Campo di una spira e di un solenoide

Lezione del 26.11 (sezione 7.2 del libro di testo). Prerequisiti: Legge di Biot-Savart e campo di un filo rettilineoPrima legge elementare di Laplace: un tratto di filo ds percorso da i genera dB = (μ0/4π) i ds × u_r / r², con μ0 = 4π·10⁻⁷ T·m/A; una carica in moto genera B = (μ0/4π) q v × u_r / r². Integrando su un filo rettilineo: tratto finito B = μ0 i (sin α2 − sin α1)/(4πR); filo indefinito B = μ0 i/(2πR) (legge di Biot-Savart), con linee di campo circolari attorno al filo; filo semi-infinito visto dal piede della perpendicolare: metà. Un arco di circonferenza di angolo Δθ genera al centro B = μ0 i Δθ/(4πR).Legge di Biot-Savart e campo di un filo rettilineo → (prima legge di Laplace), Forze e momenti magnetici su circuiti percorsi da correnteSeconda legge elementare di Laplace: su un tratto di filo ds percorso dalla corrente i agisce dF = i ds × B (somma delle forze di Lorentz sui portatori). Filo rettilineo in campo uniforme: F = i L × B; circuito chiuso in campo uniforme: forza totale nulla. Una spira piana ha momento magnetico m = iΣ u_n (N spire: NiΣ u_n); in un campo uniforme subisce il momento meccanico M = m × B, che la fa ruotare verso m parallelo a B, e ha energia potenziale U = −m·B.Forze e momenti magnetici su circuiti percorsi da corrente → (momento magnetico), Distribuzioni continue di carica - filo, anello, disco, pianoUna carica distribuita si descrive con densità lineare λ, superficiale σ o volumetrica ρ; il campo si ottiene sommando (integrando) i campi dE = dq/(4πε₀r²) dei pezzetti dq, sfruttando le simmetrie. Risultati: filo indefinito E = λ/(2πε₀r), anello sull'asse E = qz/(4πε₀(R²+z²)^(3/2)), disco sull'asse E = σ/(2ε₀)·(1 − z/√(R²+z²)), piano indefinito E = σ/(2ε₀) uniforme.Distribuzioni continue di carica - filo, anello, disco, piano → (l'anello carico, stesso schema di calcolo). Segue: Legge di Ampère e circuitazione del campo magneticoLegge di Ampère: la circuitazione di B lungo una curva chiusa qualsiasi è μ0 per la somma (con segno) delle correnti concatenate, ∮B·ds = μ0 Σi; con il teorema di Stokes diventa rot B = μ0 J. B quindi non è conservativo. Con curve simmetriche dà subito: filo B = μ0 i/(2πr); cilindro pieno B = μ0 i r/(2πR²) dentro; solenoide indefinito B = μ0 n i dentro e 0 fuori; toroide B = μ0 N i/(2πr). Con la legge di Gauss magnetica forma le equazioni di Maxwell per i campi statici; per correnti non stazionarie va corretta con la corrente di spostamento.Legge di Ampère e circuitazione del campo magnetico →, che ritrova il campo del solenoide in modo più rapido.

Spira circolare: campo sull'asse

Impostazione

Una spira di raggio $R$, nel piano $xy$ con centro nell'origine, è percorsa dalla corrente $i$. Si cerca il campo nel punto $P$ dell'asse $z$ a quota $z$.

• Ogni tratto $d\vec s$ dista da $P$ sempre $r = \sqrt{R^2 + z^2}$.
• $d\vec s$ è tangente alla spira, quindi perpendicolare al raggio e anche al segmento che va dal tratto a $P$: $|d\vec s \times \vec u_r| = ds$, e $dB = \frac{\mu_0 i}{4\pi}\frac{ds}{R^2 + z^2}$.
• $d\vec B$ è perpendicolare al segmento tratto–$P$, quindi inclinato rispetto all'asse. Si scompone in una parte lungo l'asse e una radiale.

Simmetria

Per ogni tratto c'è il tratto diametralmente opposto, che dà la stessa componente assiale e la componente radiale opposta. Le componenti radiali si annullano a coppie; restano solo quelle lungo $z$. La componente assiale è $dB\cos\beta$, dove $\beta$ è l'angolo tra $d\vec B$ e l'asse, uguale all'angolo tra il segmento tratto–$P$ e il piano della spira: $\cos\beta = \frac{R}{\sqrt{R^2 + z^2}}$.

Integrale

Tutti i fattori sono costanti lungo la spira, e $\oint ds = 2\pi R$:

$$B_z = \frac{\mu_0 i}{4\pi}\frac{1}{R^2 + z^2}\cdot\frac{R}{\sqrt{R^2 + z^2}}\cdot 2\pi R.$$

Formula (campo sull'asse di una spira circolare). $$B(z) = \frac{\mu_0\,i\,R^2}{2\left(R^2 + z^2\right)^{3/2}}, \qquad \text{diretto lungo l'asse.}$$

Esempio. $R = 5$ cm e $i = 2$ A: al centro $B = \frac{\mu_0 i}{2R} = 2{,}51\cdot10^{-5}$ T; a $z = 5$ cm dal centro $B = 8{,}89\cdot10^{-6}$ T, cioè $\frac{1}{2\sqrt2}$ del valore centrale.

• Verso: regola della mano destra, con le dita nel verso della corrente il pollice indica $\vec B$ sull'asse (lo stesso verso del momento magnetico $\vec m$).
• Al centro ($z = 0$): $B = \frac{\mu_0 i}{2R}$, lo stesso risultato dell'arco con $\Delta\theta = 2\pi$.
• Per una bobina di $N$ spire sovrapposte il campo si moltiplica per $N$.

Principio di equivalenza di Ampère

Lontano dalla spira

Per $z \gg R$, $(R^2 + z^2)^{3/2} \approx z^3$:

$$B \approx \frac{\mu_0 i R^2}{2z^3} = \frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{2\,(i\pi R^2)}{z^3} = \frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{2m}{z^3},$$

con $m = i\pi R^2$ il momento magneticom = i Σ u_n: corrente per area, nella direzione della normale data dalla mano destra.Forze e momenti magnetici su circuiti percorsi da corrente → della spira. È la stessa forma del campo elettrico sull'asse di un dipolo, $\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{2p}{z^3}$, con $\frac{1}{\varepsilon_0} \to \mu_0$ e $p \to m$. Il calcolo completo mostra che la corrispondenza vale in tutti i punti lontani, non solo sull'asse.

Enunciato

Principio di equivalenza di Ampère: una spira piccola percorsa da corrente, con momento magnetico $\vec m = i\Sigma\,\vec u_n$, genera a grande distanza lo stesso campo di un ago magnetico (dipolo magnetico) di momento $\vec m$, e in un campo esterno subisce le stesse azioni ($\vec M = \vec m \times \vec B$, $U = -\vec m\cdot\vec B$).

Esempio. Spira di raggio $1$ cm con $i = 1$ A: $m = i\pi R^2 = 3{,}14\cdot10^{-4}\ \text{A m}^2$; a $z = 10$ cm sull'asse $B = 10^{-7}\cdot\frac{2m}{z^3} = 6{,}28\cdot10^{-8}$ T.

• La faccia della spira da cui escono le linee di campo si comporta come un polo nord, l'altra come un polo sud.
• Ampère ne dedusse che il magnetismo della materia è dovuto a minuscole correnti chiuse negli atomi (correnti amperiane): Magnetizzazione della materia (cenni)La materia contiene momenti magnetici atomici (correnti amperiane). In un campo esterno si magnetizza: il vettore magnetizzazione M è il momento magnetico per unità di volume, ed equivale a correnti di magnetizzazione sulla superficie (densità M × u_n). Si introduce H = B/μ0 − M, la cui circuitazione dipende solo dalle correnti di conduzione; nei materiali lineari M = χm H e B = μ0 μr H con μr = 1 + χm. Diamagneti: χm < 0 piccolissimo; paramagneti: χm > 0 piccolo; ferromagneti: μr fino a 10³–10⁵, non lineari, con isteresi. Un solenoide riempito di materiale ha B = μ0 μr n i.Magnetizzazione della materia (cenni) →.

Solenoide

Che cos'è

Un solenoide è un filo avvolto ad elica su un cilindro: $N$ spire su una lunghezza $L$, cioè $n = \frac NL$ spire per unità di lunghezza. Se le spire sono fitte, si può pensare come una successione continua di spire circolari.

Campo sull'asse di un solenoide finito

Il tratto di solenoide di lunghezza $dx$ contiene $n\,dx$ spire, cioè la corrente $n i\,dx$. Il suo contributo sull'asse, a distanza $x$ da $P$, è quello di una spira:

$$dB = \frac{\mu_0 (n i\,dx) R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}.$$

Integrando tra le posizioni $x_1$ e $x_2$ delle due estremità (misurate da $P$):

Formula (campo sull'asse di un solenoide finito). $$B = \frac{\mu_0 n i}{2}\left(\frac{x_2}{\sqrt{R^2 + x_2^2}} - \frac{x_1}{\sqrt{R^2 + x_1^2}}\right).$$

Al centro di un solenoide lungo $L$: $x_{1,2} = \mp\frac L2$ e $B = \mu_0 n i\,\frac{L/2}{\sqrt{R^2 + L^2/4}}$. Se $L \gg R$ la frazione tende a $1$.

Esempio. $R = 7$ cm, $L = 80$ cm: $\frac{0{,}4}{\sqrt{0{,}0049 + 0{,}16}} = 0{,}985$. Il campo al centro differisce solo dell'$1{,}5\%$ da quello del solenoide indefinito: per questo nell'appello del 24.06.2025 il solenoide si può considerare ideale (Esercizio 14 · bobina inclinata in un solenoide con corrente sinusoidale).

Solenoide indefinito (ideale)

Per un solenoide molto lungo ($L \gg R$), in tutti i punti interni lontani dalle estremità:

Formula (campo di un solenoide indefinito). $$B = \mu_0\,n\,i \quad \text{all'interno, uniforme e parallelo all'asse;} \qquad B = 0 \quad \text{all'esterno.}$$

• Il campo interno è uniforme: non dipende dalla distanza dall'asse (lo si dimostra con la Legge di Ampère e circuitazione del campo magneticoLegge di Ampère: la circuitazione di B lungo una curva chiusa qualsiasi è μ0 per la somma (con segno) delle correnti concatenate, ∮B·ds = μ0 Σi; con il teorema di Stokes diventa rot B = μ0 J. B quindi non è conservativo. Con curve simmetriche dà subito: filo B = μ0 i/(2πr); cilindro pieno B = μ0 i r/(2πR²) dentro; solenoide indefinito B = μ0 n i dentro e 0 fuori; toroide B = μ0 N i/(2πr). Con la legge di Gauss magnetica forma le equazioni di Maxwell per i campi statici; per correnti non stazionarie va corretta con la corrente di spostamento.Legge di Ampère e circuitazione del campo magnetico →).
• Il campo dipende da $n$, non dal raggio né dal numero totale di spire: raddoppiando lunghezza e numero di spire il campo resta lo stesso.
• Alle estremità di un solenoide lungo il campo sull'asse vale metà: $B = \frac{\mu_0 n i}{2}$ (con $x_1 = 0$, $x_2 \to \infty$ la frazione vale $1$, divisa per $2$).
• Verso: mano destra con le dita nel verso della corrente nelle spire.

Esempio numerico. $n = 500$ spire/cm $= 5\cdot10^4$ spire/m, $i = 3{,}5$ A: $B = 4\pi\cdot10^{-7}\cdot5\cdot10^4\cdot3{,}5 = 0{,}22$ T (appello 20.02.2024, Esercizio 4 · bobina che ruota in un solenoide, mutua induzione e legge di Felici).

Perché serve

Il solenoide è il modo standard per produrre un campo magnetico uniforme noto. Dentro di esso si mettono bobine per studiare l'induzione (Mutua induzione e circuiti accoppiatiIl flusso del campo di un circuito 1 concatenato con un circuito 2 è proporzionale alla corrente: Φ₂ = M i₁, e vale la simmetria M₁₂ = M₂₁ = M (coefficiente di mutua induzione, in henry). Se i₁ varia, nel circuito 2 compare ℰ₂ = −M di₁/dt. Casi tipici: bobina di N spire e area Σ in un solenoide M = μ0 n N Σ cos θ; piccola bobina vicino a un filo M = μ0 N Σ/(2πd). Energia di due circuiti accoppiati: U = ½L₁i₁² + ½L₂i₂² + M i₁ i₂, con |M| ≤ √(L₁L₂). Il trasformatore sfrutta la mutua induzione: V₂/V₁ = N₂/N₁.Mutua induzione e circuiti accoppiati →) e il suo coefficiente di autoinduzione è il primo esempio di induttanza (Autoinduzione, circuiti RL e LC, energia magneticaUn circuito percorso da corrente concatena il flusso del proprio campo: Φ = L i, con L coefficiente di autoinduzione (henry; solenoide L = μ0 n² Σ ℓ). Se i varia compare la fem autoindotta −L di/dt. Circuito RL in chiusura: i = (ℰ/R)(1 − e^(−t/τ)), τ = L/R (extracorrente di chiusura); in apertura i = i₀e^(−t/τ). Un'induttanza percorsa da i immagazzina U = ½Li², con densità di energia magnetica u = B²/(2μ0). Circuito LC: la carica oscilla come q₀cos(ωt), ω = 1/√(LC), con l'energia che passa dal condensatore all'induttanza e viceversa.Autoinduzione, circuiti RL e LC, energia magnetica →). In laboratorio si misura il suo campo con una sonda di Hall (Effetto Hall e tensione di HallIn un conduttore percorso da corrente e immerso in un campo B perpendicolare, la forza di Lorentz spinge i portatori verso un lato: si accumulano cariche sui bordi finché il campo elettrico di Hall E_H bilancia il campo elettromotore v_d × B (E_H = v_d B). La tensione di Hall tra i bordi è V_H = iB/(nqa), con a lo spessore lungo B: il suo segno rivela il segno dei portatori, il suo valore permette di misurare n o, nelle sonde di Hall, il campo B.Effetto Hall e tensione di Hall →).

Riepilogo

Errori comuni

• Usare $N$ al posto di $n$ nel solenoide: serve il numero di spire per unità di lunghezza, in spire/m (attenzione alle spire/cm).
• Dimenticare $N$ per una bobina compatta di $N$ spire: il campo al centro è $N\frac{\mu_0 i}{2R}$.
• Sommare le componenti radiali nella spira: si annullano per simmetria.