Campo elettrostatico di cariche puntiformi

Lezione del 01.10 (sezione 1.4 del libro di testo). Prerequisiti: Legge di Coulomb e principio di sovrapposizioneDue cariche puntiformi q₁ e q₂ a distanza r si attirano o respingono con forza F = q₁q₂/(4πε₀r²), diretta lungo la congiungente (ε₀ = 8,85·10⁻¹² C²/(N·m²), 1/(4πε₀) ≈ 9·10⁹ N·m²/C²); con più cariche la forza totale è la somma vettoriale delle forze di ciascuna (principio di sovrapposizione).Legge di Coulomb e principio di sovrapposizione →. Seguito: Distribuzioni continue di carica - filo, anello, disco, pianoUna carica distribuita si descrive con densità lineare λ, superficiale σ o volumetrica ρ; il campo si ottiene sommando (integrando) i campi dE = dq/(4πε₀r²) dei pezzetti dq, sfruttando le simmetrie. Risultati: filo indefinito E = λ/(2πε₀r), anello sull'asse E = qz/(4πε₀(R²+z²)^(3/2)), disco sull'asse E = σ/(2ε₀)·(1 − z/√(R²+z²)), piano indefinito E = σ/(2ε₀) uniforme.Distribuzioni continue di carica - filo, anello, disco, piano →.

Dalla forza al campo

La legge di Coulomb descrive una forza tra due cariche "a distanza". Conviene separare il problema in due parti:

1. le cariche sorgenti creano in ogni punto dello spazio una grandezza, il campo elettrico;
2. una carica posta in quel punto subisce una forza proporzionale al campo che trova lì.

In questo modo si calcola il campo una volta sola, e poi si ottiene la forza su qualunque carica con una moltiplicazione.

Definizione (campo elettrostatico). Il campo elettrostatico in un punto $P$ è $$\vec E(P) := \frac{\vec F}{q_0},$$ dove $\vec F$ è la forza che agirebbe su una carica di prova $q_0$ (positiva e piccola) posta in $P$.

Esempio. Una carica di prova $q_0 = 2$ nC posta in $P$ subisce una forza di $6\ \mu$N: $E = \frac{6\cdot10^{-6}}{2\cdot10^{-9}} = 3000$ N/C.

• Perché "di prova" e piccola: la carica $q_0$ non deve spostare le cariche sorgenti (per esempio per induzione su un conduttore), altrimenti misurerebbe un campo diverso da quello che c'era prima di metterla. Formalmente $\vec E = \lim_{q_0 \to 0} \vec F/q_0$.
• Il campo non dipende da $q_0$: la forza è proporzionale a $q_0$, e dividendo si ottiene una grandezza che dipende solo dalle sorgenti e dal punto.
• Unità di misura: newton su coulomb, N/C. Si usa di più l'equivalente volt su metro, V/m (vedi Lavoro della forza elettrica e potenziale elettrostaticoIl lavoro della forza elettrostatica non dipende dal percorso (campo conservativo, circuitazione nulla); si definisce quindi il potenziale V con V(B) − V(A) = −∫ da A a B di E·ds, misurato in volt (1 V = 1 J/C). Carica puntiforme: V = q/(4πε₀r) con V(∞) = 0; più cariche: somma (scalare) dei potenziali. La forza elettromotrice di un percorso chiuso è la circuitazione di E, nulla in elettrostatica.Lavoro della forza elettrica e potenziale elettrostatico →).

Viceversa, una carica $q$ (di qualunque segno) posta in un punto dove il campo è $\vec E$ subisce la forza

Formula (forza su una carica in un campo). $$\vec F = q\vec E.$$

Esempio. Carica $q = -2\ \mu$C in un campo $E = 3000$ N/C: $F = qE = -6\cdot10^{-3}$ N, cioè $6$ mN in verso opposto al campo.

Se $q > 0$ la forza ha il verso del campo, se $q < 0$ verso opposto.

Campo di una carica puntiforme

Dalla legge di Coulomb con $q_1 = q$ (sorgente) e $q_2 = q_0$ (prova), dividendo per $q_0$:

Legge (campo di una carica puntiforme). $$\vec E(P) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r^2}\,\hat u_r,$$ dove $r$ è la distanza tra la carica e il punto $P$ e $\hat u_r$ è il versore che va dalla carica verso $P$.

• Direzione radiale: il campo punta lungo la retta che passa per la carica.
• Verso: uscente dalla carica se $q > 0$, entrante se $q < 0$.
• Modulo $E = \frac{|q|}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$: uguale su ogni sfera centrata nella carica, decresce come $\frac1{r^2}$. Raddoppiando la distanza il campo si riduce a un quarto.

Esempio. Campo a $r = 2$ cm da $q = 5$ nC: $E = 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{5 \cdot 10^{-9}}{(0{,}02)^2} = \frac{45}{4 \cdot 10^{-4}} = 1{,}1 \cdot 10^5$ V/m. Un elettrone in quel punto subirebbe una forza $F = eE = 1{,}6 \cdot 10^{-19} \cdot 1{,}1 \cdot 10^5 \approx 1{,}8 \cdot 10^{-14}$ N, verso la carica (attrazione) e quindi un'accelerazione $a = F/m_e \approx 2 \cdot 10^{16}$ m/s²: le forze elettriche sulle particelle sono enormi rispetto al loro peso.

Campo di più cariche puntiformi

Per il principio di sovrapposizioneLa forza totale è la somma vettoriale delle forze dovute alle singole cariche.Legge di Coulomb e principio di sovrapposizione → anche i campi si sommano vettorialmente:

Principio di sovrapposizione (campo elettrico). $$\vec E(P) = \sum_{i=1}^N \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_i}{r_i^2}\,\hat u_i,$$ con $r_i$ distanza di $P$ da $q_i$ e $\hat u_i$ versore da $q_i$ verso $P$.

Esempio. $P$ a $10$ cm da $q_1 = +4$ nC (a sinistra) e da $q_2 = -4$ nC (a destra): ciascuna carica dà $E = 9\cdot10^9\cdot\frac{4\cdot10^{-9}}{0{,}01} = 3600$ N/C verso destra, quindi $E_{tot} = 7200$ N/C.

Esempio: due cariche uguali, punto sull'asse

Due cariche $+q$ in $(\pm a, 0)$. Campo nel punto $P = (0, y)$ dell'asse $y$.

• Distanza di $P$ da ciascuna carica: $r = \sqrt{a^2 + y^2}$; modulo di ciascun campo $E_1 = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0(a^2 + y^2)}$.
• Ciascun campo punta da una carica verso $P$. Le componenti $x$ sono opposte (una carica è a sinistra, l'altra a destra) e si cancellano; le componenti $y$ sono uguali e si sommano. La componente $y$ di ciascun campo è $E_1 \cos\alpha$, dove $\cos\alpha = \frac{y}{r}$.

$$E_y = 2\,\frac{q}{4\pi\varepsilon_0(a^2 + y^2)}\cdot\frac{y}{\sqrt{a^2 + y^2}} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{2qy}{(a^2 + y^2)^{3/2}}.$$

Controlli. In $y = 0$ (a metà tra le cariche) $E = 0$: le due spinte si bilanciano. Per $y \gg a$, $E \approx \frac{2q}{4\pi\varepsilon_0 y^2}$: da lontano le due cariche sembrano un'unica carica $2q$ nell'origine ✓. Tra questi due estremi il campo ha un massimo (in $y = a/\sqrt2$).

Esempio: due cariche opposte

Con $+q$ in $(-a, 0)$ e $-q$ in $(a, 0)$, nel punto $(0, y)$ si cancellano invece le componenti $y$ e restano quelle $x$, entrambe dirette verso la carica negativa:

$$E_x = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{2qa}{(a^2 + y^2)^{3/2}},$$

che per $y \gg a$ va come $\frac{1}{y^3}$, più rapidamente di una carica singola: da lontano le due cariche quasi si compensano. È il campo di un dipolo elettricoUn dipolo elettrico è una coppia di cariche +q e −q a distanza a, descritta dal momento di dipolo p = qa (da −q a +q). A grande distanza il potenziale vale V = p cos θ/(4πε₀r²) e il campo decresce come 1/r³. In un campo uniforme il dipolo non subisce forza ma un momento meccanico M = p × E, che tende ad allinearlo al campo; la sua energia è U = −p·E.Dipolo elettrico e momento in un campo esterno →.

Linee di campo

Il campo si rappresenta con linee di campo (o linee di forza): curve tangenti in ogni punto al vettore $\vec E$, orientate nel suo verso.

• Partono dalle cariche positive e finiscono sulle negative (o all'infinito).
• Non si incrociano mai: in ogni punto il campo ha una sola direzione.
• La densità di linee (quante attraversano un'unità di superficie perpendicolare) è proporzionale al modulo del campo: dove le linee sono fitte il campo è intenso.
• Per una carica puntiforme sono semirette radiali; per due cariche uguali si respingono e lasciano un punto vuoto (campo nullo) al centro; per due cariche opposte vanno dalla positiva alla negativa.
• Per un campo uniforme (stesso vettore in ogni punto) sono rette parallele equidistanti, come tra due piani carichi (Campo tra due piani carichi e moto di una caricaDue piani indefiniti paralleli sommano i loro campi σ/(2ε₀): con densità opposte ±σ il campo è σ/ε₀ tra i piani e nullo fuori; con densità qualsiasi σ₁, σ₂ tra i piani vale (σ₁ − σ₂)/(2ε₀). In un campo uniforme una carica ha accelerazione costante a = qE/m: se entra con velocità perpendicolare al campo descrive una parabola, come un proiettile.Campo tra due piani carichi e moto di una carica →).

Attenzione: una linea di campo non è la traiettoria di una carica. La forza è tangente alla linea, ma la velocità no (una carica che parte ferma segue la linea solo all'inizio).

Riepilogo

Errori comuni

• Sommare i moduli dei campi di più cariche invece dei vettori.
• Sbagliare il verso per le cariche negative: il campo punta verso la carica negativa.
• Confondere il campo con la forza: $\vec E$ esiste anche se nel punto non c'è nessuna carica; la forza solo se c'è.
• Usare $\vec F = q\vec E$ con il campo prodotto dalla stessa carica $q$: una carica non subisce forza dal proprio campo.