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Note per Studenti Campo come gradiente del potenziale e superfici equipotenziali

Campo come gradiente del potenziale e superfici equipotenziali

In questa pagina 4

Lezione dell'08.10 (sezioni 2.4 e 2.5 del libro di testo). Prerequisiti: Lavoro della forza elettrica e potenziale elettrostaticoIl lavoro della forza elettrostatica non dipende dal percorso (campo conservativo, circuitazione nulla); si definisce quindi il potenziale V con V(B) − V(A) = −∫ da A a B di E·ds, misurato in volt (1 V = 1 J/C). Carica puntiforme: V = q/(4πε₀r) con V(∞) = 0; più cariche: somma (scalare) dei potenziali. La forza elettromotrice di un percorso chiuso è la circuitazione di E, nulla in elettrostatica.Lavoro della forza elettrica e potenziale elettrostatico →. L'operatore ∇\nabla torna in Divergenza, rotore ed equazioni di Maxwell per l'elettrostaticaCon l'operatore nabla ∇ = (∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z) si definiscono divergenza ∇·E (quanto campo "nasce" in un punto) e rotore ∇×E (quanto campo "gira"). Teoremi della divergenza e di Stokes trasformano le leggi integrali in leggi locali: le equazioni dell'elettrostatica sono ∮E·n dS = Q/ε₀ ⇔ ∇·E = ρ/ε₀ e ∮E·ds = 0 ⇔ ∇×E = 0; da E = −∇V segue l'equazione di Poisson ∇²V = −ρ/ε₀.Divergenza, rotore ed equazioni di Maxwell per l'elettrostatica →.

Dal campo al potenziale e ritorno

Il potenziale si ottiene dal campo con un integrale, V(B)−V(A)=−∫ABE⃗⋅ds⃗V(B) - V(A) = -\int_A^B\vec E\cdot d\vec s. Si può fare il cammino inverso, con una derivata.

Caso unidimensionale. Per uno spostamento piccolo dxdx lungo xx: dV=−Ex dxdV = -E_x\,dx, quindi

Ex=−dVdx.E_x = -\frac{dV}{dx}.

Il campo è la pendenza del potenziale cambiata di segno: dove il potenziale scende ripidamente, il campo è intenso e punta nel verso della discesa.

Caso generale. Per uno spostamento qualsiasi ds⃗=(dx,dy,dz)d\vec s = (dx, dy, dz):

dV=−E⃗⋅ds⃗=−(Ex dx+Ey dy+Ez dz).dV = -\vec E\cdot d\vec s = -(E_x\,dx + E_y\,dy + E_z\,dz).

D'altra parte, per una funzione di tre variabili, dV=∂V∂xdx+∂V∂ydy+∂V∂zdzdV = \frac{\partial V}{\partial x}dx + \frac{\partial V}{\partial y}dy + \frac{\partial V}{\partial z}dz (differenziale totale). Confrontando termine a termine:

Formula (campo come gradiente del potenziale). E⃗=−∇V,Ex=−∂V∂x,Ey=−∂V∂y,Ez=−∂V∂z.\vec E = -\nabla V, \qquad E_x = -\frac{\partial V}{\partial x}, \quad E_y = -\frac{\partial V}{\partial y}, \quad E_z = -\frac{\partial V}{\partial z}.

Esempio. V=5x2V = 5x^2 (in volt, con xx in metri): Ex=−dVdx=−10xE_x = -\frac{dV}{dx} = -10x, quindi in x=2x = 2 m è Ex=−20E_x = -20 V/m.

Il gradiente ∇V=(∂V∂x,∂V∂y,∂V∂z)\nabla V = \left(\frac{\partial V}{\partial x}, \frac{\partial V}{\partial y}, \frac{\partial V}{\partial z}\right) è il vettore che indica la direzione in cui VV cresce più rapidamente, e il cui modulo è quella rapidità di crescita. Il campo punta nel verso opposto: dove VV decresce più rapidamente.

Le derivate parzialiSi deriva rispetto a una variabile trattando le altre come costanti. si calcolano come derivate ordinarie, tenendo fisse le altre variabili.

Perché è utile. Il potenziale è uno scalare e si calcola con una somma di numeri; il campo è un vettore e richiede di sommare componenti. Spesso conviene calcolare VV e poi derivare.

Esempi

Carica puntiforme. V=q4πε0rV = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r} dipende solo da rr; la derivata rispetto a rr dà la componente radiale: Er=−dVdr=q4πε0r2. ✓E_r = -\frac{dV}{dr} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}. \ ✓

Anello sull'asse. V(z)=q4πε0R2+z2V(z) = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0\sqrt{R^2 + z^2}}: Ez=−dVdz=−q4πε0⋅(−12)2z(R2+z2)3/2=qz4πε0(R2+z2)3/2,E_z = -\frac{dV}{dz} = -\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\left(-\frac12\right)\frac{2z}{(R^2 + z^2)^{3/2}} = \frac{qz}{4\pi\varepsilon_0(R^2 + z^2)^{3/2}}, lo stesso risultato ottenuto integrando in Distribuzioni continue di carica - filo, anello, disco, pianoUna carica distribuita si descrive con densità lineare λ, superficiale σ o volumetrica ρ; il campo si ottiene sommando (integrando) i campi dE = dq/(4πε₀r²) dei pezzetti dq, sfruttando le simmetrie. Risultati: filo indefinito E = λ/(2πε₀r), anello sull'asse E = qz/(4πε₀(R²+z²)^(3/2)), disco sull'asse E = σ/(2ε₀)·(1 − z/√(R²+z²)), piano indefinito E = σ/(2ε₀) uniforme.Distribuzioni continue di carica - filo, anello, disco, piano →, con molti meno conti.

Attenzione: conoscere VV solo lungo l'asse dà solo la componente del campo lungo l'asse. Per le componenti trasversali servirebbe VV anche fuori dall'asse (qui sono nulle per simmetria).

Campo uniforme. Se V=−Ex+costV = -Ex + \text{cost}, allora Ex=EE_x = E: un potenziale che varia linearmente corrisponde a un campo uniforme.

Esempio numerico. Se V(x,y)=3x2y−2yV(x, y) = 3x^2 y - 2y (in volt, con x,yx, y in metri), nel punto (1,2)(1, 2): Ex=−6xy=−12 V/m,Ey=−(3x2−2)=−1 V/m.E_x = -6xy = -12\ \text{V/m}, \qquad E_y = -(3x^2 - 2) = -1\ \text{V/m}.

Superfici equipotenziali

Definizione (superficie equipotenziale). Una superficie equipotenziale è l'insieme dei punti in cui il potenziale ha lo stesso valore: V(x,y,z)=costanteV(x, y, z) = \text{costante}.

Esempio. Carica q=2q = 2 nC: le equipotenziali sono sfere; V=600V = 600 V a r=3r = 3 cm e V=300V = 300 V a r=6r = 6 cm, quindi a VV dimezzato il raggio raddoppia.

Proprietà

  1. Spostarsi su una equipotenziale non costa lavoro: W=−q ΔV=0W = -q\,\Delta V = 0.
  2. Le linee di campo sono perpendicolari alle equipotenziali. Per uno spostamento ds⃗d\vec s tangente alla superficie dV=0dV = 0, quindi E⃗⋅ds⃗=0\vec E\cdot d\vec s = 0: il campo è perpendicolare a ogni direzione tangente, cioè alla superficie.
  3. Il campo punta da equipotenziali più alte a più basse.
  4. Dove le equipotenziali (disegnate a intervalli di VV uguali) sono fitte, il campo è intenso: lo stesso ΔV\Delta V si percorre in una distanza minore, e E≈ΔVΔsE \approx \frac{\Delta V}{\Delta s}.
  5. Due equipotenziali diverse non si intersecano.

Esempi

Sorgente Equipotenziali Linee di campo
carica puntiforme sfere concentriche semirette radiali
filo indefinito cilindri coassiali semirette radiali perpendicolari al filo
piano indefinito, campo uniforme piani paralleli rette perpendicolari ai piani
conduttore in equilibrio la sua superficie è equipotenziale perpendicolari alla superficie

Per una carica puntiforme le sfere equipotenziali a intervalli uguali di VV diventano sempre più distanziate allontanandosi (perché V∝1rV \propto \frac1r cambia sempre più lentamente): il campo si indebolisce.

Grafico interattivo: Sezione delle equipotenziali di una carica q = 2 nC per V = 600, 500, 400, 300 e 200 V (raggi 3; 3,6; 4,5; 6; 9 cm; quella da 100 V, a 18 cm, è fuori figura) e linee di campo radiali (ascissa e ordinata in cm): a intervalli uguali di V le circonferenze si diradano allontanandosi, perché il campo si indebolisce

L'ultima riga anticipa un risultato importante: in un conduttore in equilibrio il campo interno è nullo, quindi tutto il conduttore è allo stesso potenziale e il campo esterno è perpendicolare alla superficie (Conduttori in equilibrio, conduttori cavi e schermo elettrostaticoIn un conduttore in equilibrio il campo interno è nullo, il conduttore è tutto allo stesso potenziale, la carica sta sulla superficie e appena fuori il campo è perpendicolare alla superficie con modulo σ/ε₀ (teorema di Coulomb). In una cavità vuota il campo è nullo (schermo elettrostatico); una carica q dentro la cavità induce −q sulla parete interna e +q su quella esterna (induzione completa).Conduttori in equilibrio, conduttori cavi e schermo elettrostatico →).

Formula Significato
E⃗=−∇V\vec E = -\nabla V campo dal potenziale
Ex=−∂V/∂xE_x = -\partial V/\partial x componente lungo xx
V=V = cost. superficie equipotenziale
E⃗⊥\vec E \perp equipotenziali sempre

Errori comuni

  • Dimenticare il segno meno: il campo punta verso i potenziali decrescenti.
  • Derivare un potenziale noto solo lungo una retta e pretendere tutte le componenti del campo.
  • Pensare che su una equipotenziale il campo sia nullo: è il lavoro per spostarsi lungo di essa a essere nullo; il campo c'è ed è perpendicolare.

Versione ripasso

Prerequisiti: Lavoro della forza elettrica e potenziale elettrostaticoIl lavoro della forza elettrostatica non dipende dal percorso (campo conservativo, circuitazione nulla); si definisce quindi il potenziale V con V(B) − V(A) = −∫ da A a B di E·ds, misurato in volt (1 V = 1 J/C). Carica puntiforme: V = q/(4πε₀r) con V(∞) = 0; più cariche: somma (scalare) dei potenziali. La forza elettromotrice di un percorso chiuso è la circuitazione di E, nulla in elettrostatica.Lavoro della forza elettrica e potenziale elettrostatico →. Segue: Divergenza, rotore ed equazioni di Maxwell per l'elettrostaticaCon l'operatore nabla ∇ = (∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z) si definiscono divergenza ∇·E (quanto campo "nasce" in un punto) e rotore ∇×E (quanto campo "gira"). Teoremi della divergenza e di Stokes trasformano le leggi integrali in leggi locali: le equazioni dell'elettrostatica sono ∮E·n dS = Q/ε₀ ⇔ ∇·E = ρ/ε₀ e ∮E·ds = 0 ⇔ ∇×E = 0; da E = −∇V segue l'equazione di Poisson ∇²V = −ρ/ε₀.Divergenza, rotore ed equazioni di Maxwell per l'elettrostatica →.

Dal potenziale al campo

Da dV=−E⃗⋅ds⃗=−(Exdx+Eydy+Ezdz)dV = -\vec E\cdot d\vec s = -(E_x dx + E_y dy + E_z dz) e dal differenziale totale di VV:

E⃗=−∇V,Ex=−∂V∂x, Ey=−∂V∂y, Ez=−∂V∂z.\vec E = -\nabla V,\qquad E_x = -\frac{\partial V}{\partial x},\ E_y = -\frac{\partial V}{\partial y},\ E_z = -\frac{\partial V}{\partial z}.

Superfici equipotenziali (V=V = cost.)

  1. Spostarsi su una equipotenziale non costa lavoro (W=−qΔV=0W = -q\Delta V = 0).
  2. Le linee di campo sono perpendicolari alle equipotenziali (su uno spostamento tangente dV=0⇒E⃗⋅ds⃗=0dV = 0 \Rightarrow \vec E\cdot d\vec s = 0).
  3. Il campo punta da potenziali alti a bassi; dove le equipotenziali (a ΔV\Delta V costante) sono fitte il campo è intenso (E≈ΔV/ΔsE \approx \Delta V/\Delta s).
  4. Due equipotenziali diverse non si intersecano.
sorgente equipotenziali linee di campo
carica puntiforme sfere concentriche semirette radiali
filo indefinito cilindri coassiali radiali, perpendicolari al filo
piano indefinito piani paralleli rette perpendicolari ai piani
conduttore in equilibrio la sua superficie perpendicolari alla superficie (Conduttori in equilibrio, conduttori cavi e schermo elettrostaticoIn un conduttore in equilibrio il campo interno è nullo, il conduttore è tutto allo stesso potenziale, la carica sta sulla superficie e appena fuori il campo è perpendicolare alla superficie con modulo σ/ε₀ (teorema di Coulomb). In una cavità vuota il campo è nullo (schermo elettrostatico); una carica q dentro la cavità induce −q sulla parete interna e +q su quella esterna (induzione completa).Conduttori in equilibrio, conduttori cavi e schermo elettrostatico →)

Errori tipici: dimenticare il segno meno; ricavare tutte le componenti da un potenziale noto solo su una retta; pensare che sull'equipotenziale il campo sia nullo (è nullo il lavoro lungo di essa, il campo c'è ed è perpendicolare).

Teoria collegata