Lavoro della forza elettrica e potenziale elettrostatico

Lezione del 06.10 (sezioni 1.7, 2.1 e 2.2 del libro di testo). Prerequisiti: Campo elettrostatico di cariche puntiformiIl campo elettrostatico E = F/q₀ è la forza per unità di carica che subirebbe una carica di prova in un punto; per una carica puntiforme vale E = q/(4πε₀r²) in direzione radiale (uscente se q > 0), per più cariche si sommano i vettori; si misura in N/C = V/m e una carica q in un campo E subisce F = qE.Campo elettrostatico di cariche puntiformi →, Distribuzioni continue di carica - filo, anello, disco, pianoUna carica distribuita si descrive con densità lineare λ, superficiale σ o volumetrica ρ; il campo si ottiene sommando (integrando) i campi dE = dq/(4πε₀r²) dei pezzetti dq, sfruttando le simmetrie. Risultati: filo indefinito E = λ/(2πε₀r), anello sull'asse E = qz/(4πε₀(R²+z²)^(3/2)), disco sull'asse E = σ/(2ε₀)·(1 − z/√(R²+z²)), piano indefinito E = σ/(2ε₀) uniforme.Distribuzioni continue di carica - filo, anello, disco, piano →. Seguito: Energia potenziale elettrostatica e conservazione dell'energiaUna carica q in un punto a potenziale V ha energia potenziale U = qV; il lavoro del campo è W = −ΔU = −qΔV e l'energia meccanica si conserva: ½mv² + qV = costante. L'energia di un sistema di cariche puntiformi è U = Σ (coppie) qᵢqⱼ/(4πε₀rᵢⱼ), il lavoro necessario per assemblarlo dall'infinito. 1 eV = 1,6·10⁻¹⁹ J è l'energia guadagnata da una carica e attraverso 1 V.Energia potenziale elettrostatica e conservazione dell'energia →.

Lavoro della forza elettrica

Una carica di prova $q_0$ si sposta da $A$ a $B$ lungo una curva $\gamma$ in un campo $\vec E$. Il lavoro della forza elettrica $\vec F = q_0\vec E$ è

Definizione (lavoro della forza elettrica). $$W_{AB} = \int_{A,\gamma}^{B}\vec F\cdot d\vec s = q_0\int_{A,\gamma}^{B}\vec E\cdot d\vec s,$$

dove $d\vec s$ è lo spostamento infinitesimo lungo la curva e $\vec E\cdot d\vec s = E\,ds\cos\theta$ ne prende solo la componente lungo il campo.

Esempio. Carica $q_0 = 2$ nC spostata di $5$ cm lungo un campo uniforme $E = 1000$ V/m: $W = q_0 E d = 2\cdot10^{-9}\cdot1000\cdot0{,}05 = 10^{-7}$ J $= 100$ nJ.

Il lavoro non dipende dal percorso

Carica puntiforme sorgente. Il campo di $q$ è radiale: $\vec E = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\hat u_r$. Il prodotto scalare con lo spostamento prende solo la parte radiale: $\hat u_r\cdot d\vec s = dr$ (la variazione della distanza dalla sorgente). Quindi

$$\int_A^B\vec E\cdot d\vec s = \int_{r_A}^{r_B}\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}dr = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{r_A} - \frac{1}{r_B}\right).$$

Il risultato dipende solo dalle distanze iniziale e finale, non dalla forma del percorso: i tratti "di lato" (perpendicolari al raggio) non contribuiscono, quelli radiali sì, e la somma dipende solo dagli estremi.

Qualsiasi distribuzione. Per il principio di sovrapposizione il campo è una somma di campi di cariche puntiformi, quindi il lavoro è una somma di termini che dipendono solo dagli estremi.

Proprietà (il campo elettrostatico è conservativo). Il campo elettrostatico è conservativo: il lavoro tra due punti non dipende dal percorso. Equivalentemente, la circuitazione lungo ogni curva chiusa è nulla: $$\oint_\gamma \vec E\cdot d\vec s = 0.$$

Esempio. Carica di $1\ \mu$C in un campo uniforme $E = 500$ N/C da $A$ a $B$, $20$ cm lungo il campo: $W = 10^{-4}$ J per qualunque percorso; su un giro chiuso $W = 0$.

(Se si va da $A$ a $B$ per una strada e si torna per un'altra, il lavoro totale è $W - W = 0$.)

Forza elettromotrice

La circuitazione del campo elettrico lungo un percorso chiuso si chiama forza elettromotrice (f.e.m.):

$$\mathcal E = \oint_\gamma \vec E\cdot d\vec s.$$

È il lavoro per unità di carica fatto dal campo su una carica che percorre l'intero circuito. In elettrostatica è sempre nulla: un campo elettrostatico da solo non può far circolare una corrente in un circuito chiuso. Per avere una corrente serve un campo non conservativo (un campo elettromotore), come quello prodotto da una batteria (Forza elettromotrice e resistenza interna del generatorePer mantenere una corrente in un circuito chiuso serve un campo non conservativo (campo elettromotore E*) dentro il generatore: la forza elettromotrice è ℰ = ∮ E*·ds, il lavoro per unità di carica fatto dal generatore. Un generatore reale ha una resistenza interna r: la tensione ai morsetti è ΔV = ℰ − ri, la corrente in un carico R è i = ℰ/(R + r), e il generatore eroga la potenza ℰi.Forza elettromotrice e resistenza interna del generatore →) o da un campo magnetico variabile (Legge di Faraday-Neumann-Lenz e fem indottaQuando il flusso di B concatenato con un circuito cambia nel tempo, nel circuito compare la fem indotta ℰ = −dΦ/dt (legge di Faraday-Neumann); il segno meno (legge di Lenz) dice che la corrente indotta si oppone alla variazione di flusso. Il flusso può cambiare perché cambia B, l'area, l'orientazione o la posizione del circuito. Sbarretta su rotaie: ℰ = Bℓv, forza frenante B²ℓ²v/R, potenza meccanica uguale a quella dissipata; lasciata libera rallenta come v₀e^(−t/τ) con τ = mR/(B²ℓ²). Legge di Felici: la carica che circola è q = ΔΦ/R. In forma generale ∮E·ds = −dΦ/dt, cioè rot E = −∂B/∂t: il campo elettrico indotto non è conservativo.Legge di Faraday-Neumann-Lenz e fem indotta →). Nonostante il nome, la f.e.m. non è una forza ma un lavoro per unità di carica, e si misura in volt.

Il potenziale elettrostatico

Poiché il lavoro dipende solo dagli estremi, si può associare a ogni punto un numero, il potenziale, in modo che il lavoro sia una differenza.

Definizione (differenza di potenziale). La differenza di potenziale tra $B$ e $A$ è $$V(B) - V(A) := -\int_A^B\vec E\cdot d\vec s = -\frac{W_{AB}}{q_0}.$$

Esempio. Da $A$ a $B$ a $5$ cm nel verso di un campo uniforme $E = 1000$ V/m: $V(B) - V(A) = -1000\cdot0{,}05 = -50$ V.

• Unità: il volt, $1\ \text{V} = 1\ \text{J/C}$. Ne segue che il campo si misura anche in V/m: $1\ \text{N/C} = 1\ \text{V/m}$.
• Il segno meno: il potenziale diminuisce andando nel verso del campo. Una carica positiva lasciata libera si muove verso potenziali più bassi (come una palla che rotola in discesa), e il campo fa su di essa lavoro positivo.
• Solo le differenze hanno significato fisico. Il potenziale in un punto è definito a meno di una costante: si sceglie un punto di riferimento con $V = 0$. Per distribuzioni limitate si sceglie di solito $V(\infty) = 0$; nei circuiti si sceglie la "terra".

Campo uniforme. Se $\vec E$ è costante e lo spostamento $\vec d$ va da $A$ a $B$: $V(B) - V(A) = -\vec E\cdot\vec d$. Lungo il campo, per un tratto $d$: $\Delta V = -Ed$. Tra le armature di un condensatore piano a distanza $d$ con campo $E$: $\Delta V = Ed$.

Potenziale di una carica puntiforme

Dal conto del lavoro, con $A$ all'infinito ($r_A \to \infty$, $V(\infty) = 0$) e $B$ a distanza $r$:

Formula (potenziale di una carica puntiforme). $$V(r) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r}.$$

• Positivo vicino a cariche positive, negativo vicino a cariche negative.
• Decresce come $\frac1r$ (più lentamente del campo, che va come $\frac{1}{r^2}$).
• È uno scalare: non ha direzione.

Esempio. A $r = 3$ cm da $q = 2$ nC: $V = 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{2 \cdot 10^{-9}}{0{,}03} = 600$ V. Spostando una carica $q_0 = 1$ nC dall'infinito a quel punto, il campo fa il lavoro $W = -q_0\Delta V = -600$ nJ: bisogna spendere $600$ nJ dall'esterno per avvicinare due cariche positive.

Potenziale di più cariche e distribuzioni continue

Il potenziale è lineare nel campo, quindi vale la sovrapposizione; ed essendo uno scalare si sommano numeri, non vettori:

Formula (potenziale di più cariche). $$V(P) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\sum_i\frac{q_i}{r_i}, \qquad V(P) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int\frac{dq}{r}.$$

Esempio. $P$ a $3$ cm da $q_1 = +2$ nC e a $6$ cm da $q_2 = -2$ nC: $V = 9\cdot10^9\left(\frac{2\cdot10^{-9}}{0{,}03} - \frac{2\cdot10^{-9}}{0{,}06}\right) = 300$ V.

Questo rende il potenziale spesso più facile da calcolare del campo: non ci sono componenti da proiettare.

Anello sull'asse. Tutti i pezzetti $dq$ distano $\sqrt{R^2 + z^2}$ dal punto: $$V(z) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{\sqrt{R^2 + z^2}}.$$ Al centro $V = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 R} \ne 0$, anche se lì il campo è nullo: campo nullo non significa potenziale nullo (significa potenziale localmente costante).

Quando il potenziale all'infinito non si può azzerare

Per distribuzioni che si estendono all'infinito (filo indefinito, piano indefinito) l'integrale da $\infty$ diverge: si calcolano solo differenze di potenziale integrando il campo tra due punti.

Filo indefinito. $E = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}$ radiale:

Formula (differenza di potenziale di un filo indefinito). $$V(r_B) - V(r_A) = -\int_{r_A}^{r_B}\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}dr = -\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\frac{r_B}{r_A}.$$

Esempio. $\lambda = 20$ nC/m, da $r_A = 1$ cm a $r_B = 4$ cm: $V_B - V_A = -\frac{2\cdot10^{-8}}{2\pi\cdot8{,}854\cdot10^{-12}}\ln4 = -498$ V.

Piano indefinito. $E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$ uniforme in ciascun semispazio:

Formula (differenza di potenziale di un piano indefinito). $$V(z_B) - V(z_A) = -\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}(z_B - z_A) \quad \text{(punti dalla stessa parte, } z \text{ distanza dal piano)}.$$

Due punti simmetrici rispetto al piano hanno lo stesso potenziale (per simmetria).

Esempio (primo appello 23.01.2024, Esercizio 1 · filo carico e piano carico, potenziale e velocità). Filo con $\lambda = 20$ nC/m a distanza $h = 3$ cm da un piano; i punti $A$ e $B$ sono simmetrici rispetto al piano, a $h/2$ e $3h/2$ dal filo. Il piano non contribuisce (punti simmetrici), il filo dà

$$V_B - V_A = -\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\frac{3h/2}{h/2} = -\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln 3 \approx -395\ \text{V}.$$

Riepilogo

Errori comuni

• Dimenticare il segno meno nella definizione: andando nel verso del campo il potenziale scende.
• Sommare i potenziali come vettori: sono scalari, si sommano con il loro segno.
• Scegliere $V(\infty) = 0$ per un filo o un piano indefinito: il potenziale divergerebbe; si lavora con differenze.
• Confondere $V$ e $E$: in un punto può essere $E = 0$ e $V \ne 0$ (centro dell'anello) o $V = 0$ e $E \ne 0$ (punto medio tra due cariche opposte).