Divergenza, rotore ed equazioni di Maxwell per l'elettrostatica

Lezione del 20.10 (sezioni 2.6 e 3.4 ed esercizio 3.5 del libro di testo). Prerequisiti: Flusso elettrico e legge di GaussIl flusso di E attraverso una superficie è Φ = ∫ E·n dS (quante linee di campo la attraversano). Legge di Gauss: il flusso uscente da qualunque superficie chiusa è uguale alla carica interna divisa per ε₀, Φ = Q_int/ε₀; le cariche esterne danno flusso totale nullo. Si dimostra con l'angolo solido ed è conseguenza diretta del fatto che il campo di Coulomb va come 1/r².Flusso elettrico e legge di Gauss →, Lavoro della forza elettrica e potenziale elettrostaticoIl lavoro della forza elettrostatica non dipende dal percorso (campo conservativo, circuitazione nulla); si definisce quindi il potenziale V con V(B) − V(A) = −∫ da A a B di E·ds, misurato in volt (1 V = 1 J/C). Carica puntiforme: V = q/(4πε₀r) con V(∞) = 0; più cariche: somma (scalare) dei potenziali. La forza elettromotrice di un percorso chiuso è la circuitazione di E, nulla in elettrostatica.Lavoro della forza elettrica e potenziale elettrostatico →, Campo come gradiente del potenziale e superfici equipotenzialiIl campo si ottiene dal potenziale come E = −∇V, cioè Ex = −∂V/∂x, Ey = −∂V/∂y, Ez = −∂V/∂z: punta dove V diminuisce più rapidamente e il suo modulo è la rapidità di variazione. Le superfici equipotenziali (V costante) sono sempre perpendicolari alle linee di campo, e spostarsi su di esse non costa lavoro.Campo come gradiente del potenziale e superfici equipotenziali →. Le stesse operazioni servono per il campo magnetico (Legge di Ampère e circuitazione del campo magneticoLegge di Ampère: la circuitazione di B lungo una curva chiusa qualsiasi è μ0 per la somma (con segno) delle correnti concatenate, ∮B·ds = μ0 Σi; con il teorema di Stokes diventa rot B = μ0 J. B quindi non è conservativo. Con curve simmetriche dà subito: filo B = μ0 i/(2πr); cilindro pieno B = μ0 i r/(2πR²) dentro; solenoide indefinito B = μ0 n i dentro e 0 fuori; toroide B = μ0 N i/(2πr). Con la legge di Gauss magnetica forma le equazioni di Maxwell per i campi statici; per correnti non stazionarie va corretta con la corrente di spostamento.Legge di Ampère e circuitazione del campo magnetico →) e per le equazioni di Maxwell completeLa legge di Ampère non vale per correnti non stazionarie (condensatore in carica). Maxwell aggiunse la corrente di spostamento i_s = ε0 dΦ(E)/dt, che tra le armature di un condensatore è uguale alla corrente di conduzione nei fili: legge di Ampère-Maxwell ∮B·ds = μ0(i + ε0 dΦ(E)/dt), rot B = μ0 J + μ0ε0 ∂E/∂t. Con Gauss elettrica, Gauss magnetica e Faraday formano le quattro equazioni di Maxwell. Nel vuoto senza sorgenti E e B soddisfano l'equazione delle onde, con velocità c = 1/√(ε0μ0) = 3·10⁸ m/s: la luce è un'onda elettromagnetica, con E ⊥ B ⊥ direzione di propagazione ed E = cB.Corrente di spostamento ed equazioni di Maxwell →. Passare dalla forma integrale a quella locale è una domanda d'esame ricorrente.

Forma integrale e forma locale

Le due leggi dell'elettrostatica trovate finora sono integrali: riguardano superfici e curve finite.

1. Gauss: $\oint_S\vec E\cdot\hat n\,dS = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}$.
2. Campo conservativo: $\oint_\gamma\vec E\cdot d\vec s = 0$.

Si vuole una versione locale, cioè un'equazione che valga punto per punto e leghi il campo in un punto alla carica in quello stesso punto. Servono due operazioni differenziali.

L'operatore nabla

$$\nabla = \left(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}\right).$$

Non è un vettore vero e proprio, ma un "vettore di derivate" che si usa con le regole formali del calcolo vettoriale:

Divergenza e teorema della divergenza

Significato. La divergenza in un punto è il flusso uscente per unità di volume da una superficie piccolissima attorno al punto: $$\nabla\cdot\vec E = \lim_{\Delta V \to 0}\frac{1}{\Delta V}\oint_{\partial(\Delta V)}\vec E\cdot\hat n\,dS.$$ Divergenza positiva: il punto è una "sorgente" da cui le linee escono; negativa: un "pozzo" dove entrano; nulla: tante linee entrano quante ne escono.

Perché la formula con le derivate. Si prende un cubetto di lati $dx, dy, dz$. Il flusso attraverso le due facce perpendicolari a $x$ è $E_x(x + dx)\,dy\,dz - E_x(x)\,dy\,dz \approx \frac{\partial E_x}{\partial x}dx\,dy\,dz$ (la faccia di sinistra ha normale verso $-x$). Sommando le tre coppie di facce e dividendo per il volume $dx\,dy\,dz$ si ottiene $\frac{\partial E_x}{\partial x} + \frac{\partial E_y}{\partial y} + \frac{\partial E_z}{\partial z}$.

Teorema della divergenza (di Gauss-Green). Per un campo vettoriale regolare e un volume $V$ con bordo $S$: $$\oint_S\vec E\cdot\hat n\,dS = \int_V\nabla\cdot\vec E\,dV.$$

Esempio. $\vec E = (2x, 0, 0)$ sul cubo di lato $1$ m con uno spigolo nell'origine: $\nabla\cdot\vec E = 2$, quindi $\int_V\nabla\cdot\vec E\,dV = 2$; il flusso uscente è $2$ (faccia $x=1$) $+\ 0$ (faccia $x=0$) $=2$.

Il flusso uscente totale è la somma dei flussi uscenti dai cubetti in cui si divide il volume: attraverso le facce interne in comune il flusso esce da un cubetto ed entra nel vicino, e si cancella; resta solo il flusso attraverso il bordo esterno.

Rotore e teorema di Stokes

$$\nabla\times\vec E = \begin{vmatrix}\hat u_x & \hat u_y & \hat u_z \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ E_x & E_y & E_z\end{vmatrix} = \left(\frac{\partial E_z}{\partial y} - \frac{\partial E_y}{\partial z},\ \frac{\partial E_x}{\partial z} - \frac{\partial E_z}{\partial x},\ \frac{\partial E_y}{\partial x} - \frac{\partial E_x}{\partial y}\right).$$

Significato. La componente del rotore lungo una direzione $\hat n$ è la circuitazione per unità di area lungo un piccolo circuito perpendicolare a $\hat n$: misura quanto il campo "gira" attorno al punto. Un mulinello messo nel "fluido" del campo ruoterebbe dove il rotore è diverso da zero.

Teorema di Stokes (del rotore). Per una curva chiusa $\gamma$ e una qualunque superficie $S$ che ha $\gamma$ come bordo (orientata con la regola della mano destra): $$\oint_\gamma\vec E\cdot d\vec s = \int_S(\nabla\times\vec E)\cdot\hat n\,dS.$$

Esempio. $\vec E = (-y, x, 0)$ su una circonferenza di raggio $1$ m: $\oint\vec E\cdot d\vec s = 1\cdot2\pi = 2\pi$ e $\nabla\times\vec E = 2\hat k$, quindi $\int_S(\nabla\times\vec E)\cdot\hat n\,dS = 2\pi$ (campo non elettrostatico).

Stesso ragionamento: si divide la superficie in quadratini; le circuitazioni sui lati interni in comune si cancellano (percorsi in versi opposti), resta la circuitazione sul bordo.

Le equazioni di Maxwell dell'elettrostatica

Prima equazione: Gauss in forma locale

Si scrive la carica interna come integrale della densità, $Q_{\text{int}} = \int_V\rho\,dV$, e si applica il teorema della divergenza al primo membro:

$$\int_V\nabla\cdot\vec E\,dV = \oint_S\vec E\cdot\hat n\,dS = \frac{1}{\varepsilon_0}\int_V\rho\,dV.$$

Questo vale per ogni volume $V$. Due funzioni che hanno lo stesso integrale su ogni volume, anche piccolissimo, coincidono punto per punto:

Legge (legge di Gauss in forma locale). $$\nabla\cdot\vec E = \frac{\rho}{\varepsilon_0}.$$

Esempio. Densità di carica $\rho = 5$ nC/m$^3$: $\nabla\cdot\vec E = \frac{\rho}{\varepsilon_0} = 565\ \text{V/m}^2$.

Il campo "nasce" dove c'è carica positiva e "muore" dove c'è carica negativa; nel vuoto, senza cariche, $\nabla\cdot\vec E = 0$.

Seconda equazione: campo irrotazionale

Per il teorema di Stokes, $\oint_\gamma\vec E\cdot d\vec s = 0$ per ogni curva diventa $\int_S(\nabla\times\vec E)\cdot\hat n\,dS = 0$ per ogni superficie, quindi

Legge (il campo elettrostatico è irrotazionale). $$\nabla\times\vec E = 0.$$

Esempio. $\vec E = (y, x, 0)$ ha $\nabla\times\vec E = \left(0, 0, \frac{\partial E_y}{\partial x} - \frac{\partial E_x}{\partial y}\right) = (0,0,1-1) = \vec 0$: può essere elettrostatico, con $V = -xy$.

Il campo elettrostatico è irrotazionale. È equivalente a dire che esiste un potenziale con $\vec E = -\nabla V$ (il rotore di un gradiente è sempre zero, perché le derivate miste sono uguali: ad esempio $\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial V}{\partial y} - \frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial V}{\partial x} = 0$).

Equazioni di Poisson e di Laplace

Sostituendo $\vec E = -\nabla V$ nella prima equazione: $\nabla\cdot(-\nabla V) = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$, cioè

Legge (equazioni di Poisson e di Laplace). $$\nabla^2 V = -\frac{\rho}{\varepsilon_0} \quad \text{(Poisson)}, \qquad \nabla^2 V = 0 \ \text{nelle regioni senza carica (Laplace)}.$$

Esempio. $V = 100x^2$ (volt, metri): $\nabla^2V = 200$, quindi $\rho = -\varepsilon_0\cdot200 = -1{,}77\cdot10^{-9}\ \text{C/m}^3$.

Un'unica equazione per un'unica funzione scalare contiene tutta l'elettrostatica: risolta con le condizioni al contorno (per esempio i potenziali dei conduttori), dà il potenziale e quindi il campo.

Esempi di verifica

Sfera piena uniforme. Dentro, $\vec E = \frac{\rho}{3\varepsilon_0}\vec r = \frac{\rho}{3\varepsilon_0}(x, y, z)$ (Legge di Gauss - guscio, sfera, cilindro e pianoCon la legge di Gauss e una superficie scelta secondo la simmetria si trovano subito i campi: guscio sferico (nullo dentro, q/(4πε₀r²) fuori), sfera piena uniforme (ρr/(3ε₀) dentro, cresce linearmente), cilindro o filo indefinito (λ/(2πε₀r) fuori), piano indefinito (σ/(2ε₀)); integrando il campo si ottengono i potenziali.Legge di Gauss - guscio, sfera, cilindro e piano →). Divergenza: $\frac{\rho}{3\varepsilon_0}(1 + 1 + 1) = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$ ✓. Fuori il campo va come $\frac{\vec r}{r^3}$, e un conto diretto dà divergenza nulla (non c'è carica) ✓.

Campo uniforme $\vec E = (0, 0, E_0)$: tutte le derivate sono nulle, divergenza e rotore nulli. Infatti tra le armature di un condensatore non c'è carica.

Un campo che non è elettrostatico. $\vec E = (-y, x, 0)$: $\nabla\times\vec E = (0, 0, 1 - (-1)) = (0, 0, 2) \ne 0$. Questo campo "gira" attorno all'asse $z$ e non può essere prodotto da cariche ferme. Campi di questo tipo nascono da campi magnetici variabili (Legge di Faraday-Neumann-Lenz e fem indottaQuando il flusso di B concatenato con un circuito cambia nel tempo, nel circuito compare la fem indotta ℰ = −dΦ/dt (legge di Faraday-Neumann); il segno meno (legge di Lenz) dice che la corrente indotta si oppone alla variazione di flusso. Il flusso può cambiare perché cambia B, l'area, l'orientazione o la posizione del circuito. Sbarretta su rotaie: ℰ = Bℓv, forza frenante B²ℓ²v/R, potenza meccanica uguale a quella dissipata; lasciata libera rallenta come v₀e^(−t/τ) con τ = mR/(B²ℓ²). Legge di Felici: la carica che circola è q = ΔΦ/R. In forma generale ∮E·ds = −dΦ/dt, cioè rot E = −∂B/∂t: il campo elettrico indotto non è conservativo.Legge di Faraday-Neumann-Lenz e fem indotta →).

Errori comuni

• Confondere divergenza (scalare) e rotore (vettore).
• Concludere "flusso nullo ⇒ $\rho = 0$ ovunque": un flusso totale nullo dice solo che la carica totale interna è zero.
• Dimenticare l'argomento "per ogni volume" nel passaggio dall'uguaglianza degli integrali all'uguaglianza delle funzioni: è il punto chiave della dimostrazione.