Esercizio 27la stessa funzione in tre coppie di basi (lezioni 13 e 15)

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Prima di cominciare: controllare che siano basi. $\mathcal C'$: due vettori non proporzionali di $\mathbb{R}^2$ ($\det \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} = 2 \cdot 1 - (-1) \cdot 3 = 2 + 3 = 5 \ne 0$). $\mathcal B'$: con lo sviluppo di LaplaceSi somma, lungo una riga, ogni elemento per il determinante del minore che resta togliendo la sua riga e la sua colonna, con segni alterni + − +.Proprietà del determinante, Binet e Laplace → lungo la prima riga,

$$\det \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix} = 1 \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} - (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} + 0 = 1 \cdot (3 + 1) + 1 \cdot (0 + 2) = 6 \ne 0,$$

quindi i tre vettori sono indipendenti (una matrice con colonne dipendenti ha determinante nullo) e, essendo tre in $\mathbb{R}^3$, formano una baseIn dimensione n, n vettori indipendenti sono una base.Dimensione →.

1. Basi canoniche

Ricetta: la colonna $j$ è la colonna delle coordinate, nella base del codominio, di $f$ applicata al $j$-esimo vettore della base del dominio. Con le basi canoniche le coordinate sono le componenti, quindi la colonna $j$ è $f(e_j)$:

$$f(e_1) = (3, 1), \quad f(e_2) = (-2, 0), \quad f(e_3) = (1, 2) \qquad\Longrightarrow\qquad A = M^{\mathcal E_3}_{\mathcal E_2}(f) = \begin{pmatrix} 3 & -2 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}.$$

È $2 \times 3$: $2$ righe come la dimensione del codominio, $3$ colonne come quella del dominio. Si legge anche direttamente dalla formula di $f$: la riga $i$ contiene i coefficienti di $x, y, z$ nella componente $i$.

2. Base $\mathcal B'$ nel dominio, canonica nel codominio

Si applica $f$ ai vettori di $\mathcal B'$; il risultato, essendo il codominio con la base canonica, va in colonna così com'è.

• $f(v_1) = f(1, 0, 2) = (3 - 0 + 2, \ 1 + 4) = (5, 5)$;
• $f(v_2) = f(-1, 1, 1) = (-3 - 2 + 1, \ -1 + 2) = (-4, 1)$;
• $f(v_3) = f(0, -1, 3) = (0 + 2 + 3, \ 0 + 6) = (5, 6)$.

$$M^{\mathcal B'}_{\mathcal E_2}(f) = \begin{pmatrix} 5 & -4 & 5 \\ 5 & 1 & 6 \end{pmatrix}.$$

Con la formula. La matrice di cambiamento di baseLa matrice di cambiamento di base è la matrice dell'identità rispetto a due basi diverse: trasforma le coordinate in una base nelle coordinate nell'altra ed è invertibile; la matrice di f in nuove basi è M(id)·A·M(id), e per un endomorfismo A' = P⁻¹AP (matrici simili).Cambiamenti di base → $M^{\mathcal B'}_{\mathcal E_3}(\mathrm{id})$ ha in colonna le coordinate dei vettori di $\mathcal B'$ rispetto alla base canonica, cioè i vettori stessi:

$$P' = M^{\mathcal B'}_{\mathcal E_3}(\mathrm{id}) = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}, \qquad M^{\mathcal B'}_{\mathcal E_2}(f) = A\, P' = \begin{pmatrix} 3 & -2 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}.$$

Il prodotto righe per colonneL'elemento al posto (i, j) di AB è il prodotto della riga i di A per la colonna j di B: somma dei prodotti degli elementi corrispondenti.Operazioni tra matrici → dà, elemento per elemento:

Il risultato è la stessa matrice di prima, e non è un caso: la colonna $j$ di $AP'$ è $A$ per la colonna $j$ di $P'$, cioè $A v_j = f(v_j)$. Cambiare base nel dominio costa solo una moltiplicazione.

3. Basi $\mathcal B'$ e $\mathcal C'$

"A mano" (lezione 13)

Le immagini $f(v_j)$ sono quelle del punto 2, ma ora vanno scritte come combinazione di $w_1 = (2, 3)$ e $w_2 = (-1, 1)$: per ognuna bisogna risolvere un sistema $a w_1 + b w_2 = f(v_j)$, cioè

$$\begin{cases} 2a - b = p \\ 3a + b = q \end{cases} \qquad \text{per } f(v_j) = (p, q).$$

Sommando le due equazioni si elimina $b$: $5a = p + q$, quindi $a = \frac{p + q}{5}$; poi $b = 2a - p$. Si risolve una volta per tutte con $p, q$ generici e poi si sostituisce:

Le coppie $(a, b)$ sono le coordinate in $\mathcal C'$ e vanno in colonna:

$$M^{\mathcal B'}_{\mathcal C'}(f) = \begin{pmatrix} 2 & -\frac35 & \frac{11}{5} \\ -1 & \frac{14}{5} & -\frac35 \end{pmatrix}.$$

Con la formula (lezione 15)

$$M^{\mathcal B'}_{\mathcal C'}(f) = M^{\mathcal E_2}_{\mathcal C'}(\mathrm{id}) \cdot M^{\mathcal E_3}_{\mathcal E_2}(f) \cdot M^{\mathcal B'}_{\mathcal E_3}(\mathrm{id}) = M^{\mathcal E_2}_{\mathcal C'}(\mathrm{id}) \cdot \underbrace{A P'}_{\text{punto 2}} .$$

La matrice facile da scrivere è $Q = M^{\mathcal C'}_{\mathcal E_2}(\mathrm{id}) = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$ (i vettori di $\mathcal C'$ in colonna); quella che serve è la sua inversa, perché va nella direzione opposta (dalle coordinate canoniche a quelle in $\mathcal C'$). Per una $2 \times 2$ c'è la formula direttaL'inversa di (a b; c d) è 1/(ad − bc) per (d −b; −c a), se ad − bc ≠ 0.Matrice inversa →: si scambiano gli elementi della diagonale, si cambia segno agli altri due e si divide per il determinante ($= 5$):

$$Q^{-1} = \frac15 \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}. \qquad \text{Verifica: } \frac15 \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} = \frac15 \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix} = I_2 \ ✓$$

Quindi

$$M^{\mathcal B'}_{\mathcal C'}(f) = \frac15 \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 5 & -4 & 5 \\ 5 & 1 & 6 \end{pmatrix} = \frac15 \begin{pmatrix} 10 & -3 & 11 \\ -5 & 14 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -\frac35 & \frac{11}{5} \\ -1 & \frac{14}{5} & -\frac35 \end{pmatrix}$$

Elemento per elemento (riga di $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}$ per colonna di $AP'$, poi tutto diviso per $5$): prima riga $1 \cdot 5 + 1 \cdot 5 = 10$, $1 \cdot (-4) + 1 \cdot 1 = -3$, $1 \cdot 5 + 1 \cdot 6 = 11$; seconda riga $-3 \cdot 5 + 2 \cdot 5 = -5$, $-3 \cdot (-4) + 2 \cdot 1 = 14$, $-3 \cdot 5 + 2 \cdot 6 = -3$. Coincide con il calcolo a mano ✓.

Il collegamento tra i due metodi. Moltiplicare per $Q^{-1}$ significa proprio risolvere i sistemi $Q \binom{a}{b} = \binom{p}{q}$ della tabella, tutti insieme: la formula $a = \frac{p+q}{5}$ è la prima riga di $Q^{-1}$, e $b = 2a - p = \frac{-3p + 2q}{5}$ è la seconda.

Riepilogo

Tre matrici diverse per la stessa funzione: la matrice dipende dalle basi scelte. Hanno però tutte lo stesso rango ($2$), perché il rango è $\dim \operatorname{Im} f$, che non dipende dalle basi.

Errori comuni

• Usare $Q$ invece di $Q^{-1}$ per il codominio: la matrice con i vettori di $\mathcal C'$ in colonna trasforma coordinate in $\mathcal C'$ in coordinate canoniche, cioè va nel verso sbagliato.
• Mettere in colonna $f(v_j)$ anche nel punto 3: con una base non canonica nel codominio vanno le coordinate di $f(v_j)$, non le sue componenti.
• Sbagliare l'ordine dei fattori: $Q^{-1} A P'$, non $P' A Q^{-1}$ (che tra l'altro non ha senso: le dimensioni non tornano).