Forza elettromotrice e resistenza interna del generatore

Lezione del 10.11 (sezioni 5.6 e 5.7 del libro di testo). Prerequisiti: Lavoro della forza elettrica e potenziale elettrostaticoIl lavoro della forza elettrostatica non dipende dal percorso (campo conservativo, circuitazione nulla); si definisce quindi il potenziale V con V(B) − V(A) = −∫ da A a B di E·ds, misurato in volt (1 V = 1 J/C). Carica puntiforme: V = q/(4πε₀r) con V(∞) = 0; più cariche: somma (scalare) dei potenziali. La forza elettromotrice di un percorso chiuso è la circuitazione di E, nulla in elettrostatica.Lavoro della forza elettrica e potenziale elettrostatico →, Conduzione, legge di Ohm ed effetto JouleNel modello classico gli elettroni accelerano nel campo e vengono frenati dagli urti, raggiungendo una velocità di deriva proporzionale a E: J = σE (legge di Ohm locale, σ = ne²τ/m, resistività ρ = 1/σ). Per un filo R = ρL/Σ e ΔV = Ri. La potenza ceduta al conduttore e dissipata in calore è P = iΔV = Ri² = ΔV²/R (effetto Joule). Resistenze in serie si sommano, in parallelo si sommano gli inversi.Conduzione, legge di Ohm ed effetto Joule →. Seguito: Carica e scarica di un condensatore (circuito RC)In un circuito RC la carica non cambia istantaneamente: in carica q(t) = Cℰ(1 − e^(−t/τ)), i(t) = (ℰ/R)e^(−t/τ); in scarica q(t) = q₀e^(−t/τ), con costante di tempo τ = RC (dopo circa 5τ il transitorio è finito). Durante la carica il generatore fornisce Cℰ², metà va nel condensatore e metà è dissipata nella resistenza; in scarica tutta l'energia ½q₀²/C si dissipa, con legge e^(−2t/τ).Carica e scarica di un condensatore (circuito RC) →.

Perché serve un generatore

In un circuito chiuso percorso da corrente stazionaria, le cariche percorrono un giro completo e tornano al punto di partenza. Lungo le resistenze perdono energia (effetto Joule). Ma il campo elettrostatico è conservativo: la sua circuitazione è nulla, quindi in un giro completo non può restituire alle cariche l'energia persa (Lavoro della forza elettrica e potenziale elettrostaticoIl lavoro della forza elettrostatica non dipende dal percorso (campo conservativo, circuitazione nulla); si definisce quindi il potenziale V con V(B) − V(A) = −∫ da A a B di E·ds, misurato in volt (1 V = 1 J/C). Carica puntiforme: V = q/(4πε₀r) con V(∞) = 0; più cariche: somma (scalare) dei potenziali. La forza elettromotrice di un percorso chiuso è la circuitazione di E, nulla in elettrostatica.Lavoro della forza elettrica e potenziale elettrostatico →).

Serve dunque una regione in cui agisce sulle cariche una forza non elettrostatica che le "riporta in salita", da potenziale basso a potenziale alto: è il generatore. La forza può essere di origine chimica (pila, batteria), meccanica ed elettromagnetica (dinamo, alternatore, vedi Legge di Faraday-Neumann-Lenz e fem indottaQuando il flusso di B concatenato con un circuito cambia nel tempo, nel circuito compare la fem indotta ℰ = −dΦ/dt (legge di Faraday-Neumann); il segno meno (legge di Lenz) dice che la corrente indotta si oppone alla variazione di flusso. Il flusso può cambiare perché cambia B, l'area, l'orientazione o la posizione del circuito. Sbarretta su rotaie: ℰ = Bℓv, forza frenante B²ℓ²v/R, potenza meccanica uguale a quella dissipata; lasciata libera rallenta come v₀e^(−t/τ) con τ = mR/(B²ℓ²). Legge di Felici: la carica che circola è q = ΔΦ/R. In forma generale ∮E·ds = −dΦ/dt, cioè rot E = −∂B/∂t: il campo elettrico indotto non è conservativo.Legge di Faraday-Neumann-Lenz e fem indotta →), luminosa (cella fotovoltaica).

Analogia idraulica: in un circuito d'acqua chiuso l'acqua scende attraverso le turbine (resistenze) e una pompa (generatore) la riporta in alto.

Campo elettromotore e forza elettromotrice

Si descrive la forza non elettrostatica per unità di carica con un campo elettromotore $\vec E^*$, diverso da zero solo dentro il generatore. La forza totale su una carica è $q(\vec E_{el} + \vec E^*)$.

Definizione (forza elettromotrice). La forza elettromotrice (f.e.m.) del generatore è la circuitazione del campo totale lungo il circuito: $$\mathcal E = \oint(\vec E_{el} + \vec E^*)\cdot d\vec s = \oint\vec E^*\cdot d\vec s = \int_{-}^{+}\vec E^*\cdot d\vec s,$$ cioè il lavoro per unità di carica fatto dal generatore per portare la carica dal polo negativo al polo positivo, al suo interno. Unità: volt.

Esempio. Una pila che fornisce $1{,}5$ J a ogni coulomb spostato dal polo negativo al positivo ha $\mathcal E = 1{,}5$ V.

(La circuitazione del campo elettrostatico è nulla, quindi resta solo quella di $\vec E^*$, che è diverso da zero solo nel generatore.)

Generatore ideale a circuito aperto. Se non circola corrente, dentro il generatore le cariche sono in equilibrio: il campo elettromotore è bilanciato dal campo elettrostatico prodotto dalle cariche accumulate sui poli, $\vec E_{el} = -\vec E^*$. Allora la d.d.p. ai morsetti è uguale alla f.e.m.:

$$V_+ - V_- = -\int_-^+\vec E_{el}\cdot d\vec s = \int_-^+\vec E^*\cdot d\vec s = \mathcal E.$$

Per questo la f.e.m. si misura con un voltmetro ai capi di un generatore che non eroga corrente.

Resistenza interna

Dentro un generatore reale anche le cariche che lo attraversano incontrano resistenza (l'elettrolita di una pila, gli avvolgimenti di una dinamo): si modella come un generatore ideale di f.e.m. $\mathcal E$ in serie a una resistenza interna $r$.

Collegando un carico esterno $R$, nel circuito (una sola maglia) circola la corrente $i$. Il lavoro per unità di carica fatto dal generatore su un giro è $\mathcal E$, e viene speso nelle due resistenze:

$$\mathcal E = Ri + ri \implies i = \frac{\mathcal E}{R + r}.$$

Formula (tensione ai morsetti di un generatore reale): $$\Delta V = \mathcal E - ri = Ri.$$

Il generatore "perde" la tensione $ri$ al suo interno. Conseguenze:

• a vuoto ($i = 0$, circuito aperto): $\Delta V = \mathcal E$;
• in cortocircuito ($R = 0$): $\Delta V = 0$ e la corrente è massima, $i_{cc} = \frac{\mathcal E}{r}$ (pericolosa per le batterie, che si scaldano);
• più corrente si chiede, più la tensione ai morsetti cala (i fari dell'auto si abbassano all'avviamento, quando il motorino assorbe centinaia di ampere).

Esempio. Batteria con $\mathcal E = 12$ V e $r = 0{,}5\ \Omega$ su un carico $R = 5{,}5\ \Omega$: $i = \frac{12}{6} = 2$ A, $\Delta V = 12 - 0{,}5\cdot 2 = 11$ V.

Bilancio di potenza

Moltiplicando $\mathcal E = Ri + ri$ per $i$:

Formula (bilancio di potenza in un circuito con generatore reale). $$\mathcal E i = Ri^2 + ri^2.$$

Esempio. $\mathcal E = 12$ V, $r = 0{,}5\ \Omega$, $R = 5{,}5\ \Omega$, $i = 2$ A: $\mathcal E i = 24$ W $= Ri^2 + ri^2 = 22 + 2$ W.

• $\mathcal E i$: potenza erogata dal generatore (lavoro non elettrostatico per unità di tempo);
• $Ri^2$: potenza trasferita al carico (utile);
• $ri^2$: potenza dissipata dentro il generatore.

Massimo trasferimento di potenza. La potenza sul carico $P = R\frac{\mathcal E^2}{(R + r)^2}$ è massima per $R = r$ (si verifica derivando rispetto a $R$), e vale $\frac{\mathcal E^2}{4r}$. In quella condizione il rendimento è solo il $50\%$. È il criterio dell'adattamento d'impedenza nelle telecomunicazioni (antenne, linee di trasmissione), dove conta trasferire il massimo segnale più che il rendimento.

Energia fornita dal generatore in un transitorio. Se la corrente varia nel tempo, il lavoro del generatore tra $0$ e $t$ è $W = \int_0^t\mathcal E\,i\,dt = \mathcal E\,q(t)$, con $q(t)$ la carica erogata. Nella carica di un condensatore il generatore fornisce $\mathcal E q$, metà va nel condensatore e metà si dissipa (Carica e scarica di un condensatore (circuito RC)In un circuito RC la carica non cambia istantaneamente: in carica q(t) = Cℰ(1 − e^(−t/τ)), i(t) = (ℰ/R)e^(−t/τ); in scarica q(t) = q₀e^(−t/τ), con costante di tempo τ = RC (dopo circa 5τ il transitorio è finito). Durante la carica il generatore fornisce Cℰ², metà va nel condensatore e metà è dissipata nella resistenza; in scarica tutta l'energia ½q₀²/C si dissipa, con legge e^(−2t/τ).Carica e scarica di un condensatore (circuito RC) →).

Leggi di Kirchhoff (richiamo)

Per circuiti con più maglie:

• nodi: la somma delle correnti entranti è uguale a quella delle uscenti (conservazione della carica, regime stazionario);
• maglie: lungo ogni maglia la somma delle f.e.m. è uguale alla somma delle cadute $Ri$ (circuitazione del campo totale).

Riepilogo

Errori comuni

• Confondere f.e.m. e d.d.p. ai morsetti: coincidono solo a circuito aperto (o con $r = 0$).
• Pensare che la f.e.m. sia una forza: è un lavoro per unità di carica, in volt.
• Dimenticare $r$ nel calcolo della corrente quando il testo la fornisce.