Legge di Biot-Savart e campo di un filo rettilineo

Lezione del 24.11 (sezione 7.1 e prima parte della 7.2 del libro di testo). Prerequisiti: Campo magnetico, legge di Gauss magnetica e forza di LorentzIl campo magnetico B si definisce attraverso la forza che esercita su una carica in moto: forza di Lorentz F = q v × B, perpendicolare sia a v sia a B, quindi non compie lavoro e non cambia l'energia cinetica. Unità: tesla, 1 T = 1 N/(A·m). Con anche un campo elettrico F = q(E + v × B). Le linee di B sono chiuse (non esistono monopoli magnetici): il flusso di B attraverso qualunque superficie chiusa è nullo, ∮B·dΣ = 0, in forma locale div B = 0.Campo magnetico, legge di Gauss magnetica e forza di Lorentz →, Campo elettrostatico di cariche puntiformiIl campo elettrostatico E = F/q₀ è la forza per unità di carica che subirebbe una carica di prova in un punto; per una carica puntiforme vale E = q/(4πε₀r²) in direzione radiale (uscente se q > 0), per più cariche si sommano i vettori; si misura in N/C = V/m e una carica q in un campo E subisce F = qE.Campo elettrostatico di cariche puntiformi → (la legge di Coulomb, da confrontare), Distribuzioni continue di carica - filo, anello, disco, pianoUna carica distribuita si descrive con densità lineare λ, superficiale σ o volumetrica ρ; il campo si ottiene sommando (integrando) i campi dE = dq/(4πε₀r²) dei pezzetti dq, sfruttando le simmetrie. Risultati: filo indefinito E = λ/(2πε₀r), anello sull'asse E = qz/(4πε₀(R²+z²)^(3/2)), disco sull'asse E = σ/(2ε₀)·(1 − z/√(R²+z²)), piano indefinito E = σ/(2ε₀) uniforme.Distribuzioni continue di carica - filo, anello, disco, piano → (la stessa tecnica di integrazione). Seguono: Campo di una spira e di un solenoideUna spira circolare di raggio R percorsa da i genera sul suo asse B(z) = μ0 i R²/[2(R² + z²)^(3/2)], diretto lungo l'asse (al centro μ0 i/(2R)); lontano dalla spira B ≈ (μ0/4π)·2m/z³ con m = iπR²: è il campo di un dipolo magnetico (principio di equivalenza di Ampère: una spira piccola equivale a un ago magnetico). Un solenoide di n spire per unità di lunghezza genera all'interno, se indefinito, il campo uniforme B = μ0 n i parallelo all'asse, e nullo all'esterno.Campo di una spira e di un solenoide →, Forza tra fili percorsi da correnteDue fili rettilinei paralleli indefiniti a distanza d, percorsi dalle correnti i1 e i2, si scambiano una forza per unità di lunghezza F/L = μ0 i1 i2/(2πd), lungo la congiungente: attrattiva se le correnti sono concordi, repulsiva se discordi (il contrario delle cariche elettriche). La forza si trova combinando Biot-Savart (campo di un filo nel punto dell'altro) e seconda legge di Laplace. Su questa forza si basava la definizione dell'ampere: 2·10⁻⁷ N/m tra fili a 1 m con 1 A.Forza tra fili percorsi da corrente →.

Prima legge elementare di Laplace

Enunciato

Finora il campo $\vec B$ era dato. Ora si cerca il campo prodotto da una corrente. Come per il campo elettrico di una distribuzione di carica, si divide il circuito in tratti infinitesimi $d\vec s$ (orientati nel verso della corrente) e si sommano i contributi.

Legge (prima legge elementare di Laplace): il tratto $d\vec s$ percorso dalla corrente $i$ genera, nel punto $P$ a distanza $r$, il campo $$d\vec B = \frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{i\,d\vec s \times \vec u_r}{r^2},$$ dove $\vec u_r$ è il versore che va dal tratto al punto $P$.

Esempio. Tratto $ds = 1$ cm con $i = 10$ A, punto a $r = 5$ cm in direzione perpendicolare: $dB = 10^{-7}\cdot\frac{10\cdot0{,}01}{0{,}0025} = 4\cdot10^{-6}$ T.

• $\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}$ T·m/A è la permeabilità magnetica del vuoto, quindi $\frac{\mu_0}{4\pi} = 10^{-7}$ T·m/A (l'unità si scrive anche H/m, henry al metro).
• Come in Coulomb il campo decresce come $\frac1{r^2}$.
• A differenza di Coulomb il campo è perpendicolare sia a $d\vec s$ sia a $\vec u_r$: il prodotto vettoriale rende $d\vec B$ tangente a circonferenze attorno al filo.
• Un tratto allineato con $P$ ($d\vec s$ parallelo a $\vec u_r$) non contribuisce: $d\vec s \times \vec u_r = 0$. Questo semplifica molti esercizi: i tratti di filo il cui prolungamento passa per $P$ si ignorano.

Il campo di un circuito completo si ottiene integrando: $\vec B = \frac{\mu_0 i}{4\pi}\oint\frac{d\vec s \times \vec u_r}{r^2}$.

Campo di una carica in moto

Una corrente è fatta di cariche in moto: nel tratto $d\vec s$ ci sono $n\Sigma\,ds$ portatori e $i\,d\vec s = n\Sigma\,ds\,q\vec v$. Dividendo il contributo per il numero di portatori si ottiene il campo di una carica $q$ con velocità $\vec v$ (con $v$ molto minore della velocità della luce):

Formula (campo magnetico di una carica in moto). $$\vec B = \frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{q\,\vec v \times \vec u_r}{r^2}.$$

Esempio. Protone con $v = 10^6$ m/s a $r = 1$ cm, direzione perpendicolare: $B = 10^{-7}\cdot\frac{1{,}602\cdot10^{-19}\cdot10^6}{10^{-4}} = 1{,}6\cdot10^{-16}$ T.

Confrontando con il campo elettrico della stessa carica, $\vec E = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\vec u_r$, si trova $\vec B = \mu_0\varepsilon_0\,\vec v \times \vec E$. Il prodotto $\mu_0\varepsilon_0$ vale $\frac{1}{c^2}$ con $c = 3\cdot10^8$ m/s la velocità della luce: un primo segno del legame tra elettromagnetismo e luce (Corrente di spostamento ed equazioni di MaxwellLa legge di Ampère non vale per correnti non stazionarie (condensatore in carica). Maxwell aggiunse la corrente di spostamento i_s = ε0 dΦ(E)/dt, che tra le armature di un condensatore è uguale alla corrente di conduzione nei fili: legge di Ampère-Maxwell ∮B·ds = μ0(i + ε0 dΦ(E)/dt), rot B = μ0 J + μ0ε0 ∂E/∂t. Con Gauss elettrica, Gauss magnetica e Faraday formano le quattro equazioni di Maxwell. Nel vuoto senza sorgenti E e B soddisfano l'equazione delle onde, con velocità c = 1/√(ε0μ0) = 3·10⁸ m/s: la luce è un'onda elettromagnetica, con E ⊥ B ⊥ direzione di propagazione ed E = cB.Corrente di spostamento ed equazioni di Maxwell →).

Campo di un filo rettilineo

Impostazione

Un filo rettilineo lungo l'asse $z$ è percorso dalla corrente $i$ verso $+z$. Il punto $P$ è a distanza $R$ dal filo; si mette l'origine nel piede della perpendicolare da $P$ al filo. Il tratto $dz$ alla quota $z$ dista $r = \sqrt{R^2 + z^2}$ da $P$.

• Direzione: per ogni tratto $d\vec s \times \vec u_r$ ha la stessa direzione, perpendicolare al piano che contiene il filo e $P$. Quindi tutti i contributi sono paralleli e basta sommare i moduli (non serve scomporre come per l'anello carico).
• Modulo del contributo: $|d\vec s \times \vec u_r| = dz\,\sin\varphi$, dove $\varphi$ è l'angolo tra il filo e $\vec u_r$; dal triangolo rettangolo $\sin\varphi = \frac{R}{r}$. Quindi $$dB = \frac{\mu_0 i}{4\pi}\,\frac{R\,dz}{(R^2 + z^2)^{3/2}}.$$

Integrale

Una primitiva è $\frac{z}{R^2\sqrt{R^2 + z^2}}$ (si verifica derivando). Conviene esprimere il risultato con l'angolo $\alpha$ sotto cui si vede l'elemento, misurato dalla perpendicolare: $\sin\alpha = \frac{z}{\sqrt{R^2 + z^2}}$. Per un tratto che va da $z_1$ a $z_2$:

Formula (campo di un tratto rettilineo finito). $$B = \frac{\mu_0 i}{4\pi R}\left(\sin\alpha_2 - \sin\alpha_1\right),$$ con $\alpha_1$ e $\alpha_2$ gli angoli, misurati dalla perpendicolare per $P$, sotto cui si vedono gli estremi (negativi da una parte del piede, positivi dall'altra).

Esempio. $i = 10$ A, $R = 10$ cm, estremi visti sotto $\alpha_1 = -30°$ e $\alpha_2 = +30°$: $B = \frac{10^{-7}\cdot10}{0{,}1}(0{,}5 + 0{,}5) = 1\cdot10^{-5}$ T.

Filo indefinito: legge di Biot-Savart

Per un filo indefinito $z$ va da $-\infty$ a $+\infty$, cioè $\alpha_1 = -\frac\pi2$ e $\alpha_2 = +\frac\pi2$: $\sin\alpha_2 - \sin\alpha_1 = 2$.

Legge di Biot-Savart: $$B = \frac{\mu_0\,i}{2\pi R}.$$

• Le linee di campo sono circonferenze concentriche al filo, in piani perpendicolari al filo.
• Verso (regola della mano destra): pollice nel verso della corrente, le dita piegate indicano il verso di $\vec B$.
• In forma vettoriale, con $\vec u_t$ versore della corrente e $\vec u_R$ versore radiale dal filo al punto: $\vec B = \frac{\mu_0 i}{2\pi R}\,\vec u_t \times \vec u_R$.

Esempio numerico. $i = 42$ A, $R = 15$ cm: $B = \frac{4\pi\cdot10^{-7}\cdot42}{2\pi\cdot0{,}15} = \frac{2\cdot10^{-7}\cdot42}{0{,}15} = 5{,}6\cdot10^{-5}$ T $= 56\ \mu$T, paragonabile al campo terrestre.

Filo semi-infinito

Se il filo parte dal piede della perpendicolare e va all'infinito, $\alpha_1 = 0$, $\alpha_2 = \frac\pi2$:

Formula (campo di un filo semi-infinito). $$B_{\text{semi-infinito}} = \frac{\mu_0 i}{4\pi R} = \frac12\cdot\frac{\mu_0 i}{2\pi R}.$$

Esempio. $i = 42$ A, $R = 15$ cm, punto sulla perpendicolare per l'estremo: $B = \frac{1}{2}\cdot56\ \mu\text{T} = 28\ \mu$T.

È metà del filo indefinito, come ci si aspetta per simmetria: le due metà di un filo indefinito danno lo stesso contributo. Attenzione: vale solo se il punto è di fronte all'estremo del filo semi-infinito; altrimenti si usa la formula con gli angoli.

Arco di circonferenza: campo al centro

Un arco di raggio $R$ che sottende l'angolo $\Delta\theta$, percorso dalla corrente $i$. Per ogni tratto $d\vec s$, il versore $\vec u_r$ verso il centro è perpendicolare a $d\vec s$ e la distanza è sempre $R$. Quindi $|d\vec s \times \vec u_r| = ds$ e tutti i contributi sono perpendicolari al piano dell'arco, concordi:

$$B = \frac{\mu_0 i}{4\pi R^2}\int ds = \frac{\mu_0 i}{4\pi R^2}\,R\,\Delta\theta.$$

Formula (campo al centro di un arco di circonferenza). $$B_{\text{arco}} = \frac{\mu_0\,i\,\Delta\theta}{4\pi R}; \qquad \text{semicirconferenza } (\Delta\theta = \pi):\ \frac{\mu_0 i}{4R}; \qquad \text{spira intera } (\Delta\theta = 2\pi):\ \frac{\mu_0 i}{2R}.$$

Esempio d'esame (appello 03.09.2024, Esercizio 8 · filo con tratti semi-infiniti e semicirconferenza, dipolo magnetico al centro). Un filo a forma di "forcina": due tratti semi-infiniti paralleli, tangenti a una semicirconferenza di raggio $R$ alle sue estremità. Al centro $O$ i tre contributi sono concordi:

$$B_O = 2\cdot\frac{\mu_0 I}{4\pi R} + \frac{\mu_0 I}{4R} = \frac{\mu_0 I}{4\pi R}(2 + \pi).$$

Metodo per gli esercizi

1. Scomporre il circuito in tratti rettilinei e archi.
2. Per ogni tratto: i tratti allineati con $P$ danno zero; per gli altri, formula del filo (indefinito, semi-infinito o finito) o dell'arco.
3. Verso di ogni contributo con la mano destra; scriverli come vettori con i versori degli assi.
4. Sommare vettorialmente (sovrapposizione: il campo magnetico, come quello elettrico, è lineare nelle sorgenti).

Errori comuni

• Confondere $2\pi R$ e $4\pi R$: filo indefinito $\frac{\mu_0 i}{2\pi R}$, semi-infinito e arco $\frac{\mu_0 i}{4\pi R}(\dots)$.
• Sommare i moduli di contributi non paralleli: per due fili in punti diversi i campi hanno in generale direzioni diverse.
• Sbagliare il verso di $\vec u_r$: va dalla sorgente al punto.
• Usare la formula del semi-infinito per un punto non allineato con l'estremo.