Campo tra due piani carichi e moto di una carica

Lezione del 06.10 (sezione 1.6 ed esempio 1.8 del libro di testo). Prerequisiti: Distribuzioni continue di carica - filo, anello, disco, pianoUna carica distribuita si descrive con densità lineare λ, superficiale σ o volumetrica ρ; il campo si ottiene sommando (integrando) i campi dE = dq/(4πε₀r²) dei pezzetti dq, sfruttando le simmetrie. Risultati: filo indefinito E = λ/(2πε₀r), anello sull'asse E = qz/(4πε₀(R²+z²)^(3/2)), disco sull'asse E = σ/(2ε₀)·(1 − z/√(R²+z²)), piano indefinito E = σ/(2ε₀) uniforme.Distribuzioni continue di carica - filo, anello, disco, piano →. Il campo uniforme che si ottiene qui è quello del condensatore pianoUn condensatore sono due conduttori in induzione completa con cariche ±q; la capacità C = q/ΔV (farad) dipende solo dalla geometria: piano ε₀S/d, sferico 4πε₀R₁R₂/(R₂ − R₁), cilindrico 2πε₀L/ln(R₂/R₁). In parallelo le capacità si sommano (stessa ΔV), in serie si sommano gli inversi (stessa carica). Con un dielettrico che riempie il condensatore C diventa ε_r C.Condensatori - capacità, serie e parallelo →.

Sovrapposizione di due piani

Ogni piano indefinito con densità $\sigma$ produce un campo di modulo $\frac{|\sigma|}{2\varepsilon_0}$, perpendicolare al piano, uniforme, uscente dal piano se $\sigma > 0$ ed entrante se $\sigma < 0$, da entrambi i lati. Con due piani paralleli lo spazio si divide in tre regioni (sopra, tra, sotto) e in ognuna si sommano i due campi tenendo conto dei versi.

Piani con densità opposte $+\sigma$ e $-\sigma$

Piano $+\sigma$ in basso, piano $-\sigma$ in alto, asse $y$ verso l'alto.

Formula (campo tra due piani con densità opposte). Due piani indefiniti con densità $+\sigma$ e $-\sigma$: $$E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} \ \text{tra i piani (dal positivo al negativo)}, \qquad E = 0 \ \text{fuori}.$$

Esempio. $\sigma = 10$ nC/m$^2$: tra i piani $E = \frac{10^{-8}}{8{,}854\cdot10^{-12}} = 1129$ V/m, fuori $E = 0$.

Il campo è uniforme e confinato tra i piani: è la configurazione del condensatore piano. Le linee di campo sono segmenti paralleli che vanno dal piano positivo a quello negativo.

Piani con densità qualsiasi $\sigma_1$ e $\sigma_2$

Piano 1 in basso, piano 2 in alto. Tra i piani il campo del piano 1 punta in su (se $\sigma_1 > 0$) e quello del piano 2 punta in giù (se $\sigma_2 > 0$):

Formula (campo tra due piani con densità qualsiasi). $$E_{\text{tra}} = \frac{\sigma_1 - \sigma_2}{2\varepsilon_0} \quad \text{(positivo = verso l'alto)}, \qquad E_{\text{sopra}} = \frac{\sigma_1 + \sigma_2}{2\varepsilon_0}, \quad E_{\text{sotto}} = -\frac{\sigma_1 + \sigma_2}{2\varepsilon_0}.$$

Esempio (appello 18.02.2025, Esercizio 11 · particella tra due piani carichi e selettore di velocità): $\sigma_1 = +4{,}2 \cdot 10^{-8}$ C/m² e $\sigma_2 = +8{,}4 \cdot 10^{-8}$ C/m². Tra i piani i campi sono opposti e prevale quello del piano più carico:

$$E = \frac{\sigma_2 - \sigma_1}{2\varepsilon_0} = \frac{4{,}2 \cdot 10^{-8}}{2 \cdot 8{,}85 \cdot 10^{-12}} = 2{,}37 \cdot 10^3\ \text{V/m},$$

diretto dal piano 2 verso il piano 1 (lontano dal piano più carico).

Esempio (appello 26.06.2026, Esercizio 24 · protone tra due piani carichi e poi in un campo magnetico): densità $-5\sigma$ (in basso) e $-\sigma$ (in alto). Il piano $-5\sigma$ attira verso di sé (verso il basso) con $\frac{5\sigma}{2\varepsilon_0}$, il piano $-\sigma$ attira verso l'alto con $\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$: in totale $\frac{4\sigma}{2\varepsilon_0} = \frac{2\sigma}{\varepsilon_0}$ verso il basso.

Moto di una carica in un campo uniforme

L'equazione del moto

In un campo uniforme $\vec E$ una carica $q$ di massa $m$ subisce la forza costante $\vec F = q\vec E$ (il peso è trascurabile per particelle cariche, vedi gli ordini di grandezza in Campo elettrostatico di cariche puntiformiIl campo elettrostatico E = F/q₀ è la forza per unità di carica che subirebbe una carica di prova in un punto; per una carica puntiforme vale E = q/(4πε₀r²) in direzione radiale (uscente se q > 0), per più cariche si sommano i vettori; si misura in N/C = V/m e una carica q in un campo E subisce F = qE.Campo elettrostatico di cariche puntiformi →). Per la seconda legge di Newton:

Formula (accelerazione di una carica in un campo uniforme). $$\vec a = \frac{q\vec E}{m} = \text{costante}.$$

Esempio. Elettrone in $E = 1000$ V/m: $a = \frac{1{,}602\cdot10^{-19}\cdot1000}{9{,}109\cdot10^{-31}} = 1{,}76\cdot10^{14}\ \text{m/s}^2$, diretta contro il campo.

È la stessa situazione di un corpo in caduta libera, con $\frac{q\vec E}{m}$ al posto di $\vec g$: tutto ciò che si sa sul moto del proiettile si applica direttamente. Conta il rapporto $\frac qm$: un elettrone e un protone nello stesso campo hanno forze uguali e opposte, ma l'elettrone accelera circa $1836$ volte di più.

Partenza da ferma: accelerazione lungo il campo

Una carica positiva lasciata ferma accelera lungo il campo con moto uniformemente accelerato. Dopo un tratto $d$ ha velocità $v = \sqrt{2ad} = \sqrt{\frac{2qEd}{m}}$, ed energia cinetica $\frac12 mv^2 = qEd$: è il lavoro della forza elettrica, $F \cdot d$. Questo legame è il punto di partenza del potenziale elettrostaticoIl lavoro della forza elettrostatica non dipende dal percorso (campo conservativo, circuitazione nulla); si definisce quindi il potenziale V con V(B) − V(A) = −∫ da A a B di E·ds, misurato in volt (1 V = 1 J/C). Carica puntiforme: V = q/(4πε₀r) con V(∞) = 0; più cariche: somma (scalare) dei potenziali. La forza elettromotrice di un percorso chiuso è la circuitazione di E, nulla in elettrostatica.Lavoro della forza elettrica e potenziale elettrostatico → ($qEd = q\Delta V$).

Ingresso perpendicolare al campo: la parabola

La carica entra tra i piani con velocità $v_0$ lungo $x$, parallela ai piani; il campo è lungo $y$.

• Lungo $x$ non ci sono forze: moto uniforme, $x(t) = v_0 t$.
• Lungo $y$ accelerazione costante $a = \frac{qE}{m}$, velocità iniziale nulla: $y(t) = \frac12 a t^2$, $v_y(t) = at$.

Eliminando il tempo ($t = \frac{x}{v_0}$) si ottiene la traiettoria:

Formula (traiettoria di una carica che entra perpendicolarmente al campo). $$y = \frac{qE}{2mv_0^2}\,x^2,$$

una parabola. Uscendo dai piani (lunghezza $L$) dopo il tempo $t = \frac{L}{v_0}$, la carica ha:

• deflessione $y_{\text{uscita}} = \frac{qEL^2}{2mv_0^2}$;
• velocità trasversale $v_y = \frac{qEL}{mv_0}$;
• angolo di uscita $\tan\theta = \frac{v_y}{v_0} = \frac{qEL}{mv_0^2}$.

Dopo l'uscita il campo è nullo e la carica prosegue in linea retta. È il principio del tubo a raggi catodici (vecchi televisori e oscilloscopi): variando la tensione tra le placche si decide dove il fascio di elettroni colpisce lo schermo. È anche il principio delle stampanti a getto d'inchiostro a deflessione.

Esempio (appello 18.02.2025): particella con $m = 6{,}64 \cdot 10^{-27}$ kg (una particella alfa), $q = 3{,}2 \cdot 10^{-19}$ C, nel campo $E = 2{,}37 \cdot 10^3$ V/m. L'accelerazione è $a = \frac{qE}{m} = \frac{3{,}2 \cdot 10^{-19} \cdot 2{,}37 \cdot 10^3}{6{,}64 \cdot 10^{-27}} \approx 1{,}14 \cdot 10^{11}$ m/s². Per deviare di $y = 3{,}26$ cm impiega $t = \sqrt{2y/a} \approx 7{,}6 \cdot 10^{-7}$ s.

Energia

La forza elettrica fa lavoro solo con la componente dello spostamento lungo il campo: $W = qE\,\Delta y$. L'energia cinetica finale è quella iniziale più questo lavoro:

$$\frac12 m v_f^2 = \frac12 m v_0^2 + qE\,\Delta y.$$

È un caso della conservazione dell'energiaUna carica q in un punto a potenziale V ha energia potenziale U = qV; il lavoro del campo è W = −ΔU = −qΔV e l'energia meccanica si conserva: ½mv² + qV = costante. L'energia di un sistema di cariche puntiformi è U = Σ (coppie) qᵢqⱼ/(4πε₀rᵢⱼ), il lavoro necessario per assemblarlo dall'infinito. 1 eV = 1,6·10⁻¹⁹ J è l'energia guadagnata da una carica e attraverso 1 V.Energia potenziale elettrostatica e conservazione dell'energia →: in un campo uniforme $\Delta V = -E\,\Delta y$.

Riepilogo

Errori comuni

• Sommare i campi dei due piani senza guardare la regione: tra i piani e fuori i versi relativi cambiano.
• Usare $\sigma/\varepsilon_0$ anche quando le densità non sono opposte: la formula generale è $(\sigma_1 - \sigma_2)/(2\varepsilon_0)$.
• Dimenticare il segno della carica: per un elettrone l'accelerazione è opposta al campo.
• Pensare che la componente $x$ della velocità cambi: il campo è perpendicolare a $x$, quindi $v_x = v_0$ resta costante.