Magnetizzazione della materia (cenni)

Lezioni del 01.12 e 03.12 (sezioni 7.5, fino a metà pag. 176, e 7.6 dal vettore magnetizzazione, del libro di testo: solo cenni). Prerequisiti: Campo di una spira e di un solenoideUna spira circolare di raggio R percorsa da i genera sul suo asse B(z) = μ0 i R²/[2(R² + z²)^(3/2)], diretto lungo l'asse (al centro μ0 i/(2R)); lontano dalla spira B ≈ (μ0/4π)·2m/z³ con m = iπR²: è il campo di un dipolo magnetico (principio di equivalenza di Ampère: una spira piccola equivale a un ago magnetico). Un solenoide di n spire per unità di lunghezza genera all'interno, se indefinito, il campo uniforme B = μ0 n i parallelo all'asse, e nullo all'esterno.Campo di una spira e di un solenoide → (principio di equivalenza di Ampère), Legge di Ampère e circuitazione del campo magneticoLegge di Ampère: la circuitazione di B lungo una curva chiusa qualsiasi è μ0 per la somma (con segno) delle correnti concatenate, ∮B·ds = μ0 Σi; con il teorema di Stokes diventa rot B = μ0 J. B quindi non è conservativo. Con curve simmetriche dà subito: filo B = μ0 i/(2πr); cilindro pieno B = μ0 i r/(2πR²) dentro; solenoide indefinito B = μ0 n i dentro e 0 fuori; toroide B = μ0 N i/(2πr). Con la legge di Gauss magnetica forma le equazioni di Maxwell per i campi statici; per correnti non stazionarie va corretta con la corrente di spostamento.Legge di Ampère e circuitazione del campo magnetico →, Dielettrici - polarizzazione e vettore induzione elettricaUn dielettrico che riempie un condensatore ne moltiplica la capacità per la costante dielettrica relativa ε_r (κ) e, a carica fissata, divide campo e d.d.p. per ε_r. Il motivo è la polarizzazione: i dipoli molecolari si allineano (vettore P = momento di dipolo per unità di volume) e compaiono cariche di polarizzazione σ_p = P·n = (ε_r − 1)/ε_r · σ_lib che schermano il campo. Il vettore D = ε₀E + P ha flusso uguale alla sola carica libera: ∮D·n dS = Q_lib, e D = ε₀ε_r E.Dielettrici - polarizzazione e vettore induzione elettrica → (lo stesso schema per il campo elettrico).

Correnti amperiane

Ampère ipotizzò che il magnetismo delle calamite fosse dovuto a minuscole correnti chiuse all'interno della materia. Oggi sappiamo che ogni atomo ha un momento magnetico, dovuto al moto orbitale degli elettroni (un elettrone in orbita è una piccola spira percorsa da corrente) e allo spin. Per il principio di equivalenzaUna spira piccola percorsa da corrente equivale a un dipolo magnetico di momento m = iΣ.Campo di una spira e di un solenoide → ogni atomo si comporta come un piccolo dipolo magnetico.

• Senza campo esterno i momenti sono di solito orientati a caso (o nulli) e il materiale non ha magnetizzazione netta.
• In un campo esterno i momenti si orientano (o vengono indotti): il materiale si magnetizza e produce a sua volta un campo che si somma a quello esterno.

È lo stesso schema dei dielettrici: lì il campo elettrico orienta i dipoli elettrici e compare la polarizzazione.

Il vettore magnetizzazione

Definizione (magnetizzazione): momento magnetico per unità di volume, $$\vec M = \frac{d\vec m}{d\tau}, \qquad [M] = \frac{\text{A}\cdot\text{m}^2}{\text{m}^3} = \frac{\text{A}}{\text{m}}.$$

Esempio. $n = 5\cdot10^{28}\ \text{m}^{-3}$ atomi con $m = 2\cdot10^{-23}\ \text{A m}^2$ allineati: $M = 10^6$ A/m.

Correnti di magnetizzazione

In un cilindro uniformemente magnetizzato lungo l'asse, le correnti amperiane di atomi vicini scorrono in versi opposti sui lati in comune e si annullano all'interno. Sopravvive solo la corrente sulla superficie laterale, dove non c'è un vicino a compensare.

Proprietà (correnti di magnetizzazione). Una magnetizzazione uniforme equivale a una corrente superficiale di densità (corrente per unità di lunghezza) $$\vec j_s = \vec M \times \vec u_n,$$ con $\vec u_n$ normale uscente. Se la magnetizzazione non è uniforme compaiono anche correnti di volume $\vec J_m = \nabla\times\vec M$.

Esempio. Cilindro con $M = 10^6$ A/m: corrente superficiale $j_s = 10^6$ A/m, equivalente a un solenoide con $n\,i = 10^6$ A/m.

Un cilindro magnetizzato è quindi equivalente a un solenoide con $n i = M$: il campo al suo interno è $\mu_0 M$. Il paragone con i dielettrici: lì la polarizzazione equivale a cariche superficiali $\sigma_p = \vec P\cdot\vec u_n$.

Il campo $\vec H$

Nella legge di Ampère dentro un materiale contano sia le correnti di conduzione $i$ (quelle nei fili, che si controllano) sia le correnti di magnetizzazione $i_m$ (che dipendono dalla risposta del materiale):

$$\oint\vec B\cdot d\vec s = \mu_0(i + i_m), \qquad i_m = \oint\vec M\cdot d\vec s.$$

Portando $i_m$ a sinistra si definisce il campo magnetizzante

Definizione (campo magnetizzante H). $$\vec H = \frac{\vec B}{\mu_0} - \vec M, \qquad \oint_C\vec H\cdot d\vec s = \sum i_{\text{conduzione}}, \qquad \nabla\times\vec H = \vec J.$$

Esempio. Solenoide con $n = 1000$ spire/m e $i = 2$ A, riempito di qualsiasi materiale: $H = n i = 2000$ A/m.

$\vec H$ si misura in A/m. Il suo ruolo è quello di $\vec D$ nei dielettrici: dipende solo dalle sorgenti "libere".

Materiali lineari

In molti materiali la magnetizzazione è proporzionale al campo:

$$\vec M = \chi_m\vec H, \qquad \vec B = \mu_0(\vec H + \vec M) = \mu_0(1 + \chi_m)\vec H = \mu_0\mu_r\vec H,$$

con $\chi_m$ suscettività magnetica e $\mu_r = 1 + \chi_m$ permeabilità magnetica relativa ($\mu = \mu_0\mu_r$ è la permeabilità assoluta).

Solenoide riempito di materiale. Per Ampère su $\vec H$, $H = n i$ come nel vuoto; quindi

Formula (solenoide riempito di materiale). $$B = \mu_0\mu_r\,n\,i.$$

Esempio. Stesso solenoide con $\mu_r = 500$: $B = 4\pi\cdot10^{-7}\cdot500\cdot2000 = 1{,}257$ T, contro $2{,}5\cdot10^{-3}$ T nel vuoto.

Il materiale moltiplica il campo per $\mu_r$. Per lo stesso motivo il coefficiente di autoinduzione di una bobina con nucleo è $\mu_r$ volte quello in aria (Autoinduzione, circuiti RL e LC, energia magneticaUn circuito percorso da corrente concatena il flusso del proprio campo: Φ = L i, con L coefficiente di autoinduzione (henry; solenoide L = μ0 n² Σ ℓ). Se i varia compare la fem autoindotta −L di/dt. Circuito RL in chiusura: i = (ℰ/R)(1 − e^(−t/τ)), τ = L/R (extracorrente di chiusura); in apertura i = i₀e^(−t/τ). Un'induttanza percorsa da i immagazzina U = ½Li², con densità di energia magnetica u = B²/(2μ0). Circuito LC: la carica oscilla come q₀cos(ωt), ω = 1/√(LC), con l'energia che passa dal condensatore all'induttanza e viceversa.Autoinduzione, circuiti RL e LC, energia magnetica →).

Tre tipi di materiali

• Diamagnetismo: è presente in tutti i materiali, ma è debolissimo e si vede solo se manca il paramagnetismo. Un diamagnete viene respinto dalle zone di campo intenso.
• Paramagnetismo: un paramagnete viene debolmente attratto verso le zone di campo intenso.
• Ferromagnetismo: la relazione tra $B$ e $H$ non è lineare e dipende dalla storia del materiale (isteresi): aumentando $H$ la magnetizzazione cresce fino alla saturazione; riportando $H$ a zero resta una magnetizzazione residua (così funzionano le calamite permanenti). Sopra la temperatura di Curie (770 °C per il ferro) il materiale diventa paramagnetico.

Condizioni al contorno (cenno)

Alla superficie di separazione tra due materiali:

• la componente di $\vec B$ normale alla superficie è continua (conseguenza di $\nabla\cdot\vec B = 0$, che vale anche nella materia);
• la componente di $\vec H$ tangente è continua (se non ci sono correnti di conduzione sulla superficie).

In un ferromagnete con $\mu_r$ grande le linee di $\vec B$ restano quasi tutte dentro il materiale: è per questo che i nuclei di ferro "guidano" il campo nei trasformatori.

Errori comuni

• Confondere $\vec B$ e $\vec H$: la forza di Lorentz e il flusso per l'induzione si calcolano con $\vec B$; la circuitazione con le sole correnti di conduzione è quella di $\vec H$.
• Usare $\mu_r$ costante per un ferromagnete senza che il testo lo dica.
• Pensare che i diamagneti abbiano $\mu_r < 0$: $\mu_r$ è appena minore di $1$, non negativo.