Energia potenziale elettrostatica e conservazione dell'energia

Lezione dell'08.10 (sezione 2.3 ed esempi 2.6-2.8 del libro di testo). Prerequisiti: Lavoro della forza elettrica e potenziale elettrostaticoIl lavoro della forza elettrostatica non dipende dal percorso (campo conservativo, circuitazione nulla); si definisce quindi il potenziale V con V(B) − V(A) = −∫ da A a B di E·ds, misurato in volt (1 V = 1 J/C). Carica puntiforme: V = q/(4πε₀r) con V(∞) = 0; più cariche: somma (scalare) dei potenziali. La forza elettromotrice di un percorso chiuso è la circuitazione di E, nulla in elettrostatica.Lavoro della forza elettrica e potenziale elettrostatico →. Seguito: Campo come gradiente del potenziale e superfici equipotenzialiIl campo si ottiene dal potenziale come E = −∇V, cioè Ex = −∂V/∂x, Ey = −∂V/∂y, Ez = −∂V/∂z: punta dove V diminuisce più rapidamente e il suo modulo è la rapidità di variazione. Le superfici equipotenziali (V costante) sono sempre perpendicolari alle linee di campo, e spostarsi su di esse non costa lavoro.Campo come gradiente del potenziale e superfici equipotenziali →.

Energia potenziale di una carica

La forza elettrostatica è conservativa, quindi le si può associare un'energia potenziale, come per la forza peso. Il lavoro fatto dal campo su $q$ da $A$ a $B$ è $W_{AB} = -q(V_B - V_A)$; per definizione di energia potenziale $W_{AB} = -(U_B - U_A)$. Confrontando:

Definizione (energia potenziale elettrostatica). Una carica $q$ in un punto a potenziale $V$ ha energia potenziale $$U = qV.$$

Esempio. Carica $q = 2\ \mu$C in un punto a $V = 300$ V: $U = qV = 6\cdot10^{-4}$ J.

Il potenziale è l'energia potenziale per unità di carica: dipende solo dalle sorgenti; l'energia potenziale dipende anche dalla carica che si mette nel punto.

• Una carica positiva ha energia potenziale bassa dove il potenziale è basso: tende a scendere verso potenziali minori.
• Una carica negativa ha energia potenziale bassa dove il potenziale è alto ($qV$ è più negativo): tende a salire verso potenziali maggiori. Gli elettroni in un circuito vanno dal polo negativo al polo positivo.

Conservazione dell'energia

Se sulla carica agisce solo la forza elettrostatica, il lavoro è uguale alla variazione di energia cinetica (teorema dell'energia cinetica): $W_{AB} = K_B - K_A$. Insieme a $W_{AB} = -(U_B - U_A)$:

Principio di conservazione dell'energia (carica in un campo elettrostatico). $$\frac12 m v_A^2 + qV_A = \frac12 m v_B^2 + qV_B.$$

Esempio. Protone che parte da fermo e viene accelerato da un punto A a un punto B con $V_A - V_B = 1000$ V (una carica positiva accelera verso i potenziali minori, quindi $\Delta V = V_B - V_A = -1000$ V). Dalla conservazione, $\frac12 m v^2 = q\,(V_A - V_B) = -q\,\Delta V$, e il segno meno rende positivo il radicando: $v = \sqrt{\frac{-2q\,\Delta V}{m}} = \sqrt{\frac{2\cdot1{,}602\cdot10^{-19}\cdot1000}{1{,}673\cdot10^{-27}}} = 4{,}38\cdot10^{5}$ m/s.

L'energia meccanica $K + U$ si conserva. Questa equazione permette di trovare velocità senza conoscere la traiettoria né i tempi: basta la differenza di potenziale tra gli estremi.

Metodo.

1. Calcolare la d.d.p. $V_B - V_A$ (spesso con la sovrapposizione delle sorgenti).
2. Scrivere il bilancio: $K_B = K_A - q(V_B - V_A)$.
3. Ricavare la velocità: $v_B = \sqrt{v_A^2 - \frac{2q}{m}(V_B - V_A)}$.

Il segno sotto radice è un controllo: se viene negativo, la carica non arriva in $B$ (si ferma prima e torna indietro).

Esempio: carica accelerata da ferma

Primo appello 23.01.2024 (Esercizio 1 · filo carico e piano carico, potenziale e velocità): carica $q = 8$ mC (nel testo; il valore realistico sarebbe più piccolo, ma il metodo non cambia), massa $m = 10^{-13}$ kg, ferma in $A$, con $V_B - V_A = -395$ V.

$$\frac12 m v_B^2 = -q(V_B - V_A) = 8 \cdot 10^{-3} \cdot 395 = 3{,}16\ \text{J} \implies v_B = \sqrt{\frac{2 \cdot 3{,}16}{10^{-13}}} \approx 7{,}95 \cdot 10^6\ \text{m/s}.$$

La carica è positiva e il potenziale scende da $A$ a $B$: il campo la accelera ✓.

Esempio: carica che si ferma

Secondo appello 20.02.2024 (Esercizio 3 · carica lanciata lungo l'asse di un anello sopra un piano carico): una carica lanciata verso un anello carico positivamente si ferma nel punto $z_1$. Il bilancio con $K_1 = 0$ dà

$$\frac12 m v_0^2 = Q\,[V(z_1) - V(z_0)] \implies v_0 = \sqrt{\frac{2Q}{m}[V(z_1) - V(z_0)]}.$$

La carica "sale" lungo il potenziale finché non ha esaurito l'energia cinetica.

L'elettronvolt

Per particelle atomiche si usa l'elettronvolt: l'energia cinetica che acquista una carica $e$ accelerata da una d.d.p. di $1$ V.

Definizione (elettronvolt). $$1\ \text{eV} = e \cdot 1\ \text{V} = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\ \text{J}.$$

Esempio. Un elettrone accelerato da $1000$ V acquista $1$ keV $= 1000\cdot1{,}602\cdot10^{-19} = 1{,}602\cdot10^{-16}$ J.

Un elettrone accelerato da $1000$ V acquista $1$ keV; una particella con carica $-4e$ e energia cinetica $2$ keV (terzo appello 20.06.2024, Esercizio 5 · gusci sferici con dielettrico e carica in orbita) ha $K = 2000 \cdot 1{,}6 \cdot 10^{-19} = 3{,}2 \cdot 10^{-16}$ J.

Energia di un sistema di cariche

Due cariche

Per portare $q_2$ dall'infinito a distanza $r$ da $q_1$ (ferma), una forza esterna deve fare il lavoro $q_2 V_1(r)$, dove $V_1$ è il potenziale di $q_1$. Questo lavoro resta immagazzinato come energia potenziale del sistema:

Formula (energia potenziale di due cariche). $$U = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1 q_2}{r}.$$

Esempio. $q_1 = 2$ nC e $q_2 = 3$ nC a $r = 3$ cm: $U = 9\cdot10^9\cdot\frac{6\cdot10^{-18}}{0{,}03} = 1{,}8\cdot10^{-6}$ J, positiva (si respingono).

$U > 0$ per cariche dello stesso segno (bisogna spingerle per avvicinarle; lasciate libere si allontanano liberando energia), $U < 0$ per cariche opposte (il sistema è legato: per separarle bisogna fornire energia).

$N$ cariche

Si portano le cariche una alla volta dall'infinito. La prima non costa nulla; la seconda costa $\frac{q_1 q_2}{4\pi\varepsilon_0 r_{12}}$; la terza costa il lavoro contro le prime due, e così via. Sommando:

Formula (energia di un sistema di cariche). $$U = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\sum_{\text{coppie } i < j}\frac{q_i q_j}{r_{ij}} = \frac12\sum_i q_i V_i,$$ dove $V_i$ è il potenziale nel punto della carica $i$ dovuto a tutte le altre.

Il fattore $\frac12$ nella seconda forma serve perché ogni coppia compare due volte nella somma su $i$.

Esempio: quattro cariche ai vertici di un quadrato. Cariche uguali $q$ ai vertici di un quadrato di lato $a$: ci sono $6$ coppie, $4$ lati (distanza $a$) e $2$ diagonali (distanza $a\sqrt2$):

$$U = \frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac4a + \frac{2}{a\sqrt2}\right) = \frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0 a}\left(4 + \sqrt2\right).$$

Lavoro per spostare una carica del sistema. È la differenza di energia del sistema tra configurazione finale e iniziale (contano solo le coppie che coinvolgono la carica spostata): $W_{\text{est}} = U_f - U_i = q\,(V_f - V_i)$, con $V$ il potenziale delle altre cariche.

Riepilogo

Errori comuni

• Segno della carica: per un elettrone $U = -eV$; dimenticarlo inverte il verso del moto.
• Confondere il lavoro del campo con quello della forza esterna: hanno segno opposto ($W_{\text{campo}} = -\Delta U$, $W_{\text{est}} = +\Delta U$).
• Contare due volte le coppie nell'energia del sistema (senza il fattore $\frac12$).
• Usare $U = qV$ con $V$ comprensivo del potenziale della carica stessa: si usa il potenziale delle altre cariche.