Formulario · Fisica 2 · Note per Studenti

I. Carica e campo elettrostatico

Carica elettrica e legge di Coulomb

Legge di Coulomb. $\boxed{\vec F_{12} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q_1\,q_2}{r^2}\,\hat u_{12}}$

Esempio. $q_1 = 5$ nC e $q_2 = 4$ nC a $r = 2$ cm: $F = 8{,}99\cdot10^9\cdot\frac{5\cdot10^{-9}\cdot4\cdot10^{-9}}{(0{,}02)^2} = 4{,}49\cdot10^{-4}$ N, repulsiva (cariche dello stesso segno).

Grafico interattivo: Forze di Coulomb tra due cariche: in alto due cariche positive si respingono (ciascuna è spinta lontano dall'altra), in basso una positiva e una negativa si attraggono (ciascuna è spinta verso l'altra); le due forze sono sempre uguali e opposte sulla congiungente (terzo principio)

Formula (legge di Coulomb in un mezzo). $F = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon_r}\frac{q_1 q_2}{r^2}$

Esempio. In acqua distillata ( $\varepsilon_r \approx 80$ ) la forza di $2{,}16\cdot10^{-5}$ N tra due cariche si riduce a $\frac{2{,}16\cdot10^{-5}}{80} = 2{,}7\cdot10^{-7}$ N.

Campo elettrostatico e principio di sovrapposizione

Definizione (campo elettrostatico). $\boxed{\vec E(P) = \frac{\vec F}{q_0}} \qquad [E] = \frac{\text{N}}{\text{C}} = \frac{\text{V}}{\text{m}}$

Esempio. Una carica di prova $q_0 = 1$ nC subisce $F = 5\ \mu$ N: $E = \frac{5\cdot10^{-6}}{10^{-9}} = 5000$ N/C.

Formula (forza su una carica in un campo). $\vec F = q\,\vec E$

Esempio. Elettrone in $E = 1000$ N/C: $F = eE = 1{,}6\cdot10^{-16}$ N, diretta contro il campo perché $q < 0$ .

Legge (campo di una carica puntiforme). $\vec E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q}{r^2}\,\hat u_r$

Esempio. $q = 2$ nC a $r = 3$ cm: $E = 8{,}99\cdot10^9\cdot\frac{2\cdot10^{-9}}{9\cdot10^{-4}} = 2\cdot10^{4}$ N/C, uscente.

Grafico interattivo: Modulo del campo di una carica puntiforme in funzione della distanza (unità di kq = 1): cala come 1/r²

Principio di sovrapposizione (campo elettrico). $\vec E(P) = \sum_{i=1}^{n} \vec E_i(P) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \sum_{i=1}^{n} \frac{q_i}{r_i^2}\,\hat u_{r_i}$

Esempio: centro di un quadrato. Quattro cariche uguali $q$ ai vertici di un quadrato: al centro i campi delle cariche opposte (sulla stessa diagonale, alla stessa distanza) sono uguali e opposti, quindi $\vec E = 0$ . Se invece due vertici consecutivi hanno $+q$ e gli altri due $-q$ , le componenti lungo un asse si annullano e quelle lungo l'altro si sommano (vedi Esercizio 6 · energia di un quadrato di cariche e lavoro per spostarne una). Con le cariche alternate $+q, -2q, +q, -2q$ il campo al centro è di nuovo nullo, ma non a metà di un lato (Esercizio 3 · quattro cariche ai vertici di un quadrato).

Formula (campo di una distribuzione continua di carica). $\vec E(P) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int \frac{dq}{r^2}\,\hat u_r$

Esempio. Filo con $\lambda = 5$ nC/m: un tratto di $2$ cm porta $dq = \lambda\,dl = 0{,}1$ nC e il suo contributo al campo è quello di una carica puntiforme da $0{,}1$ nC.

Formula (accelerazione di una carica in un campo uniforme). $\vec a = \frac{q}{m}\vec E$

Esempio. Elettrone in $E = 1000$ V/m: $a = \frac{eE}{m} = 1{,}76\cdot10^{14}\ \text{m/s}^2$ .

II. Potenziale elettrostatico

Richiami di calcolo vettoriale - gradiente, divergenza e rotore

Definizione (gradiente). $\nabla U = \frac{\partial U}{\partial x}\hat u_x + \frac{\partial U}{\partial y}\hat u_y + \frac{\partial U}{\partial z}\hat u_z$

Esempio. $U = x^2 y$ : $\nabla U = (2xy,\ x^2)$ , che in $(1, 2)$ vale $(4, 1)$ .

Definizione (divergenza). $\nabla \cdot \vec v = \frac{\partial v_x}{\partial x} + \frac{\partial v_y}{\partial y} + \frac{\partial v_z}{\partial z}$

Esempio: $\vec v = (x, y, z)$ (campo radiale che cresce allontanandosi): $\nabla \cdot \vec v = 1 + 1 + 1 = 3$ , sorgente uniforme ovunque.

Definizione (rotore). $\nabla \times \vec v = \det\begin{pmatrix} \hat u_x & \hat u_y & \hat u_z \\ \partial_x & \partial_y & \partial_z \\ v_x & v_y & v_z \end{pmatrix} = \left(\frac{\partial v_z}{\partial y} - \frac{\partial v_y}{\partial z}\right)\hat u_x + \left(\frac{\partial v_x}{\partial z} - \frac{\partial v_z}{\partial x}\right)\hat u_y + \left(\frac{\partial v_y}{\partial x} - \frac{\partial v_x}{\partial y}\right)\hat u_z$

Esempio: $\vec v = (-y, x, 0)$ (rotazione rigida intorno all'asse $z$ ): $\nabla \times \vec v = (0, 0, 1 - (-1)) = 2\,\hat u_z$ .

Proprietà (rotore di un gradiente e divergenza di un rotore). $\nabla \times (\nabla U) = 0 \qquad\qquad \nabla \cdot (\nabla \times \vec v) = 0$

Esempio. $U = x^2 y$ : $\nabla U = (2xy, x^2, 0)$ e $\nabla\times\nabla U = \left(0, 0, \frac{\partial (x^2)}{\partial x} - \frac{\partial (2xy)}{\partial y}\right) = (0,0,2x-2x) = \vec 0$ .

Teorema della divergenza (di Gauss).

Teorema della divergenza (di Gauss): per una superficie chiusa $S$ che racchiude il volume $V$ , $\oint_S \vec v \cdot \hat n\,dS = \int_V \nabla \cdot \vec v\,dV$ Il flusso uscente è la somma di tutte le sorgenti contenute.

Esempio. $\vec v = (x, y, z)$ su una sfera di raggio $1$ : $\nabla\cdot\vec v = 3$ e $\int_V 3\,dV = 3\cdot\frac43\pi = 4\pi$ , uguale al flusso uscente $1\cdot4\pi$ .

Teorema di Stokes (del rotore).

Teorema di Stokes (del rotore): per una linea chiusa $\gamma$ che fa da bordo a una superficie $S$ (orientata con la regola della mano destra rispetto al verso di percorrenza), $\oint_\gamma \vec v \cdot d\vec l = \int_S (\nabla \times \vec v) \cdot \hat n\,dS$ La circuitazione è la somma di tutta la vorticosità che attraversa la superficie.

Esempio. $\vec v = (-y, x, 0)$ su un cerchio di raggio $1$ : $\oint\vec v\cdot d\vec l = 1\cdot2\pi = 2\pi$ e $\nabla\times\vec v = 2\hat u_z$ , quindi $\int_S 2\,dS = 2\pi$ .

Lavoro elettrico e potenziale elettrostatico

Definizione (lavoro della forza elettrica). $W_{AB} = \int_A^B \vec F \cdot d\vec l = q_0 \int_A^B \vec E \cdot d\vec l$

Esempio. $q_0 = 2$ nC in un campo uniforme $E = 500$ N/C spostata di $0{,}1$ m nel verso del campo: $W = q_0 E d = 10^{-7}$ J.

Proprietà (circuitazione nulla del campo elettrostatico). $\oint \vec E \cdot d\vec l = 0$

Esempio. Campo uniforme $E = 100$ V/m e percorso chiuso quadrato: i lati opposti danno contributi uguali e opposti, quindi $\oint\vec E\cdot d\vec l = 0$ .

Definizione (energia potenziale elettrostatica). $W_{AB} = -\Delta U = U(A) - U(B)$

Esempio. Una carica che subisce dal campo il lavoro $W_{AB} = +2$ mJ passa da $U(A)$ a $U(B) = U(A) - 2$ mJ: $\Delta U = -2$ mJ.

Formula (energia potenziale di due cariche puntiformi). $\boxed{U(r) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_0\,q}{r}}$

Esempio. $q_0 = 2$ nC e $q = 3$ nC a $r = 3$ cm: $U = 8{,}99\cdot10^9\cdot\frac{6\cdot10^{-18}}{0{,}03} = 1{,}8\cdot10^{-6}$ J.

Grafico interattivo: Energia potenziale di due cariche in funzione della distanza (unità k|q₀q| = 1, zero all'infinito): per cariche dello stesso segno U è positiva e cala allontanandole (repulsione), per cariche opposte è negativa e cala avvicinandole (attrazione)

Definizione (potenziale elettrostatico). $V = \frac{U}{q_0} \qquad\qquad V(A) - V(B) = \int_A^B \vec E \cdot d\vec l$

Esempio. Una carica di prova $q_0 = 2$ nC con $U = 6\ \mu$ J ha $V = \frac{6\cdot10^{-6}}{2\cdot10^{-9}} = 3000$ V.

Formula (potenziale di una carica puntiforme). $V(r) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r}$

Esempio. $q = 2$ nC a $r = 3$ cm: $V = 8{,}99\cdot10^9\cdot\frac{2\cdot10^{-9}}{0{,}03} = 599$ V.

Formula (potenziale di più cariche). $V(P) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\sum_i \frac{q_i}{r_i} \qquad\qquad V(P) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int \frac{dq}{r}$

Esempio. $P$ a $3$ cm da $+2$ nC e a $6$ cm da $-2$ nC: $V = 8{,}99\cdot10^9\left(\frac{2\cdot10^{-9}}{0{,}03} - \frac{2\cdot10^{-9}}{0{,}06}\right) = 300$ V.

Grafico interattivo: Potenziale di una carica positiva (in unità di kq = 1): positivo e decrescente come 1/r; per una carica negativa il grafico è ribaltato sotto l'asse

Principio di conservazione dell'energia (carica in un campo elettrico). $W_{AB} = q\,[V(A) - V(B)]$ e, se agisce solo la forza elettrica, la sua energia meccanica si conserva: $\tfrac12 m v_A^2 + q V(A) = \tfrac12 m v_B^2 + q V(B)$

Esempio. Protone da fermo attraverso $\Delta V = 1000$ V: $v = \sqrt{\frac{2\cdot1{,}602\cdot10^{-19}\cdot1000}{1{,}673\cdot10^{-27}}} = 4{,}38\cdot10^{5}$ m/s.

Definizione (elettronvolt). $1\ \text{eV} = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\ \text{J}$

Esempio. Un elettrone accelerato da $1000$ V acquista $1000$ eV $= 1{,}602\cdot10^{-16}$ J.

Formula (energia elettrostatica di un sistema di cariche). $U = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\sum_{i<j}\frac{q_i q_j}{r_{ij}} = \frac12\sum_i q_i V_i$

Esempio. Tre cariche da $1$ nC ai vertici di un triangolo equilatero di lato $10$ cm: $U = 3\cdot8{,}99\cdot10^9\cdot\frac{10^{-18}}{0{,}1} = 2{,}7\cdot10^{-7}$ J.

Formula (campo dal potenziale). $\boxed{\vec E = -\nabla V} \qquad E_x = -\frac{\partial V}{\partial x},\ E_y = -\frac{\partial V}{\partial y},\ E_z = -\frac{\partial V}{\partial z}$

Esempio. $V = 3x^2$ (volt, con $x$ in metri): $E_x = -\frac{dV}{dx} = -6x$ , quindi in $x = 2$ m è $E_x = -12$ V/m.

Grafico interattivo: Esempio del testo (ascissa: x in m): V(x) vale 2 V fino a x = 1 e poi scende linearmente a −4 V in x = 3; E_x = −dV/dx (in V/m) è nullo nel primo tratto e vale +3 V/m nel secondo, il campo è meno la pendenza di V

Dipolo elettrico

Definizione (momento di dipolo elettrico). $\vec p = q\,\vec a \qquad [p] = \text{C}\cdot\text{m}$

Esempio. Cariche $\pm1$ nC a distanza $a = 2$ mm: $p = qa = 10^{-9}\cdot2\cdot10^{-3} = 2\cdot10^{-12}$ C m.

Formula (potenziale di un dipolo). $\boxed{V(r, \theta) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q\,a\cos\theta}{r^2} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\vec p \cdot \hat u_r}{r^2}}$

Esempio. $p = 2\cdot10^{-12}$ C m, $r = 10$ cm, $\theta = 0$ : $V = 8{,}99\cdot10^9\cdot\frac{2\cdot10^{-12}}{0{,}01} = 1{,}8$ V.

Formula (campo di un dipolo). $E_r = -\frac{\partial V}{\partial r} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{2p\cos\theta}{r^3} \qquad\qquad E_\theta = -\frac1r\frac{\partial V}{\partial\theta} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{p\sin\theta}{r^3}$

Esempio. Stesso dipolo sull'asse a $r = 10$ cm: $E = \frac{2p}{4\pi\varepsilon_0 r^3} = 36$ V/m.

Grafico interattivo: Dipolo, cariche +q in (1, 0) e −q in (−1, 0): linee di campo (continue) dalla carica positiva alla negativa ed equipotenziali (in arancione; V = 0 sull'asse x = 0 a metà, V > 0 dalla parte di +q, V < 0 dalla parte di −q); le linee di campo tagliano le equipotenziali ad angolo retto e p va da −q a +q

Formula (momento meccanico su un dipolo). $\boxed{\vec M = \vec p \times \vec E} \qquad M = pE\sin\theta$

Esempio. $p = 2\cdot10^{-12}$ C m in $E = 10^4$ V/m con $\theta = 30°$ : $M = pE\sin\theta = 10^{-8}$ N m.

Formula (energia potenziale di un dipolo). $\boxed{U = -\vec p \cdot \vec E = -pE\cos\theta}$

Esempio. Con gli stessi dati, dipolo allineato ( $\theta = 0$ ): $U = -pE = -2\cdot10^{-8}$ J; per ribaltarlo ( $\theta = 180°$ ) serve $\Delta U = 2pE = 4\cdot10^{-8}$ J.

Grafico interattivo: Energia potenziale di un dipolo in un campo uniforme, U = −pE cosθ in unità di pE (ascissa: θ in gradi): minimo −pE a θ = 0 (equilibrio stabile), massimo +pE a θ = 180° (instabile), nulla a 90°; il dislivello tra i due è 2pE

Formula (forza su un dipolo in un campo non uniforme). $\vec F = \nabla(\vec p \cdot \vec E)$

Esempio. Dipolo allineato con $p = 2\cdot10^{-12}$ C m in un campo con $\frac{dE}{dx} = 10^5\ \text{V/m}^2$ : $F_x = p\frac{dE}{dx} = 2\cdot10^{-7}$ N, verso il campo più intenso.

Campo di distribuzioni continue - filo, anello e disco

Formula (campo di un filo indefinito). $\boxed{E = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 R}} \qquad \text{radiale, uscente se } \lambda > 0$

Esempio. $\lambda = 10$ nC/m a $R = 5$ cm: $E = \frac{10^{-8}}{2\pi\cdot8{,}854\cdot10^{-12}\cdot0{,}05} = 3595$ V/m.

Formula (potenziale di un anello carico sull'asse). $V(z) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int\frac{dq}{r} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{\sqrt{z^2 + R^2}}$

Esempio. $q = 10$ nC, $R = 5$ cm, $z = 10$ cm: $V = 8{,}99\cdot10^9\cdot\frac{10^{-8}}{\sqrt{0{,}01 + 0{,}0025}} = 804$ V.

Formula (campo di un anello carico sull'asse). $\boxed{E_z = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q\,z}{(z^2 + R^2)^{3/2}}}$

Esempio. Stessi dati: $E_z = 8{,}99\cdot10^9\cdot\frac{10^{-8}\cdot0{,}1}{(0{,}0125)^{3/2}} = 6433$ V/m.

Grafico interattivo: Campo sull'asse di un anello di raggio R = 1 (unità kq = 1): nullo al centro, massimo a z = ±0,707, poi decresce come 1/z²

Formula (campo di un disco carico sull'asse). $\boxed{E_z = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\left(1 - \frac{z}{\sqrt{z^2 + R^2}}\right)}$

Esempio. $\sigma = 10$ nC/m $^2$ , $R = 10$ cm, $z = 5$ cm: $E_z = \frac{10^{-8}}{2\cdot8{,}854\cdot10^{-12}}\left(1 - \frac{5}{\sqrt{125}}\right) = 312$ V/m.

Grafico interattivo: Campo sull'asse di un disco di raggio R = 1, in unità di σ/2ε0: vale 1 attaccato al disco e decresce allontanandosi

Formula (campo di un piano indefinito). $\boxed{E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}} \qquad \text{uniforme, perpendicolare al piano, uscente da entrambi i lati se } \sigma > 0$

Esempio. $\sigma = 5$ nC/m $^2$ : $E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} = 282$ V/m, a qualunque distanza.

Formula (campo tra due piani con densità opposte). $E_{\text{dentro}} = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} \qquad E_{\text{fuori}} = 0$

Esempio. $\sigma = 10$ nC/m $^2$ : tra i piani $E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} = 1129$ V/m, fuori $E = 0$ .

Formula (campo di una corona circolare sull'asse). $E_z = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\left(\frac{z}{\sqrt{z^2 + r^2}} - \frac{z}{\sqrt{z^2 + R^2}}\right) \qquad V(z) = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\left(\sqrt{z^2 + R^2} - \sqrt{z^2 + r^2}\right)$

Esempio. $\sigma = 10$ nC/m $^2$ , $r = 2$ cm, $R = 10$ cm, $z = 5$ cm: $E_z = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\left(\frac{5}{\sqrt{29}} - \frac{5}{\sqrt{125}}\right) = 272$ V/m.

III. Legge di Gauss

Flusso del campo elettrico e legge di Gauss

Definizione (flusso di un campo uniforme su una superficie piana). $\Phi = \vec E \cdot \hat n\,S = E\,S\cos\theta$

Esempio. $E = 200$ N/C, $S = 0{,}5\ \text{m}^2$ e normale a $60°$ dal campo: $\Phi = 200\cdot0{,}5\cos60° = 50$ V m.

Definizione (flusso del campo elettrico). $\Phi_S(\vec E) = \int_S \vec E \cdot \hat n\,dS \qquad [\Phi] = \text{V}\cdot\text{m}$

Esempio. Campo uniforme $E = 2 \cdot 10^4\ \text{V/m}$ e un quadrato di lato $10\ \text{cm}$ : con il quadrato perpendicolare al campo $\Phi = 2 \cdot 10^4 \cdot 0{,}01 = 200\ \text{V m}$ ; inclinato in modo che la normale formi $30°$ con il campo, $\Phi = 200\cos 30° = 173\ \text{V m}$ .

Formula (flusso di una carica puntiforme attraverso una sfera). $\Phi = E \cdot 4\pi r^2 = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\cdot 4\pi r^2 = \frac{q}{\varepsilon_0}$

Esempio. $q = 2$ nC: $\Phi = \frac{q}{\varepsilon_0} = \frac{2\cdot10^{-9}}{8{,}854\cdot10^{-12}} = 226$ V m, qualunque sia il raggio.

Definizione (angolo solido). $d\Omega = \frac{dS\cos\theta}{r^2} = \frac{dS_\perp}{r^2}$

Esempio. Un'area $dS_\perp = 1\ \text{cm}^2$ vista da $r = 10$ cm sottende $d\Omega = \frac{10^{-4}}{10^{-2}} = 0{,}01$ sr; l'angolo solido totale è $4\pi$ sr.

Teorema di Gauss. Il flusso del campo elettrostatico attraverso una qualunque superficie chiusa $S$ è uguale alla carica totale contenuta all'interno divisa per $\varepsilon_0$ : $\boxed{\oint_S \vec E \cdot \hat n\,dS = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}}$

Esempio. Quattro cariche $q, -2q, q, -2q$ racchiuse da una superficie qualsiasi: $Q_{\text{int}} = -2q$ , quindi $\Phi = -2q/\varepsilon_0$ : flusso negativo, cioè netto entrante.

Grafico interattivo: Carica esterna q in (−4, 0) e superficie chiusa (circonferenza di raggio 1,2): un cono sottile di angolo solido dΩ entra sul lato vicino (flusso −q dΩ/4πε₀) ed esce sul lato lontano (+q dΩ/4πε₀); i due contributi si cancellano, per ogni cono, e il flusso totale è nullo

Legge (legge di Gauss in forma locale). $\boxed{\nabla \cdot \vec E = \frac{\rho}{\varepsilon_0}}$

Esempio. Densità di carica $\rho = 5$ nC/m $^3$ : $\nabla\cdot\vec E = \frac{\rho}{\varepsilon_0} = 565\ \text{V/m}^2$ .

Legge (equazione di Poisson). $\nabla^2 V = \frac{\partial^2 V}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 V}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 V}{\partial z^2} = -\frac{\rho}{\varepsilon_0}$

Esempio. $V = 100x^2$ (volt, metri): $\nabla^2V = 200$ , quindi $\rho = -\varepsilon_0\cdot200 = -1{,}77\cdot10^{-9}\ \text{C/m}^3$ .

Applicazioni della legge di Gauss

Formula (campo di un filo indefinito con la legge di Gauss). $E \cdot 2\pi r h = \frac{\lambda h}{\varepsilon_0} \quad\Longrightarrow\quad \boxed{E = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}}$

Esempio. $\lambda = 5$ nC/m a $r = 10$ cm: $E = \frac{5\cdot10^{-9}}{2\pi\cdot8{,}854\cdot10^{-12}\cdot0{,}1} = 899$ V/m.

Grafico interattivo: Campo di un filo indefinito in funzione della distanza r (in unità di λ/2πε₀, ascissa: r in unità arbitrarie): E ∝ 1/r, che cala più lentamente di quello di una carica puntiforme (1/r²) perché il flusso esce solo dalla superficie laterale del cilindro

Formula (campo di un piano indefinito con la legge di Gauss). $2EA = \frac{\sigma A}{\varepsilon_0} \quad\Longrightarrow\quad \boxed{E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}}$

Esempio. $\sigma = -10$ nC/m $^2$ : $|E| = \frac{10^{-8}}{2\cdot8{,}854\cdot10^{-12}} = 565$ V/m, diretto verso il piano.

Grafico interattivo: Piano indefinito con carica positiva σ in x = 0 (ordinata: componente E_x in unità di σ/ε₀): vale +σ/2ε₀ a destra e −σ/2ε₀ a sinistra, uguale in modulo a qualunque distanza; sul piano il campo ha un salto σ/ε₀

Formula (campo di un guscio sferico carico).

Fuori ( $r > R$ ): $Q_{\text{int}} = Q$ , quindi $E = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$ , come se tutta la carica fosse nel centro.

Dentro ( $r < R$ ): $Q_{\text{int}} = 0$ , quindi $E = 0$ .

Esempio. $Q = 5$ nC, $R = 2$ cm: a $r = 10$ cm $E = 8{,}99\cdot10^9\cdot\frac{5\cdot10^{-9}}{0{,}01} = 4495$ V/m; per $r < R$ è $E = 0$ .

Grafico interattivo: Guscio sferico di raggio R = 1: campo nullo dentro, kQ/r² fuori, con un salto sulla superficie (unità kQ = 1)

Formula (campo dentro una sfera uniformemente carica). $Q_{\text{int}} = \rho\,\tfrac43\pi r^3 = Q\,\frac{r^3}{R^3} \quad\Longrightarrow\quad E \cdot 4\pi r^2 = \frac{Q r^3}{\varepsilon_0 R^3} \quad\Longrightarrow\quad \boxed{E = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\frac{r}{R^3} = \frac{\rho\,r}{3\varepsilon_0}}$

Esempio. $Q = 5$ nC, $R = 2$ cm, $r = 1$ cm: $E = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\frac{r}{R^3} = 56187$ V/m.

Grafico interattivo: Sfera uniformemente carica di raggio R = 1: E cresce come r dentro e cala come 1/r² fuori (unità kQ = 1)

Formula (campo di un cilindro indefinito carico in volume).

dentro: $E \cdot 2\pi r h = \frac{\rho\,\pi r^2 h}{\varepsilon_0}$ , quindi $E = \frac{\rho r}{2\varepsilon_0}$ (lineare in $r$ );

fuori: $E = \frac{\rho R^2}{2\varepsilon_0 r} = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}$ con $\lambda = \rho\pi R^2$ (come un filo).

Esempio. $\rho = 2\ \mu\text{C/m}^3$ , $R = 5$ cm: a $r = 1$ cm $E = \frac{\rho r}{2\varepsilon_0} = 1129$ V/m.

Grafico interattivo: Cilindro indefinito carico in volume, raggio R = 1 (ascissa: r in unità di R, ordinata: E in unità di ρR/2ε₀): cresce linearmente dentro, ρr/2ε₀, e cala come 1/r fuori, come un filo; il massimo è sulla superficie

IV. Conduttori e condensatori

Conduttori in equilibrio elettrostatico

Teorema di Coulomb. $\boxed{\vec E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}\,\hat n}$

Esempio. Densità superficiale $\sigma = 2$ nC/m $^2$ su un conduttore: appena fuori $E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} = 226$ V/m, perpendicolare alla superficie.

Formula (potere delle punte). $\frac{q_1}{4\pi\varepsilon_0 R_1} = \frac{q_2}{4\pi\varepsilon_0 R_2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{q_1}{q_2} = \frac{R_1}{R_2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{\sigma_1}{\sigma_2} = \frac{q_1/R_1^2}{q_2/R_2^2} = \frac{R_2}{R_1}$

Esempio. Due sfere collegate con $R_1 = 1$ cm e $R_2 = 5$ cm (stesso potenziale): $\frac{\sigma_1}{\sigma_2} = \frac{R_2}{R_1} = 5$ , quindi il campo vicino alla sfera piccola è $5$ volte maggiore.

Capacità e condensatori

Definizione (capacità di un conduttore isolato). $\boxed{C = \frac{Q}{V}}$

Esempio: sfera di raggio $R$ . Fuori dalla sfera il campo è quello di una carica puntiforme, quindi $V = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 R}$ e

Definizione (capacità di un condensatore). $C = \frac{Q}{\Delta V}, \qquad \Delta V = V_+ - V_- > 0$

Esempio. Armature con $Q = 24$ nC e $\Delta V = 12$ V: $C = \frac{24\ \text{nC}}{12\ \text{V}} = 2$ nF.

Formula (capacità del condensatore piano). $\boxed{C = \frac{\varepsilon_0 S}{d}}$

Esempio. $S = 100\ \text{cm}^2$ e $d = 1$ mm: $C = \frac{8{,}854\cdot10^{-12}\cdot10^{-2}}{10^{-3}} = 88{,}5$ pF.

Formula (capacità del condensatore cilindrico). $\boxed{C = \frac{2\pi\varepsilon_0\,h}{\ln(R_2/R_1)}}$

Esempio. $h = 1$ m, $R_1 = 1$ mm, $R_2 = 3$ mm: $C = \frac{2\pi\cdot8{,}854\cdot10^{-12}\cdot1}{\ln3} = 50{,}6$ pF.

Formula (capacità del condensatore sferico). $\boxed{C = 4\pi\varepsilon_0\,\frac{R_1 R_2}{R_2 - R_1}}$

Esempio. $R_1 = 10$ cm e $R_2 = 30$ cm: $C = 4\pi\varepsilon_0\frac{0{,}1\cdot0{,}3}{0{,}2} = 16{,}7$ pF.

Formula (condensatori in parallelo). $Q = Q_1 + Q_2 + \dots = (C_1 + C_2 + \dots)\,V \quad\Longrightarrow\quad \boxed{C_{\text{par}} = C_1 + C_2 + \dots}$

Esempio. $C_1 = 4$ pF e $C_2 = 2$ pF in parallelo: $C_{par} = 6$ pF, con la stessa $V$ su entrambi.

Formula (condensatori in serie). $V = V_1 + V_2 + \dots = Q\left(\frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \dots\right) \quad\Longrightarrow\quad \boxed{\frac{1}{C_{\text{serie}}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \dots}$

Esempio. $C_1 = 4\ \text{pF}$ e $C_2 = 2\ \text{pF}$ in serie con un generatore da $200\ \text{V}$ : $C_{\text{serie}} = 8/6 = 1{,}33\ \text{pF}$ , carica $Q = 1{,}33 \cdot 10^{-12} \cdot 200 = 267\ \text{pC}$ su entrambi; $V_1 = Q/C_1 = 67\ \text{V}$ , $V_2 = Q/C_2 = 133\ \text{V}$ . Il condensatore più piccolo prende la tensione più grande.

Energia elettrostatica e forza tra le armature

Formula (energia di un condensatore carico). $\boxed{U = \frac{Q^2}{2C} = \frac12 C V^2 = \frac12 Q V}$

Esempio. $C = 100$ pF caricato a $V = 1000$ V: $U = \frac12\cdot10^{-10}\cdot10^6 = 5\cdot10^{-5}$ J.

Definizione (densità di energia del campo elettrico). $\boxed{u = \frac12\varepsilon_0 E^2} \qquad [\text{J/m}^3]$

Esempio. $E = 10^6$ V/m: $u = \frac12\cdot8{,}854\cdot10^{-12}\cdot10^{12} = 4{,}43\ \text{J/m}^3$ .

Formula (lavoro del generatore nella carica di un condensatore). $W_{\text{gen}} = QV = CV^2$

Esempio. $C = 1\ \mu$ F e $V = 100$ V: il generatore compie $W_{gen} = CV^2 = 10$ mJ, di cui solo $U = \frac12CV^2 = 5$ mJ restano nel condensatore.

Formula (forza tra le armature di un condensatore piano). $\boxed{F = \frac{Q^2}{2\varepsilon_0 S} = \frac{\sigma^2}{2\varepsilon_0}\,S = \frac12\varepsilon_0 E^2\,S}$

Esempio. $S = 100\ \text{cm}^2$ , $d = 1\ \text{mm}$ , $V = 1000\ \text{V}$ : $E = 10^6\ \text{V/m}$ , $F = \frac12 \cdot 8{,}85 \cdot 10^{-12} \cdot 10^{12} \cdot 10^{-2} = 0{,}044\ \text{N}$ . Su questo principio funzionano gli elettrometri assoluti.

V. Dielettrici

Dielettrici e polarizzazione

Legge (effetto di un dielettrico sulla tensione a carica costante). $V = \frac{V_0}{\varepsilon_r}$

Esempio. Condensatore isolato con $V_0 = 100$ V riempito con $\varepsilon_r = 4$ : $V = \frac{100}{4} = 25$ V.

Definizione (vettore polarizzazione). $\vec\wp = \frac{\sum \vec p}{\Delta\tau} = n\,\langle\vec p\rangle \qquad [\text{C/m}^2]$

Esempio. $n = 3\cdot10^{28}\ \text{m}^{-3}$ molecole con $\langle p\rangle = 2\cdot10^{-32}$ C m: $\wp = 6\cdot10^{-4}\ \text{C/m}^2$ .

Formula (densità superficiale di carica di polarizzazione). $\boxed{\sigma_p = \vec\wp \cdot \hat n}$

Esempio. Lastra con $\wp = 6\cdot10^{-4}\ \text{C/m}^2$ perpendicolare alle facce: $\sigma_p = +6\cdot10^{-4}$ sulla faccia da cui esce $\vec\wp$ e $-6\cdot10^{-4}\ \text{C/m}^2$ sull'altra.

Formula (polarizzazione di un dielettrico lineare). $\boxed{\vec\wp = \varepsilon_0\,\chi\,\vec E}$

Esempio. $\chi = 3$ e $E = 10^5$ V/m: $\wp = 8{,}854\cdot10^{-12}\cdot3\cdot10^5 = 2{,}66\cdot10^{-6}\ \text{C/m}^2$ .

Formula (costante dielettrica relativa e suscettività). $E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0(1 + \chi)} = \frac{E_0}{\varepsilon_r}, \qquad \boxed{\varepsilon_r = 1 + \chi}$

Esempio. $\chi = 3$ dà $\varepsilon_r = 1 + 3 = 4$ e il campo si riduce a $E = \frac{E_0}{4}$ .

Formula (carica di polarizzazione in funzione di quella libera). $\sigma_p = \frac{\varepsilon_r - 1}{\varepsilon_r}\,\sigma \qquad\text{(e lo stesso per le cariche totali: } q_p = \tfrac{\varepsilon_r - 1}{\varepsilon_r}\,q\text{)}$

Esempio. $\sigma = 10$ nC/m $^2$ e $\varepsilon_r = 4$ : $\sigma_p = \frac{3}{4}\cdot10 = 7{,}5$ nC/m $^2$ .

Formula (capacità con dielettrico). $C = \varepsilon_r C_0 \qquad\text{(piano: } C = \varepsilon_0\varepsilon_r S/d\text{)}$

Esempio. $C_0 = 100$ pF riempito con $\varepsilon_r = 4$ : $C = 400$ pF.

Definizione (vettore induzione dielettrica). $\boxed{\vec D = \varepsilon_0\vec E + \vec\wp} \qquad [\text{C/m}^2]$

Esempio. $\varepsilon_r = 4$ e $E = 10^5$ V/m: $D = \varepsilon_0\varepsilon_r E = 3{,}54\cdot10^{-6}\ \text{C/m}^2$ .

Legge (legge di Gauss per il vettore D). $\boxed{\oint_S \vec D \cdot d\vec S = q_{\text{lib,int}}} \qquad\qquad \nabla \cdot \vec D = \rho_{\text{lib}}$

Esempio. Sfera conduttrice con $q = 250$ pC in un dielettrico: a $r = 5$ cm $D = \frac{q}{4\pi r^2} = 7{,}96\cdot10^{-9}\ \text{C/m}^2$ , indipendente da $\varepsilon_r$ .

Formula (densità di energia in un dielettrico). $u = \frac12\,\vec D \cdot \vec E = \frac12\,\varepsilon_0\varepsilon_r E^2$

Esempio. $\varepsilon_r = 4$ e $E = 10^5$ V/m: $u = \frac12\cdot8{,}854\cdot10^{-12}\cdot4\cdot10^{10} = 0{,}177\ \text{J/m}^3$ .

VI. Corrente elettrica e circuiti

Corrente elettrica e legge di Ohm

Definizione (intensità di corrente). $\boxed{i = \frac{dq}{dt}} \qquad [\text{A} = \text{C/s}]$

Esempio. Una carica di $120$ C attraversa una sezione in $60$ s: $i = \frac{120}{60} = 2$ A.

Definizione (densità di corrente). $\boxed{\vec j = n\,q\,\vec v_d} \qquad [\text{A/m}^2], \qquad i = \int_S \vec j \cdot d\vec S$

Esempio numerico. Filo di rame di sezione $1\ \text{mm}^2$ con $i = 1\ \text{A}$ ; il rame ha circa un elettrone libero per atomo, $n = 8{,}5 \cdot 10^{28}\ \text{m}^{-3}$ :

Legge (equazione di continuità). $\oint_S \vec j \cdot d\vec S = -\frac{dq_{\text{int}}}{dt} \qquad\Longleftrightarrow\qquad \nabla \cdot \vec j = -\frac{\partial\rho}{\partial t}$

Esempio. Se la carica dentro una superficie chiusa diminuisce di $2$ C ogni secondo, il flusso uscente di $\vec j$ è $\oint\vec j\cdot d\vec S = 2$ A.

Legge di Ohm (forma microscopica). $\boxed{\vec j = \sigma\,\vec E = \frac{\vec E}{\rho}}$

Esempio. Rame con $\sigma = 5{,}9\cdot10^7\ \Omega^{-1}\text{m}^{-1}$ e $E = 0{,}01$ V/m: $j = \sigma E = 5{,}9\cdot10^5\ \text{A/m}^2$ .

Legge di Ohm (forma macroscopica). $i = jS = \frac{E}{\rho}S = \frac{V}{\rho\ell}S \quad\Longrightarrow\quad \boxed{V = R\,i}, \qquad \boxed{R = \rho\,\frac{\ell}{S}}$

Esempio. $100\ \text{m}$ di filo di rame da $1\ \text{mm}^2$ : $R = 1{,}7 \cdot 10^{-8} \cdot 100/10^{-6} = 1{,}7\ \Omega$ .

Legge (effetto Joule). $\boxed{P = \frac{dq\,V}{dt} = V\,i = R\,i^2 = \frac{V^2}{R}}$

Esempio. Resistore da $R = 10\ \Omega$ percorso da $i = 5$ A: $P = Ri^2 = 250$ W, pari a $V i$ con $V = 50$ V.

Circuiti in corrente continua

Definizione (forza elettromotrice). $\boxed{\mathcal E = \oint \vec E^* \cdot d\vec l = \int_-^+ \vec E^* \cdot d\vec l} \qquad [\text{V}]$

Esempio. Una pila che dà $1{,}5$ J a ogni coulomb portato dal polo negativo al positivo ha $\mathcal E = 1{,}5$ V.

Formula (tensione ai morsetti di un generatore reale). $\boxed{V = \mathcal E - r\,i}$

Esempio. $\mathcal E = 12$ V, $r = 0{,}5\ \Omega$ e $i = 2$ A: $V = 12 - 0{,}5\cdot2 = 11$ V; in cortocircuito $i_{cc} = \mathcal E/r = 24$ A.

Grafico interattivo: Batteria ℰ = 12 V, r = 0,5 Ω (ascissa: corrente i in A, ordinata: tensione in V): la tensione ai morsetti V = ℰ − ri scende fino a 0 in cortocircuito (i = 24 A); su un carico R = 5,5 Ω la retta V = Ri la incontra in i = 2 A, V = 11 V

Formula (resistori in serie). $R_{\text{serie}} = R_1 + R_2 + \dots$

Esempio. $R_1 = 100\ \Omega$ e $R_2 = 200\ \Omega$ in serie: $R_{serie} = 300\ \Omega$ .

Formula (resistori in parallelo). $\frac{1}{R_{\text{par}}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \dots \qquad\text{(due resistori: } R_{\text{par}} = \frac{R_1R_2}{R_1 + R_2}\text{)}$

Esempio. $R_1 = 100\ \Omega$ e $R_2 = 200\ \Omega$ in parallelo: $R_{par} = \frac{100\cdot200}{300} = 66{,}7\ \Omega$ , minore della più piccola.

Legge (leggi di Kirchhoff).

Legge dei nodi (conservazione della carica in regime stazionario): in ogni nodo la somma delle correnti entranti è uguale a quella delle uscenti, $\sum i_k = 0$ con segno.

Legge delle maglie (il campo elettrostatico è conservativo): lungo ogni maglia la somma delle f.e.m. è uguale alla somma delle cadute di tensione, $\sum \mathcal E_k = \sum R_k i_k$ .

Esempio. Due generatori $\mathcal E_1 = 12\ \text{V}$ e $\mathcal E_2 = 6\ \text{V}$ , ciascuno in serie con una resistenza ( $R_1 = 2\ \Omega$ , $R_2 = 4\ \Omega$ ), collegati in parallelo su un carico $R = 6\ \Omega$ . Con le correnti $i_1$ , $i_2$ uscenti dai poli positivi e $i = i_1 + i_2$ nel carico: maglia 1, $12 = 2i_1 + 6(i_1 + i_2)$ ; maglia 2, $6 = 4i_2 + 6(i_1 + i_2)$ , cioè $8i_1 + 6i_2 = 12$ e $6i_1 + 10i_2 = 6$ . Risolvendo: $i_1 = 1{,}91\ \text{A}$ , $i_2 = -0{,}55\ \text{A}$ (il segno meno dice che nel secondo generatore la corrente entra dal polo positivo: il generatore più debole viene ricaricato), $i = 1{,}36\ \text{A}$ .

Carica e scarica di un condensatore

Legge (carica di un condensatore). $-\ln\frac{C\mathcal E - q}{C\mathcal E} = \frac{t}{RC} \quad\Longrightarrow\quad \boxed{q(t) = C\mathcal E\left(1 - e^{-t/\tau}\right), \qquad \tau = RC}$

Esempio. $\mathcal E = 10$ V, $R = 1\ \text{k}\Omega$ , $C = 100\ \mu$ F ( $\tau = 0{,}1$ s): a $t = \tau$ è $q = 10^{-3}(1 - e^{-1}) = 632\ \mu$ C.

Formula (corrente e tensione nella carica). $i(t) = \frac{\mathcal E}{R}\,e^{-t/\tau}, \qquad V_C(t) = \mathcal E\left(1 - e^{-t/\tau}\right)$

Esempio. Stessi dati a $t = \tau$ : $i = 10\,\text{mA}\cdot e^{-1} = 3{,}68$ mA e $V_C = 10\,(1 - e^{-1}) = 6{,}32$ V.

Grafico interattivo: Carica del condensatore q/(Cℰ) = 1 − e^(−t/τ) (ascissa: t/τ); dopo un τ è al 63%

Legge (scarica di un condensatore). $0 = R\,i - \frac{q}{C} \quad\Longrightarrow\quad \frac{dq}{dt} = -\frac{q}{RC} \quad\Longrightarrow\quad \boxed{q(t) = q_0\,e^{-t/\tau}}$

Esempio. $V_0 = 10$ V e $\tau = 0{,}1$ s: a $t = 0{,}2$ s $V_C = 10\,e^{-2} = 1{,}35$ V.

Grafico interattivo: Scarica del condensatore (ascissa: t/τ): carica q/q₀ = e^(−t/τ) (ha lo stesso andamento della tensione e della corrente) ed energia U/U₀ = e^(−2t/τ), che cala più in fretta: dopo τ restano il 37% della carica e il 13,5% dell'energia

Formula (energia dissipata nella resistenza durante la carica). $W_R = \int_0^\infty R\,i^2\,dt = R\,\frac{\mathcal E^2}{R^2}\int_0^\infty e^{-2t/\tau}\,dt = \frac{\mathcal E^2}{R}\cdot\frac{\tau}{2} = \frac12 C\mathcal E^2$

Esempio. $C = 100\ \mu$ F e $\mathcal E = 10$ V: $W_R = \frac12C\mathcal E^2 = 5$ mJ, qualunque sia $R$ .

VII. Campo magnetico e forze magnetiche

Campo magnetico e forza di Lorentz

Legge (forza di Lorentz). $\boxed{\vec F = q\,\vec v \times \vec B} \qquad F = |q|\,v\,B\sin\theta$

Esempio. Protone con $v = 10^6$ m/s perpendicolare a $B = 0{,}5$ T: $F = evB = 8{,}01\cdot10^{-14}$ N.

Formula (raggio e pulsazione di ciclotrone). $\boxed{r = \frac{mv}{|q|B} = \frac{p}{|q|B}}$

e pulsazione (detta di ciclotrone)

$\boxed{\omega = \frac{v}{r} = \frac{|q|B}{m}}, \qquad T = \frac{2\pi m}{|q|B}$

Esempio. Un elettrone con energia cinetica $100\ \text{eV}$ ( $v = \sqrt{2K/m} = 5{,}9 \cdot 10^6\ \text{m/s}$ ) in un campo di $10^{-3}\ \text{T}$ : $r = \frac{9{,}11 \cdot 10^{-31} \cdot 5{,}9 \cdot 10^6}{1{,}6 \cdot 10^{-19} \cdot 10^{-3}} = 3{,}4\ \text{cm}$ , periodo $T = 3{,}6 \cdot 10^{-8}\ \text{s}$ .

Grafico interattivo: Carica positiva con v perpendicolare a B (B esce dal foglio, ⊙): la forza qv×B punta sempre verso il centro, e la traiettoria è una circonferenza di raggio r = mv/qB percorsa in senso orario (una carica negativa la percorrerebbe in senso antiorario)

Formula (passo dell'elica). $p = v_\parallel\,T = \frac{2\pi m\,v_\parallel}{|q|B}$

Esempio. Protone con $v_\parallel = 10^5$ m/s in $B = 0{,}1$ T: $T = \frac{2\pi m}{eB} = 6{,}56\cdot10^{-7}$ s e $p = v_\parallel T = 0{,}066$ m.

Formula (selettore di velocità). $qE = qvB \quad\Longrightarrow\quad v = \frac{E}{B}$

Esempio. $E = 2\cdot10^4$ V/m e $B = 0{,}1$ T: $v = \frac{E}{B} = 2\cdot10^5$ m/s.

Grafico interattivo: Selettore di velocità: E (verso l'alto, dalla piastra + alla piastra −) e B (uscente dal foglio) sono perpendicolari alla velocità; su una carica positiva qE punta in alto e qv×B in basso, e si compensano solo se v = E/B, e allora la traiettoria resta rettilinea

Formula (raggio nello spettrometro di massa). $r = \frac{mv}{qB} \qquad\text{oppure, se accelerati da } \Delta V\text{:}\qquad r = \frac{1}{B}\sqrt{\frac{2m\,\Delta V}{q}}$

Esempio. Ioni da $40$ u ( $6{,}64\cdot10^{-26}$ kg) con $q = e$ , $\Delta V = 1000$ V e $B = 0{,}1$ T: $r = \frac{1}{B}\sqrt{\frac{2m\Delta V}{q}} = 0{,}288$ m.

Grafico interattivo: Spettrometro di massa (B esce dal foglio, ioni positivi che entrano dall'origine verso l'alto con la stessa velocità): percorrono una semicirconferenza di raggio r = mv/qB e colpiscono la lastra a distanza 2r; lo ione più pesante ha il raggio maggiore (r₂ > r₁) e arriva più lontano

Forza magnetica su un conduttore e momento su una spira

Legge (seconda legge elementare di Laplace). $\boxed{d\vec F = i\,d\vec l \times \vec B}$

Esempio. Un filo lungo $20\ \text{cm}$ con $i = 5\ \text{A}$ , perpendicolare a un campo di $0{,}5\ \text{T}$ : $F = 5 \cdot 0{,}2 \cdot 0{,}5 = 0{,}5\ \text{N}$ . È il principio del motore elettrico e degli altoparlanti.

Formula (tensione di Hall). $\boxed{V_H = \frac{iB}{nqa}}$

Esempio. Rame ( $n = 8{,}5\cdot10^{28}\ \text{m}^{-3}$ ), $a = 1$ mm, $i = 10$ A, $B = 1$ T: $V_H = \frac{iB}{nqa} = 7{,}34\cdot10^{-7}$ V.

Definizione (momento magnetico di una spira). $\boxed{\vec m = i\,S\,\hat n} \qquad [\text{A m}^2]$

Esempio. Spira di area $S = 100\ \text{cm}^2$ con $i = 2$ A: $m = iS = 2\cdot10^{-2}\ \text{A m}^2$ .

Formula (momento meccanico su una spira). $\boxed{\vec M = \vec m \times \vec B}$

Esempio. Stessa spira in $B = 0{,}5$ T con $\vec m \perp \vec B$ : $M = mB = 10^{-2}$ N m.

Formula (energia potenziale di un dipolo magnetico). $\boxed{U = -\vec m \cdot \vec B = -mB\cos\theta}$

Esempio. Stessa spira con $\theta = 60°$ tra $\vec m$ e $\vec B$ : $U = -mB\cos\theta = -0{,}02\cdot0{,}5\cdot0{,}5 = -5\cdot10^{-3}$ J.

Formula (angolo di deviazione di un galvanometro). $NiSB = k\varphi \quad\Longrightarrow\quad \varphi = \frac{NSB}{k}\,i$

Esempio. $N = 100$ , $S = 2\ \text{cm}^2$ , $B = 0{,}2$ T, $k = 10^{-5}$ N m/rad e $i = 1$ mA: $\varphi = \frac{NSB}{k}i = \frac{100\cdot2\cdot10^{-4}\cdot0{,}2}{10^{-5}}\cdot10^{-3} = 0{,}4$ rad.

VIII. Sorgenti del campo magnetico e leggi della magnetostatica

Prima legge di Laplace e legge di Biot-Savart

Legge (prima legge elementare di Laplace). $\boxed{d\vec B = \frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{i\,d\vec l \times \hat u_r}{r^2}}$

Esempio. Tratto $dl = 1$ cm con $i = 10$ A, punto a $r = 5$ cm in direzione perpendicolare: $dB = 10^{-7}\cdot\frac{10\cdot0{,}01}{0{,}0025} = 4\cdot10^{-6}$ T.

Legge di Biot-Savart (filo indefinito). $\boxed{B = \frac{\mu_0\,i}{2\pi R}}$

Esempio. $i = 42$ A e $R = 15$ cm: $B = \frac{2\cdot10^{-7}\cdot42}{0{,}15} = 5{,}6\cdot10^{-5}$ T $= 56\ \mu$ T.

Grafico interattivo: Filo rettilineo con la corrente entrante nel foglio (⊗): le linee di B sono circonferenze concentriche percorse in senso orario (mano destra: pollice nel verso della corrente, dita nel verso di B), e in ogni punto B è tangente alla circonferenza

Formula (campo di un tratto rettilineo finito). $B = \frac{\mu_0 i}{4\pi R}\,(\sin\alpha_1 + \sin\alpha_2)$

Esempio. $i = 10$ A, $R = 10$ cm, $\alpha_1 = \alpha_2 = 30°$ : $B = \frac{10^{-7}\cdot10}{0{,}1}(0{,}5 + 0{,}5) = 1\cdot10^{-5}$ T.

Formula (campo al centro di una spira circolare). $\boxed{B_{\text{centro}} = \frac{\mu_0 i}{4\pi R^2}\oint dl = \frac{\mu_0 i}{2R}}$

Esempio. $i = 2$ A e $R = 5$ cm: $B = \frac{\mu_0 i}{2R} = 2{,}51\cdot10^{-5}$ T.

Formula (campo sull'asse di una spira circolare). $B(z) = \frac{\mu_0 i R^2}{2\,(R^2 + z^2)^{3/2}}$

Esempio. Stessa spira a $z = 5$ cm dal centro: $B = \frac{\mu_0 i R^2}{2(R^2 + z^2)^{3/2}} = 8{,}89\cdot10^{-6}$ T.

Grafico interattivo: Campo sull'asse di una spira (ascissa: z/R, ordinata: B in unità del valore al centro μ₀i/2R) e sua approssimazione di dipolo, (R/z)³ (tratteggio): per z ≳ 3R le due curve differiscono per meno del 20%, vicino alla spira l'approssimazione non vale

Formula (forza per unità di lunghezza tra due fili paralleli). $\boxed{\frac{F}{\ell} = \frac{\mu_0\,i_1\,i_2}{2\pi d}}$

Esempio. $i_1 = i_2 = 10$ A a $d = 1$ cm: $\frac{F}{\ell} = \frac{4\pi\cdot10^{-7}\cdot100}{2\pi\cdot0{,}01} = 2\cdot10^{-3}\ \text{N/m}$ , attrattiva se le correnti sono concordi.

Grafico interattivo: Sezione di due fili paralleli con correnti concordi, entrambe uscenti dal foglio (distanza d = 2 unità): il campo B₁ del filo 1 nel punto del filo 2 è verticale, e la forza F₂ = i₂ℓ × B₁ punta verso il filo 1; per il filo 1 vale il contrario, quindi si attraggono

Legge di Gauss per il magnetismo e teorema di Ampère

Definizione (flusso del campo magnetico). $\Phi(\vec B) = \int_S \vec B \cdot d\vec S \qquad [\text{T m}^2 = \text{Wb, weber}]$

Esempio. Spira circolare di raggio $5$ cm in $B = 0{,}1$ T perpendicolare: $\Phi = 0{,}1\cdot\pi\cdot0{,}0025 = 7{,}85\cdot10^{-4}$ Wb.

Legge di Gauss per il magnetismo. $\boxed{\oint_S \vec B \cdot d\vec S = 0} \qquad\Longleftrightarrow\qquad \boxed{\nabla \cdot \vec B = 0}$

Esempio. Cubo di lato $10$ cm in un campo uniforme $B = 0{,}2$ T: le facce perpendicolari al campo hanno $\pm2\cdot10^{-3}$ Wb, che si cancellano a coppie, e il flusso totale è $0$ .

Teorema di Ampère. $\boxed{\oint_\gamma \vec B \cdot d\vec l = \mu_0 \sum i_{\text{conc}}}$

Esempio. Una curva concatena due fili con $5$ A e $3$ A in versi opposti: $\oint\vec B\cdot d\vec l = \mu_0(5 - 3) = 2{,}51\cdot10^{-6}$ T m.

Legge (teorema di Ampère in forma locale). $\boxed{\nabla \times \vec B = \mu_0\,\vec j}$

Esempio. Densità di corrente uniforme $j = 10^6\ \text{A/m}^2$ : $\nabla\times\vec B = \mu_0 j = 1{,}26$ T/m dove passa la corrente.

Formula (campo dentro un conduttore cilindrico percorso da corrente). $B = \frac{\mu_0\,i\,r}{2\pi R^2}$

Esempio. $i = 10$ A, $R = 2$ mm, $r = 1$ mm: $B = \frac{\mu_0 i r}{2\pi R^2} = 5\cdot10^{-4}$ T.

Grafico interattivo: Campo di un filo cilindrico di raggio R = 1 con corrente distribuita uniformemente (ascissa: r in unità di R, ordinata: B in unità di μ₀i/2πR): cresce linearmente dentro, μ₀ir/2πR², e cala come 1/r fuori; è massimo sulla superficie

Formula (campo di un solenoide indefinito). $B\,\ell = \mu_0\,n\ell\,i \quad\Longrightarrow\quad \boxed{B = \mu_0\,n\,i}$

Esempio. $n = 5000$ spire/m e $i = 3{,}5$ A: $B = 4\pi\cdot10^{-7}\cdot5000\cdot3{,}5 = 2{,}2\cdot10^{-2}$ T.

Grafico interattivo: Solenoide indefinito di raggio R = 1 (ascissa: r in unità di R, ordinata: B in unità di μ₀ni): uniforme dentro e nullo fuori, con un salto sull'avvolgimento; a differenza del filo, fuori dal solenoide il campo non cala come 1/r ma è nullo

Formula (campo di un solenoide toroidale). $B \cdot 2\pi r = \mu_0 N i \quad\Longrightarrow\quad B = \frac{\mu_0 N i}{2\pi r}$

Esempio. $N = 500$ , $i = 2$ A e $r = 10$ cm: $B = \frac{\mu_0 N i}{2\pi r} = 2\cdot10^{-3}$ T.

IX. Proprietà magnetiche della materia

Magnetizzazione e campo H

Formula (momento magnetico orbitale di un elettrone). $m = i\,\pi r^2 = \frac{e\,v\,r}{2}$

Esempio. Idrogeno con $r = 0{,}53\cdot10^{-10}$ m e $v = 2{,}2\cdot10^6$ m/s: $m = \frac{evr}{2} = 9{,}34\cdot10^{-24}\ \text{A m}^2$ , il magnetone di Bohr (con $r$ e $v$ arrotondati; i valori esatti, $r = 0{,}529\cdot10^{-10}$ m e $v = 2{,}19\cdot10^6$ m/s, danno il valore tabulato $9{,}27\cdot10^{-24}\ \text{A m}^2$ ).

Definizione (vettore magnetizzazione). $\boxed{\vec M = \frac{d\vec m}{d\tau}} \qquad [\text{A m}^2/\text{m}^3 = \text{A/m}]$

Esempio. $n = 5\cdot10^{28}\ \text{m}^{-3}$ atomi con $m = 2\cdot10^{-23}\ \text{A m}^2$ allineati: $M = 10^6$ A/m.

Formula (corrente superficiale di magnetizzazione). $\boxed{k_m = M} \qquad\text{in forma vettoriale}\qquad \vec k_m = \vec M \times \hat n$

Esempio. Cilindro con $M = 10^6$ A/m: $k_m = 10^6$ A/m, come un solenoide con $n\,i = 10^6$ A/m.

Definizione (campo magnetizzante H). $\boxed{\vec H = \frac{\vec B}{\mu_0} - \vec M} \qquad [\text{A/m}]$

Esempio. In un materiale con $B = 1{,}2$ T e $M = 9{,}4\cdot10^5$ A/m: $H = \frac{B}{\mu_0} - M = 14930$ A/m.

Legge (legge di Ampère per il campo H). $\boxed{\oint \vec H \cdot d\vec l = i_{\text{libere, conc}}} \qquad\Longleftrightarrow\qquad \nabla \times \vec H = \vec j_{\text{libere}}$

Esempio. Toroide con $N = 500$ , $i = 2$ A e $r = 10$ cm: $H\cdot2\pi r = Ni$ , quindi $H = 1592$ A/m, qualunque sia il nucleo.

Formula (magnetizzazione di un materiale lineare). $\boxed{\vec M = \chi_m\,\vec H}$

Esempio. Ferro dolce con $\chi_m = 999$ in $H = 1000$ A/m: $M = 999\cdot1000 \approx 10^6$ A/m.

Formula (relazione tra B e H nei materiali lineari). $\boxed{\vec B = \mu_0(1 + \chi_m)\,\vec H = \mu_0\mu_r\,\vec H = \mu\,\vec H}$

Esempio. $\mu_r = 1000$ e $H = 1000$ A/m: $B = \mu_0\mu_r H = 1{,}26$ T.

Formula (campo H in un solenoide). $H = n\,i$

Esempio. $n = 2000$ spire/m e $i = 0{,}5$ A: $H = ni = 1000$ A/m, indipendente dal materiale del nucleo.

Formula (magnetizzazione e campo B in un solenoide riempito). $M = \chi_m\,n\,i, \qquad B = \mu_0\mu_r\,n\,i$

Esempio. $n = 1000$ spire/m, $i = 1\ \text{A}$ : $H = 1000\ \text{A/m}$ . Nel vuoto $B = 4\pi \cdot 10^{-7} \cdot 1000 = 1{,}26\ \text{mT}$ . Con un nucleo di ferro dolce ( $\mu_r \approx 1000$ a questi campi) $B \approx 1{,}26\ \text{T}$ : mille volte di più, con la stessa corrente. Per questo elettromagneti, trasformatori e induttanze hanno un nucleo di ferro. Con l'alluminio ( $\chi_m = 2{,}2 \cdot 10^{-5}$ ) il campo cambierebbe di due parti su centomila: in pratica nulla.

Formula (campo in un toroide con nucleo e traferro). $\boxed{B = \frac{\mu_0\,N\,i}{\dfrac{2\pi r - h}{\mu_r} + h}}$

Esempio. $N = 500$ , $i = 2$ A, $r = 10$ cm, $h = 1$ mm, $\mu_r = 1000$ : $B = \frac{\mu_0 N i}{\frac{2\pi r - h}{\mu_r} + h} = 0{,}77$ T; senza traferro sarebbe $B = 2$ T.

Diamagnetismo, paramagnetismo e ferromagnetismo

Legge di Curie. $\boxed{\chi_m = \frac{C}{T}}$

Esempio. Con $C = 0{,}08$ K: $\chi_m(300\ \text{K}) = 2{,}7\cdot10^{-4}$ e $\chi_m(150\ \text{K}) = 5{,}3\cdot10^{-4}$ : dimezzando la temperatura la suscettività raddoppia.

Legge (legge di Curie-Weiss). $\chi_m = \frac{C}{T - T_C} \qquad (T > T_C)$

Esempio. Ferro con $T_C = 1043$ K: a $1143$ K $\chi_m = \frac{C}{100\ \text{K}}$ , a $1053$ K $\chi_m = \frac{C}{10\ \text{K}}$ , dieci volte più grande avvicinandosi a $T_C$ .

X. Induzione elettromagnetica

Legge di Faraday-Neumann-Lenz

Legge di Faraday-Neumann-Lenz. $\boxed{\mathcal E_i = -\frac{d\Phi}{dt}}$

Esempio. Una bobina di $N = 200$ spire di area $S = 10\ \text{cm}^2$ , perpendicolare a un campo che cala uniformemente da $0{,}5\ \text{T}$ a zero in $0{,}1\ \text{s}$ : $|\mathcal E_i| = 200 \cdot 10^{-3} \cdot 0{,}5/0{,}1 = 1\ \text{V}$ .

Legge di Felici. $q = \int i\,dt = -\frac1R\int\frac{d\Phi}{dt}\,dt \quad\Longrightarrow\quad \boxed{|q| = \frac{|\Phi_i - \Phi_f|}{R}}$

Esempio. Spira quadrata di lato $12$ cm e $R = 1\ \Omega$ che entra in $B = 2$ T: $|q| = \frac{Ba^2}{R} = \frac{2\cdot0{,}0144}{1} = 28{,}8$ mC, indipendente dalla velocità.

Formula (fem di movimento di una sbarretta). $\boxed{|\mathcal E_i| = B\,\ell\,v}$

Esempio. $B = 0{,}5$ T, $\ell = 0{,}2$ m, $v = 2$ m/s: $|\mathcal E_i| = B\ell v = 0{,}2$ V.

Formula (forza frenante sulla sbarretta). $\boxed{F = \frac{B^2\ell^2}{R}\,v}$

Esempio. Con $R = 0{,}1\ \Omega$ : $i = 2$ A e $F = \frac{B^2\ell^2}{R}v = \frac{0{,}25\cdot0{,}04}{0{,}1}\cdot2 = 0{,}2$ N.

Legge (frenamento della sbarretta lasciata libera). $m\frac{dv}{dt} = -\frac{B^2\ell^2}{R}\,v \quad\Longrightarrow\quad v(t) = v_0\,e^{-t/\tau}, \qquad \tau = \frac{mR}{B^2\ell^2}$

Esempio. $m = 0{,}1$ kg con gli stessi $B$ , $\ell$ , $R$ : $\tau = \frac{mR}{B^2\ell^2} = 1$ s e $v(2\ \text{s}) = v_0e^{-2} = 0{,}135\,v_0$ .

Formula (velocità della sbarretta in funzione dello spazio). $v(x) = v_0 - \frac{B^2\ell^2}{mR}\,x$

Esempio. $v_0 = 2$ m/s e $\frac{B^2\ell^2}{mR} = 1\ \text{s}^{-1}$ : dopo $x = 1$ m è $v = 2 - 1 = 1$ m/s, e si ferma dopo $x = 2$ m.

Grafico interattivo: Sbarretta lasciata libera con velocità iniziale v₀ (ascissa: t/τ con τ = mR/B²ℓ²): la velocità v/v₀ = e^(−t/τ) decade a zero e lo spazio percorso x/(v₀τ) = 1 − e^(−t/τ) tende al valore finito v₀τ, che è la distanza totale di arresto

Legge (campo elettrico indotto). $\boxed{\oint_\gamma \vec E \cdot d\vec l = -\frac{d}{dt}\int_S \vec B \cdot d\vec S}$

Esempio. Solenoide con $\frac{dB}{dt} = 0{,}1$ T/s: a $r = 2$ cm dall'asse $E = \frac{r}{2}\frac{dB}{dt} = 10^{-3}$ V/m, tangente alle circonferenze coassiali.

Legge (legge di Faraday in forma locale). $\boxed{\nabla \times \vec E = -\frac{\partial\vec B}{\partial t}}$

Esempio: dentro e fuori un solenoide. In un solenoide indefinito di raggio $R_s$ la corrente cresce e il campo interno uniforme cresce con $dB/dt$ . Per simmetria le linee di $\vec E$ sono circonferenze coassiali. Su una circonferenza di raggio $r$ :

Grafico interattivo: Campo elettrico indotto da un solenoide di raggio R_s = 1 in cui B cresce (ascissa: r in unità di R_s, ordinata: E in unità di dB/dt): E = r/2 dentro, cresce linearmente, e E = R_s²/2r fuori, cala come 1/r; è massimo sulla superficie e non è nullo fuori, dove B = 0

Formula (fem alternata di una bobina rotante). $\Phi(t) = NBS\cos(\omega t) \quad\Longrightarrow\quad \boxed{\mathcal E_i(t) = NBS\omega\,\sin(\omega t)}$

Esempio. $N = 100$ , $B = 0{,}5$ T, $S = 0{,}01\ \text{m}^2$ , $f = 50$ Hz: $\mathcal E_0 = NBS\omega = 157$ V.

Grafico interattivo: Flusso Φ = NBS cos ωt e f.e.m. ℰ = −dΦ/dt = NBSω sin ωt (ascissa: ωt in rad, un periodo; Φ in unità di NBS, ℰ in unità di NBSω): la f.e.m. è massima dove il flusso passa per zero con la pendenza più ripida, e nulla dove il flusso è massimo o minimo

Autoinduzione, circuiti RL ed energia magnetica

Definizione (coefficiente di autoinduzione). $\boxed{\Phi = L\,i}$

Esempio. $L = 0{,}2$ H e $i = 3$ A: autoflusso $\Phi = Li = 0{,}6$ Wb.

Formula (induttanza di un solenoide). $L = \frac{NBS}{i} = \mu_0\,n\,N\,S = \boxed{\mu_0\,n^2\,S\,\ell = \mu_0\,\frac{N^2 S}{\ell}}$

Esempio. $N = 500$ spire su $\ell = 10\ \text{cm}$ con sezione $S = 4\ \text{cm}^2$ : $L = 4\pi \cdot 10^{-7} \cdot \frac{500^2 \cdot 4 \cdot 10^{-4}}{0{,}1} = 1{,}26\ \text{mH}$ .

Legge (fem autoindotta). $\boxed{\mathcal E_L = -L\,\frac{di}{dt}}$

Esempio. $L = 0{,}4$ H e corrente che cresce di $20$ A/s: $\mathcal E_L = -0{,}4\cdot20 = -8$ V, opposta all'aumento di corrente.

Legge (chiusura di un circuito RL). $\boxed{i(t) = \frac{\mathcal E}{R}\left(1 - e^{-t/\tau}\right), \qquad \tau = \frac{L}{R}}$

Esempio. $\mathcal E = 12$ V, $R = 6\ \Omega$ , $L = 0{,}3$ H: $\tau = 0{,}05$ s e $i(\tau) = 2\,(1 - e^{-1}) = 1{,}26$ A; a regime $i = 2$ A.

Grafico interattivo: Chiusura del circuito RL (ascissa: t/τ con τ = L/R): corrente i in unità di ℰ/R e tensione sull'induttore V_L in unità di ℰ; all'inizio tutta la tensione è sull'induttore e i = 0, a regime V_L = 0 e i = ℰ/R; in ogni istante V_L + Ri = ℰ, quindi le due curve si sommano a 1

Legge (apertura di un circuito RL). $\boxed{i(t) = i_0\,e^{-t/\tau}}$

Esempio. $i_0 = 2$ A e $\tau = 0{,}05$ s: dopo $0{,}1$ s è $i = 2\,e^{-2} = 0{,}271$ A.

Grafico interattivo: Spegnimento del generatore in un circuito RL (ascissa: t/τ con τ = L/R): la corrente i/i₀ = e^(−t/τ) decade esponenzialmente, e l'energia magnetica U_B/U₀ = e^(−2t/τ), proporzionale a i², decade più in fretta (13,5% dopo τ); tutta l'energia iniziale ½Li₀² finisce in calore nella resistenza

Formula (energia immagazzinata in un induttore). $\boxed{U_B = \frac12\,L\,i^2 = \frac12\,\Phi\,i = \frac{\Phi^2}{2L}}$

Esempio. $L = 0{,}2$ H e $i = 3$ A: $U_B = \frac12\cdot0{,}2\cdot9 = 0{,}9$ J.

Definizione (densità di energia del campo magnetico). $\boxed{u_B = \frac{B^2}{2\mu_0}}$

Esempio. $B = 0{,}5$ T: $u_B = \frac{0{,}25}{2\cdot4\pi\cdot10^{-7}} = 9{,}95\cdot10^{4}\ \text{J/m}^3$ .

Mutua induzione

Definizione (coefficiente di mutua induzione). $\boxed{\Phi_{21} = M_{21}\,i_1}$

Esempio. $M = 0{,}05$ H e $i_1 = 2$ A: il flusso concatenato con il circuito 2 è $\Phi_{21} = Mi_1 = 0{,}1$ Wb.

Legge (fem di mutua induzione). $\boxed{\mathcal E_2 = -M\,\frac{di_1}{dt}}$

Esempio. $M = 0{,}05$ H e $\frac{di_1}{dt} = 40$ A/s: $\mathcal E_2 = -0{,}05\cdot40 = -2$ V.

Formula (mutua induzione tra una bobina e un solenoide). $\boxed{M = \mu_0\,n\,N\,A\cos\theta}$

Esempio. $n = 2000$ spire/m, bobina di $N = 50$ spire con $A = 2\ \text{cm}^2$ , coassiale ( $\theta = 0$ ): $M = 4\pi \cdot 10^{-7} \cdot 2000 \cdot 50 \cdot 2 \cdot 10^{-4} = 2{,}5 \cdot 10^{-5}\ \text{H}$ . Se la corrente nel solenoide cresce di $100\ \text{A/s}$ , nella bobina si inducono $2{,}5\ \text{mV}$ .

Formula (energia magnetica di due circuiti accoppiati). $\boxed{U = \frac12 L_1 i_1^2 + \frac12 L_2 i_2^2 + M\,i_1\,i_2}$

Esempio. $L_1 = 0{,}1$ H, $L_2 = 0{,}2$ H, $M = 0{,}05$ H, $i_1 = 2$ A, $i_2 = 1$ A: $U = 0{,}2 + 0{,}1 + 0{,}05\cdot2\cdot1 = 0{,}4$ J.

Formula (rapporto di trasformazione). $\boxed{\frac{V_2}{V_1} = \frac{N_2}{N_1}}$

Esempio. $N_1 = 1000$ spire con $V_1 = 230$ V e $N_2 = 50$ : $V_2 = 230\cdot\frac{50}{1000} = 11{,}5$ V.

XI. Equazioni di Maxwell e onde elettromagnetiche

Corrente di spostamento ed equazioni di Maxwell

Definizione (corrente di spostamento). $\boxed{i_s = \varepsilon_0\,\frac{d\Phi(\vec E)}{dt}} \qquad \vec j_s = \varepsilon_0\,\frac{\partial\vec E}{\partial t}$

Esempio. Condensatore piano con $S = 100\ \text{cm}^2$ e $\frac{dE}{dt} = 10^{12}$ V/(m s): $i_s = \varepsilon_0 S\frac{dE}{dt} = 0{,}089$ A, pari alla corrente nei fili.

Legge di Ampère-Maxwell. $\boxed{\oint \vec B \cdot d\vec l = \mu_0\left(i_{\text{conc}} + \varepsilon_0\,\frac{d\Phi(\vec E)}{dt}\right)} \qquad\Longleftrightarrow\qquad \nabla \times \vec B = \mu_0\,\vec j + \mu_0\varepsilon_0\,\frac{\partial\vec E}{\partial t}$

Esempio: il campo tra le armature. Un condensatore con armature circolari di raggio $R$ si carica con corrente $i$ . Tra le armature il campo elettrico è uniforme e cresce; per simmetria le linee di $\vec B$ sono circonferenze coassiali. Su una circonferenza di raggio $r < R$ la corrente di spostamento concatenata è la frazione $r^2/R^2$ di quella totale:

Legge (equazioni di Maxwell nel vuoto). $\nabla \cdot \vec E = 0, \qquad \nabla \cdot \vec B = 0, \qquad \nabla \times \vec E = -\frac{\partial\vec B}{\partial t}, \qquad \nabla \times \vec B = \mu_0\varepsilon_0\,\frac{\partial\vec E}{\partial t}$

Esempio. Combinando le ultime due si ottiene un'onda con $c = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}} = \frac{1}{\sqrt{8{,}854\cdot10^{-12}\cdot4\pi\cdot10^{-7}}} = 2{,}998\cdot10^8$ m/s.

Onde elettromagnetiche

Legge (equazione delle onde). $\boxed{\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{1}{v^2}\,\frac{\partial^2 f}{\partial t^2}}$

Esempio. $f = A\sin(kx - \omega t)$ soddisfa l'equazione se $\omega^2/k^2 = v^2$ : con $k = 2\pi\ \text{rad/m}$ e $\omega = 20\pi\ \text{rad/s}$ la velocità è $v = 10$ m/s.

Definizione (onda armonica). $\boxed{f(x, t) = A\,\sin(kx - \omega t)}$

Esempio. $\lambda = 0{,}5$ m e $f = 20$ Hz: $k = \frac{2\pi}{\lambda} = 12{,}57\ \text{rad/m}$ , $\omega = 2\pi f = 125{,}7\ \text{rad/s}$ e $v = \lambda f = 10$ m/s.

Formula (velocità della luce dalle equazioni di Maxwell). $\boxed{c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}} = \frac{1}{\sqrt{4\pi \cdot 10^{-7} \cdot 8{,}854 \cdot 10^{-12}}} = 2{,}998 \cdot 10^8\ \text{m/s}}$

Esempio. Con $c = 2{,}998\cdot10^8$ m/s la luce impiega $\frac{1{,}496\cdot10^{11}}{2{,}998\cdot10^8} = 499$ s, circa $8{,}3$ minuti, per andare dal Sole alla Terra.

Formula (rapporto tra campo elettrico e magnetico). $\boxed{E = c\,B}$

Esempio. $E_0 = 300$ V/m: $B_0 = \frac{E_0}{c} = 1\cdot10^{-6}$ T $\approx 1\ \mu$ T.

Grafico interattivo: Onda piana verso +x: E_y/E₀ in funzione di x/λ a due istanti, t = 0 e t = T/4 (B_z ha la stessa forma, in fase, con ampiezza E₀/c): dopo un quarto di periodo il profilo si è spostato in avanti di λ/4, cioè di vT

Formula (indice di rifrazione e velocità della luce in un mezzo). $v = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\varepsilon_r\,\mu_0\mu_r}} = \frac{c}{n}, \qquad \boxed{n = \frac{c}{v} = \sqrt{\varepsilon_r\mu_r} \approx \sqrt{\varepsilon_r}}$

Esempio. Acqua con $n = 1{,}33$ : $v = \frac{c}{n} = 2{,}25\cdot10^{8}$ m/s.

Definizione (vettore di Poynting). $\boxed{\vec S = \frac{\vec E \times \vec B}{\mu_0}} \qquad [\text{W/m}^2]$

Esempio. $E = 300$ V/m e $B = 1\ \mu$ T perpendicolari: $S = \frac{EB}{\mu_0} = 239\ \text{W/m}^2$ .

Formula (intensità di un'onda piana). $\boxed{I = \langle S\rangle = \frac12\,c\,\varepsilon_0\,E_0^2 = \frac{E_0B_0}{2\mu_0} = \frac{c\,B_0^2}{2\mu_0}}$

Esempio: la luce del Sole. Sopra l'atmosfera $I = 1361\ \text{W/m}^2$ . L'ampiezza del campo elettrico è $E_0 = \sqrt{2I/(c\varepsilon_0)} = \sqrt{\frac{2 \cdot 1361}{3 \cdot 10^8 \cdot 8{,}854 \cdot 10^{-12}}} = 1{,}01 \cdot 10^3\ \text{V/m}$ , quella del campo magnetico $B_0 = E_0/c = 3{,}4\ \mu\text{T}$ .

Formula (intensità di una sorgente isotropa). $I(r) = \frac{P}{4\pi r^2}$

Esempio. Lampadina da $P = 100$ W (tutta irradiata) a $r = 2$ m: $I = \frac{100}{4\pi\cdot4} = 1{,}99\ \text{W/m}^2$ .

Formula (pressione di radiazione). $p = \frac{I}{c}\ \ \text{(superficie che assorbe tutto)}, \qquad p = \frac{2I}{c}\ \ \text{(superficie che riflette tutto)}$

Esempio. $I = 1361\ \text{W/m}^2$ : $p = \frac{I}{c} = 4{,}54\cdot10^{-6}$ Pa se assorbe, il doppio (9{,}08\cdot10^{-6} Pa) se riflette.

XII. Riflessione, rifrazione e polarizzazione

Principio di Huygens, riflessione e rifrazione

Principio di Huygens (-Fresnel). Ogni punto di un fronte d'onda si comporta come una sorgente puntiforme di onde sferiche secondarie, con la stessa frequenza dell'onda e in fase con essa. Il fronte d'onda in un istante successivo è la superficie che inviluppa (tocca tutte) le onde secondarie.

Esempio. In un vetro con $v = 2\cdot10^8$ m/s ogni punto di un fronte piano emette un'onda secondaria che dopo $\Delta t = 1$ ns ha raggio $v\Delta t = 0{,}2$ m; l'inviluppo è il nuovo fronte.

Definizione (indice di rifrazione). $n = \frac{c}{v} = \sqrt{\varepsilon_r\mu_r} \approx \sqrt{\varepsilon_r}$

Esempio. Vetro con $n = 1{,}5$ : $v = 2\cdot10^8$ m/s e una luce di $600$ nm nel vuoto ha $\lambda = \frac{600}{1{,}5} = 400$ nm nel vetro (la frequenza non cambia).

Formula (intensità di un'onda e impedenza del vuoto). $\boxed{I = \frac{1}{2}\,c\,\varepsilon_0\,E_0^2 = \frac{E_0^2}{2Z_0}\ \ \text{(vuoto)}, \qquad I = \frac{n\,E_0^2}{2Z_0}\ \ \text{(mezzo di indice } n\text{)}}$

Esempio. $E_0 = 100$ V/m nel vuoto: $I = \frac{E_0^2}{2Z_0} = \frac{10^4}{2\cdot376{,}7} = 13{,}3\ \text{W/m}^2$ .

Legge della riflessione. $\boxed{\theta_r = \theta_i} \qquad \text{(legge della riflessione)}$

Esempio. Un raggio che incide a $\theta_i = 30°$ dalla normale si riflette a $\theta_r = 30°$ dalla normale, dalla parte opposta.

Legge di Snell. $\boxed{n_1\sin\theta_i = n_2\sin\theta_t} \qquad \text{(legge di Snell)}$

Esempio. Luce dall'aria all'acqua con $\theta_i = 45°$ : $\sin\theta_t = \frac{\sin 45°}{1{,}33} = \frac{0{,}707}{1{,}33} = 0{,}532$ , quindi $\theta_t = 32{,}1°$ .

Grafico interattivo: Aria (sopra, n₁ = 1) e acqua (sotto, n₂ = 1,33), incidenza θᵢ = 45°: il raggio riflesso forma lo stesso angolo (θᵣ = 45°) e quello rifratto si avvicina alla normale, θₜ = 32,1° (sin θₜ = sin 45°/1,33 = 0,532); gli angoli si misurano dalla normale

Formula (angolo limite per la riflessione totale). $n_1\sin\theta_{\lim} = n_2\sin 90° \quad\Longrightarrow\quad \boxed{\sin\theta_{\lim} = \frac{n_2}{n_1}}$

Esempio. Da vetro ( $n_1 = 1{,}5$ ) ad aria ( $n_2 = 1$ ): $\sin\theta_{\lim} = \frac{1}{1{,}5}$ , quindi $\theta_{\lim} = 41{,}8°$ .

Grafico interattivo: Passaggio vetro → aria (n₁ = 1,5, n₂ = 1; ascissa: θᵢ in gradi, ordinata: θₜ in gradi): θₜ è sempre maggiore di θᵢ e raggiunge 90° all'angolo limite 41,8°; oltre non esiste onda trasmessa (sin θₜ sarebbe maggiore di 1) e la curva si interrompe: riflessione totale

Formula (spostamento laterale in una lastra a facce parallele). $\boxed{d = \ell\,\sin(\theta_1 - \theta_2) = \frac{h\,\sin(\theta_1 - \theta_2)}{\cos\theta_2}}$

Esempio. Lastra di vetro ( $n = 1{,}5$ ) spessa $h = 1$ cm con $\theta_1 = 45°$ ( $\theta_2 = 28{,}1°$ ): $d = \frac{h\sin(\theta_1 - \theta_2)}{\cos\theta_2} = 3{,}29$ mm.

Grafico interattivo: Raggio a 45° su una lastra di spessore h = 1,2 e n = 1,5: dentro si avvicina alla normale (θ₂ = 28,1°), all'uscita torna parallelo alla direzione iniziale ma spostato lateralmente di d = h sin(θ₁ − θ₂)/cos θ₂ ≈ 0,39, cioè 0,33 h

Formula (profondità apparente). $p' = \frac{x}{\tan\theta_{\text{aria}}} \approx \frac{x}{n\,\theta_{\text{acqua}}} = \frac{p}{n}$

Esempio. Una piscina profonda $2\ \text{m}$ sembra profonda $2/1{,}33 = 1{,}50\ \text{m}$ .

Legge di Cauchy (dispersione). $n(\lambda) = A + \frac{B}{\lambda^2} \qquad (\text{legge di Cauchy, nelle note del corso "di Abbe"})$

Esempio. Un vetro con $n = 1{,}513$ per il rosso e $n = 1{,}532$ per il violetto, luce bianca a $45°$ : $\theta_t = 27{,}86°$ per il rosso e $27{,}49°$ per il violetto. La differenza è piccola, ma in un prisma la luce si rifrange due volte su facce non parallele e le deviazioni si sommano invece di compensarsi (come nella lastra): la luce bianca esce separata nei colori dello spettro (Newton, 1666). L'arcobaleno è lo stesso fenomeno nelle gocce d'acqua.

Coefficienti di Fresnel e angolo di Brewster

Formula (coefficienti di Fresnel di riflessione). $\boxed{r_\sigma = -\frac{\sin(\theta_i - \theta_t)}{\sin(\theta_i + \theta_t)}, \qquad r_\pi = \frac{\tan(\theta_i - \theta_t)}{\tan(\theta_i + \theta_t)}}$

Esempio. Aria-vetro ( $n = 1{,}5$ ) con $\theta_i = 45°$ ( $\theta_t = 28{,}13°$ ): $r_\sigma = -0{,}303$ e $r_\pi = 0{,}092$ .

Formula (coefficienti di Fresnel a incidenza normale). $\boxed{r = \frac{n_1 - n_2}{n_1 + n_2}, \qquad t = \frac{2n_1}{n_1 + n_2}}$

Esempio. Aria-vetro ( $n_2 = 1{,}5$ ): $r = \frac{1 - 1{,}5}{2{,}5} = -0{,}2$ (inversione di fase) e $t = \frac{2}{2{,}5} = 0{,}8$ .

Formula (frazioni di potenza riflessa). $\boxed{R = r^2, \qquad R_\sigma = \frac{\sin^2(\theta_i - \theta_t)}{\sin^2(\theta_i + \theta_t)}, \qquad R_\pi = \frac{\tan^2(\theta_i - \theta_t)}{\tan^2(\theta_i + \theta_t)}}$

Esempio. Stessi dati ( $45°$ , aria-vetro): $R_\sigma = r_\sigma^2 = 0{,}092$ e $R_\pi = r_\pi^2 = 0{,}0085$ .

Formula (potenza trasmessa). $\boxed{T = 1 - R}$

Esempio. Se $R = 0{,}04$ allora $T = 1 - 0{,}04 = 0{,}96$ : passa il $96\%$ della potenza.

Formula (R e T a incidenza normale). $\boxed{R = \left(\frac{n_1 - n_2}{n_1 + n_2}\right)^2, \qquad T = \frac{4n_1n_2}{(n_1 + n_2)^2}}$

Esempio. Aria-vetro ( $n = 1{,}5$ ): $R = (0{,}5/2{,}5)^2 = 0{,}04$ , cioè il 4% della luce viene riflesso a ogni superficie, il 96% passa. Aria-acqua: $R = (0{,}33/2{,}33)^2 = 2\%$ . Una finestra ha due superfici: passa $0{,}96^2 = 92\%$ della luce. Il risultato non cambia scambiando $n_1$ e $n_2$ : uscire dal vetro riflette quanto entrarci.

Formula (riflettività della luce naturale). $R_{\text{nat}} = \frac{R_\sigma + R_\pi}{2}$

Esempio. Con $R_\sigma = 0{,}092$ e $R_\pi = 0{,}0085$ : $R_{nat} = \frac{0{,}092 + 0{,}0085}{2} = 0{,}05$ .

Formula (intensità trasmessa). $I_r = R\,I_i, \qquad \boxed{I_t = T\,I_i\,\frac{\cos\theta_i}{\cos\theta_t}}$

Esempio. Luce naturale dall'aria al vetro ( $n = 1{,}5$ ) a $45°$ : $\theta_t = 28{,}13°$ , $R_\sigma = 0{,}0920$ , $R_\pi = 0{,}0085$ , $R_{\text{nat}} = 0{,}050$ . Passa il 95% della potenza, e l'intensità trasmessa è $0{,}950 \cdot \frac{\cos 45°}{\cos 28{,}13°} = 0{,}762$ volte quella incidente.

Grafico interattivo: Rσ in funzione dell'angolo di incidenza in gradi, aria → vetro (n = 1,5): parte dal 4% e cresce fino a 1 a incidenza radente

Legge (angolo di Brewster). $n_1\sin\theta_B = n_2\sin(90° - \theta_B) = n_2\cos\theta_B \quad\Longrightarrow\quad \boxed{\tan\theta_B = \frac{n_2}{n_1}}$

Esempio. Aria-vetro: $\theta_B = \arctan1{,}5 = 56{,}3°$ ; aria-acqua: $\theta_B = \arctan1{,}33 = 53{,}1°$ .

Grafico interattivo: Aria → vetro (n = 1,5) all'angolo di Brewster θ_B = 56,3°: il raggio riflesso e quello rifratto sono perpendicolari (θ_B + θₜ = 90°, con θₜ = 33,7°) e nel riflesso manca la componente π, quindi la luce riflessa è polarizzata σ

Polarizzatori e legge di Malus

Legge di Malus. $\boxed{I = I_0\cos^2\theta} \qquad \text{(legge di Malus)}$

Esempio. Luce polarizzata con $I_0 = 100\ \text{W/m}^2$ su un polarizzatore con asse a $\theta = 60°$ : $I = 100\cos^2 60° = 25\ \text{W/m}^2$ .

Grafico interattivo: Legge di Malus, I/I₀ = cos²θ (ascissa: θ in gradi tra il campo incidente e l'asse del polarizzatore): passa tutto a 0° e 180°, metà a 45° e 135°, nulla a 90°; a 60° passa un quarto

Formula (luce naturale su un polarizzatore). $\boxed{I = \frac{I_0}{2}} \qquad \text{(luce naturale, qualunque orientazione dell'asse)}$

Esempio. Luce naturale con $I_0 = 1000\ \text{W/m}^2$ : dopo il polarizzatore $I = 500\ \text{W/m}^2$ , per qualunque orientazione dell'asse.

Formula (polarizzatore e analizzatore). $I_1 = \frac{I_0}{2}, \qquad I_2 = I_1\cos^2\theta = \frac{I_0}{2}\cos^2\theta$

Esempio. Con $\theta = 60°$ : $I_2 = \frac{I_0}{2}\cdot\frac14 = \frac{I_0}{8}$ . Con gli assi perpendicolari (polarizzatori incrociati) non passa niente.

Formula (tre polarizzatori con quello centrale a 45°). $I = \frac{I_0}{2}\cdot\frac12\cdot\frac12 = \frac{I_0}{8}$

Esempio. Luce naturale con $I_0 = 800\ \text{W/m}^2$ su tre polarizzatori (asse del secondo a $45°$ dai due incrociati): $I = \frac{800}{8} = 100\ \text{W/m}^2$ , mentre con i soli due incrociati sarebbe $0$ .

Grafico interattivo: Terzo polarizzatore tra due incrociati (ascissa: angolo α in gradi tra il suo asse e quello del primo; ordinata: intensità finale in unità di I₁, quella dopo il primo polarizzatore): I/I₁ = cos²α sin²α = sin²(2α)/4; a 0° e 90° il filtro aggiunto non cambia nulla e non passa luce, a 45° passa il massimo, un quarto di I₁

Formula (luce in parte polarizzata). $I = \frac{I_{\text{nat}}}{2} + I_{\text{pol}}\cos^2\theta$

Esempio. $I_{nat} = 100\ \text{W/m}^2$ e $I_{pol} = 60\ \text{W/m}^2$ : ruotando il polarizzatore $I$ varia tra $I_{\min} = 50$ e $I_{\max} = 50 + 60 = 110\ \text{W/m}^2$ .

XIII. Interferenza

Interferenza di due sorgenti ed esperimento di Young

Formula (differenza di fase tra due onde). $\boxed{\delta = k(r_2 - r_1) + (\alpha_2 - \alpha_1) = \frac{2\pi}{\lambda}(r_2 - r_1) + (\alpha_2 - \alpha_1)}$

Esempio. Sorgenti sincrone, $\lambda = 600$ nm e $r_2 - r_1 = 1{,}5\ \mu$ m: $\delta = 2\pi\cdot2{,}5 = 5\pi$ , quindi $\cos\delta = -1$ : minimo.

Formula (intensità di due onde sovrapposte). $\boxed{I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1I_2}\,\cos\delta}$

Esempio. $I_1 = I_2 = I_0$ : per $\delta = 0$ è $I = 4I_0$ , per $\delta = \frac\pi2$ è $I = 2I_0$ , per $\delta = \pi$ è $I = 0$ .

Formula (intensità di due onde uguali). $I = 2I_0(1 + \cos\delta) = 4I_0\cos^2\frac{\delta}{2}$

Esempio. $I_0 = 1\ \text{W/m}^2$ e $\delta = 60°$ : $I = 4I_0\cos^2 30° = 3\ \text{W/m}^2$ .

Formula (sfasamento introdotto da una lamina). $\Delta\delta = \frac{2\pi}{\lambda_0}(n - 1)\,s$

Esempio. Lamina con $n = 1{,}5$ e $s = 2\ \mu$ m, $\lambda_0 = 500$ nm: $\Delta\delta = \frac{2\pi}{500\ \text{nm}}\cdot0{,}5\cdot2000\ \text{nm} = 4\pi$ , cioè la figura si sposta di $2$ ordini.

Formula (massimi e minimi dell'esperimento di Young). $\boxed{d\sin\theta_m = m\lambda\ \ \text{(massimi)}, \qquad d\sin\theta = \left(m + \tfrac12\right)\lambda\ \ \text{(minimi)}}$

Esempio. $d = 0{,}2$ mm e $\lambda = 600$ nm: primo massimo a $\sin\theta = \frac{6\cdot10^{-7}}{2\cdot10^{-4}} = 3\cdot10^{-3}$ , cioè $\theta = 0{,}17°$ .

Formula (distanza tra le frange). $x_m = m\,\frac{\lambda L}{d}, \qquad \boxed{\Delta x = \frac{\lambda L}{d}}$

Esempio. $\lambda = 600$ nm, $L = 2$ m, $d = 0{,}2$ mm: $\Delta x = \frac{6\cdot10^{-7}\cdot2}{2\cdot10^{-4}} = 6$ mm.

Formula (intensità sullo schermo nell'esperimento di Young). $I(\theta) = 4I_0\cos^2\left(\frac{\pi d\sin\theta}{\lambda}\right) \approx 4I_0\cos^2\left(\frac{\pi d\,x}{\lambda L}\right)$

Esempio. Con i dati precedenti, a $x = 3$ mm: $\frac{\pi d x}{\lambda L} = \frac\pi2$ , quindi $I = 4I_0\cos^2\frac\pi2 = 0$ : frangia scura a metà tra due massimi.

Grafico interattivo: Young con λ = 600 nm, d = 0,5 mm, L = 2 m: I/(4I0) sullo schermo in funzione di x in mm. Frange equidistanti di passo 2,4 mm

Formula (differenza di cammino in una lamina sottile). $\Delta = \frac{2n_2d}{\cos\theta_t} - \frac{2n_2d\sin^2\theta_t}{\cos\theta_t} = 2n_2d\cos\theta_t$

Esempio. Bolla di sapone con $n_2 = 1{,}33$ e spessore $250$ nm a incidenza normale: $\Delta = 2n_2d = 665$ nm.

Interferenza di N sorgenti e onde stazionarie

Formula (intensità di N sorgenti coerenti). $\boxed{I(\theta) = I_0\,\frac{\sin^2(N\delta/2)}{\sin^2(\delta/2)}, \qquad \frac{\delta}{2} = \frac{\pi d\sin\theta}{\lambda}}$

Esempio. $N = 4$ sorgenti con intensità singola $I_0$ : nei massimi principali $I = N^2I_0 = 16I_0$ .

Formula (massimi principali di N sorgenti). $\boxed{d\sin\theta = m\lambda \quad\Longrightarrow\quad I = N^2 I_0}$

Esempio. $d = 2\ \mu$ m e $\lambda = 500$ nm: $\sin\theta = \frac{m\lambda}{d} = \frac{m}{4}$ , quindi per $m = 1$ è $\theta = 14{,}5°$ .

Formula (minimi di N sorgenti). $d\sin\theta = \frac{m'}{N}\,\lambda, \qquad m' = 1, 2, \ldots, N - 1,\ N + 1, \ldots$

Esempio. $N = 5$ : tra due massimi principali ci sono $4$ minimi, a $d\sin\theta = \frac{\lambda}{5}, \frac{2\lambda}{5}, \frac{3\lambda}{5}, \frac{4\lambda}{5}$ .

Formula (larghezza dei massimi principali). $\Delta(\sin\theta) = \frac{\lambda}{Nd}$

Esempio. $N = 1000$ , $d = 2\ \mu$ m, $\lambda = 500$ nm: $\Delta(\sin\theta) = \frac{5\cdot10^{-7}}{1000\cdot2\cdot10^{-6}} = 2{,}5\cdot10^{-4}$ .

Grafico interattivo: Cinque sorgenti: I/(N²I0) in funzione di δ/2 = πd sinθ/λ. Massimi principali a 0 e ±π, tra loro 4 zeri e 3 massimi secondari deboli

Formula (onda stazionaria). $\boxed{y(x, t) = 2A\,\sin(kx)\,\cos(\omega t)}$

Esempio. $\lambda = 1$ m: i nodi stanno in $x = 0;\ 0{,}5;\ 1$ m e i ventri (ampiezza $2A$ ) in $x = 0{,}25;\ 0{,}75$ m.

XIV. Diffrazione

Diffrazione da una fenditura e reticolo

Formula (minimi di diffrazione da una fenditura). $\boxed{a\sin\theta = m\lambda, \qquad m = \pm1, \pm2, \ldots \quad (\text{minimi})}$

Esempio. $a = 0{,}1$ mm e $\lambda = 600$ nm: primo minimo a $\sin\theta = 6\cdot10^{-3}$ , cioè $\theta = 0{,}34°$ .

Formula (intensità della diffrazione da una fenditura). $\boxed{I(\theta) = I_{\max}\left(\frac{\sin\alpha}{\alpha}\right)^2, \qquad \alpha = \frac{\pi a\sin\theta}{\lambda}}$

Esempio. Per $\alpha = \frac\pi2$ : $\frac{I}{I_{\max}} = \left(\frac{\sin(\pi/2)}{\pi/2}\right)^2 = 0{,}405$ .

Grafico interattivo: Diffrazione da una fenditura: I/Imax in funzione di α = πa sinθ/λ. Zeri a α = ±π, ±2π, ...; il massimo centrale è largo il doppio degli altri

Formula (larghezza del massimo centrale). $\Delta x_{\text{centrale}} = \frac{2\lambda L}{a}$

Esempio. $a = 0{,}1$ mm, $\lambda = 600$ nm, $L = 2$ m: $\Delta x = \frac{2\cdot6\cdot10^{-7}\cdot2}{10^{-4}} = 24$ mm.

Formula (ordini mancanti). $\frac{m}{m'} = \frac{d}{a}$

Esempio. Con $d = 3a$ mancano gli ordini $m = \pm3, \pm6, \ldots$ , e dentro il massimo centrale di diffrazione si vedono i massimi principali $m = 0, \pm1, \pm2$ .

Grafico interattivo: Cinque fenditure di larghezza a e passo d = 3a (ascissa: a sinθ/λ; ordinata: I/I_max): i massimi principali sono a d sinθ = mλ, cioè in a sinθ/λ = m/3, e il loro picco segue l'inviluppo di diffrazione (tratteggio): dentro il massimo centrale si vedono m = 0, ±1, ±2, mentre m = ±3 cadrebbe sullo zero dell'inviluppo (in ±1) e manca

Formula (massimi principali del reticolo). $\boxed{d\sin\theta = m\lambda}$

Esempio. Reticolo da $600$ righe/mm: $d = \frac{1\ \text{mm}}{600} = 1{,}667\ \mu\text{m}$ . Luce gialla del sodio, $\lambda = 589\ \text{nm}$ : primo ordine a $\sin\theta = 0{,}353$ , $\theta = 20{,}7°$ ; secondo ordine a $\sin\theta = 0{,}707$ , $\theta = 45{,}0°$ ; il terzo ordine darebbe $\sin\theta = 1{,}06 > 1$ e non esiste ( $d/\lambda = 2{,}83$ ).

Formula (potere risolutivo del reticolo). $\boxed{\frac{\lambda}{\Delta\lambda} \leq mN}$

Esempio. Reticolo con $N = 1000$ righe nel secondo ordine ( $m = 2$ ): $\frac{\lambda}{\Delta\lambda} \le 2000$ , sufficiente per separare il doppietto del sodio ( $589{,}0$ e $589{,}6$ nm, $\frac{\lambda}{\Delta\lambda} \approx 982$ ).

XV. Cenni di fisica moderna

Cenni di fisica moderna - corpo nero, effetto fotoelettrico, Compton e de Broglie

Legge di Wien. $\lambda_{\max}\,T = 2{,}898 \cdot 10^{-3}\ \text{m·K}$

Esempio. Corpo a $300$ K: $\lambda_{\max} = \frac{2{,}898\cdot10^{-3}}{300} = 9{,}7\ \mu$ m, nell'infrarosso.

Grafico interattivo: Spettro di corpo nero (ascissa: λ in µm; ordinata: emissione per unità di lunghezza d'onda, in unità arbitrarie uguali per le tre curve): scaldando il corpo il massimo cresce molto (∝ T⁵) e si sposta verso lunghezze d'onda minori, λ_max = 2,898·10⁻³ m·K/T: 0,50 µm a 5800 K, 0,64 µm a 4500 K, 0,83 µm a 3500 K

Legge di Stefan-Boltzmann. $P = \sigma A T^4, \qquad \sigma = 5{,}67 \cdot 10^{-8}\ \text{W/(m}^2\text{K}^4)$

Esempio. Superficie di $1\ \text{m}^2$ a $300$ K: $P = 5{,}67\cdot10^{-8}\cdot300^4 = 459$ W.

Grafico interattivo: Corpo nero a 5800 K (ascissa: λ in µm, unità arbitrarie): la previsione classica (tratteggio, ∝ 1/λ⁴) cresce senza limite al diminuire di λ ed esce dal grafico sotto 1,1 µm, mentre lo spettro di Planck ha un massimo a 0,5 µm e poi cala (catastrofe ultravioletta evitata); a grandi λ le due curve si avvicinano

Principio (ipotesi di Planck: quantizzazione dell'energia). $E = hf$

Esempio. Luce verde a $550$ nm: $f = 5{,}45\cdot10^{14}$ Hz e $E = hf = 3{,}61\cdot10^{-19}$ J $= 2{,}25$ eV.

Legge (effetto fotoelettrico di Einstein). $\boxed{K_{\max} = hf - W}$

Esempio. Sodio, $W = 2{,}28\ \text{eV}$ , illuminato con luce violetta di $400\ \text{nm}$ : $hf = \frac{1240\ \text{eV·nm}}{400\ \text{nm}} = 3{,}10\ \text{eV}$ , quindi $K_{\max} = 0{,}82\ \text{eV}$ (potenziale frenante $0{,}82\ \text{V}$ , velocità $5{,}4 \cdot 10^5\ \text{m/s}$ ). Soglia: $\lambda_0 = 1240/2{,}28 = 544\ \text{nm}$ ; la luce rossa non estrae elettroni dal sodio.

Grafico interattivo: Energia cinetica massima dei fotoelettroni, K = hf − W (ascissa: f in 10¹⁴ Hz, ordinata: K in eV): rette parallele, con la stessa pendenza h = 4,14·10⁻¹⁵ eV·s per ogni metallo, che partono dalla frequenza di soglia f₀ = W/h (sotto non esce nessun elettrone, qualunque sia l'intensità); il punto è l'esempio del sodio con luce di 400 nm (7,5·10¹⁴ Hz, K = 0,82 eV)

Formula (quantità di moto del fotone). $p = \frac{E}{c} = \frac{hf}{c} = \frac{h}{\lambda}$

Esempio. Fotone da $500$ nm: $p = \frac{h}{\lambda} = 1{,}33\cdot10^{-27}\ \text{kg m/s}$ .

Legge (effetto Compton). $\boxed{\lambda' - \lambda = \frac{h}{m_ec}\,(1 - \cos\theta)}, \qquad \frac{h}{m_ec} = 2{,}43\ \text{pm}$

Esempio. Raggi X di $71{,}0\ \text{pm}$ diffusi a $90°$ : $\lambda' = 71{,}0 + 2{,}43 = 73{,}4\ \text{pm}$ . Per la luce visibile ( $500\ \text{nm}$ ) lo spostamento di qualche picometro è irrilevante: per questo l'effetto si vede solo con i raggi X.

Principio (ipotesi di de Broglie). $\boxed{\lambda = \frac{h}{p}}$

Esempio. Un elettrone accelerato da $100\ \text{V}$ ha energia $K = 100\ \text{eV}$ e quantità di moto $p = \sqrt{2m_eK}$ : $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2m_e eV}} = 0{,}123\ \text{nm}$ , simile alla distanza tra gli atomi in un cristallo. Un cristallo fa quindi da reticolo per gli elettroni, e infatti Davisson e Germer (1927) osservarono la diffrazione degli elettroni con le figure previste da Diffrazione da una fenditura e reticolo. Su questo si basa il microscopio elettronico. Una palla da baseball ( $0{,}145\ \text{kg}$ a $40\ \text{m/s}$ ) ha invece $\lambda \sim 10^{-34}\ \text{m}$ : nessun effetto ondulatorio osservabile.

FormularioFisica 2: definizioni, teoremi e formule delle note, in ordine di capitolo