Autoinduzione, circuiti RL e LC, energia magnetica

Lezione del 10.12 (sezioni 8.4, 8.5 e 8.6 del libro di testo). Prerequisiti: Legge di Faraday-Neumann-Lenz e fem indottaQuando il flusso di B concatenato con un circuito cambia nel tempo, nel circuito compare la fem indotta ℰ = −dΦ/dt (legge di Faraday-Neumann); il segno meno (legge di Lenz) dice che la corrente indotta si oppone alla variazione di flusso. Il flusso può cambiare perché cambia B, l'area, l'orientazione o la posizione del circuito. Sbarretta su rotaie: ℰ = Bℓv, forza frenante B²ℓ²v/R, potenza meccanica uguale a quella dissipata; lasciata libera rallenta come v₀e^(−t/τ) con τ = mR/(B²ℓ²). Legge di Felici: la carica che circola è q = ΔΦ/R. In forma generale ∮E·ds = −dΦ/dt, cioè rot E = −∂B/∂t: il campo elettrico indotto non è conservativo.Legge di Faraday-Neumann-Lenz e fem indotta →, Campo di una spira e di un solenoideUna spira circolare di raggio R percorsa da i genera sul suo asse B(z) = μ0 i R²/[2(R² + z²)^(3/2)], diretto lungo l'asse (al centro μ0 i/(2R)); lontano dalla spira B ≈ (μ0/4π)·2m/z³ con m = iπR²: è il campo di un dipolo magnetico (principio di equivalenza di Ampère: una spira piccola equivale a un ago magnetico). Un solenoide di n spire per unità di lunghezza genera all'interno, se indefinito, il campo uniforme B = μ0 n i parallelo all'asse, e nullo all'esterno.Campo di una spira e di un solenoide →, Carica e scarica di un condensatore (circuito RC)In un circuito RC la carica non cambia istantaneamente: in carica q(t) = Cℰ(1 − e^(−t/τ)), i(t) = (ℰ/R)e^(−t/τ); in scarica q(t) = q₀e^(−t/τ), con costante di tempo τ = RC (dopo circa 5τ il transitorio è finito). Durante la carica il generatore fornisce Cℰ², metà va nel condensatore e metà è dissipata nella resistenza; in scarica tutta l'energia ½q₀²/C si dissipa, con legge e^(−2t/τ).Carica e scarica di un condensatore (circuito RC) → (lo stesso tipo di equazione). Domande di teoria negli appelli 18.02.2025 e 02.09.2025. Segue: Mutua induzione e circuiti accoppiatiIl flusso del campo di un circuito 1 concatenato con un circuito 2 è proporzionale alla corrente: Φ₂ = M i₁, e vale la simmetria M₁₂ = M₂₁ = M (coefficiente di mutua induzione, in henry). Se i₁ varia, nel circuito 2 compare ℰ₂ = −M di₁/dt. Casi tipici: bobina di N spire e area Σ in un solenoide M = μ0 n N Σ cos θ; piccola bobina vicino a un filo M = μ0 N Σ/(2πd). Energia di due circuiti accoppiati: U = ½L₁i₁² + ½L₂i₂² + M i₁ i₂, con |M| ≤ √(L₁L₂). Il trasformatore sfrutta la mutua induzione: V₂/V₁ = N₂/N₁.Mutua induzione e circuiti accoppiati →.

Coefficiente di autoinduzione

Definizione

Un circuito percorso dalla corrente $i$ genera un campo $\vec B$ proporzionale a $i$ (prima legge di Laplace), quindi anche il flusso di questo campo attraverso il circuito stesso, detto autoflusso, è proporzionale a $i$:

Definizione (coefficiente di autoinduzione). $$\Phi = L\,i.$$

Esempio. Solenoide con $L = 0{,}387$ H e $i = 2$ A: autoflusso $\Phi = Li = 0{,}774$ Wb.

La costante $L$ è il coefficiente di autoinduzione (o induttanza): dipende solo dalla forma e dalle dimensioni del circuito e dal materiale in cui si trova. Unità: henry, $1$ H $= 1$ Wb/A $= 1$ V·s/A $= 1\ \Omega\cdot$s.

Induttanza di un solenoide

Solenoide di lunghezza $\ell$, sezione $\Sigma$, $N$ spire ($n = N/\ell$), considerato ideale:

1. campo interno $B = \mu_0 n i$;
2. flusso attraverso una spira $B\Sigma$, attraverso tutte le $N$ spire $\Phi = NB\Sigma = N\mu_0 n i\Sigma$;
3. $L = \frac\Phi i = \mu_0 nN\Sigma$.

Formula (induttanza di un solenoide). $$L = \mu_0\,n^2\,\Sigma\,\ell = \mu_0\frac{N^2\Sigma}{\ell} \qquad (\text{con un nucleo di permeabilità } \mu_r:\ \mu_0\mu_r n^2\Sigma\ell).$$

$L$ cresce con il quadrato del numero di spire: raddoppiando $N$ raddoppiano sia il campo sia il numero di spire che lo concatenano.

Esempio. $N_s = 4000$, $\ell = 80$ cm ($n = 5000$ spire/m), raggio $7$ cm ($\Sigma = \pi\cdot0{,}07^2 = 0{,}0154$ m²): $L = \mu_0 n N\Sigma$ (uguale a $\mu_0 n^2\Sigma\ell$, perché $N = n\ell$) $= 4\pi\cdot10^{-7}\cdot5000\cdot4000\cdot0{,}0154 = 0{,}387$ H (appello 24.06.2025, Esercizio 14 · bobina inclinata in un solenoide con corrente sinusoidale).

Fem autoindotta

Se la corrente varia, varia l'autoflusso e per la legge di Faraday compare una fem nel circuito stesso:

Legge (fem autoindotta). $$\mathcal E_L = -\frac{d\Phi}{dt} = -L\frac{di}{dt}.$$

Esempio. $L = 0{,}4$ H e corrente che passa da $0$ a $2$ A in $0{,}1$ s: $\mathcal E_L = -0{,}4\cdot\frac{2}{0{,}1} = -8$ V, opposta all'aumento di corrente.

Per la legge di Lenz si oppone alla variazione di corrente: se $i$ cresce, $\mathcal E_L$ "frena" l'aumento; se $i$ cala, cerca di mantenerla. L'induttanza è l'inerzia dei circuiti: come la massa si oppone alle variazioni di velocità, l'induttanza si oppone alle variazioni di corrente. In particolare la corrente in un'induttanza non può cambiare bruscamente.

Circuito RL

Chiusura del circuito

Un generatore $\mathcal E$, una resistenza $R$ e un'induttanza $L$ in serie; a $t = 0$ si chiude l'interruttore. La legge di Ohm generalizzata (somma delle fem uguale a $Ri$):

$$\mathcal E - L\frac{di}{dt} = Ri.$$

Si separano le variabili, $\frac{di}{\mathcal E/R - i} = \frac RL\,dt$, e si integra con $i(0) = 0$:

Legge (chiusura di un circuito RL): $$i(t) = \frac{\mathcal E}{R}\left(1 - e^{-t/\tau}\right), \qquad \tau = \frac LR.$$

Esempio. $\mathcal E = 12$ V, $R = 6\ \Omega$, $L = 0{,}3$ H: $\tau = 0{,}05$ s e $i(\tau) = 2\,(1 - e^{-1}) = 1{,}26$ A; a regime $i = 2$ A.

• All'istante iniziale $i = 0$: l'induttanza impedisce un salto di corrente e si comporta come un circuito aperto, con tutta la f.e.m. ai suoi capi.
• A regime $i_\infty = \mathcal E/R$: corrente costante, nessuna fem autoindotta, l'induttanza (ideale) si comporta come un cortocircuito. Al contrario del condensatore.
• $\tau = L/R$ è un tempo: H/$\Omega$ = s. Dopo $5\tau$ il transitorio è esaurito.

Extracorrente di chiusura. Si può scrivere $i(t) = \frac{\mathcal E}{R} - \frac{\mathcal E}{R}e^{-t/\tau}$: alla corrente di regime si sovrappone una corrente $-\frac{\mathcal E}{R}e^{-t/\tau}$, dovuta alla fem autoindotta, che circola in verso opposto e si smorza esponenzialmente. È l'extracorrente di chiusura: ritarda il raggiungimento del regime, tanto più quanto più $L$ è grande.

Apertura del circuito

Se a regime ($i_0 = \mathcal E/R$) si esclude il generatore lasciando il circuito chiuso su $R$: $-L\frac{di}{dt} = Ri$, quindi

Legge (apertura di un circuito RL): $i(t) = i_0\,e^{-t/\tau}$.

Esempio. $i_0 = 2$ A e $\tau = 0{,}05$ s: dopo $0{,}1$ s è $i = 2\,e^{-2} = 0{,}271$ A.

La corrente non si annulla subito: continua a circolare nello stesso verso (extracorrente di apertura). Se invece il circuito viene interrotto bruscamente, $\frac{di}{dt}$ è enorme e la fem autoindotta può raggiungere migliaia di volt: è la scintilla che si vede staccando una spina sotto carico.

Energia magnetica

Bilancio energetico del circuito RL

Moltiplicando l'equazione del circuito per $i\,dt$:

$$\mathcal E\,i\,dt = Ri^2\,dt + L\,i\,di.$$

• $\mathcal E\,i\,dt$: lavoro del generatore;
• $Ri^2\,dt$: energia dissipata per effetto Joule;
• $Li\,di$: energia spesa contro la fem autoindotta, che non si perde ma si immagazzina.

Integrando l'ultimo termine da $0$ a $i$:

Formula (energia immagazzinata in un'induttanza): $$U_L = \frac12 L\,i^2 = \frac12\Phi\,i = \frac{\Phi^2}{2L}.$$

Esempio. $L = 0{,}387$ H e $i = 2$ A: $U_L = \frac12\cdot0{,}387\cdot4 = 0{,}774$ J.

Quest'energia viene restituita in apertura: si dissipa in $R$ mentre la corrente si smorza.

Lavoro del generatore in un transitorio. Tra $0$ e $t_1$: $W_{\text{gen}} = W_R + \frac12 L i(t_1)^2$, con $$W_R = \int_0^{t_1}Ri^2\,dt = R\,i_\infty^2\left[t_1 + 2\tau\left(e^{-t_1/\tau} - 1\right) - \frac\tau2\left(e^{-2t_1/\tau} - 1\right)\right]$$ (si sviluppa il quadrato $(1 - e^{-t/\tau})^2 = 1 - 2e^{-t/\tau} + e^{-2t/\tau}$ e si integra termine a termine). Esempio: $R = 30\ \Omega$, $L = 300$ mH, $\mathcal E = 60$ V, $t_1 = 12$ ms: $W_R = 0{,}308$ J, $W_{\text{gen}} = 0{,}601$ J (appello 20.06.2024, Esercizio 6 · circuito RL, energia dissipata e lavoro del generatore).

Densità di energia del campo magnetico

Per un solenoide ideale $U = \frac12\mu_0 n^2\Sigma\ell\,i^2$, e $B = \mu_0 n i$ quindi $n^2i^2 = \frac{B^2}{\mu_0^2}$:

$$U = \frac{B^2}{2\mu_0}\,\Sigma\ell.$$

$\Sigma\ell$ è il volume in cui c'è il campo. L'energia è distribuita nel volume con densità

Definizione (densità di energia del campo magnetico). $$u_m = \frac{B^2}{2\mu_0} \qquad \left(\text{in un materiale: } \frac{B^2}{2\mu_0\mu_r}\right).$$

Esempio. $B = 0{,}5$ T: $u_m = \frac{0{,}25}{2\cdot4\pi\cdot10^{-7}} = 9{,}95\cdot10^{4}\ \text{J/m}^3$.

Il risultato vale in generale: l'energia magnetica è immagazzinata nel campo, come quella elettrica ha densità $u_e = \frac12\varepsilon_0E^2$ (Energia del campo elettrostaticoCaricare un condensatore costa lavoro, immagazzinato come energia U = ½q²/C = ½CΔV² = ½qΔV; questa energia è localizzata nel campo, con densità u = ½ε₀E² (½εE² in un dielettrico). Con il condensatore isolato si conserva q, collegato al generatore si conserva ΔV: nel secondo caso il generatore fa un lavoro doppio della variazione di energia del condensatore.Energia del campo elettrostatico →). Il coefficiente $L$ si può anche calcolare da $\frac12 Li^2 = \int\frac{B^2}{2\mu_0}d\tau$.

Circuito LC

Equazione

Un condensatore carico ($q_0$) viene chiuso su un'induttanza, senza resistenza. Lungo la maglia la tensione del condensatore uguaglia la fem autoindotta: $\frac qC = -L\frac{di}{dt}$, e la corrente scarica il condensatore, $i = \frac{dq}{dt}$. Quindi

$$L\frac{d^2q}{dt^2} + \frac qC = 0 \iff \ddot q = -\omega^2 q, \qquad \omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}.$$

È l'equazione dell'oscillatore armonico (come una massa su una molla: $L$ fa da massa, $1/C$ da costante elastica).

Legge (oscillazioni del circuito LC): $$q(t) = q_0\cos\omega t, \qquad i(t) = -q_0\omega\sin\omega t, \qquad \omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}, \quad T = 2\pi\sqrt{LC}.$$

Esempio. $L = 10$ mH e $C = 1\ \mu$F: $\omega = 10^4$ rad/s e $T = 2\pi\sqrt{LC} = 0{,}628$ ms.

Scambio di energia

$$U_C = \frac{q^2}{2C} = \frac{q_0^2}{2C}\cos^2\omega t, \qquad U_L = \frac12Li^2 = \frac12Lq_0^2\omega^2\sin^2\omega t = \frac{q_0^2}{2C}\sin^2\omega t.$$

La somma è costante, $\frac{q_0^2}{2C}$: l'energia passa dal campo elettrico del condensatore al campo magnetico dell'induttanza e ritorna, due volte per periodo. Se nel circuito c'è anche una resistenza (circuito RLC), le oscillazioni si smorzano perché a ogni ciclo una parte di energia si dissipa.

Esempio. $L = 10$ mH, $C = 1\ \mu$F: $\omega = \frac{1}{\sqrt{10^{-2}\cdot10^{-6}}} = 10^4$ rad/s, frequenza $f = \omega/2\pi \approx 1{,}6$ kHz. È il principio dei circuiti di sintonia delle radio.

Domanda d'esame tipo

"Si scriva l'equazione di Ohm per un circuito RL, la si risolva per la chiusura, si commenti l'extracorrente di chiusura." (appello 18.02.2025)

1. $\mathcal E - L\frac{di}{dt} = Ri$.
2. $i = \frac{\mathcal E}{R}(1 - e^{-Rt/L})$, per separazione delle variabili con $i(0) = 0$.
3. Extracorrente: $-\frac{\mathcal E}{R}e^{-t/\tau}$, opposta alla corrente di regime, dovuta alla fem autoindotta, si annulla con costante di tempo $L/R$.

"Si definisca l'autoinduzione; si scriva la fem indotta per corrente variabile." (appello 02.09.2025): $\Phi = Li$, $\mathcal E = -L\frac{di}{dt}$ (se il circuito non si deforma).

Riepilogo

Errori comuni

• Scrivere $\tau = RL$: è $L/R$ (mentre per il condensatore è $RC$).
• Dimenticare l'energia immagazzinata nel lavoro del generatore: $W_{\text{gen}} = W_R + \frac12Li^2$, non solo $W_R$.
• Pensare che a $t = 0$ in chiusura passi $\mathcal E/R$: la corrente parte da zero.
• Usare $n$ invece di $n^2$ nell'induttanza del solenoide.