Forza tra fili percorsi da corrente

Lezione del 26.11 (sezione 7.3 del libro di testo). Prerequisiti: Legge di Biot-Savart e campo di un filo rettilineoPrima legge elementare di Laplace: un tratto di filo ds percorso da i genera dB = (μ0/4π) i ds × u_r / r², con μ0 = 4π·10⁻⁷ T·m/A; una carica in moto genera B = (μ0/4π) q v × u_r / r². Integrando su un filo rettilineo: tratto finito B = μ0 i (sin α2 − sin α1)/(4πR); filo indefinito B = μ0 i/(2πR) (legge di Biot-Savart), con linee di campo circolari attorno al filo; filo semi-infinito visto dal piede della perpendicolare: metà. Un arco di circonferenza di angolo Δθ genera al centro B = μ0 i Δθ/(4πR).Legge di Biot-Savart e campo di un filo rettilineo →, Forze e momenti magnetici su circuiti percorsi da correnteSeconda legge elementare di Laplace: su un tratto di filo ds percorso dalla corrente i agisce dF = i ds × B (somma delle forze di Lorentz sui portatori). Filo rettilineo in campo uniforme: F = i L × B; circuito chiuso in campo uniforme: forza totale nulla. Una spira piana ha momento magnetico m = iΣ u_n (N spire: NiΣ u_n); in un campo uniforme subisce il momento meccanico M = m × B, che la fa ruotare verso m parallelo a B, e ha energia potenziale U = −m·B.Forze e momenti magnetici su circuiti percorsi da corrente → (seconda legge di Laplace). È una domanda di teoria (appello 26.06.2026). Le correnti come flusso di cariche sono in Corrente elettrica, densità di corrente ed equazione di continuitàLa corrente i = dq/dt (ampere) è la carica che attraversa una sezione per unità di tempo; la densità di corrente J = n q v_d (portatori per unità di volume × carica × velocità di deriva) ha flusso i = ∫ J·n dS. La conservazione della carica si scrive come equazione di continuità ∇·J = −∂ρ/∂t; in regime stazionario ∇·J = 0, cioè la corrente entrante in una superficie chiusa è uguale a quella uscente.Corrente elettrica, densità di corrente ed equazione di continuità →.

Due fili paralleli

Calcolo

Due fili rettilinei indefiniti, paralleli, a distanza $d$, percorsi dalle correnti $i_1$ e $i_2$. Il ragionamento è in due passi:

1. Campo del filo 1 nella posizione del filo 2 (Biot-SavartB = μ0 i/(2πR), con linee circolari attorno al filo.Legge di Biot-Savart e campo di un filo rettilineo →): ha modulo $$B_1 = \frac{\mu_0 i_1}{2\pi d}$$ ed è perpendicolare al piano dei due fili (le linee di campo del filo 1 sono circonferenze, e nel punto del filo 2 sono tangenti, cioè perpendicolari alla congiungente).

2. Forza su un tratto di lunghezza $L$ del filo 2 (seconda legge di Laplace): $\vec F_{12} = i_2\vec L \times \vec B_1$. Poiché $\vec L$ (lungo il filo) e $\vec B_1$ sono perpendicolari, $F = i_2 L B_1$.

Legge (forza tra due fili paralleli). $$\frac FL = \frac{\mu_0\,i_1\,i_2}{2\pi d}.$$

Esempio. $i_1 = i_2 = 10$ A a $d = 1$ cm: $\frac{F}{L} = \frac{4\pi\cdot10^{-7}\cdot100}{2\pi\cdot0{,}01} = 2\cdot10^{-3}\ \text{N/m}$, attrattiva se le correnti sono concordi.

Direzione e verso

• La forza è nel piano dei due fili, lungo la congiungente, perché è perpendicolare sia al filo sia a $\vec B_1$.
• Correnti concordi: i fili si attraggono. Esempio: filo 1 sull'asse $z$ con corrente verso $+z$, filo 2 in $x = d$ con corrente verso $+z$. Nel punto del filo 2 il campo del filo 1 è $\vec B_1 = B_1\vec u_y$ (mano destra). Forza: $i_2 L\,\vec u_z \times B_1\vec u_y = -i_2 L B_1\,\vec u_x$, verso il filo 1.
• Correnti discordi: i fili si respingono (cambia il segno di $\vec L$).
• Per il terzo principio la forza sul filo 1 è uguale e opposta; infatti la formula è simmetrica in $i_1$ e $i_2$.

Il comportamento è opposto a quello delle cariche: per le cariche il segno uguale respinge, per le correnti il verso uguale attrae.

Intuizione. Tra due fili con correnti concordi i campi si sottraggono (le linee di campo dei due fili nella zona interna hanno versi opposti) e all'esterno si sommano: il campo "spinge" i fili verso la zona dove è più debole, cioè uno verso l'altro.

Ordine di grandezza. Due fili domestici con $10$ A a $1$ cm: $\frac FL = \frac{2\cdot10^{-7}\cdot100}{0{,}01} = 2\cdot10^{-3}$ N/m, piccola. Nelle barre dei grandi impianti, con migliaia di ampere, la forza diventa importante e le barre vanno fissate.

Definizione dell'ampere

La forza tra fili è stata usata per definire l'unità di corrente:

Definizione (ampere, definizione storica 1948–2019): è la corrente che, percorrendo due fili rettilinei paralleli indefiniti di sezione trascurabile posti nel vuoto a $1$ m di distanza, produce tra di essi una forza di $2\cdot10^{-7}$ N per ogni metro di lunghezza.

Esempio. $i_1 = i_2 = 1$ A a $d = 1$ m: $\frac{F}{L} = \frac{4\pi\cdot10^{-7}}{2\pi} = 2\cdot10^{-7}$ N/m.

Infatti con $i_1 = i_2 = 1$ A e $d = 1$ m: $\frac FL = \frac{4\pi\cdot10^{-7}}{2\pi} = 2\cdot10^{-7}$ N/m. Questa definizione fissava il valore esatto $\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}$ T·m/A. Il coulomb si definiva di conseguenza: $1$ C $= 1$ A $\cdot$ $1$ s.

Dal 2019 il Sistema Internazionale fissa invece il valore esatto della carica elementare $e = 1{,}602176634\cdot10^{-19}$ C, e l'ampere è definito come il flusso di $1/e$ cariche elementari al secondo; $\mu_0$ è diventato una grandezza misurata, uguale a $4\pi\cdot10^{-7}$ con un errore relativo dell'ordine di $10^{-10}$. Negli esercizi si continua a usare $\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}$ T·m/A.

Più fili: sovrapposizione

Se ci sono più fili, la forza su uno di essi è la somma delle forze dovute a ciascuno degli altri. Equivalentemente: si calcola il campo totale nella posizione del filo (somma vettoriale dei campi di Biot-Savart) e poi $d\vec F = i\,d\vec s \times \vec B_{\text{tot}}$.

Esempio d'esame (appello 23.01.2024, Esercizio 2 · due fili paralleli, circuitazione e forza su un terzo filo). Due fili a distanza $d = 30$ cm con correnti opposte $i_1 = 4$ A e $i_2 = 7{,}98$ A. A metà strada i due campi sono concordi (correnti opposte, punto in mezzo): $B = \frac{\mu_0}{\pi d}(i_1 + i_2) = 16\ \mu$T. Un terzo filo in quel punto con $i_3 = 1{,}5$ A subisce $\frac FL = i_3 B = 2{,}4\cdot10^{-5}$ N/m.

Filo e spira rettangolare (esempio classico)

Un filo indefinito con corrente $i_1$ e, nello stesso piano, una spira rettangolare con i lati di lunghezza $\ell$ paralleli al filo, a distanze $a$ e $a + b$, percorsa da $i_2$.

• Le forze sui due lati perpendicolari al filo sono uguali e opposte (stessa distribuzione di campo, correnti opposte) e si annullano.
• Sui lati paralleli: $F_{\text{vicino}} = \frac{\mu_0 i_1 i_2\ell}{2\pi a}$ e $F_{\text{lontano}} = \frac{\mu_0 i_1 i_2\ell}{2\pi(a + b)}$, con versi opposti.

Formula (forza netta tra un filo e una spira rettangolare). - Forza netta: $F = \frac{\mu_0 i_1 i_2\ell}{2\pi}\left(\frac1a - \frac1{a + b}\right)$, attrattiva se nel lato vicino la corrente è concorde con quella del filo. A differenza del campo uniforme, qui la forza totale su un circuito chiuso non è nulla perché il campo non è uniforme.

Esempio. $i_1 = 10$ A, $i_2 = 5$ A, $\ell = 0{,}2$ m, $a = 5$ cm, $b = 10$ cm: $F = 2\cdot10^{-7}\cdot50\cdot0{,}2\left(\frac{1}{0{,}05} - \frac{1}{0{,}15}\right) = 2{,}67\cdot10^{-5}$ N.

Domanda d'esame tipo

"Si enunci la seconda legge elementare di Laplace. Due fili indefiniti paralleli a distanza $d$ percorsi da uguale corrente $i$ in direzione opposta: modulo, direzione e verso delle forze per unità di lunghezza. Definizione dell'unità di misura della corrente." (appello 26.06.2026)

1. $d\vec F = i\,d\vec s \times \vec B$.
2. $\frac FL = \frac{\mu_0 i^2}{2\pi d}$, lungo la congiungente, repulsive (correnti opposte), uguali e opposte sui due fili.
3. Definizione dell'ampere data sopra.

Errori comuni

• Invertire attrazione e repulsione per analogia con le cariche.
• Usare $d/2$ al posto di $d$: nella forza tra due fili la distanza è quella tra i fili; $d/2$ serve solo per il campo nel punto di mezzo.
• Sommare i moduli dei campi senza controllare i versi: a metà tra due fili con correnti concordi i campi si sottraggono, con correnti opposte si sommano.