \sqrt{\frac{2\cdot1{,}602\cdot10^{-19}\cdot1000}{1{,}673\cdot10^{-27}}} = 4{,}38\cdot10^{5}$ m/s.

Definizione (elettronvolt). $1\ \text{eV} = e \cdot 1\ \text{V} = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\ \text{J}.$

Esempio. Un elettrone accelerato da $1000$ V acquista $1$ keV $= 1000\cdot1{,}602\cdot10^{-19} = 1{,}602\cdot10^{-16}$ J.

Formula (energia potenziale di due cariche). $U = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1 q_2}{r}.$

Esempio. $q_1 = 2$ nC e $q_2 = 3$ nC a $r = 3$ cm: $U = 9\cdot10^9\cdot\frac{6\cdot10^{-18}}{0{,}03} = 1{,}8\cdot10^{-6}$ J, positiva (si respingono).

Formula (energia di un sistema di cariche). $U = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\sum_{\text{coppie } i < j}\frac{q_i q_j}{r_{ij}} = \frac12\sum_i q_i V_i,$ dove $V_i$ è il potenziale nel punto della carica $i$ dovuto a tutte le altre.

Esempio: quattro cariche ai vertici di un quadrato. Cariche uguali $q$ ai vertici di un quadrato di lato $a$ : ci sono $6$ coppie, $4$ lati (distanza $a$ ) e $2$ diagonali (distanza $a\sqrt2$ ):

Campo come gradiente del potenziale e superfici equipotenziali

Formula (campo come gradiente del potenziale). $\vec E = -\nabla V, \qquad E_x = -\frac{\partial V}{\partial x}, \quad E_y = -\frac{\partial V}{\partial y}, \quad E_z = -\frac{\partial V}{\partial z}.$

Esempio. $V = 5x^2$ (in volt, con $x$ in metri): $E_x = -\frac{dV}{dx} = -10x$ , quindi in $x = 2$ m è $E_x = -20$ V/m.

Definizione (superficie equipotenziale). Una superficie equipotenziale è l'insieme dei punti in cui il potenziale ha lo stesso valore: $V(x, y, z) = \text{costante}$ .

Esempio. Carica $q = 2$ nC: le equipotenziali sono sfere; $V = 600$ V a $r = 3$ cm e $V = 300$ V a $r = 6$ cm, quindi a $V$ dimezzato il raggio raddoppia.

Dipolo elettrico e momento in un campo esterno

Definizione (dipolo elettrico). Un dipolo elettrico è un sistema di due cariche uguali e opposte, $+q$ e $-q$ , a distanza fissa $a$ . Il suo momento di dipolo elettrico è il vettore $\vec p = q\vec a,$ dove $\vec a$ va dalla carica negativa alla carica positiva. Unità: C·m.

Esempio. Cariche $\pm1$ nC a distanza $a = 2$ mm: $p = qa = 10^{-9}\cdot2\cdot10^{-3} = 2\cdot10^{-12}$ C m.

Formula (potenziale di un dipolo). $V(r, \theta) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{p\cos\theta}{r^2} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\vec p\cdot\hat u_r}{r^2}.$

Esempio. $p = 2\cdot10^{-12}$ C m, $r = 10$ cm, $\theta = 0$ : $V = 9\cdot10^9\cdot\frac{2\cdot10^{-12}}{0{,}01} = 1{,}8$ V; nel piano equatoriale $V = 0$ .

Formula (campo di un dipolo). $E_r = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{2p\cos\theta}{r^3}, \qquad E_\theta = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{p\sin\theta}{r^3}.$

Esempio. Stesso dipolo sull'asse a $r = 10$ cm: $E = \frac{2\cdot9\cdot10^9\cdot2\cdot10^{-12}}{10^{-3}} = 36$ V/m; nel piano equatoriale metà, $18$ V/m.

Formula (momento meccanico su un dipolo). $\vec M = \vec p \times \vec E.$

Esempio. $p = 2\cdot10^{-12}$ C m in $E = 10^4$ V/m con $\theta = 30°$ : $M = pE\sin\theta = 2\cdot10^{-12}\cdot10^4\cdot0{,}5 = 10^{-8}$ N m.

Grafico interattivo: Dipolo in un campo uniforme E con p a θ = 60° da E: le forze qE e −qE sono uguali e opposte ma su rette diverse (braccio a sinθ), formano una coppia di momento M = pE sinθ che fa ruotare il dipolo in senso orario, verso l'allineamento con E

Formula (energia potenziale di un dipolo). $U = -\vec p\cdot\vec E = -pE\cos\theta.$

Esempio. Molecola d'acqua ( $p = 6{,}2 \cdot 10^{-30}$ C·m) in un campo $E = 10^6$ V/m: momento massimo $pE = 6{,}2 \cdot 10^{-24}$ N·m; energia per ribaltarla $2pE = 1{,}2 \cdot 10^{-23}$ J $\approx 8 \cdot 10^{-5}$ eV, molto meno dell'energia di agitazione termica a temperatura ambiente ( $\approx 0{,}025$ eV): il campo orienta le molecole solo parzialmente.

IV. Legge di Gauss ed equazioni di Maxwell dell'elettrostatica

Flusso elettrico e legge di Gauss

Definizione (flusso di un campo uniforme su una superficie piana). $\Phi = \vec E\cdot\hat n\,S = ES\cos\theta,$

Esempio. $E = 200$ N/C, $S = 0{,}5\ \text{m}^2$ , $\theta = 60°$ tra campo e normale: $\Phi = 200\cdot0{,}5\cdot\cos60° = 50$ V m.

Definizione (flusso del campo elettrico). $\Phi_S(\vec E) = \int_S \vec E\cdot\hat n\,dS.$

Esempio. Campo uniforme $E = 300$ N/C perpendicolare a una faccia quadrata di lato $10$ cm: $\Phi = 300\cdot0{,}01 = 3$ V m.

Legge di Gauss. Per ogni superficie chiusa $S$ : $\oint_S \vec E\cdot\hat n\,dS = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0},$ dove $Q_{\text{int}}$ è la carica totale (somma algebrica) contenuta nel volume racchiuso da $S$ .

Esempio. Carica di $2$ nC dentro una superficie chiusa: $\Phi = \frac{2\cdot10^{-9}}{8{,}854\cdot10^{-12}} = 226$ V m, qualunque sia la forma della superficie.

Legge di Gauss - guscio, sfera, cilindro e piano

Formula (campo di un guscio sferico carico). $E(r) = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}.$

Esempio. $q = 5$ nC, $R = 2$ cm: a $r = 10$ cm è $E = 9\cdot10^9\cdot\frac{5\cdot10^{-9}}{0{,}01} = 4500$ V/m; per $r < R$ è $E = 0$ .

Formula (campo dentro una sfera uniformemente carica). $Q_{\text{int}} = \rho\cdot\tfrac43\pi r^3 = q\frac{r^3}{R^3} \implies E\cdot 4\pi r^2 = \frac{q r^3}{\varepsilon_0 R^3} \implies E(r) = \frac{q\,r}{4\pi\varepsilon_0 R^3} = \frac{\rho\,r}{3\varepsilon_0}.$

Esempio. $q = 5$ nC, $R = 2$ cm, $r = 1$ cm: $E = \frac{q\,r}{4\pi\varepsilon_0 R^3} = 56250$ V/m, la metà del valore in superficie ( $E(R) = 112\,500$ V/m).

Grafico interattivo: Campo di una sfera piena uniforme (R = 1, unità arbitrarie): lineare dentro, 1/r² fuori, massimo sulla superficie

Formula (campo di un filo o cilindro indefinito). $E\cdot 2\pi r h = \frac{\lambda h}{\varepsilon_0} \implies E(r) = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}.$

Esempio. $\lambda = 10$ nC/m a $r = 5$ cm: $E = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r} = 3600$ V/m.

Formula (campo di un piano indefinito con la legge di Gauss). $2EA = \frac{\sigma A}{\varepsilon_0} \implies E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}.$

Esempio. $\sigma = 5$ nC/m $^2$ : $E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} = 282$ V/m, uguale a qualunque distanza.

Formula (campo di due gusci sferici concentrici). $E = 0 \ (r < R_1), \qquad E = \frac{q_1}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\ (R_1 < r < R_2), \qquad E = \frac{q_1 + q_2}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\ (r > R_2).$

Esempio. $q_1 = 2$ nC (raggio $2$ cm) e $q_2 = -1$ nC (raggio $5$ cm): a $r = 3$ cm è $E = 20000$ V/m, a $r = 10$ cm è $E = 900$ V/m.

Divergenza, rotore ed equazioni di Maxwell per l'elettrostatica

Teorema della divergenza (di Gauss-Green). Per un campo vettoriale regolare e un volume $V$ con bordo $S$ : $\oint_S\vec E\cdot\hat n\,dS = \int_V\nabla\cdot\vec E\,dV.$

Esempio. $\vec E = (2x, 0, 0)$ sul cubo di lato $1$ m con uno spigolo nell'origine: $\nabla\cdot\vec E = 2$ , quindi $\int_V\nabla\cdot\vec E\,dV = 2$ ; il flusso uscente è $2$ (faccia $x=1$ ) $+\ 0$ (faccia $x=0$ ) $=2$ .

Teorema di Stokes (del rotore). Per una curva chiusa $\gamma$ e una qualunque superficie $S$ che ha $\gamma$ come bordo (orientata con la regola della mano destra): $\oint_\gamma\vec E\cdot d\vec s = \int_S(\nabla\times\vec E)\cdot\hat n\,dS.$

Esempio. $\vec E = (-y, x, 0)$ su una circonferenza di raggio $1$ m: $\oint\vec E\cdot d\vec s = 1\cdot2\pi = 2\pi$ e $\nabla\times\vec E = 2\hat k$ , quindi $\int_S(\nabla\times\vec E)\cdot\hat n\,dS = 2\pi$ (campo non elettrostatico).

Legge (legge di Gauss in forma locale). $\nabla\cdot\vec E = \frac{\rho}{\varepsilon_0}.$

Esempio. Densità di carica $\rho = 5$ nC/m $^3$ : $\nabla\cdot\vec E = \frac{\rho}{\varepsilon_0} = 565\ \text{V/m}^2$ .

Legge (il campo elettrostatico è irrotazionale). $\nabla\times\vec E = 0.$

Esempio. $\vec E = (y, x, 0)$ ha $\nabla\times\vec E = \left(0, 0, \frac{\partial E_y}{\partial x} - \frac{\partial E_x}{\partial y}\right) = (0,0,1-1) = \vec 0$ : può essere elettrostatico, con $V = -xy$ .

Legge (equazioni di Poisson e di Laplace). $\nabla^2 V = -\frac{\rho}{\varepsilon_0} \quad \text{(Poisson)}, \qquad \nabla^2 V = 0 \ \text{nelle regioni senza carica (Laplace)}.$

Esempio. $V = 100x^2$ (volt, metri): $\nabla^2V = 200$ , quindi $\rho = -\varepsilon_0\cdot200 = -1{,}77\cdot10^{-9}\ \text{C/m}^3$ .

V. Conduttori, condensatori e dielettrici

Conduttori in equilibrio, conduttori cavi e schermo elettrostatico

Proprietà (campo nullo dentro un conduttore in equilibrio). $\vec E = 0 \quad \text{in ogni punto interno del conduttore.}$

Esempio. Sfera di rame in un campo esterno $E_0 = 1000$ V/m: le cariche indotte generano un campo $-E_0$ all'interno, quindi $E = 0$ in ogni punto del metallo.

Teorema di Coulomb. Teorema di Coulomb. Appena fuori da un conduttore in equilibrio, $\vec E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}\hat n.$

Esempio (primo appello 22.01.2026, Esercizio 19 · sfera conduttrice in un dielettrico dentro un guscio): sulla superficie esterna di un guscio di raggio $R_2 = 6$ cm c'è la carica $q = 250$ pC, quindi $\sigma = \frac{q}{4\pi R_2^2}$ e appena fuori

Proprietà (schermo elettrostatico). In una cavità vuota di un conduttore il campo è nullo e sulla parete interna non c'è carica, qualunque siano le cariche e i campi all'esterno.

Esempio. Una gabbia metallica (o l'abitacolo di un'auto) immersa in un campo esterno di $10^5$ V/m ha campo nullo all'interno e nessuna carica sulla parete interna.

Proprietà (induzione completa). tutte le linee di campo che partono da $q$ terminano sulla parete interna; la carica indotta sulla parete interna è esattamente $-q$ .

Esempio. Carica $q = +3$ nC nella cavità di un conduttore neutro: parete interna $-3$ nC, parete esterna $+3$ nC; con la messa a terra l'esterno si scarica.

Condensatori - capacità, serie e parallelo

Definizione (capacità di un conduttore isolato). $C = \frac{q}{V}.$

Esempio. Sfera di raggio $R = 10$ cm: $C = 4\pi\varepsilon_0 R = 11{,}1$ pF.

Definizione (condensatore e capacità). Un condensatore è formato da due conduttori (le armature) in condizione di induzione completa: tutte le linee di campo che partono da uno arrivano sull'altro. Le armature hanno cariche $+q$ e $-q$ e tra esse c'è la d.d.p. $\Delta V = V_+ - V_-$ . La capacità è $C = \frac{q}{\Delta V}.$

Esempio. Armature con $q = \pm24$ nC e $\Delta V = 12$ V: $C = \frac{24\ \text{nC}}{12\ \text{V}} = 2$ nF.

Formula (capacità del condensatore piano). $C = \frac{\varepsilon_0 S}{d}.$

Esempio. $S = 100\ \text{cm}^2$ e $d = 1$ mm: $C = \frac{8{,}854\cdot10^{-12}\cdot10^{-2}}{10^{-3}} = 88{,}5$ pF.

Formula (capacità del condensatore sferico). $C = 4\pi\varepsilon_0\frac{R_1 R_2}{R_2 - R_1}.$

Esempio (appello 24.06.2025): $r_1 = 0{,}1$ m, $r_2 = 0{,}3$ m: $C = \frac{0{,}03}{9 \cdot 10^9 \cdot 0{,}2} = 16{,}7$ pF.

Formula (capacità del condensatore cilindrico). $C = \frac{2\pi\varepsilon_0 L}{\ln(R_2/R_1)}.$

Esempio. $L = 1$ m, $R_1 = 1$ mm, $R_2 = 3$ mm: $C = \frac{2\pi\cdot8{,}854\cdot10^{-12}\cdot1}{\ln3} = 50{,}6$ pF.

Formula (condensatori in parallelo). $C_{\text{eq}} = C_1 + C_2 + \dots$ (stessa $\Delta V$ , le cariche si dividono in proporzione alle capacità).

Esempio. $C_1 = 2\ \mu$ F e $C_2 = 3\ \mu$ F in parallelo: $C_{eq} = 5\ \mu$ F; con $\Delta V = 10$ V le cariche sono $20\ \mu$ C e $30\ \mu$ C.

Formula (condensatori in serie). $\dfrac{1}{C_{\text{eq}}} = \dfrac{1}{C_1} + \dfrac{1}{C_2} + \dots$ , per due: $C_{\text{eq}} = \dfrac{C_1 C_2}{C_1 + C_2}$ (stessa $q$ , la d.d.p. si divide in proporzione inversa alle capacità).

Esempio. $C_1 = 6\ \mu$ F e $C_2 = 3\ \mu$ F in serie: $C_{eq} = \frac{6\cdot3}{9} = 2\ \mu$ F, minore della più piccola; con $\Delta V = 12$ V la carica comune è $24\ \mu$ C.

Energia del campo elettrostatico

Formula (energia di un condensatore carico). $U = \frac12\frac{q^2}{C} = \frac12 C\,\Delta V^2 = \frac12 q\,\Delta V.$

Esempio. $C = 111$ pF caricato a $120$ V: $U = \frac12 \cdot 1{,}11 \cdot 10^{-10} \cdot 14\,400 = 0{,}8\ \mu$ J. Piccola: i condensatori immagazzinano poca energia rispetto alle batterie, ma la possono rilasciare in tempi brevissimi (flash delle macchine fotografiche, defibrillatori).

Definizione (densità di energia del campo elettrico). $u = \frac{U}{\text{volume}} = \frac12\varepsilon_0 E^2 \qquad \text{(J/m}^3\text{)}.$

Esempio. $E = 10^5$ V/m: $u = \frac12\cdot8{,}854\cdot10^{-12}\cdot10^{10} = 0{,}044\ \text{J/m}^3$ .

Formula (forza tra le armature di un condensatore piano). $F = \frac{q^2}{2\varepsilon_0 S} = \frac12\,qE,$

Esempio. $q = 10$ nC e $S = 100\ \text{cm}^2$ : $F = \frac{q^2}{2\varepsilon_0 S} = \frac{10^{-16}}{2\cdot8{,}854\cdot10^{-12}\cdot10^{-2}} = 5{,}65\cdot10^{-4}$ N.

Formula (lavoro esterno a carica costante). $W_{\text{est}} = \Delta U = \frac{q^2}{2}\left(\frac{1}{C_f} - \frac{1}{C_i}\right).$

Esempio (appello 23.01.2025, Esercizio 9 · condensatore piano con dielettrico estratto a metà e scarica): $q = 13{,}3$ nC, $C_i = 111$ pF, $C_f = 83$ pF: $W_{\text{est}} = \frac{q^2}{2}\left(\frac{1}{C_f} - \frac{1}{C_i}\right) \approx 0{,}27\ \mu$ J $> 0$ .

Proprietà (bilancio energetico a d.d.p. costante). Con il condensatore collegato al generatore, $W_{\text{gen}} = 2\,\Delta U$ .

Esempio (appello 26.06.2026, Esercizio 23 · condensatore con dielettrico in un partitore resistivo): con il generatore collegato si estrae metà del dielettrico; $U_e = 300\ \mu$ J diventa $U'_e = 225\ \mu$ J, quindi $W_{\text{gen}} = 2(U'_e - U_e) = -150\ \mu$ J (il generatore riassorbe carica).

Dielettrici - polarizzazione e vettore induzione elettrica

Legge (costante dielettrica relativa). $\Delta V = \frac{\Delta V_0}{\varepsilon_r}, \qquad \varepsilon_r > 1.$

Esempio. Condensatore isolato con $\Delta V_0 = 100$ V riempito con $\varepsilon_r = 4$ : $\Delta V = \frac{100}{4} = 25$ V e la capacità diventa $C = 4C_0$ .

Definizione (vettore di polarizzazione). Il vettore di polarizzazione $\vec P$ è il momento di dipolo per unità di volume: $\vec P = \frac{d\vec p}{dV} = n\langle\vec p\rangle,$ dove $n$ è il numero di molecole per unità di volume. Unità: C/m².

Esempio. $n = 3\cdot10^{28}\ \text{m}^{-3}$ molecole con $\langle p\rangle = 2\cdot10^{-32}$ C m: $P = 6\cdot10^{-4}\ \text{C/m}^2$ .

Formula (polarizzazione di un dielettrico lineare). $\vec P = \varepsilon_0\chi\vec E = \varepsilon_0(\varepsilon_r - 1)\vec E,$

Esempio. $\varepsilon_r = 4$ e $E = 10^5$ V/m: $P = 8{,}854\cdot10^{-12}\cdot3\cdot10^5 = 2{,}66\cdot10^{-6}\ \text{C/m}^2$ .

Definizione (densità superficiale di carica di polarizzazione). $\sigma_p = \vec P\cdot\hat n$ , con $\hat n$ normale uscente dal dielettrico.

Esempio. Con $P = 2{,}66\cdot10^{-6}\ \text{C/m}^2$ lungo la normale uscente, $\sigma_p = P$ sulla faccia dove $\vec P$ esce e $-P$ sulla faccia opposta.

Formula (carica di polarizzazione nel condensatore piano). $\sigma_p = \frac{\varepsilon_r - 1}{\varepsilon_r}\,\sigma, \qquad q_p = \frac{\varepsilon_r - 1}{\varepsilon_r}\,q_{\text{lib}}.$

Esempio (primo appello 22.01.2026, Esercizio 19 · sfera conduttrice in un dielettrico dentro un guscio): sfera con carica libera $q = 250$ pC immersa in un fluido con $\varepsilon_r = 4$ . Sulla superficie del dielettrico a contatto con la sfera si trova $q_p = \frac{4 - 1}{4}\cdot 250 = 187{,}5\ \text{pC},$ di segno opposto a $q$ . La carica "netta" vista dal campo vicino alla sfera è $q - q_p = 62{,}5$ pC $= q/\varepsilon_r$ .

Definizione (vettore induzione elettrica). Il vettore induzione elettrica (o spostamento elettrico) è $\vec D = \varepsilon_0\vec E + \vec P,$ e soddisfa la legge di Gauss con le sole cariche libere: $\oint_S\vec D\cdot\hat n\,dS = Q_{\text{lib}}, \qquad \nabla\cdot\vec D = \rho_{\text{lib}}.$

Esempio: sfera carica in un dielettrico. Superficie di Gauss sferica di raggio $r$ : $D\cdot 4\pi r^2 = q$ , quindi $D = \frac{q}{4\pi r^2}$ ed $E = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon_r r^2}$ . Con $q = 250$ pC, $\varepsilon_r = 4$ , tra $R_1 = 3$ cm e $R_2 = 6$ cm la d.d.p. è $V_1 - V_2 = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon_r}\left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right) = \frac{9 \cdot 10^9 \cdot 2{,}5 \cdot 10^{-10}}{4}\cdot\frac{1}{0{,}06} \approx 9{,}4\ \text{V}.$

VI. Corrente elettrica

Corrente elettrica, densità di corrente ed equazione di continuità

Definizione (intensità di corrente). L'intensità di corrente attraverso una superficie (tipicamente la sezione di un filo) è la carica che la attraversa per unità di tempo: $i = \frac{dq}{dt}.$ Unità: l'ampere, $1\ \text{A} = 1\ \text{C/s}$ .

Esempio. Una carica di $120$ C attraversa una sezione in $60$ s: $i = \frac{120}{60} = 2$ A.

Definizione (densità di corrente). La densità di corrente è il vettore $\vec J = nq\vec v_d \qquad (\text{A/m}^2),$ e la corrente attraverso una superficie $S$ è il suo flusso: $i = \int_S\vec J\cdot\hat n\,dS.$

Esempio. $i = 3$ A in un filo di sezione $2\ \text{mm}^2$ : $J = \frac{3}{2\cdot10^{-6}} = 1{,}5\cdot10^6\ \text{A/m}^2 = 1{,}5\ \text{A/mm}^2$ .

Legge (equazione di continuità). $\nabla\cdot\vec J + \frac{\partial\rho}{\partial t} = 0.$

Esempio. Se la carica contenuta in un volume diminuisce di $2$ C ogni secondo, attraverso la superficie esce una corrente $\oint\vec J\cdot\hat n\,dS = 2$ A.

Legge (regime stazionario). In regime stazionario la distribuzione di carica non cambia nel tempo ( $\partial\rho/\partial t = 0$ ), quindi $\nabla\cdot\vec J = 0, \qquad \oint_S\vec J\cdot\hat n\,dS = 0.$

Esempio. Un filo passa da sezione $2$ mm² a $0{,}5$ mm² con $i = 3$ A costante: $J$ passa da $1{,}5$ A/mm² a $6$ A/mm², e la velocità di deriva quadruplica nel tratto sottile.

Conduzione, legge di Ohm ed effetto Joule

Legge (legge di Ohm in forma locale). $\vec J = \sigma\vec E, \qquad \sigma = \frac{ne^2\tau}{m}.$

Esempio. Rame con $\sigma = 5{,}96\cdot10^7$ S/m e $E = 0{,}01$ V/m: $J = \sigma E = 5{,}96\cdot10^5\ \text{A/m}^2$ .

Legge di Ohm: $\Delta V = Ri$ , con resistenza $R = \rho\frac{L}{\Sigma} \qquad (\text{ohm, } 1\ \Omega = 1\ \text{V/A}).$

Esempio. Filo di rame ( $\rho = 1{,}7\cdot10^{-8}\ \Omega$ m), $L = 10$ m e $\Sigma = 1\ \text{mm}^2$ : $R = 1{,}7\cdot10^{-8}\cdot\frac{10}{10^{-6}} = 0{,}17\ \Omega$ ; con $i = 5$ A la caduta è $\Delta V = 0{,}85$ V.

Legge (effetto Joule): in una resistenza la potenza dissipata è $P = i\,\Delta V = R\,i^2 = \frac{\Delta V^2}{R} \qquad (\text{watt}).$

Esempio. Stufetta da $2000$ W a $230$ V: $i = \frac{2000}{230} = 8{,}7$ A e $R = \frac{230^2}{2000} = 26{,}4\ \Omega$ .

Formula (resistenze in serie e in parallelo).

Serie: le d.d.p. si sommano, $\Delta V = R_1 i + R_2 i$ . Come allungare il filo.

Parallelo: le correnti si sommano, $i = \frac{\Delta V}{R_1} + \frac{\Delta V}{R_2}$ . Come allargare la sezione. Per due resistenze $R_{\text{eq}} = \frac{R_1R_2}{R_1 + R_2}$ , minore della più piccola.

Esempio. $R_1 = 100\ \Omega$ e $R_2 = 200\ \Omega$ : in serie $R_{eq} = 300\ \Omega$ , in parallelo $R_{eq} = \frac{100\cdot200}{300} = 66{,}7\ \Omega$ .

Forza elettromotrice e resistenza interna del generatore

Definizione (forza elettromotrice). La forza elettromotrice (f.e.m.) del generatore è la circuitazione del campo totale lungo il circuito: $\mathcal E = \oint(\vec E_{el} + \vec E^*)\cdot d\vec s = \oint\vec E^*\cdot d\vec s = \int_{-}^{+}\vec E^*\cdot d\vec s,$ cioè il lavoro per unità di carica fatto dal generatore per portare la carica dal polo negativo al polo positivo, al suo interno. Unità: volt.

Esempio. Una pila che fornisce $1{,}5$ J a ogni coulomb spostato dal polo negativo al positivo ha $\mathcal E = 1{,}5$ V.

Formula (tensione ai morsetti di un generatore reale): $\Delta V = \mathcal E - ri = Ri.$

Esempio. Batteria con $\mathcal E = 12$ V e $r = 0{,}5\ \Omega$ su un carico $R = 5{,}5\ \Omega$ : $i = \frac{12}{6} = 2$ A, $\Delta V = 12 - 0{,}5\cdot 2 = 11$ V.

Grafico interattivo: Batteria ℰ = 12 V, r = 0,5 Ω (ascissa: corrente i in A, ordinata: tensione in V): la tensione ai morsetti ΔV = ℰ − ri scende fino a 0 in cortocircuito (i = 24 A); su un carico R = 5,5 Ω la retta ΔV = Ri la incontra in i = 2 A, ΔV = 11 V

Formula (bilancio di potenza in un circuito con generatore reale). $\mathcal E i = Ri^2 + ri^2.$

Esempio. $\mathcal E = 12$ V, $r = 0{,}5\ \Omega$ , $R = 5{,}5\ \Omega$ , $i = 2$ A: $\mathcal E i = 24$ W $= Ri^2 + ri^2 = 22 + 2$ W.

Carica e scarica di un condensatore (circuito RC)

Legge (equazione del circuito RC). $R\frac{dq}{dt} + \frac qC = \mathcal E.$

Esempio. $R = 1\ \text{k}\Omega$ e $C = 100\ \mu$ F: $\tau = RC = 1000\cdot10^{-4} = 0{,}1$ s.

Legge (carica di un condensatore). $q(t) = C\mathcal E\left(1 - e^{-t/\tau}\right), \qquad i(t) = \frac{dq}{dt} = \frac{\mathcal E}{R}e^{-t/\tau}, \qquad \tau = RC.$

Esempio. $\mathcal E = 10$ V, $R = 1\ \text{k}\Omega$ , $C = 100\ \mu$ F, $t = \tau = 0{,}1$ s: $q = 10^{-3}(1 - e^{-1}) = 632\ \mu$ C e $i = 10\,\text{mA}\cdot e^{-1} = 3{,}68$ mA.

Legge (scarica di un condensatore). $q(t) = q_0\,e^{-t/\tau}, \qquad V_C(t) = V_0\,e^{-t/\tau}, \qquad i(t) = \frac{V_0}{R}e^{-t/\tau}.$

Esempio. $V_0 = 10$ V e $\tau = 0{,}1$ s: dopo $0{,}2$ s è $V_C = 10\,e^{-2} = 1{,}35$ V.

Grafico interattivo: Scarica del condensatore (ascissa: t/τ): la carica q/q₀ = e^(−t/τ) scende al 37% dopo τ, mentre l'energia U/U₀ = e^(−2t/τ) scende più in fretta (13,5% dopo τ, quindi l'energia dissipata fino a τ è l'86,5% di U₀)

Proprietà (bilancio energetico durante la carica). Durante la carica, metà dell'energia fornita dal generatore va nel condensatore e metà si dissipa nella resistenza, qualunque sia il valore di $R$ .

Esempio. $C = 100\ \mu$ F e $\mathcal E = 10$ V: il generatore fornisce $C\mathcal E^2 = 10$ mJ, di cui $5$ mJ restano nel condensatore e $5$ mJ si dissipano in $R$ .

VII. Campo magnetico, legge di Gauss magnetica e forza di Lorentz

Campo magnetico, legge di Gauss magnetica e forza di Lorentz

Legge (forza di Lorentz). $\vec F = q\,\vec v \times \vec B, \qquad F = |q|\,v\,B\sin\theta,$ con $\theta$ angolo tra $\vec v$ e $\vec B$ .

Esempio. Protone con $v = 10^6$ m/s perpendicolare a $B = 0{,}5$ T: $F = 1{,}602\cdot10^{-19}\cdot10^6\cdot0{,}5 = 8{,}01\cdot10^{-14}$ N.

Proprietà (la forza magnetica non compie lavoro). La forza di Lorentz magnetica cambia la direzione della velocità ma non il modulo: l'energia cinetica di una carica in un campo magnetico (statico) resta costante.

Esempio. Elettrone con $v = 10^6$ m/s in un campo magnetico statico: $K = \frac12\cdot9{,}109\cdot10^{-31}\cdot10^{12} = 4{,}55\cdot10^{-19}$ J, costante lungo tutta la traiettoria.

Legge (forza di Lorentz generalizzata). $\vec F = q\left(\vec E + \vec v \times \vec B\right).$

Esempio. $E = 1000$ V/m e $B = 0{,}01$ T perpendicolari: per $v = E/B = 10^5$ m/s le forze elettrica e magnetica si bilanciano e $\vec F = 0$ .

Legge di Gauss magnetica (forma integrale): per qualunque superficie chiusa $\Sigma$ $\Phi_\Sigma(\vec B) = \oint_\Sigma \vec B\cdot\vec u_n\,d\Sigma = 0.$

Esempio. Cubo di lato $10$ cm in un campo uniforme $B = 0{,}2$ T: ogni faccia perpendicolare al campo ha $|\Phi| = 0{,}2\cdot0{,}01 = 2\cdot10^{-3}$ Wb, ma le due facce opposte hanno segni opposti e il totale è $0$ .

Legge (legge di Gauss magnetica in forma locale). $\nabla\cdot\vec B = \frac{\partial B_x}{\partial x} + \frac{\partial B_y}{\partial y} + \frac{\partial B_z}{\partial z} = 0.$

Esempio. $\vec B = (x, -y, 0)$ (in T, con $x, y$ in metri): $\nabla\cdot\vec B = 1 - 1 = 0$ , quindi può essere un campo magnetico.

Proprietà (flusso concatenato con una curva chiusa). Il flusso di $\vec B$ attraverso una superficie appoggiata a una curva chiusa dipende solo dalla curva, non dalla superficie scelta. Si parla di flusso concatenato con il circuito $C$ .

Esempio. Spira circolare di raggio $5$ cm in $B = 0{,}1$ T perpendicolare: $\Phi = 0{,}1\cdot\pi\cdot0{,}0025 = 7{,}85\cdot10^{-4}$ Wb, lo stesso per qualunque superficie appoggiata alla spira.

Moto di una carica in un campo magnetico uniforme

Formula (raggio, pulsazione e periodo di ciclotrone). $r = \frac{mv}{|q|B}, \qquad \omega = \frac vr = \frac{|q|B}{m}, \qquad T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi m}{|q|B}.$

Esempio numerico. Un protone ( $m = 1{,}67\cdot10^{-27}$ kg, $q = e = 1{,}6\cdot10^{-19}$ C) percorre un cerchio con periodo $T = 5\ \mu$ s. Allora $B = \frac{2\pi m}{eT} = \frac{2\pi\cdot1{,}67\cdot10^{-27}}{1{,}6\cdot10^{-19}\cdot5\cdot10^{-6}} = 13{,}1$ mT. Se il raggio è $r = 30$ cm, la velocità è $v = 2\pi r/T = 3{,}77\cdot10^5$ m/s.

Grafico interattivo: Carica positiva con v perpendicolare a B (uscente dal foglio, al centro): la forza qv × B è perpendicolare alla velocità e punta verso il centro, il moto è circolare uniforme di raggio r = mv/(qB) e il verso di percorrenza è orario

Legge oraria (carica in un campo magnetico uniforme). $x(t) = r\sin\omega t, \qquad y(t) = r\left(\cos\omega t - 1\right), \qquad r = \frac{v_0}{\omega} = \frac{mv_0}{qB}.$

Esempio. Protone con $v_0 = 10^6$ m/s e $B = 0{,}1$ T: $r = \frac{mv_0}{eB} = \frac{1{,}673\cdot10^{-27}\cdot10^6}{1{,}602\cdot10^{-19}\cdot0{,}1} = 0{,}104$ m.

Formula (passo dell'elica). $p = v_\parallel\,T = \frac{2\pi m\,v_\parallel}{|q|B}.$

Esempio d'esame (appello 16.09.2025, Esercizio 18 · particella su un'elica in un campo magnetico e piano carico). Campo lungo $x$ , $v_x = 1$ m/s, $v_y = 5$ m/s; in un tratto $L = 2$ m lungo l'asse la particella compie $N = 5$ giri. Il tempo per percorrere $L$ è $L/v_x$ e deve essere uguale a $NT$ : da $\frac{L}{v_x} = N\frac{2\pi m}{qB}$ si ricava la carica, poi il raggio con $v_\perp = v_y$ .

Grafico interattivo: Elica dell'esempio vista di lato, proiezione sul piano (x, y) con B lungo x (ascissa: x in m, ordinata: y in m): vₓ = 1 m/s, in L = 2 m ci sono N = 5 giri, quindi passo 0,4 m e raggio r = v_y/ω = 1/π ≈ 0,32 m

Formula (selettore di velocità). $qE = qvB \implies v = \frac EB.$

Esempio. $E = 2\cdot10^4$ V/m e $B = 0{,}1$ T: passano solo le particelle con $v = \frac{E}{B} = 2\cdot10^5$ m/s.

Formula (raggio nello spettrometro di massa). $r = \frac{mv}{qB} = \frac1B\sqrt{\frac{2m\Delta V}{q}}.$

Esempio. Ioni $m = 40$ u ( $6{,}64\cdot10^{-26}$ kg) con $q = e$ , accelerati da $\Delta V = 1000$ V in $B = 0{,}1$ T: $r = \frac{1}{0{,}1}\sqrt{\frac{2\cdot6{,}64\cdot10^{-26}\cdot1000}{1{,}602\cdot10^{-19}}} = 0{,}288$ m.

Forze e momenti magnetici su circuiti percorsi da corrente

Legge (seconda legge elementare di Laplace). $d\vec F = i\,d\vec s \times \vec B.$

Esempio. Tratto $ds = 1$ cm con $i = 2$ A perpendicolare a $B = 0{,}5$ T: $dF = i\,ds\,B = 2\cdot0{,}01\cdot0{,}5 = 0{,}01$ N.

Formula (forza su un filo rettilineo in un campo uniforme). $\vec F = i\,\vec L \times \vec B, \qquad F = iLB\sin\theta.$

Esempio. Filo lungo $\vec u_z$ percorso da $i_3 = 1{,}5$ A, in un campo $\vec B = -B\,\vec u_y$ con $B = 15{,}97\ \mu$ T. Forza per unità di lunghezza: $\frac{d\vec F}{ds} = i_3\,\vec u_z \times (-B\,\vec u_y) = i_3 B\,\vec u_x$ (perché $\vec u_z \times \vec u_y = -\vec u_x$ ), di modulo $2{,}4\cdot10^{-5}$ N/m (appello 23.01.2024, Esercizio 2 · due fili paralleli, circuitazione e forza su un terzo filo).

Definizione (momento magnetico di una spira). $\vec m = i\,\Sigma\,\vec u_n \qquad (\text{per una bobina di } N \text{ spire: } \vec m = N i\Sigma\,\vec u_n),$ e il momento meccanico in un campo uniforme è $\vec M = \vec m \times \vec B.$

Esempio (domanda dell'appello 22.01.2026). Spira quadrata di lato $a$ percorsa da $i$ : $\vec m = i a^2\,\vec u_n$ ; se $\vec B$ forma l'angolo $\theta$ con $\vec u_n$ , $M = ia^2B\sin\theta$ , diretto lungo l'asse di rotazione.

Formula (energia potenziale di un dipolo magnetico). $U = -\vec m\cdot\vec B = -mB\cos\theta.$

Esempio. Bobina di $N = 100$ spire, $r = 2$ cm, $i = 3$ A: $m = 100\cdot3\cdot\pi\cdot0{,}02^2 = 0{,}377\ \text{A m}^2$ ; in $B = 0{,}5$ T con $\theta = 60°$ è $U = -mB\cos\theta = -0{,}094$ J.

Effetto Hall e tensione di Hall

Formula (tensione di Hall). $V_H = \frac{iB}{nqa},$ con $n$ densità dei portatori e $a$ spessore del nastro nella direzione di $\vec B$ .

Esempio. Nastro di rame ( $n = 8{,}5\cdot10^{28}\ \text{m}^{-3}$ ), $a = 1$ mm, $i = 10$ A, $B = 1$ T: $V_H = \frac{10\cdot1}{8{,}5\cdot10^{28}\cdot1{,}602\cdot10^{-19}\cdot10^{-3}} = 7{,}34\cdot10^{-7}$ V.

Formula (campo misurato con una sonda di Hall). $B = \frac{nqa}{i}V_H.$

Esempio. Sonda con $n = 10^{22}\ \text{m}^{-3}$ , $a = 0{,}5$ mm, $i = 1$ mA e $V_H = 1$ mV: $B = \frac{10^{22}\cdot1{,}602\cdot10^{-19}\cdot5\cdot10^{-4}}{10^{-3}}\cdot10^{-3} = 0{,}8$ T.

VIII. Sorgenti del campo magnetico

Legge di Biot-Savart e campo di un filo rettilineo

Legge (prima legge elementare di Laplace): il tratto $d\vec s$ percorso dalla corrente $i$ genera, nel punto $P$ a distanza $r$ , il campo $d\vec B = \frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{i\,d\vec s \times \vec u_r}{r^2},$ dove $\vec u_r$ è il versore che va dal tratto al punto $P$ .

Esempio. Tratto $ds = 1$ cm con $i = 10$ A, punto a $r = 5$ cm in direzione perpendicolare: $dB = 10^{-7}\cdot\frac{10\cdot0{,}01}{0{,}0025} = 4\cdot10^{-6}$ T.

Formula (campo magnetico di una carica in moto). $\vec B = \frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{q\,\vec v \times \vec u_r}{r^2}.$

Esempio. Protone con $v = 10^6$ m/s a $r = 1$ cm, direzione perpendicolare: $B = 10^{-7}\cdot\frac{1{,}602\cdot10^{-19}\cdot10^6}{10^{-4}} = 1{,}6\cdot10^{-16}$ T.

Formula (campo di un tratto rettilineo finito). $B = \frac{\mu_0 i}{4\pi R}\left(\sin\alpha_2 - \sin\alpha_1\right),$ con $\alpha_1$ e $\alpha_2$ gli angoli, misurati dalla perpendicolare per $P$ , sotto cui si vedono gli estremi (negativi da una parte del piede, positivi dall'altra).

Esempio. $i = 10$ A, $R = 10$ cm, estremi visti sotto $\alpha_1 = -30°$ e $\alpha_2 = +30°$ : $B = \frac{10^{-7}\cdot10}{0{,}1}(0{,}5 + 0{,}5) = 1\cdot10^{-5}$ T.

Legge di Biot-Savart: $B = \frac{\mu_0\,i}{2\pi R}.$

Esempio numerico. $i = 42$ A, $R = 15$ cm: $B = \frac{4\pi\cdot10^{-7}\cdot42}{2\pi\cdot0{,}15} = \frac{2\cdot10^{-7}\cdot42}{0{,}15} = 5{,}6\cdot10^{-5}$ T $= 56\ \mu$ T, paragonabile al campo terrestre.

Grafico interattivo: Campo di un filo indefinito con i = 10 A, in μT, in funzione della distanza R in cm: B = 200/R, decresce come 1/R

Formula (campo di un filo semi-infinito). $B_{\text{semi-infinito}} = \frac{\mu_0 i}{4\pi R} = \frac12\cdot\frac{\mu_0 i}{2\pi R}.$

Esempio. $i = 42$ A, $R = 15$ cm, punto sulla perpendicolare per l'estremo: $B = \frac{1}{2}\cdot56\ \mu\text{T} = 28\ \mu$ T.

Formula (campo al centro di un arco di circonferenza). $B_{\text{arco}} = \frac{\mu_0\,i\,\Delta\theta}{4\pi R}; \qquad \text{semicirconferenza } (\Delta\theta = \pi):\ \frac{\mu_0 i}{4R}; \qquad \text{spira intera } (\Delta\theta = 2\pi):\ \frac{\mu_0 i}{2R}.$

Esempio d'esame (appello 03.09.2024, Esercizio 8 · filo con tratti semi-infiniti e semicirconferenza, dipolo magnetico al centro). Un filo a forma di "forcina": due tratti semi-infiniti paralleli, tangenti a una semicirconferenza di raggio $R$ alle sue estremità. Al centro $O$ i tre contributi sono concordi:

Campo di una spira e di un solenoide

Formula (campo sull'asse di una spira circolare). $B(z) = \frac{\mu_0\,i\,R^2}{2\left(R^2 + z^2\right)^{3/2}}, \qquad \text{diretto lungo l'asse.}$

Esempio. $R = 5$ cm e $i = 2$ A: al centro $B = \frac{\mu_0 i}{2R} = 2{,}51\cdot10^{-5}$ T; a $z = 5$ cm dal centro $B = 8{,}89\cdot10^{-6}$ T, cioè $\frac{1}{2\sqrt2}$ del valore centrale.

Grafico interattivo: Campo sull'asse di una spira, in unità del valore al centro, in funzione di z/R: massimo al centro, dimezzato a z ≈ 0,77 R

Principio di equivalenza di Ampère: una spira piccola percorsa da corrente, con momento magnetico $\vec m = i\Sigma\,\vec u_n$ , genera a grande distanza lo stesso campo di un ago magnetico (dipolo magnetico) di momento $\vec m$ , e in un campo esterno subisce le stesse azioni ( $\vec M = \vec m \times \vec B$ , $U = -\vec m\cdot\vec B$ ).

Esempio. Spira di raggio $1$ cm con $i = 1$ A: $m = i\pi R^2 = 3{,}14\cdot10^{-4}\ \text{A m}^2$ ; a $z = 10$ cm sull'asse $B = 10^{-7}\cdot\frac{2m}{z^3} = 6{,}28\cdot10^{-8}$ T.

Formula (campo sull'asse di un solenoide finito). $B = \frac{\mu_0 n i}{2}\left(\frac{x_2}{\sqrt{R^2 + x_2^2}} - \frac{x_1}{\sqrt{R^2 + x_1^2}}\right).$

Esempio. $R = 7$ cm, $L = 80$ cm: $\frac{0{,}4}{\sqrt{0{,}0049 + 0{,}16}} = 0{,}985$ . Il campo al centro differisce solo dell' $1{,}5\%$ da quello del solenoide indefinito: per questo nell'appello del 24.06.2025 il solenoide si può considerare ideale (Esercizio 14 · bobina inclinata in un solenoide con corrente sinusoidale).

Formula (campo di un solenoide indefinito). $B = \mu_0\,n\,i \quad \text{all'interno, uniforme e parallelo all'asse;} \qquad B = 0 \quad \text{all'esterno.}$

Esempio numerico. $n = 500$ spire/cm $= 5\cdot10^4$ spire/m, $i = 3{,}5$ A: $B = 4\pi\cdot10^{-7}\cdot5\cdot10^4\cdot3{,}5 = 0{,}22$ T (appello 20.02.2024, Esercizio 4 · bobina che ruota in un solenoide, mutua induzione e legge di Felici).

Forza tra fili percorsi da corrente

Legge (forza tra due fili paralleli). $\frac FL = \frac{\mu_0\,i_1\,i_2}{2\pi d}.$

Esempio. $i_1 = i_2 = 10$ A a $d = 1$ cm: $\frac{F}{L} = \frac{4\pi\cdot10^{-7}\cdot100}{2\pi\cdot0{,}01} = 2\cdot10^{-3}\ \text{N/m}$ , attrattiva se le correnti sono concordi.

Definizione (ampere, definizione storica 1948–2019): è la corrente che, percorrendo due fili rettilinei paralleli indefiniti di sezione trascurabile posti nel vuoto a $1$ m di distanza, produce tra di essi una forza di $2\cdot10^{-7}$ N per ogni metro di lunghezza.

Esempio. $i_1 = i_2 = 1$ A a $d = 1$ m: $\frac{F}{L} = \frac{4\pi\cdot10^{-7}}{2\pi} = 2\cdot10^{-7}$ N/m.

Formula (forza netta tra un filo e una spira rettangolare). - Forza netta: $F = \frac{\mu_0 i_1 i_2\ell}{2\pi}\left(\frac1a - \frac1{a + b}\right)$ , attrattiva se nel lato vicino la corrente è concorde con quella del filo. A differenza del campo uniforme, qui la forza totale su un circuito chiuso non è nulla perché il campo non è uniforme.

Esempio. $i_1 = 10$ A, $i_2 = 5$ A, $\ell = 0{,}2$ m, $a = 5$ cm, $b = 10$ cm: $F = 2\cdot10^{-7}\cdot50\cdot0{,}2\left(\frac{1}{0{,}05} - \frac{1}{0{,}15}\right) = 2{,}67\cdot10^{-5}$ N.

Legge di Ampère e circuitazione del campo magnetico

Legge di Ampère: per ogni curva chiusa orientata $C$ $\oint_C \vec B\cdot d\vec s = \mu_0\sum_k i_k,$ dove la somma è sulle correnti concatenate con $C$ (che attraversano una qualunque superficie che ha $C$ come bordo), ciascuna presa con il segno $+$ se il suo verso è legato al verso di percorrenza di $C$ dalla regola della mano destra, con il segno $-$ altrimenti.

Esempio d'esame (appello 23.01.2024, Esercizio 2 · due fili paralleli, circuitazione e forza su un terzo filo). Una curva $C$ racchiude due fili con correnti opposte $i_1$ e $i_2$ ; il verso di $C$ rende positiva $i_2$ : $\Lambda_C = \mu_0(i_2 - i_1)$ , da cui $i_2 = \frac{\Lambda_C}{\mu_0} + i_1$ .

Formula (campo dentro un conduttore cilindrico pieno). $B\cdot2\pi r = \mu_0 i\frac{r^2}{R^2} \implies B = \frac{\mu_0 i\,r}{2\pi R^2}.$

Esempio. $i = 10$ A, $R = 2$ mm, $r = 1$ mm: $B = \frac{\mu_0 i\,r}{2\pi R^2} = 5\cdot10^{-4}$ T; fuori, a $r = 4$ mm, $B = \frac{\mu_0 i}{2\pi r} = 5\cdot10^{-4}$ T.

Grafico interattivo: Cilindro pieno percorso da corrente: B in unità del valore sulla superficie, in funzione di r/R; lineare dentro, 1/r fuori

Formula (campo magnetico di un toroide). $B = \frac{\mu_0 N i}{2\pi r};$

Esempio. $N = 500$ spire, $i = 2$ A, $r = 10$ cm: $B = \frac{\mu_0 N i}{2\pi r} = 2\cdot10^{-3}$ T.

Legge di Ampère in forma locale: $\nabla\times\vec B = \mu_0\vec J.$

Esempio. Densità di corrente uniforme $J = 10^6\ \text{A/m}^2$ : $\nabla\times\vec B = \mu_0 J = 1{,}26$ T/m nella regione percorsa dalla corrente, $0$ fuori.

Magnetizzazione della materia (cenni)

Definizione (magnetizzazione): momento magnetico per unità di volume, $\vec M = \frac{d\vec m}{d\tau}, \qquad [M] = \frac{\text{A}\cdot\text{m}^2}{\text{m}^3} = \frac{\text{A}}{\text{m}}.$

Esempio. $n = 5\cdot10^{28}\ \text{m}^{-3}$ atomi con $m = 2\cdot10^{-23}\ \text{A m}^2$ allineati: $M = 10^6$ A/m.

Proprietà (correnti di magnetizzazione). Una magnetizzazione uniforme equivale a una corrente superficiale di densità (corrente per unità di lunghezza) $\vec j_s = \vec M \times \vec u_n,$ con $\vec u_n$ normale uscente. Se la magnetizzazione non è uniforme compaiono anche correnti di volume $\vec J_m = \nabla\times\vec M$ .

Esempio. Cilindro con $M = 10^6$ A/m: corrente superficiale $j_s = 10^6$ A/m, equivalente a un solenoide con $n\,i = 10^6$ A/m.

Definizione (campo magnetizzante H). $\vec H = \frac{\vec B}{\mu_0} - \vec M, \qquad \oint_C\vec H\cdot d\vec s = \sum i_{\text{conduzione}}, \qquad \nabla\times\vec H = \vec J.$

Esempio. Solenoide con $n = 1000$ spire/m e $i = 2$ A, riempito di qualsiasi materiale: $H = n i = 2000$ A/m.

Formula (solenoide riempito di materiale). $B = \mu_0\mu_r\,n\,i.$

Esempio. Stesso solenoide con $\mu_r = 500$ : $B = 4\pi\cdot10^{-7}\cdot500\cdot2000 = 1{,}257$ T, contro $2{,}5\cdot10^{-3}$ T nel vuoto.

IX. Induzione elettromagnetica ed equazioni di Maxwell

Legge di Faraday-Neumann-Lenz e fem indotta

Legge di Faraday-Neumann-Lenz: $\mathcal E_i = -\frac{d\Phi(\vec B)}{dt}.$ In un circuito di resistenza $R$ circola la corrente indotta $i = \frac{\mathcal E_i}{R}$ .

Esempio. Il flusso concatenato con una spira passa da $0{,}02$ Wb a $0$ in $0{,}1$ s: $\mathcal E_i = -\frac{0-0{,}02}{0{,}1} = 0{,}2$ V; con $R = 2\ \Omega$ circola $i = 0{,}1$ A.

Legge di Lenz. La corrente indotta ha un verso tale da opporsi alla variazione di flusso che l'ha generata.

Esempio. Avvicinando un polo nord a una spira il flusso verso la spira aumenta: la corrente indotta crea un campo opposto (la spira si comporta come un polo nord e respinge la calamita); se l'allontani il campo indotto è concorde e la attrae.

Formula (fem su una sbarretta che si muove in un campo uniforme). $|\mathcal E| = \left|\frac{d\Phi}{dt}\right| = B\ell\frac{dx}{dt} = B\ell v.$

Esempio. $B = 0{,}5$ T, $\ell = 0{,}2$ m, $v = 2$ m/s: $\mathcal E = B\ell v = 0{,}5\cdot0{,}2\cdot2 = 0{,}2$ V; con $R = 0{,}1\ \Omega$ è $i = 2$ A.

Formula (forza frenante sulla sbarretta). $F = \frac{B^2\ell^2}{R}\,v,$

Esempio. Stessi dati: $F = \frac{B^2\ell^2}{R}v = \frac{0{,}25\cdot0{,}04}{0{,}1}\cdot2 = 0{,}2$ N, e la potenza meccanica $Fv = 0{,}4$ W coincide con $Ri^2 = 0{,}1\cdot4$ W.

Legge (frenamento della sbarretta lasciata libera). $m\frac{dv}{dt} = -\frac{B^2\ell^2}{R}v \implies v(t) = v_0\,e^{-t/\tau}, \qquad \tau = \frac{mR}{B^2\ell^2}.$

Esempio. $m = 0{,}1$ kg con gli stessi $B$ , $\ell$ , $R$ : $\tau = \frac{mR}{B^2\ell^2} = \frac{0{,}1\cdot0{,}1}{0{,}25\cdot0{,}04} = 1$ s e $v(2\ \text{s}) = v_0e^{-2} = 0{,}135\,v_0$ .

Grafico interattivo: Velocità di una sbarretta (o spira) libera frenata dalla corrente indotta, in unità di v₀, in funzione di t/τ

Formula (fem alternata di una bobina rotante). $\Phi = NB\Sigma\cos\omega t \implies \mathcal E = NB\Sigma\omega\sin\omega t.$

Esempio. $N = 100$ , $B = 0{,}5$ T, $\Sigma = 0{,}01\ \text{m}^2$ , $f = 50$ Hz: $\mathcal E_{\max} = NB\Sigma\omega = 100\cdot0{,}5\cdot0{,}01\cdot314 = 157$ V.

Grafico interattivo: Bobina che ruota con velocità angolare costante (ascissa: ωt in rad, un giro): il flusso Φ/(NBΣ) = cos ωt e la fem ℰ/(NBΣω) = sin ωt; la fem è massima quando il flusso passa per zero, cioè quando varia più in fretta

Legge di Felici: $|q| = \frac{|\Delta\Phi|}{R}.$

Esempio. Spira quadrata di lato $a = 12$ cm, resistenza $R = 1\ \Omega$ , che entra completamente in un campo $B = 2$ T: $q = \frac{Ba^2}{R} = \frac{2\cdot0{,}0144}{1} = 28{,}8$ mC (appello 22.01.2026).

Legge (campo elettrico indotto). $\oint_C\vec E\cdot d\vec s = -\frac{d}{dt}\int_\Sigma\vec B\cdot\vec u_n\,d\Sigma.$

Esempio. Solenoide con $\frac{dB}{dt} = 0{,}1$ T/s: a $r = 2$ cm dall'asse $E = \frac{r}{2}\left|\frac{dB}{dt}\right| = 0{,}01\cdot0{,}1 = 10^{-3}$ V/m, tangente alle circonferenze coassiali.

Legge (legge di Faraday in forma locale). $\nabla\times\vec E = -\frac{\partial\vec B}{\partial t}.$

Esempio: campo indotto in un solenoide. Solenoide di raggio $R_s$ con campo $B(t)$ uniforme all'interno. Per simmetria le linee di $\vec E$ sono circonferenze coassiali. Per $r < R_s$ : $E\cdot2\pi r = \pi r^2\left|\frac{dB}{dt}\right| \implies E = \frac r2\left|\frac{dB}{dt}\right|$ . Fuori ( $r > R_s$ ) il flusso è quello di tutta la sezione: $E = \frac{R_s^2}{2r}\left|\frac{dB}{dt}\right|$ . C'è un campo elettrico anche dove $B = 0$ .

Autoinduzione, circuiti RL e LC, energia magnetica

Definizione (coefficiente di autoinduzione). $\Phi = L\,i.$

Esempio. Solenoide con $L = 0{,}387$ H e $i = 2$ A: autoflusso $\Phi = Li = 0{,}774$ Wb.

Formula (induttanza di un solenoide). $L = \mu_0\,n^2\,\Sigma\,\ell = \mu_0\frac{N^2\Sigma}{\ell} \qquad (\text{con un nucleo di permeabilità } \mu_r:\ \mu_0\mu_r n^2\Sigma\ell).$

Esempio. $N_s = 4000$ , $\ell = 80$ cm ( $n = 5000$ spire/m), raggio $7$ cm ( $\Sigma = \pi\cdot0{,}07^2 = 0{,}0154$ m²): $L = \mu_0 n N\Sigma$ (uguale a $\mu_0 n^2\Sigma\ell$ , perché $N = n\ell$ ) $= 4\pi\cdot10^{-7}\cdot5000\cdot4000\cdot0{,}0154 = 0{,}387$ H (appello 24.06.2025, Esercizio 14 · bobina inclinata in un solenoide con corrente sinusoidale).

Legge (fem autoindotta). $\mathcal E_L = -\frac{d\Phi}{dt} = -L\frac{di}{dt}.$

Esempio. $L = 0{,}4$ H e corrente che passa da $0$ a $2$ A in $0{,}1$ s: $\mathcal E_L = -0{,}4\cdot\frac{2}{0{,}1} = -8$ V, opposta all'aumento di corrente.

Legge (chiusura di un circuito RL): $i(t) = \frac{\mathcal E}{R}\left(1 - e^{-t/\tau}\right), \qquad \tau = \frac LR.$

Esempio. $\mathcal E = 12$ V, $R = 6\ \Omega$ , $L = 0{,}3$ H: $\tau = 0{,}05$ s e $i(\tau) = 2\,(1 - e^{-1}) = 1{,}26$ A; a regime $i = 2$ A.

Grafico interattivo: Corrente in un circuito RL alla chiusura, in unità di ℰ/R, in funzione di t/τ (τ = L/R)

Legge (apertura di un circuito RL): $i(t) = i_0\,e^{-t/\tau}$ .

Esempio. $i_0 = 2$ A e $\tau = 0{,}05$ s: dopo $0{,}1$ s è $i = 2\,e^{-2} = 0{,}271$ A.

Grafico interattivo: Apertura del circuito RL, esclusione del generatore (ascissa: t/τ con τ = L/R, ordinata: i/i₀): la corrente non si annulla subito ma decade come e^(−t/τ), restando il 37% dopo τ

Formula (energia immagazzinata in un'induttanza): $U_L = \frac12 L\,i^2 = \frac12\Phi\,i = \frac{\Phi^2}{2L}.$

Esempio. $L = 0{,}387$ H e $i = 2$ A: $U_L = \frac12\cdot0{,}387\cdot4 = 0{,}774$ J.

Definizione (densità di energia del campo magnetico). $u_m = \frac{B^2}{2\mu_0} \qquad \left(\text{in un materiale: } \frac{B^2}{2\mu_0\mu_r}\right).$

Esempio. $B = 0{,}5$ T: $u_m = \frac{0{,}25}{2\cdot4\pi\cdot10^{-7}} = 9{,}95\cdot10^{4}\ \text{J/m}^3$ .

Legge (oscillazioni del circuito LC): $q(t) = q_0\cos\omega t, \qquad i(t) = -q_0\omega\sin\omega t, \qquad \omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}, \quad T = 2\pi\sqrt{LC}.$

Esempio. $L = 10$ mH e $C = 1\ \mu$ F: $\omega = 10^4$ rad/s e $T = 2\pi\sqrt{LC} = 0{,}628$ ms.

Grafico interattivo: Circuito LC: carica q/q₀ = cos ωt e corrente i/(q₀ω) = −sin ωt (ascissa: ωt in rad, un periodo T = 2π/ω): la corrente è massima in modulo quando il condensatore è scarico e nulla quando la carica è massima

Mutua induzione e circuiti accoppiati

Definizione (coefficiente di mutua induzione). $\Phi_2(\vec B_1) = M_{21}\,i_1, \qquad \Phi_1(\vec B_2) = M_{12}\,i_2.$

Esempio. $M = 0{,}05$ H e $i_1 = 2$ A: il flusso concatenato con il circuito 2 è $\Phi_2 = M i_1 = 0{,}1$ Wb.

Legge (fem di mutua induzione). $\mathcal E_2 = -\frac{d\Phi_2}{dt} = -M\frac{di_1}{dt}, \qquad \mathcal E_1 = -M\frac{di_2}{dt}.$

Esempio. $M = 0{,}05$ H e $\frac{di_1}{dt} = 40$ A/s: $\mathcal E_2 = -0{,}05\cdot40 = -2$ V.

Formula (mutua induzione tra una bobina e un solenoide). $M = \mu_0\,n\,N\,\Sigma\cos\theta.$

Esempio. $n = 5000\ \text{m}^{-1}$ , bobina con $N = 8$ , $R = 5$ cm, $\theta = 60°$ : $M = 4\pi\cdot10^{-7}\cdot5000\cdot8\cdot\pi\cdot0{,}05^2\cdot0{,}5 = 1{,}97\cdot10^{-4}$ H.

Formula (mutua induzione tra un filo e una piccola bobina). $M = \frac{\Phi}{i} = \frac{\mu_0 N a^2}{2\pi d}.$

Esempio. $N = 55$ , $a = 2{,}9$ mm, $d = 15$ cm: $M = \frac{2\cdot10^{-7}\cdot55\cdot(2{,}9\cdot10^{-3})^2}{0{,}15} = 617$ pH (appello 18.02.2026, Esercizio 22 · filo con corrente crescente e piccola bobina quadrata).

Formula (mutua induzione tra un filo e una spira rettangolare). $\Phi = \int_d^{d + b}\frac{\mu_0 i}{2\pi x}h\,dx = \frac{\mu_0 i h}{2\pi}\ln\frac{d + b}{d} \implies M = \frac{\mu_0 h}{2\pi}\ln\frac{d + b}{d}.$

Esempio. $h = 0{,}2$ m, $b = 0{,}1$ m, $d = 0{,}05$ m: $M = \frac{\mu_0 h}{2\pi}\ln\frac{d+b}{d} = 2\cdot10^{-7}\cdot0{,}2\cdot\ln3 = 4{,}39\cdot10^{-8}$ H.

Formula (energia magnetica di due circuiti accoppiati). $U = \frac12L_1i_1^2 + \frac12L_2i_2^2 + M\,i_1\,i_2.$

Esempio. $L_1 = 0{,}1$ H, $L_2 = 0{,}2$ H, $M = 0{,}05$ H, $i_1 = 2$ A, $i_2 = 1$ A: $U = 0{,}2 + 0{,}1 + 0{,}05\cdot2\cdot1 = 0{,}4$ J.

Formula (rapporto di trasformazione). $V_1 = N_1\frac{d\phi}{dt}, \quad V_2 = N_2\frac{d\phi}{dt} \implies \frac{V_2}{V_1} = \frac{N_2}{N_1}.$

Esempio. $N_1 = 1000$ spire con $V_1 = 230$ V e $N_2 = 50$ : $V_2 = 230\cdot\frac{50}{1000} = 11{,}5$ V.

Corrente di spostamento ed equazioni di Maxwell

Definizione (corrente di spostamento): $i_s = \varepsilon_0\frac{d\Phi(\vec E)}{dt}, \qquad \vec J_s = \varepsilon_0\frac{\partial\vec E}{\partial t}.$

Esempio. Condensatore piano con $S = 100\ \text{cm}^2$ e $\frac{dE}{dt} = 10^{12}$ V/(m s): $i_s = \varepsilon_0 S\frac{dE}{dt} = 8{,}854\cdot10^{-12}\cdot10^{-2}\cdot10^{12} = 0{,}089$ A, pari alla corrente nei fili.

Legge di Ampère-Maxwell (forma integrale): $\oint_C\vec B\cdot d\vec s = \mu_0\left(i + \varepsilon_0\frac{d\Phi_\Sigma(\vec E)}{dt}\right).$ Forma locale: $\nabla\times\vec B = \mu_0\vec J + \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\vec E}{\partial t}.$

Esempio. Tra le armature (senza corrente di conduzione) con $\frac{dE}{dt} = 10^{12}$ V/(m s), curva circolare di raggio $5$ cm: $\oint\vec B\cdot d\vec s = \mu_0\varepsilon_0\pi r^2\frac{dE}{dt} = 8{,}74\cdot10^{-8}$ T m.

Legge (equazione delle onde elettromagnetiche): $\frac{\partial^2E}{\partial x^2} = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2E}{\partial t^2}, \qquad c = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}},$ e la stessa equazione vale per $B$ .

Esempio. $c = \frac{1}{\sqrt{8{,}854\cdot10^{-12}\cdot4\pi\cdot10^{-7}}} = 2{,}998\cdot10^8$ m/s; un'onda a $f = 100$ MHz ha $\lambda = c/f = 3$ m.

Formula (rapporto tra campo elettrico e magnetico in un'onda piana). $E = c\,B.$

Esempio. $E_0 = 300$ V/m: $B_0 = \frac{E_0}{c} = 1\cdot10^{-6}$ T.

Grafico interattivo: Onda piana a un istante fissato: E (in unità di E₀) in funzione di x/λ; B ha la stessa forma, in fase, con ampiezza E₀/c