Legge di Gauss - guscio, sfera, cilindro e piano

Lezione del 15.10 (sezione 3.3 ed esempi 3.1-3.4 del libro di testo). Prerequisiti: Flusso elettrico e legge di GaussIl flusso di E attraverso una superficie è Φ = ∫ E·n dS (quante linee di campo la attraversano). Legge di Gauss: il flusso uscente da qualunque superficie chiusa è uguale alla carica interna divisa per ε₀, Φ = Q_int/ε₀; le cariche esterne danno flusso totale nullo. Si dimostra con l'angolo solido ed è conseguenza diretta del fatto che il campo di Coulomb va come 1/r².Flusso elettrico e legge di Gauss →, Lavoro della forza elettrica e potenziale elettrostaticoIl lavoro della forza elettrostatica non dipende dal percorso (campo conservativo, circuitazione nulla); si definisce quindi il potenziale V con V(B) − V(A) = −∫ da A a B di E·ds, misurato in volt (1 V = 1 J/C). Carica puntiforme: V = q/(4πε₀r) con V(∞) = 0; più cariche: somma (scalare) dei potenziali. La forza elettromotrice di un percorso chiuso è la circuitazione di E, nulla in elettrostatica.Lavoro della forza elettrica e potenziale elettrostatico →. Confronto con il calcolo diretto: Distribuzioni continue di carica - filo, anello, disco, pianoUna carica distribuita si descrive con densità lineare λ, superficiale σ o volumetrica ρ; il campo si ottiene sommando (integrando) i campi dE = dq/(4πε₀r²) dei pezzetti dq, sfruttando le simmetrie. Risultati: filo indefinito E = λ/(2πε₀r), anello sull'asse E = qz/(4πε₀(R²+z²)^(3/2)), disco sull'asse E = σ/(2ε₀)·(1 − z/√(R²+z²)), piano indefinito E = σ/(2ε₀) uniforme.Distribuzioni continue di carica - filo, anello, disco, piano →.

Il metodo

La legge di Gauss $\oint\vec E\cdot\hat n\,dS = Q_{\text{int}}/\varepsilon_0$ permette di ricavare il campo quando la distribuzione è così simmetrica che:

1. si conosce a priori la direzione del campo;
2. esiste una superficie chiusa (la superficie di Gauss) su cui il campo è, a pezzi, o perpendicolare alla superficie con modulo costante, oppure tangente (flusso nullo).

Allora l'integrale si riduce a $E \cdot (\text{area dove è perpendicolare})$ e si ricava $E$ dividendo.

Passi.

1. Dalla simmetria, dedurre direzione del campo e da cosa dipende il suo modulo.
2. Scegliere la superficie di Gauss passante per il punto dove si vuole il campo.
3. Calcolare il flusso in funzione di $E$.
4. Calcolare la carica interna.
5. Uguagliare e ricavare $E$.

Guscio sferico carico

Superficie sferica di raggio $R$ con carica $q$ distribuita uniformemente ($\sigma = \frac{q}{4\pi R^2}$).

Simmetria. Ruotando il sistema attorno al centro nulla cambia: il campo può essere solo radiale e il suo modulo può dipendere solo dalla distanza $r$ dal centro.

Superficie di Gauss: sfera concentrica di raggio $r$. Su di essa $\vec E$ è parallelo a $\hat n$ e ha modulo costante $E(r)$, quindi $\Phi = E(r)\cdot 4\pi r^2$.

• Fuori ($r > R$): $Q_{\text{int}} = q$, quindi $E\cdot 4\pi r^2 = \frac{q}{\varepsilon_0}$:

Formula (campo di un guscio sferico carico). $$E(r) = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}.$$

Esempio. $q = 5$ nC, $R = 2$ cm: a $r = 10$ cm è $E = 9\cdot10^9\cdot\frac{5\cdot10^{-9}}{0{,}01} = 4500$ V/m; per $r < R$ è $E = 0$.

Fuori dal guscio il campo è come se tutta la carica fosse concentrata nel centro.

• Dentro ($r < R$): $Q_{\text{int}} = 0$ (la carica sta tutta sulla superficie), quindi $E = 0$.

Potenziale (con $V(\infty) = 0$): fuori $V = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r}$; dentro il campo è nullo, quindi il potenziale è costante e uguale al valore sulla superficie, $V = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 R}$.

Sfera piena uniformemente carica

Sfera di raggio $R$, carica $q$ distribuita uniformemente nel volume: $\rho = \frac{q}{\frac43\pi R^3}$.

Stessa simmetria e stessa superficie di Gauss.

• Fuori ($r > R$): $Q_{\text{int}} = q$, campo $\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$ come prima.
• Dentro ($r < R$): la carica interna è quella della sfera di raggio $r$:

Formula (campo dentro una sfera uniformemente carica). $$Q_{\text{int}} = \rho\cdot\tfrac43\pi r^3 = q\frac{r^3}{R^3} \implies E\cdot 4\pi r^2 = \frac{q r^3}{\varepsilon_0 R^3} \implies E(r) = \frac{q\,r}{4\pi\varepsilon_0 R^3} = \frac{\rho\,r}{3\varepsilon_0}.$$

Esempio. $q = 5$ nC, $R = 2$ cm, $r = 1$ cm: $E = \frac{q\,r}{4\pi\varepsilon_0 R^3} = 56250$ V/m, la metà del valore in superficie ($E(R) = 112\,500$ V/m).

Il campo cresce linearmente dal centro ($E = 0$) alla superficie, dove raggiunge il valore massimo $\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 R^2}$, e poi decresce come $\frac{1}{r^2}$. È continuo in $r = R$.

Potenziale. Fuori $V = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r}$. Dentro si integra il campo dalla superficie al punto: $$V(r) = V(R) - \int_R^r\frac{qr'}{4\pi\varepsilon_0 R^3}dr' = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 R} + \frac{q}{8\pi\varepsilon_0 R^3}(R^2 - r^2) = \frac{q}{8\pi\varepsilon_0 R}\left(3 - \frac{r^2}{R^2}\right).$$ Al centro $V(0) = \frac{3}{2}\cdot\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 R}$, una volta e mezza il potenziale sulla superficie.

Cilindro indefinito (filo) carico

Distribuzione con simmetria cilindrica: filo indefinito con densità $\lambda$, oppure cilindro di raggio $R$ con carica $\lambda$ per unità di lunghezza.

Simmetria. Il campo è radiale rispetto all'asse (perpendicolare all'asse) e il modulo dipende solo dalla distanza $r$ dall'asse.

Superficie di Gauss: cilindro coassiale di raggio $r$ e altezza $h$. Sulle due basi il campo è tangente: flusso nullo. Sulla superficie laterale (area $2\pi rh$) il campo è perpendicolare e costante: $\Phi = E\cdot 2\pi r h$.

• Fuori ($r > R$, o sempre per un filo): $Q_{\text{int}} = \lambda h$, quindi

Formula (campo di un filo o cilindro indefinito). $$E\cdot 2\pi r h = \frac{\lambda h}{\varepsilon_0} \implies E(r) = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}.$$

Esempio. $\lambda = 10$ nC/m a $r = 5$ cm: $E = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r} = 3600$ V/m.

Lo stesso risultato ottenuto con l'integrale in Distribuzioni continue di carica - filo, anello, disco, pianoUna carica distribuita si descrive con densità lineare λ, superficiale σ o volumetrica ρ; il campo si ottiene sommando (integrando) i campi dE = dq/(4πε₀r²) dei pezzetti dq, sfruttando le simmetrie. Risultati: filo indefinito E = λ/(2πε₀r), anello sull'asse E = qz/(4πε₀(R²+z²)^(3/2)), disco sull'asse E = σ/(2ε₀)·(1 − z/√(R²+z²)), piano indefinito E = σ/(2ε₀) uniforme.Distribuzioni continue di carica - filo, anello, disco, piano →, in tre righe invece di una pagina. L'altezza $h$ arbitraria si semplifica.

• Dentro un guscio cilindrico (carica sulla superficie laterale): $E = 0$.
• Dentro un cilindro pieno uniforme ($\rho = \frac{\lambda}{\pi R^2}$): $Q_{\text{int}} = \rho\pi r^2 h$, quindi $E = \frac{\rho r}{2\varepsilon_0}$, lineare in $r$.

Potenziale (differenze, perché il filo è infinito): $V(r_2) - V(r_1) = -\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\frac{r_2}{r_1}$.

Piano indefinito carico

Piano con densità $\sigma$.

Simmetria. Il campo è perpendicolare al piano, con verso opposto dai due lati e modulo che dipende al più dalla distanza dal piano.

Superficie di Gauss: cilindro (o scatola) con le basi di area $A$ parallele al piano, una per lato, alla stessa distanza. Sulla superficie laterale il campo è tangente: flusso nullo. Su ciascuna base il campo è uscente e perpendicolare: $\Phi = 2EA$.

Formula (campo di un piano indefinito con la legge di Gauss). $$2EA = \frac{\sigma A}{\varepsilon_0} \implies E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}.$$

Esempio. $\sigma = 5$ nC/m$^2$: $E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} = 282$ V/m, uguale a qualunque distanza.

Il risultato non dipende dall'altezza del cilindro, cioè dalla distanza dal piano: il campo è uniforme ✓ (come in Distribuzioni continue di carica - filo, anello, disco, pianoUna carica distribuita si descrive con densità lineare λ, superficiale σ o volumetrica ρ; il campo si ottiene sommando (integrando) i campi dE = dq/(4πε₀r²) dei pezzetti dq, sfruttando le simmetrie. Risultati: filo indefinito E = λ/(2πε₀r), anello sull'asse E = qz/(4πε₀(R²+z²)^(3/2)), disco sull'asse E = σ/(2ε₀)·(1 − z/√(R²+z²)), piano indefinito E = σ/(2ε₀) uniforme.Distribuzioni continue di carica - filo, anello, disco, piano →).

Lastra spessa di spessore $s$ con densità volumetrica $\rho$: fuori $E = \frac{\rho s}{2\varepsilon_0}$; dentro, a distanza $x$ dal piano medio, $E = \frac{\rho x}{\varepsilon_0}$.

Confronto con i risultati diretti

Applicazione: sfere concentriche

Molti problemi d'esame usano gusci sferici concentrici (Esercizio 15 · tre sfere concentriche e particella in orbita, Esercizio 19 · sfera conduttrice in un dielettrico dentro un guscio). La regola che segue dalla legge di Gauss: a distanza $r$ dal centro, il campo è quello di una carica puntiforme uguale alla carica totale contenuta entro $r$, posta nel centro. Le cariche sui gusci più esterni non contribuiscono al campo (ma contribuiscono al potenziale, con un termine costante).

Esempio. Gusci di raggi $R_1 < R_2$ con cariche $q_1$ e $q_2$:

Formula (campo di due gusci sferici concentrici). $$E = 0 \ (r < R_1), \qquad E = \frac{q_1}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\ (R_1 < r < R_2), \qquad E = \frac{q_1 + q_2}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\ (r > R_2).$$

Esempio. $q_1 = 2$ nC (raggio $2$ cm) e $q_2 = -1$ nC (raggio $5$ cm): a $r = 3$ cm è $E = 20000$ V/m, a $r = 10$ cm è $E = 900$ V/m.

La d.d.p. tra i gusci dipende solo da $q_1$: $V_1 - V_2 = \frac{q_1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right)$.

Errori comuni

• Usare Gauss senza simmetria (per un disco o un filo finito non funziona).
• Prendere tutta la carica come interna anche per punti dentro una sfera piena: conta solo la carica entro il raggio $r$.
• Contare una sola base per il piano: le basi del cilindro di Gauss sono due.
• Pensare che il potenziale sia nullo dove il campo è nullo: dentro un guscio $V$ è costante, uguale a quello della superficie.