Moto di una carica in un campo magnetico uniforme

Lezione del 17.11 (sezioni 6.3 e 6.7 del libro di testo). Prerequisiti: Campo magnetico, legge di Gauss magnetica e forza di LorentzIl campo magnetico B si definisce attraverso la forza che esercita su una carica in moto: forza di Lorentz F = q v × B, perpendicolare sia a v sia a B, quindi non compie lavoro e non cambia l'energia cinetica. Unità: tesla, 1 T = 1 N/(A·m). Con anche un campo elettrico F = q(E + v × B). Le linee di B sono chiuse (non esistono monopoli magnetici): il flusso di B attraverso qualunque superficie chiusa è nullo, ∮B·dΣ = 0, in forma locale div B = 0.Campo magnetico, legge di Gauss magnetica e forza di Lorentz →, Campo tra due piani carichi e moto di una caricaDue piani indefiniti paralleli sommano i loro campi σ/(2ε₀): con densità opposte ±σ il campo è σ/ε₀ tra i piani e nullo fuori; con densità qualsiasi σ₁, σ₂ tra i piani vale (σ₁ − σ₂)/(2ε₀). In un campo uniforme una carica ha accelerazione costante a = qE/m: se entra con velocità perpendicolare al campo descrive una parabola, come un proiettile.Campo tra due piani carichi e moto di una carica → (il caso elettrico, da confrontare). È una domanda di teoria (appello 23.01.2025) e parte di diversi problemi.

Velocità perpendicolare al campo: moto circolare uniforme

Perché il moto è circolare

Una carica $q$ di massa $m$ entra con velocità $\vec v$ perpendicolare a un campo $\vec B$ uniforme. La forza di Lorentz $\vec F = q\vec v \times \vec B$:

1. è perpendicolare a $\vec v$, quindi non cambia il modulo della velocità (non compie lavoroLa potenza F·v è nulla perché v × B è perpendicolare a v.Campo magnetico, legge di Gauss magnetica e forza di Lorentz →): $v$ resta costante;
2. è perpendicolare a $\vec B$, quindi non c'è accelerazione lungo $\vec B$: il moto resta nel piano perpendicolare al campo;
3. ha modulo costante $F = |q|vB$, perché $v$, $B$ e l'angolo di $90°$ non cambiano.

Una forza di modulo costante, sempre perpendicolare alla velocità, è proprio la forza centripeta di un moto circolare uniforme.

Raggio, pulsazione e periodo

Si uguaglia la forza di Lorentz alla forza centripeta $m\frac{v^2}{r}$:

$$|q|vB = m\frac{v^2}{r}.$$

Formula (raggio, pulsazione e periodo di ciclotrone). $$r = \frac{mv}{|q|B}, \qquad \omega = \frac vr = \frac{|q|B}{m}, \qquad T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi m}{|q|B}.$$

• Il raggio cresce con la quantità di moto $mv$ e diminuisce con il campo: particelle più veloci o più pesanti curvano meno.
• La pulsazione $\omega$ (detta pulsazione di ciclotrone) e il periodo $T$ non dipendono dalla velocità: una particella più veloce percorre un cerchio più grande nello stesso tempo. È il principio del ciclotrone.
• Le relazioni si usano anche al contrario: dal periodo misurato si ricava $B = \frac{2\pi m}{|q|T}$, dal raggio e dal periodo la velocità $v = \frac{2\pi r}{T}$ (appello 26.06.2026, Esercizio 24 · protone tra due piani carichi e poi in un campo magnetico).

Esempio numerico. Un protone ($m = 1{,}67\cdot10^{-27}$ kg, $q = e = 1{,}6\cdot10^{-19}$ C) percorre un cerchio con periodo $T = 5\ \mu$s. Allora $B = \frac{2\pi m}{eT} = \frac{2\pi\cdot1{,}67\cdot10^{-27}}{1{,}6\cdot10^{-19}\cdot5\cdot10^{-6}} = 13{,}1$ mT. Se il raggio è $r = 30$ cm, la velocità è $v = 2\pi r/T = 3{,}77\cdot10^5$ m/s.

Verso di rotazione

Il verso si trova con la regola della mano destra applicata in un punto qualsiasi: la forza punta sempre verso il centro.

• Carica positiva: vista dalla punta di $\vec B$ (campo che "esce" verso l'osservatore) gira in senso orario.
• Carica negativa: gira in senso antiorario.

Il moto circolare di una carica è equivalente a una piccola spira percorsa da corrente: in entrambi i casi il campo magnetico che la carica genera al centro è opposto a $\vec B$ (comportamento diamagnetico, vedi Magnetizzazione della materia (cenni)La materia contiene momenti magnetici atomici (correnti amperiane). In un campo esterno si magnetizza: il vettore magnetizzazione M è il momento magnetico per unità di volume, ed equivale a correnti di magnetizzazione sulla superficie (densità M × u_n). Si introduce H = B/μ0 − M, la cui circuitazione dipende solo dalle correnti di conduzione; nei materiali lineari M = χm H e B = μ0 μr H con μr = 1 + χm. Diamagneti: χm < 0 piccolissimo; paramagneti: χm > 0 piccolo; ferromagneti: μr fino a 10³–10⁵, non lineari, con isteresi. Un solenoide riempito di materiale ha B = μ0 μr n i.Magnetizzazione della materia (cenni) →).

Legge oraria

Si prende $\vec B = B\,\vec u_z$ e la velocità iniziale $\vec v(0) = v_0\,\vec u_x$ con la carica nell'origine. Poiché $\vec v \times \vec u_z = v_y\,\vec u_x - v_x\,\vec u_y$, la seconda legge di Newton $m\frac{d\vec v}{dt} = q\vec v \times \vec B$ dà, con $\omega = \frac{qB}{m}$:

$$\frac{dv_x}{dt} = \omega\,v_y, \qquad \frac{dv_y}{dt} = -\omega\,v_x.$$

Derivando la prima e sostituendo la seconda: $\ddot v_x = -\omega^2 v_x$, l'equazione dell'oscillatore armonico. Con le condizioni iniziali $v_x(0) = v_0$, $v_y(0) = 0$:

$$v_x(t) = v_0\cos\omega t, \qquad v_y(t) = -v_0\sin\omega t.$$

Integrando con $x(0) = y(0) = 0$:

Legge oraria (carica in un campo magnetico uniforme). $$x(t) = r\sin\omega t, \qquad y(t) = r\left(\cos\omega t - 1\right), \qquad r = \frac{v_0}{\omega} = \frac{mv_0}{qB}.$$

Esempio. Protone con $v_0 = 10^6$ m/s e $B = 0{,}1$ T: $r = \frac{mv_0}{eB} = \frac{1{,}673\cdot10^{-27}\cdot10^6}{1{,}602\cdot10^{-19}\cdot0{,}1} = 0{,}104$ m.

È una circonferenza di raggio $r$ con centro in $(0, -r)$, percorsa con velocità angolare costante $\omega$: si verifica che $x^2 + (y + r)^2 = r^2$.

Velocità con una componente parallela al campo: l'elica

Si scompone la velocità in una parte parallela a $\vec B$ e una perpendicolare: $\vec v = \vec v_\parallel + \vec v_\perp$. Poiché $\vec v_\parallel \times \vec B = 0$:

$$\vec F = q\,\vec v_\perp \times \vec B.$$

• Lungo $\vec B$ non agisce nessuna forza: $v_\parallel$ resta costante, moto rettilineo uniforme.
• Nel piano perpendicolare il moto è circolare uniforme con $r = \frac{mv_\perp}{|q|B}$ e lo stesso periodo $T = \frac{2\pi m}{|q|B}$.

La composizione dei due moti è un'elica con asse parallelo a $\vec B$. Il passo (distanza percorsa lungo l'asse in un giro) è

Formula (passo dell'elica). $$p = v_\parallel\,T = \frac{2\pi m\,v_\parallel}{|q|B}.$$

Esempio d'esame (appello 16.09.2025, Esercizio 18 · particella su un'elica in un campo magnetico e piano carico). Campo lungo $x$, $v_x = 1$ m/s, $v_y = 5$ m/s; in un tratto $L = 2$ m lungo l'asse la particella compie $N = 5$ giri. Il tempo per percorrere $L$ è $L/v_x$ e deve essere uguale a $NT$: da $\frac{L}{v_x} = N\frac{2\pi m}{qB}$ si ricava la carica, poi il raggio con $v_\perp = v_y$.

Applicazioni

Selettore di velocità

Un campo elettrico $\vec E$ e uno magnetico $\vec B$ uniformi e perpendicolari tra loro e alla velocità. La forza elettrica $q\vec E$ non dipende dalla velocità, quella magnetica $q\vec v \times \vec B$ sì. Se le due forze sono opposte, si bilanciano solo per una velocità:

Formula (selettore di velocità). $$qE = qvB \implies v = \frac EB.$$

Esempio. $E = 2\cdot10^4$ V/m e $B = 0{,}1$ T: passano solo le particelle con $v = \frac{E}{B} = 2\cdot10^5$ m/s.

Le particelle con questa velocità proseguono in linea retta (e la loro energia cinetica non cambia), le altre vengono deviate. Nell'appello del 18.02.2025 (Esercizio 11 · particella tra due piani carichi e selettore di velocità) si sceglie $B = E/v_0$ proprio perché la particella attraversi i due piani carichi senza cambiare energia.

Spettrometro di massa

Ioni di carica $q$ vengono accelerati da una d.d.p. $\Delta V$: $\frac12 mv^2 = q\Delta V$, quindi $v = \sqrt{2q\Delta V/m}$. Entrano in un campo $B$ e percorrono una semicirconferenza di raggio

Formula (raggio nello spettrometro di massa). $$r = \frac{mv}{qB} = \frac1B\sqrt{\frac{2m\Delta V}{q}}.$$

Esempio. Ioni $m = 40$ u ($6{,}64\cdot10^{-26}$ kg) con $q = e$, accelerati da $\Delta V = 1000$ V in $B = 0{,}1$ T: $r = \frac{1}{0{,}1}\sqrt{\frac{2\cdot6{,}64\cdot10^{-26}\cdot1000}{1{,}602\cdot10^{-19}}} = 0{,}288$ m.

Il punto d'arrivo (a distanza $2r$ dall'ingresso) dipende dalla massa: ioni di masse diverse (per esempio isotopi) si separano. Spesso prima dello spettrometro c'è un selettore di velocità.

Ciclotrone (cenno)

Due elettrodi a forma di "D" in un campo $B$ uniforme, con una tensione alternata tra loro. Ogni mezzo giro la particella attraversa lo spazio tra le D e viene accelerata; il raggio cresce, ma il periodo $T = 2\pi m/(qB)$ resta lo stesso, quindi basta una tensione alternata di frequenza fissa $f = \frac{qB}{2\pi m}$ per essere sempre in sincronia.

Domanda d'esame tipo

"Si scriva la legge del moto di una particella con velocità iniziale normale al campo magnetico; si calcoli il periodo; cosa succede se la velocità ha una componente parallela al campo?" (appello 23.01.2025)

1. $\vec F = q\vec v \times \vec B$ perpendicolare a $\vec v$: moto circolare uniforme; legge oraria $x = r\sin\omega t$, $y = r(\cos\omega t - 1)$ con $r = mv/(qB)$.
2. $T = 2\pi m/(qB)$, indipendente da $v$.
3. Componente parallela costante: elica di passo $p = v_\parallel T$.

Riepilogo

Errori comuni

• Usare tutta la velocità nel raggio dell'elica: nel raggio va solo $v_\perp$, nel passo solo $v_\parallel$.
• Pensare che il periodo dipenda dalla velocità: dipende solo da $m$, $q$, $B$.
• Cercare un lavoro della forza magnetica nei bilanci energetici: è nullo; se l'energia cinetica cambia, è per una forza elettrica.
• Dimenticare $|q|$ quando la particella ha carica multipla (ione con $q = 2e$, nucleo di elio…).