Campo magnetico, legge di Gauss magnetica e forza di Lorentz

Lezione del 17.11 (sezioni 6.1, 6.2 e 7.7 del libro di testo). Prerequisiti: Campo elettrostatico di cariche puntiformiIl campo elettrostatico E = F/q₀ è la forza per unità di carica che subirebbe una carica di prova in un punto; per una carica puntiforme vale E = q/(4πε₀r²) in direzione radiale (uscente se q > 0), per più cariche si sommano i vettori; si misura in N/C = V/m e una carica q in un campo E subisce F = qE.Campo elettrostatico di cariche puntiformi →, Flusso elettrico e legge di GaussIl flusso di E attraverso una superficie è Φ = ∫ E·n dS (quante linee di campo la attraversano). Legge di Gauss: il flusso uscente da qualunque superficie chiusa è uguale alla carica interna divisa per ε₀, Φ = Q_int/ε₀; le cariche esterne danno flusso totale nullo. Si dimostra con l'angolo solido ed è conseguenza diretta del fatto che il campo di Coulomb va come 1/r².Flusso elettrico e legge di Gauss →, Divergenza, rotore ed equazioni di Maxwell per l'elettrostaticaCon l'operatore nabla ∇ = (∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z) si definiscono divergenza ∇·E (quanto campo "nasce" in un punto) e rotore ∇×E (quanto campo "gira"). Teoremi della divergenza e di Stokes trasformano le leggi integrali in leggi locali: le equazioni dell'elettrostatica sono ∮E·n dS = Q/ε₀ ⇔ ∇·E = ρ/ε₀ e ∮E·ds = 0 ⇔ ∇×E = 0; da E = −∇V segue l'equazione di Poisson ∇²V = −ρ/ε₀.Divergenza, rotore ed equazioni di Maxwell per l'elettrostatica →. Seguono: Moto di una carica in un campo magnetico uniformeIn un campo B uniforme una carica con velocità perpendicolare a B percorre un moto circolare uniforme di raggio r = mv/(|q|B) con pulsazione ω = |q|B/m e periodo T = 2πm/(|q|B), che non dipendono dalla velocità. Se v ha anche una componente parallela a B il moto è un'elica di passo p = v∥T. Applicazioni: selettore di velocità (E ⊥ B, passa chi ha v = E/B), spettrometro di massa, ciclotrone.Moto di una carica in un campo magnetico uniforme →, Forze e momenti magnetici su circuiti percorsi da correnteSeconda legge elementare di Laplace: su un tratto di filo ds percorso dalla corrente i agisce dF = i ds × B (somma delle forze di Lorentz sui portatori). Filo rettilineo in campo uniforme: F = i L × B; circuito chiuso in campo uniforme: forza totale nulla. Una spira piana ha momento magnetico m = iΣ u_n (N spire: NiΣ u_n); in un campo uniforme subisce il momento meccanico M = m × B, che la fa ruotare verso m parallelo a B, e ha energia potenziale U = −m·B.Forze e momenti magnetici su circuiti percorsi da corrente →.

Fenomeni magnetici

• Alcuni materiali (la magnetite, il ferro magnetizzato) attraggono il ferro. Un ago magnetico libero di ruotare si orienta sempre nello stesso modo: le sue estremità si chiamano polo nord e polo sud.
• Poli dello stesso nome si respingono, poli di nome diverso si attraggono, come le cariche elettriche.
• Differenza fondamentale con le cariche: spezzando una calamita non si isola mai un polo. Ogni pezzo ha di nuovo un nord e un sud. Non esistono monopoli magnetici (cariche magnetiche isolate): la sorgente più semplice del magnetismo è il dipolo magneticoUna coppia nord-sud inseparabile: una calamita piccola o una spira piccola percorsa da corrente, che si comporta allo stesso modo..
• Esperienza di Ørsted (1820): un filo percorso da corrente fa ruotare un ago magnetico vicino. Quindi le correnti, cioè le cariche in moto, producono effetti magnetici, e i magneti esercitano forze sulle correnti. Elettricità e magnetismo sono due aspetti dello stesso fenomeno.

Il campo magnetico $\vec B$

Come per il campo elettrico, si descrive l'interazione con un campo vettoriale $\vec B(\vec r)$, che in ogni punto dello spazio indica come una carica di prova in moto viene deviata. La direzione di $\vec B$ in un punto è quella in cui si dispone un piccolo ago magnetico (dal suo sud al suo nord).

Le linee di campo

• Si disegnano con le stesse regole delle linee di $\vec E$: tangenti a $\vec B$, più fitte dove $B$ è più intenso.
• Fuori da una calamita escono dal polo nord ed entrano nel polo sud; dentro la calamita proseguono dal sud al nord. Sono quindi linee chiuse: non hanno né un punto di partenza né un punto di arrivo.
• Le linee di $\vec E$ elettrostatico invece partono dalle cariche positive e finiscono sulle negative: è questa la differenza che la legge di Gauss magnetica traduce in formula.

La forza di Lorentz

Gli esperimenti mostrano che su una carica $q$ che si muove con velocità $\vec v$ in un campo magnetico agisce una forza:

• proporzionale a $q$ e a $v$;
• nulla se $\vec v$ è parallela a $\vec B$, massima se è perpendicolare;
• sempre perpendicolare sia a $\vec v$ sia a $\vec B$.

Tutte queste proprietà sono quelle di un prodotto vettorialeIl prodotto vettoriale a × b ha modulo a b sin θ, direzione perpendicolare al piano di a e b e verso dato dalla regola della mano destra.Dipolo elettrico e momento in un campo esterno →:

Legge (forza di Lorentz). $$\vec F = q\,\vec v \times \vec B, \qquad F = |q|\,v\,B\sin\theta,$$ con $\theta$ angolo tra $\vec v$ e $\vec B$.

Esempio. Protone con $v = 10^6$ m/s perpendicolare a $B = 0{,}5$ T: $F = 1{,}602\cdot10^{-19}\cdot10^6\cdot0{,}5 = 8{,}01\cdot10^{-14}$ N.

Questa relazione è anche la definizione operativa di $\vec B$: misurando la forza su cariche di prova lanciate in direzioni diverse si ricavano modulo, direzione e verso di $\vec B$.

Verso: la regola della mano destra

1. Il pollice va lungo $\vec v$, l'indice lungo $\vec B$: il medio (perpendicolare ai due) indica $\vec v \times \vec B$.
2. Se la carica è positiva la forza ha il verso di $\vec v \times \vec B$; se è negativa il verso opposto (il segno di $q$ moltiplica il vettore).

Esempio con i versori. $\vec v = v\,\vec u_x$, $\vec B = B\,\vec u_y$: $\vec u_x \times \vec u_y = \vec u_z$, quindi $\vec F = qvB\,\vec u_z$. Le regole cicliche $\vec u_x \times \vec u_y = \vec u_z$, $\vec u_y \times \vec u_z = \vec u_x$, $\vec u_z \times \vec u_x = \vec u_y$ (e il segno meno scambiando l'ordine) bastano per tutti gli esercizi.

Unità di misura

Da $F = qvB$: $[B] = \frac{\text{N}}{\text{C}\cdot\text{m/s}} = \frac{\text{N}}{\text{A}\cdot\text{m}}$. Questa unità si chiama tesla (T):

$$1\ \text{T} = 1\ \frac{\text{N}}{\text{A}\cdot\text{m}}.$$

Ordini di grandezza: campo magnetico terrestre $\approx 5\cdot10^{-5}$ T $= 50\ \mu$T; calamita da frigorifero $\approx 10^{-2}$ T; magneti di laboratorio $\approx 1$ T; risonanza magnetica $1{,}5$–$3$ T. Si usa anche il gauss: $1$ G $= 10^{-4}$ T.

La forza magnetica non compie lavoro

$\vec F$ è perpendicolare a $\vec v$ in ogni istante, quindi la sua potenza è nulla:

$$P = \vec F\cdot\vec v = q(\vec v \times \vec B)\cdot\vec v = 0,$$

perché un prodotto vettoriale è perpendicolare a ciascuno dei suoi fattori. Per il teorema dell'energia cinetica:

Proprietà (la forza magnetica non compie lavoro). La forza di Lorentz magnetica cambia la direzione della velocità ma non il modulo: l'energia cinetica di una carica in un campo magnetico (statico) resta costante.

Esempio. Elettrone con $v = 10^6$ m/s in un campo magnetico statico: $K = \frac12\cdot9{,}109\cdot10^{-31}\cdot10^{12} = 4{,}55\cdot10^{-19}$ J, costante lungo tutta la traiettoria.

Questo fatto si usa continuamente negli esercizi: per esempio nell'appello del 16.09.2025 l'energia cinetica della particella che percorre un'elica è la stessa dell'ingresso (Esercizio 18 · particella su un'elica in un campo magnetico e piano carico).

Forza di Lorentz generalizzata

Se sono presenti sia un campo elettrico sia uno magnetico, le forze si sommano:

Legge (forza di Lorentz generalizzata). $$\vec F = q\left(\vec E + \vec v \times \vec B\right).$$

Esempio. $E = 1000$ V/m e $B = 0{,}01$ T perpendicolari: per $v = E/B = 10^5$ m/s le forze elettrica e magnetica si bilanciano e $\vec F = 0$.

La parte elettrica può cambiare l'energia cinetica (compie lavoro $q\Delta V$), quella magnetica no. Una combinazione importante è il selettore di velocità ($\vec E \perp \vec B$, forze opposte): vedi Moto di una carica in un campo magnetico uniformeIn un campo B uniforme una carica con velocità perpendicolare a B percorre un moto circolare uniforme di raggio r = mv/(|q|B) con pulsazione ω = |q|B/m e periodo T = 2πm/(|q|B), che non dipendono dalla velocità. Se v ha anche una componente parallela a B il moto è un'elica di passo p = v∥T. Applicazioni: selettore di velocità (E ⊥ B, passa chi ha v = E/B), spettrometro di massa, ciclotrone.Moto di una carica in un campo magnetico uniforme →.

Legge di Gauss per il campo magnetico

Enunciato

Per il campo elettrostatico il flusso uscente da una superficie chiusa è $q_{\text{int}}/\varepsilon_0$ (Flusso elettrico e legge di GaussIl flusso di E attraverso una superficie è Φ = ∫ E·n dS (quante linee di campo la attraversano). Legge di Gauss: il flusso uscente da qualunque superficie chiusa è uguale alla carica interna divisa per ε₀, Φ = Q_int/ε₀; le cariche esterne danno flusso totale nullo. Si dimostra con l'angolo solido ed è conseguenza diretta del fatto che il campo di Coulomb va come 1/r².Flusso elettrico e legge di Gauss →): conta le cariche racchiuse, perché da esse partono o arrivano linee di campo. Per il campo magnetico non esistono cariche magnetiche, e le linee sono chiuse: ogni linea che entra in una superficie chiusa deve anche uscirne. Il flusso netto è quindi sempre zero.

Legge di Gauss magnetica (forma integrale): per qualunque superficie chiusa $\Sigma$ $$\Phi_\Sigma(\vec B) = \oint_\Sigma \vec B\cdot\vec u_n\,d\Sigma = 0.$$

Esempio. Cubo di lato $10$ cm in un campo uniforme $B = 0{,}2$ T: ogni faccia perpendicolare al campo ha $|\Phi| = 0{,}2\cdot0{,}01 = 2\cdot10^{-3}$ Wb, ma le due facce opposte hanno segni opposti e il totale è $0$.

Forma locale

Per il teorema della divergenzaIl flusso di un campo uscente da una superficie chiusa è uguale all'integrale della divergenza del campo sul volume racchiuso.Divergenza, rotore ed equazioni di Maxwell per l'elettrostatica →, $\oint_\Sigma \vec B\cdot\vec u_n\,d\Sigma = \int_\tau \nabla\cdot\vec B\,d\tau$. Il flusso è nullo per ogni volume $\tau$, anche piccolissimo, quindi la funzione integranda deve essere nulla in ogni punto:

Legge (legge di Gauss magnetica in forma locale). $$\nabla\cdot\vec B = \frac{\partial B_x}{\partial x} + \frac{\partial B_y}{\partial y} + \frac{\partial B_z}{\partial z} = 0.$$

Esempio. $\vec B = (x, -y, 0)$ (in T, con $x, y$ in metri): $\nabla\cdot\vec B = 1 - 1 = 0$, quindi può essere un campo magnetico.

Si dice che $\vec B$ è un campo solenoidale (a divergenza nulla). È una delle quattro equazioni di Maxwell, ed è valida anche per campi variabili nel tempo (Corrente di spostamento ed equazioni di MaxwellLa legge di Ampère non vale per correnti non stazionarie (condensatore in carica). Maxwell aggiunse la corrente di spostamento i_s = ε0 dΦ(E)/dt, che tra le armature di un condensatore è uguale alla corrente di conduzione nei fili: legge di Ampère-Maxwell ∮B·ds = μ0(i + ε0 dΦ(E)/dt), rot B = μ0 J + μ0ε0 ∂E/∂t. Con Gauss elettrica, Gauss magnetica e Faraday formano le quattro equazioni di Maxwell. Nel vuoto senza sorgenti E e B soddisfano l'equazione delle onde, con velocità c = 1/√(ε0μ0) = 3·10⁸ m/s: la luce è un'onda elettromagnetica, con E ⊥ B ⊥ direzione di propagazione ed E = cB.Corrente di spostamento ed equazioni di Maxwell →).

Conseguenza: il flusso concatenato

Se due superfici aperte $\Sigma_1$ e $\Sigma_2$ hanno lo stesso bordo $C$, insieme formano una superficie chiusa. Il flusso totale (uscente) è nullo, quindi il flusso di $\vec B$ attraverso $\Sigma_1$ è uguale a quello attraverso $\Sigma_2$ (orientate in modo concorde con $C$).

Proprietà (flusso concatenato con una curva chiusa). Il flusso di $\vec B$ attraverso una superficie appoggiata a una curva chiusa dipende solo dalla curva, non dalla superficie scelta. Si parla di flusso concatenato con il circuito $C$.

Esempio. Spira circolare di raggio $5$ cm in $B = 0{,}1$ T perpendicolare: $\Phi = 0{,}1\cdot\pi\cdot0{,}0025 = 7{,}85\cdot10^{-4}$ Wb, lo stesso per qualunque superficie appoggiata alla spira.

È questo che rende ben definito il flusso nella Legge di Faraday-Neumann-Lenz e fem indottaQuando il flusso di B concatenato con un circuito cambia nel tempo, nel circuito compare la fem indotta ℰ = −dΦ/dt (legge di Faraday-Neumann); il segno meno (legge di Lenz) dice che la corrente indotta si oppone alla variazione di flusso. Il flusso può cambiare perché cambia B, l'area, l'orientazione o la posizione del circuito. Sbarretta su rotaie: ℰ = Bℓv, forza frenante B²ℓ²v/R, potenza meccanica uguale a quella dissipata; lasciata libera rallenta come v₀e^(−t/τ) con τ = mR/(B²ℓ²). Legge di Felici: la carica che circola è q = ΔΦ/R. In forma generale ∮E·ds = −dΦ/dt, cioè rot E = −∂B/∂t: il campo elettrico indotto non è conservativo.Legge di Faraday-Neumann-Lenz e fem indotta →: per una spira si può scegliere la superficie più comoda (di solito quella piana).

Confronto tra $\vec E$ elettrostatico e $\vec B$

Domanda d'esame tipo

"Forza di Lorentz e sua applicazione al moto di una particella in campo magnetico uniforme" (appello 23.01.2025): si parte da $\vec F = q\vec v \times \vec B$ e dalle sue proprietà (perpendicolare a $\vec v$, non compie lavoro), poi si studia il moto come in Moto di una carica in un campo magnetico uniformeIn un campo B uniforme una carica con velocità perpendicolare a B percorre un moto circolare uniforme di raggio r = mv/(|q|B) con pulsazione ω = |q|B/m e periodo T = 2πm/(|q|B), che non dipendono dalla velocità. Se v ha anche una componente parallela a B il moto è un'elica di passo p = v∥T. Applicazioni: selettore di velocità (E ⊥ B, passa chi ha v = E/B), spettrometro di massa, ciclotrone.Moto di una carica in un campo magnetico uniforme →.

Errori comuni

• Dimenticare il segno della carica nel verso della forza: per un elettrone la forza è opposta a quella data dalla mano destra.
• Pensare che la forza magnetica possa accelerare una carica nel senso di aumentarne la velocità: cambia solo la direzione.
• Usare $vB$ invece di $vB\sin\theta$ quando $\vec v$ non è perpendicolare a $\vec B$: conta solo la componente di $\vec v$ perpendicolare al campo.
• Scambiare l'ordine nel prodotto vettoriale: $\vec B \times \vec v = -\vec v \times \vec B$.