Energia del campo elettrostatico

Lezione del 29.10 (sezione 4.5 del libro di testo). Prerequisiti: Condensatori - capacità, serie e paralleloUn condensatore sono due conduttori in induzione completa con cariche ±q; la capacità C = q/ΔV (farad) dipende solo dalla geometria: piano ε₀S/d, sferico 4πε₀R₁R₂/(R₂ − R₁), cilindrico 2πε₀L/ln(R₂/R₁). In parallelo le capacità si sommano (stessa ΔV), in serie si sommano gli inversi (stessa carica). Con un dielettrico che riempie il condensatore C diventa ε_r C.Condensatori - capacità, serie e parallelo →, Energia potenziale elettrostatica e conservazione dell'energiaUna carica q in un punto a potenziale V ha energia potenziale U = qV; il lavoro del campo è W = −ΔU = −qΔV e l'energia meccanica si conserva: ½mv² + qV = costante. L'energia di un sistema di cariche puntiformi è U = Σ (coppie) qᵢqⱼ/(4πε₀rᵢⱼ), il lavoro necessario per assemblarlo dall'infinito. 1 eV = 1,6·10⁻¹⁹ J è l'energia guadagnata da una carica e attraverso 1 V.Energia potenziale elettrostatica e conservazione dell'energia →. L'analogo magnetico è in Autoinduzione, circuiti RL e LC, energia magneticaUn circuito percorso da corrente concatena il flusso del proprio campo: Φ = L i, con L coefficiente di autoinduzione (henry; solenoide L = μ0 n² Σ ℓ). Se i varia compare la fem autoindotta −L di/dt. Circuito RL in chiusura: i = (ℰ/R)(1 − e^(−t/τ)), τ = L/R (extracorrente di chiusura); in apertura i = i₀e^(−t/τ). Un'induttanza percorsa da i immagazzina U = ½Li², con densità di energia magnetica u = B²/(2μ0). Circuito LC: la carica oscilla come q₀cos(ωt), ω = 1/√(LC), con l'energia che passa dal condensatore all'induttanza e viceversa.Autoinduzione, circuiti RL e LC, energia magnetica →.

Energia di un condensatore carico

Si carica un condensatore trasportando carica, un pezzetto $dq$ alla volta, dall'armatura negativa a quella positiva. Quando sulle armature c'è già la carica $q'$, la d.d.p. è $\Delta V' = \frac{q'}{C}$, e il lavoro per spostare $dq$ è

$$dW = \Delta V'\,dq = \frac{q'}{C}dq.$$

Più carica c'è già, più costa aggiungerne: bisogna vincere la repulsione della carica già presente. Integrando da $0$ alla carica finale $q$:

$$W = \int_0^q\frac{q'}{C}dq' = \frac{q^2}{2C}.$$

Questo lavoro resta immagazzinato come energia elettrostatica del condensatore. Con $q = C\Delta V$:

Formula (energia di un condensatore carico). $$U = \frac12\frac{q^2}{C} = \frac12 C\,\Delta V^2 = \frac12 q\,\Delta V.$$

Perché c'è il fattore $\frac12$. Durante la carica la d.d.p. cresce linearmente da $0$ a $\Delta V$; il lavoro è la carica totale per la d.d.p. media, $\frac{\Delta V}{2}$. Nel grafico $\Delta V'$ in funzione di $q'$ (una retta) l'energia è l'area del triangolo.

Quale formula usare.

• Condensatore isolato (carica costante): $U = \frac{q^2}{2C}$, perché $q$ non cambia.
• Condensatore collegato al generatore (d.d.p. costante): $U = \frac12 C\,\Delta V^2$.

Esempio. $C = 111$ pF caricato a $120$ V: $U = \frac12 \cdot 1{,}11 \cdot 10^{-10} \cdot 14\,400 = 0{,}8\ \mu$J. Piccola: i condensatori immagazzinano poca energia rispetto alle batterie, ma la possono rilasciare in tempi brevissimi (flash delle macchine fotografiche, defibrillatori).

Sistemi di condensatori. L'energia totale è la somma delle energie dei singoli condensatori, ed è anche uguale a quella del condensatore equivalente: $U = \frac{q^2}{2C_{\text{eq}}}$ (con $q$ la carica totale erogata) o $\frac12 C_{\text{eq}}\Delta V^2$.

Densità di energia del campo

Dove si trova l'energia? Per un condensatore piano:

$$U = \frac12 C\,\Delta V^2 = \frac12\frac{\varepsilon_0 S}{d}(Ed)^2 = \frac12\varepsilon_0 E^2\cdot(Sd).$$

$Sd$ è il volume tra le armature, cioè proprio la regione dove c'è il campo. Si interpreta l'energia come distribuita nel campo, con densità:

Definizione (densità di energia del campo elettrico). $$u = \frac{U}{\text{volume}} = \frac12\varepsilon_0 E^2 \qquad \text{(J/m}^3\text{)}.$$

Esempio. $E = 10^5$ V/m: $u = \frac12\cdot8{,}854\cdot10^{-12}\cdot10^{10} = 0{,}044\ \text{J/m}^3$.

Il risultato, ricavato per il condensatore piano, è generale: per qualunque distribuzione di cariche l'energia elettrostatica è $U = \int\frac12\varepsilon_0 E^2\,dV$ esteso a tutto lo spazio. In un dielettrico omogeneo $u = \frac12\varepsilon_0\varepsilon_r E^2$.

Verifica con il condensatore sferico. Tra le armature $E = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$; un guscio sferico di raggio $r$ e spessore $dr$ ha volume $4\pi r^2 dr$: $$U = \int_{R_1}^{R_2}\frac12\varepsilon_0\frac{q^2}{16\pi^2\varepsilon_0^2 r^4}4\pi r^2\,dr = \frac{q^2}{8\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right) = \frac{q^2}{2C}. \ ✓$$

L'idea che l'energia sia "nel campo" e non "nelle cariche" diventa indispensabile per le onde elettromagnetiche, che trasportano energia nello spazio vuoto.

Forza tra le armature

L'energia permette di calcolare forze. Per un condensatore piano isolato, allontanando le armature di $dx$ si fa un lavoro contro l'attrazione: $F\,dx = dU = d\left(\frac{q^2 x}{2\varepsilon_0 S}\right) = \frac{q^2}{2\varepsilon_0 S}dx$, quindi

Formula (forza tra le armature di un condensatore piano). $$F = \frac{q^2}{2\varepsilon_0 S} = \frac12\,qE,$$

attrattiva. Il secondo passaggio usa $E = \frac{q}{\varepsilon_0 S}$ tra le armature: $\frac12 qE = \frac12 q\frac{q}{\varepsilon_0 S} = \frac{q^2}{2\varepsilon_0 S}$. (Non è $qE$: ogni armatura sente solo il campo dell'altra, che è $E/2$. Dividendo per l'area si ottiene la forza per unità di superficie, cioè la pressione sulle armature, $\frac{F}{S} = \frac12\sigma E = \frac12\varepsilon_0E^2$.)

Esempio. $q = 10$ nC e $S = 100\ \text{cm}^2$: $F = \frac{q^2}{2\varepsilon_0 S} = \frac{10^{-16}}{2\cdot8{,}854\cdot10^{-12}\cdot10^{-2}} = 5{,}65\cdot10^{-4}$ N.

Lavoro e bilancio energetico: isolato o collegato

Quando si modifica un condensatore (si cambia la distanza, si inserisce o si estrae un dielettrico) bisogna distinguere i due casi.

Condensatore isolato ($q$ costante)

Non ci sono generatori: il lavoro della forza esterna è uguale alla variazione di energia del condensatore.

Formula (lavoro esterno a carica costante). $$W_{\text{est}} = \Delta U = \frac{q^2}{2}\left(\frac{1}{C_f} - \frac{1}{C_i}\right).$$

Se la capacità diminuisce (si estrae il dielettrico, si allontanano le armature), l'energia aumenta e la forza esterna fa lavoro positivo (il dielettrico viene risucchiato dentro, bisogna tirarlo fuori). Se la capacità aumenta, l'energia diminuisce e il lavoro esterno è negativo.

Esempio (appello 23.01.2025, Esercizio 9 · condensatore piano con dielettrico estratto a metà e scarica): $q = 13{,}3$ nC, $C_i = 111$ pF, $C_f = 83$ pF: $W_{\text{est}} = \frac{q^2}{2}\left(\frac{1}{C_f} - \frac{1}{C_i}\right) \approx 0{,}27\ \mu$J $> 0$.

Condensatore collegato al generatore ($\Delta V$ costante)

Ora la carica cambia: $\Delta q = \Delta C\,\Delta V$, e il generatore la sposta facendo il lavoro

$$W_{\text{gen}} = \Delta V\,\Delta q = \Delta C\,\Delta V^2.$$

La variazione di energia del condensatore è invece $\Delta U = \frac12\Delta C\,\Delta V^2$:

Proprietà (bilancio energetico a d.d.p. costante). Con il condensatore collegato al generatore, $W_{\text{gen}} = 2\,\Delta U$.

Metà del lavoro del generatore va nel condensatore, l'altra metà va nel lavoro meccanico (fatto dalle forze elettriche contro la forza esterna) o viene dissipata nelle resistenze. Bilancio completo: $W_{\text{gen}} + W_{\text{est}} = \Delta U$, quindi $W_{\text{est}} = \Delta U - 2\Delta U = -\Delta U$.

Esempio (appello 26.06.2026, Esercizio 23 · condensatore con dielettrico in un partitore resistivo): con il generatore collegato si estrae metà del dielettrico; $U_e = 300\ \mu$J diventa $U'_e = 225\ \mu$J, quindi $W_{\text{gen}} = 2(U'_e - U_e) = -150\ \mu$J (il generatore riassorbe carica).

Riepilogo

Errori comuni

• Usare $\frac12 C\Delta V^2$ con $\Delta V$ iniziale in un condensatore isolato la cui capacità è cambiata: la d.d.p. cambia anche lei; meglio $\frac{q^2}{2C}$.
• Dimenticare il generatore nel bilancio: con $\Delta V$ costante il lavoro esterno non è $\Delta U$.
• Calcolare la forza tra le armature come $qE$: il campo che agisce su un'armatura è quello dell'altra, $E/2$.